专题03 二次根式（3大经典基础题+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（湖南专用）

专题03 二次根式 二次根式有意义的条件 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）当 时，二次根式在实数范围内有意义； 【答案】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式．本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键． 【详解】解：二次根式有意义， 故， 解得， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0求出，进而求出，据此代值计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）二次根式 中x的取值范围是 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件（被开方数大于等于零）及分式有意义的条件（分母不等于零）是解题的关键． （1）利用二次根式有意义的条件求解即可； （2）利用二次根式有意义的条件求解即可； （3）利用分式有意义的条件求解即可； （4）利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件求解即可． 【详解】（1）解：∵要使有意义， ∴， 解得：； （2）解：要使有意义， ∴， ∴； （3）解：∵要使有意义， ∴ ∴； （4）解：∵要使有意义， ∴， ∴． 最简二次根式和同类二次根!式 1．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，最简二次根式要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；掌握这两个条件是关键；根据这两个条件逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、被开方数是分数，故含有分母，不是最简二次根式，故不符合题意； C、被开方数是开得尽方的整式，不是最简二次根式，故不符合题意； D、被开方数8里有开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，解题关键是掌握最简二次被开方数的因数是整数，字母因式是整式，同时被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根式根据最简根式满足的两个条件逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简根式，不符合题意； C、，不是最简根式，不符合题意； D、，不是最简根式，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可得到答案． 【详解】A． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； B． ，与被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； C． 与都化成了最简，被开方数不同，不能合并，不是同类二次根式，不符合题意； D． ，与被开方数相同，能合并，是同类二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 5．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若最简二次根式利是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式的概念．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． ∴ 故答案为：2． 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：2． 二次根式的运算 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是将二次根式进行化简，成为最简二次根式． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，平方差公式，根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算，然后化简二次根式后合并即可． 【详解】解：原式 ． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算： 【答案】5 【分析】先计算立方根、二次根式、乘法分配律和绝对值，再计算加减．此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 【详解】解： ． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先根据二次根式的乘法法则、除法法则、绝对值和零指数幂的意义计算，然后化简二次根式后合并即可； （2）先根据二次根式的乘法法则和平方差公式计算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； 先算二次根式的乘法，再算二次根式的加减即可． 【详解】解：原式 ． 二次根式的创新题型 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，直接利用混合运算法则化简，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】， ， ， ， ，， ∴ ， ∴ ， ∴原式， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”． (1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号） ①1、2、3；②1、、；③、、． (2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值； (3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)②③ (2)或 (3) 【分析】此题考查了新定义问题，二次根式及分式的运算，分类讨论思想是解决此题的关键． （1）根据“青一三数组”的定义挨个求出倒数，再求其中一个数的倒数是否等于另外两个数的倒数的和，如果有一个满足题意即为“青一三数组”； （2）倒数为，的倒数为，的倒数为，由、、构成“青一三数组”，分三种情况进行讨论求解即可； （3）由，可得，再由点到原点的距离记为，可得，令，得到的最小值为，再求解即可． 【详解】（1）解：①，，， 1、2、3不能构成“青一三数组”； ②， 1、、能构成“青一三数组”； ③的倒数为，的倒数为，的倒数为， ， 、、能构成“青一三数组”； 三组数中构成“青一三数组”的有②③， 故答案为：②③； （2）解：倒数为，的倒数为，的倒数为， 、、构成“青一三数组”， ①当时，解得：； ②当时，解得：， 当时，不成立，故舍去； ③当时，解得：； 综上可知，实数的值为或； （3）解：， ， 点到原点的距离记为， ， 令，则， ， 当时，的最小值为， 恒成立， ， ． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到 ，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 【答案】(1)1；10 (2)1 (3)8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，数学常识，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （2）先利用分母有理化化简，从而求出 ，然后根据已知可得，再利用完全平方公式进行计算即可解答； （3）利用完全平方公式，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： （2） ； （3） ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：的值．（） 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律，涉及开方运算，先得出，再代入式子化简，即，即可作答． 【详解】解：∵ 依题意，时，； 时，； 时，； …… 以此类推 故 则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式 二次根式有意义的条件 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）当 时，二次根式在实数范围内有意义； 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若，则 ． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）二次根式 中x的取值范围是 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）下列式子在实数范围内有意义，求的取值范围． (1)； (2)； (3)； (4)． 最简二次根式和同类二次根!式 1．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江西吉安·期末）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 5．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）若最简二次根式利是同类二次根式，则 ． 6．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 ． 二次根式的运算 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算：． 2．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算：． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）计算：． 4．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）计算： 5．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）计算： (1)； (2)． 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算：． 二次根式的创新题型 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）设，则的值为 ． 2．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若三个非零实数、、满足：若其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数、构成“青一三数组”，例如：因为、、的倒数能够满足，所以数组、、构成“青一三数组”． (1)下列三组数构成“青一三数组”的有________；（填序号） ①1、2、3；②1、、；③、、． (2)若、、构成“青一三数组”，求实数的值； (3)若非零实数、、构成“青一三数组”，且满足以下三个条件：①；②点到原点的距离记为；③不等式恒成立．求实数的取值范围． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． (1)计算： (2)m是正整数，且，求m． (3)已知，求的值． 5．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）计算：的值．（） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$