6.2 矩形的性质与判定课件2024-2025学年鲁教版(五四制)八年级数学下册

随堂检测： （任选一道） 1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF. 求证:(1)□ABCD是菱形. (2)若AB=5，AC=6，求□ABCD的面积. 2、已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD， 求证：四边形AEDF是菱形. 1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF. 求证:(1)□ABCD是菱形. (2)若AB=5，AC=6，求□ABCD的面积. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠B=∠D ∵AE⊥BC，AF⊥CD ∴∠1=∠2=90° 1 2 在△ABE和△ADF中 ∴△ABE≌△ADF（ASA） ∴AB=AD ∴□ABCD是菱形 1、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF. 求证:(1)□ABCD是菱形. (2)若AB=5，AC=6，求□ABCD的面积. (2)连接BD，交AC于点O ∴AC⊥BD，BD=2BO，AO=AC=3 1 2 在Rt△AOB中，由勾股定理得 ∴BD=2BO=8 ∴ ∵四边形ABCD是菱形 4 2、已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD， 求证：四边形AEDF是菱形. 证明：∵ EF垂直平分AD 1 2 3 4 ∴ AD⊥EF，AE=DE，AF=DF ∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90° ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴AE=AF ∴四边形AEDF是菱形 ∴∠3=∠4 ∴AE=AF=FD=DE 又∵ AE=DE，AF=DF 6.2 矩形的性质与判定（1） 鲁教版八年级数学——第六章 特殊平行四边形 观察下面的图片，我们能够发现其中包含了一些特殊的平行四边形，这些特殊的平行四边形有哪些共同的特征呢？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 矩形 定义 性质 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 对称性: 边: 角: 对角线: 中心对称图形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 轴对称图形 四个角都是直角 相等 （2条对称轴） ∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AB∥CD，AD∥BC， ∠DAB=∠DCB=∠ABC=∠ADC=90° OA=OC，OB=OD AC=BD 几何语言： AB=CD，AD=BC （矩形的四个角都是直角） （矩形的对角线相等） 议一议：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，那么BE是Rt△ABC的一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？ BE是Rt△ABC的斜边上的中线. 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言： 在Rt△ABC中，∵BE是斜边AC上的中线 ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （P15--2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论. 解：四边形ADCE是菱形.理由如下： ∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线 ∴CD=AD ∵AE∥CD，CE∥AB ∴四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （P15--3）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD=AB. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：∵CD是AB边上的中线，且CD=AB ∴BD=CD=AD ∴∠B=∠1，∠A=∠2 ∵∠B+∠1+∠A+∠2=180° ∴∠1+∠2=90° 即∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形. 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5； 求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90° AC=BD OA=OC=AC，OB=OD=BD 在Rt△ABD中，∵∠1=30° ∴ OA=OD ∴∠1=∠2=30° （矩形的对角线相等） （矩形的对角线互相平分） ∵∠AOD=120° ∴BD=2AB=2×2.5=5 （在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半） 1 2 （矩形的四个角都是直角） ∴矩形ABCD对角线长为5. 例1 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5； 求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴ OA=OB ∴∠AOB=60° ∵∠AOD=120° ∴BD=AC=2×2.5=5 ∴△AOB是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2.5 ∴矩形ABCD对角线长为5 在矩形ABCD中，根据图中的信息，求矩形的各边长和对角线的长。 6 AC=BD=10 8 8 AC=15 AC=2 （P15--4）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. 求证：EF⊥BD. ∵在Rt△ABC中，E是AC的中点 证明：连接BE、DE ∴ BE=AC ∵在Rt△ACD中，E是AC的中点 ∴ DE=AC ∴ BE=DE 又∵F是BD的中点 ∴EF⊥BD （三线合一） 课堂作业本改错； 打印题. 作业： 随堂检测： （任选一道） 1、如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，BD=4. 求矩形ABCD的面积. 2、已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P. 求证：四边形CODP是菱形. （P19-随堂练习2）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠ACB=30°，BD=4. 求矩形ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ABC=90°，AC=BD=4 在Rt△ABC中，∵∠ACB=30° ∴AB=AC=2 由勾股定理得 ∴ （课本P28-10）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P. 求证：四边形CODP是菱形. 证明：∵PD∥OC，PC∥OD ∴四边形ODPC是平行四边形 ∵四边形ABCD是矩形 ∴OD=OC （矩形的对角线相等且互相平分） ∴四边形ODPC是菱形 6.2 矩形的性质与判定（2） 鲁教版八年级数学——第六章 特殊平行四边形 （易错题）若矩形一个角的平分线分一边为3cm和5cm，则这个矩形的面积为_____________ 3 5 3 5 5 3 24cm2 或 40cm2 （P15--4）已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. 求证：EF⊥BD. ∵在Rt△ABC中，E是AC的中点 证明：连接BE、DE ∴ BE=AC ∵在Rt△ACD中，E是AC的中点 ∴ DE=AC ∴ BE=DE 又∵F是BD的中点 ∴EF⊥BD （三线合一） 矩形 定义 性质 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 对称性: 边: 角: 对角线: 中心对称图形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 轴对称图形 四个角都是直角 相等 （2条对称轴） 判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° 有三个角是直角的四边形是矩形。 求证：四边形ABCD是矩形 几何语言： ∵在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形） 对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：在□ABCD中，AC=BD 求证：□ABCD是矩形 几何语言： △ABC≌△DCB（SSS） ∵在□ABCD中，AC=BD ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形） 矩形的判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。 你有什么方法检查教室刚装的门框是不是矩形？如果有一根较长的绳子，你怎样检查？说明检查方法的合理性. 议一议： (有一个角是直角的平行四边形是矩形) (有一个角是直角的平行四边形是矩形) (有三个角是直角的四边形是矩形) 1．已知：如图，在□ABCD中，M是AD边的中点，且MB=MC．求证： 四边形ABCD是矩形． 2．已知：如图，直线l与平行线m，n分别相交于点A，B，两组同旁内角的平分线分别相交于点E，F． 求证：四边形AEBF是矩形． 例2 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB=1，求□ABCD的面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC，OB=OD 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴ OA=OB=AB=1，∠BAC=60° ∴AC=BD=2AB=2 （对角线相等的平行四边形是矩形） ∵△ABO是等边三角形 ∴ OA=OB=OC=OD=1 ∴□ABCD是矩形 ∴∠ABC=90° ∴ （P17—习题1）如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE.（1）试判断四边形ABEC的形状； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？ 解：(1)四边形ABEC是平行四边形.理由如下： ∵BD=CD，DE=AD ∴四边形ABEC是平行四边形 ∴四边形ABEC是矩形. （有一个角是直角的平行四边形是矩形） (2)当∠BAC=90°，四边形ABEC是矩形. ∵在□ABEC中，∠BAC=90° （P17—习题2）如图，点B在直线MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D，连接AC，AD. 试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论. 解：四边形ACBD是矩形.理由如下： ∵CD∥MN ∴四边形ACBD是平行四边形 ∴四边形ACBD是矩形. ∴∠3=∠5，∠4=∠6 ∵∠1=∠3，∠2=∠4 ∴∠1=∠5，∠2=∠6 ∴OB=OC，OB=OD ∴OC=OD 又∵OA=OB ∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴∠1+∠2=90° 即∠CBD=90° （P17—习题3）如图，已知菱形ABCD，作一个矩形，使得A、B、C、D四个点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍. 四边形EFGH即为所求. 一半. 四边形EFGH即为所求. 课堂作业本改错； 打印题. 作业： 随堂检测： （任选一道） 2、已知：△ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的中点. 求证：ME=MF. 1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形. 求证：四边形ADCE是矩形. （课本P20-习题2）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，四边形ABDE是平行四边形. 求证：四边形ADCE是矩形. 证明：∵四边形ABDE是平行四边形 ∴AE∥BD，AE=BD，AB=DE ∵D为BC的中点 ∴BD=CD ∴AE∥DC，AE=DC ∴四边形ADCE是平行四边形 ∵AB=AC ∴AC=DE ∴四边形ADCE是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形） (课本P28-9）已知：△ABC的两条高分别为BE，CF，点M为BC的中点. 求证：ME=MF. ∵在Rt△BCE中，M是BC的中点 证明： ∴ ME=BC ∴ ME=MF ∵在Rt△BCF中，M是BC的中点 ∴ MF=BC （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 6.2 矩形的性质与判定（3） 鲁教版八年级数学——第六章 特殊平行四边形 矩形 定义 性质 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 对称性: 边: 角: 对角线: 中心对称图形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 轴对称图形 四个角都是直角 相等 （2条对称轴） 判定 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 有三个角是直角的四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例3 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，ED=3BE. 求AE的长. 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=BO=DO=BD，∠BAD=90° 在Rt△ABC中，∵∠ADE=30° ∴BE=OE ∵ED=3BE ∴∠ABO=60° 又∵AE⊥BD ∴AB=AO ∴AB=AO=BO 即△ABO是等边三角形 ∴∠ADB=90°-∠ABO=30° ∴AE=AD=×6=3 例4 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线， AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. 求证：四边形ADCE是矩形. 解：∵ AD平分∠BAC， AN平分∠CAM ∴ ∠1=∠BAC，∠2=∠CAM ∵AB=AC，AD为∠BAC的平分线 ∴∠ADC=90° ∴四边形ADCE是矩形 ∴ ∠DAE=∠1+∠2=(∠BAC+∠CAM) = ×180°=90° ∴AD⊥BC ∴∠AEC=90° ∵CE⊥AN (有三个角是直角的四边形是矩形) 例4 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD为∠BAC的平分线， AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E. 求证：四边形ADCE是矩形. （1）试判断四边形ABDE的形状，并证明. 四边形ABDE是平行四边形 （2）线段DF与AB又怎样的关系？并证明. DF∥AB， DF=AB （P19-随堂练习1）已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成的，M、N分别是BC和AD的中点. 求证：四边形BMDN是矩形. 证明：∵△ABD和△CBD是全等的等边三角形 ∴AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC，AD=BC ∵M、N分别是BC、AD的中点 ∴BM=BC，DN=AD ∴BM=DN 又∵BM∥DN ∴四边形BMDN是平行四边形 ∵△ABD是等边三角形，N是AD中点 ∴∠BND=90° ∴四边形BMDN是矩形 （P20-习题3）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6cm，BC=8cm，将点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长. 解：连接AC，作AC的垂直平分线分别交BC、AD于E、F， 线段EF即为折痕. （P20-习题4）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为点E、F.求PE+PF的值. （课本P28-11）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M、P、N、Q分别在AO、BO、CO、DO上，且AM=BP=CN=DQ. 求证：四边形MPNQ是矩形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OB=OC=OD ∵AM=BP=CN=DQ ∴OM=OP=ON=OQ ∵OM=ON，OP=OQ ∴四边形MPNQ是平行四边形 又∵MN=PQ ∴四边形MPNQ是矩形 课堂作业本改错； 打印题. 作业： $$