专题7-1 锐角三角函数（考点清单，知识导图+9个考点清单&15题型解读+7种方法解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单7-1 锐角三角函数 （9个考点梳理+15种题型解读+7种方法解读） 【清单01】正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【清单02】锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【清单03】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 【清单04】锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【清单05】解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 【清单06】仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 【清单07】坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【清单08】方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 【清单09】解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【考点题型一】利用正切求解 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）中，，则 的值是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方形中，点在直线上，，则的长为 ．   4．（2023·广东广州·模拟预测）如图，在中，，，，则 ． 【考点题型二】与正弦有关的计算 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上，则的值为 （     ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平行四边形中，若，，，则平行四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，，则有（    ）    A． B． C． D． 【考点题型三】与余弦有关的计算 1．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在中，，于点，，那么 ． 4．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求： (1)CD的长 (2)cosB的值 【考点题型四】特殊角三角函数值的混合运算 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）计算： (1)； (2)． 4．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）； （2）． 【考点题型五】由特殊角的三级哦啊函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 2．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【考点题型六】根据特殊角的三角函数值求角的度数 1．（23-24九年级上·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 2．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是 ． 3．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）在中，，，，则 度． 4．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知α是锐角，且，计算∶ 【考点题型七】已知角度比较三角函数值大小 锐角三角函数增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）比较大小： （填“”或“”或“=”）． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【考点题型八】根据锐角三级哦啊函数值的范围判断锐角的取值范围 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 【考点题型九】利用同角的三角函数关系求解 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则同角三角函数的关系：① 平方关系：；② 商数关系：. 1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，中，，，求、、、． 3.（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【考点题型十】利用互余两角的三角函数关系求解 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，，，则 ． 2．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 3．（21-22九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则锐角 °． 4．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【考点题型十一】解直角三角形的相关计算 1．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知折痕，且，那么矩形的周长为？ 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点题型十二】解非直角三角形的相关计算 1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 3．（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 4．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）中，，，，求边的长度． 【考点题型十三】解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 2．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． (1)填空： 度， 度； (2)电子显示屏的底端C距地面多少？ (3)电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 3．（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图为某校大门处安装的“测温门”截面图，小敏做了如下实验：当她在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当她在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．已知测温门顶部A距地面的高度为米，小敏在地面的有效测温区间的长度为米． (1)“测温门”的探测角度_______度； _______米 (2)求小敏的身高（注：额头到地面的距离以身高计，结果精确到米，参考数据：，，）． 【考点题型十四】解直角三角形的实际应用-方向角问题 1．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 2．（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）某地修建了一个半径为的圆形公园．如图，公园的中心点A位于C地南偏西37°方向和B地东南方向上．C地在B地的正东方向，且两地相距．有关部门计划在B，C两地之间修一条笔直的公路来连接两地，请问该公路是否穿过公园？试通过计算加以说明．（精确到，参考数据：） 3．（2023·湖南怀化·模拟预测）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向800米处．    (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为300米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【考点题型十五】解直角三角形的实际应用-坡度坡比问题 1．（2023·山东济南·三模）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的坡度小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内．结果精确到，参考数据：，，，，，， (1)求度数； (2)求居民楼的高度． 2．如图，拦水坝的横断面为梯形，根据图中的数据求： (1)坡角和； (2)坡底和斜坡的长；（精确到0.1m） (3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？ 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度（结果保留整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单7-1 锐角三角函数 （9个考点梳理+15种题型解读+7种方法解读） 【清单01】正弦、余弦、正切 正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sin A，即； 余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做 ∠A的余弦，记作cos A，即； 正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切，记作tan A，则 【清单02】锐角三角函数 锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°） 取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，. 增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 【清单03】特殊角的三角函数值 利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示： 【清单04】锐角三角函数的关系 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系： 1）同角三角函数的关系： ① 平方关系：； ② 商数关系：. 2) 互余两角的三角函数关系： ① 互余关系： sin A = cos(90°-∠A) = cos B，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值. sin B = sin(90°-∠A) = cos A，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. ② 倒数关系： 【清单05】解直角三角形 定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系： 1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B. 2）三边之间的关系：（勾股定理）. 3）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°. 4）边角之间的关系：sin A = ，sin B = ，cos A= ，tan A = . 【补充】三角函数是连接边与角的桥梁. 5）面积公式（h为斜边上的高）. 【清单06】仰角、俯角 视角：视线与水平线的夹角叫做视角． 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的. 【清单07】坡度、坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作. 坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角. 【清单08】方位角、方向角 方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 【清单09】解直角三角形实际应用的一般步骤 ①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； ②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形. ③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确； ④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解． 【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等. 【考点题型一】利用正切求解 1．（23-24九年级上·广东梅州·期末）中，，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正切的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键．根据即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∴， 故选：C ． 2．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点D，使，连接，若，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点C作交于点E计算即可． 【详解】解：如图，过点C作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方形中，点在直线上，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是正方形的性质，锐角的正切的应用，由可得，再分情况讨论即可． 【详解】解：∵在正方形中，， ，， ， 当点在边上时，如图，    则； 当点在的延长线上时，如图，    则， 故答案为：或． 4．（2023·广东广州·模拟预测）如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】考查解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．根据，求出，再由勾股定理求出斜边的长即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点题型二】与正弦有关的计算 1．（22-23九年级上·山东济南·期中）如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D． 【详解】解：∵， ∴， 在中， 故A、B不符合题意； 在中，， 故C符合题意； ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为，的三个顶点均在格点上，则的值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角函数，将所求角放到直角三角形中是关键．将放入直角三角形即可得答案． 【详解】解：是的一个锐角， ， 而， ， , 故选：C． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，平行四边形中，若，，，则平行四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角之间的关系．过点D作于点E，在中根据正弦定义求出，然后根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于点E，    ∴， ∴平行四边形的面积为． 故选：A． 4．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴，设，则， ∴， ∴，， ，； ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键． 【考点题型三】与余弦有关的计算 1．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的余弦值，先根据三角形角度之间的关系得到，然后根据余弦进行计算即可，找到两个角相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴， 故选：C． 2．（22-23九年级上·上海·期中）如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意作x轴的垂线，根据，且，从而求出横坐标，再求点P的坐标就容易了． 【详解】过P作x轴的垂线，交x轴于点A， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴点P的坐标是． 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义和坐标与图形的性质，此题比较简单，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，在中，，于点，，那么 ． 【答案】 【分析】根据，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据余弦求线段长，掌握三角函数的定义是解题的关键． 4．（22-23九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，BC=12，tanC=，求： (1)CD的长 (2)cosB的值 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）直接在Rt△ADC中根据正切的定义求解即可； （2）先求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵在Rt△ADC中，， ∴； （2）解：由（1）得CD=4， ∴BD=BC-CD=8， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出CD的长是解题的关键． 【考点题型四】特殊角三角函数值的混合运算 1．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 本题考查了特殊角的三角函数的混合运算． （1）先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算； （2）先根据特殊角的三角函数值得到原式原式，再进行分母有理化，再利用二次根式的性质化简，然后合并即可． 【详解】（1） 解： ； （2） 解： ． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角三角函数值的混合运算． 根据特殊角三角函数值进行运算即可． 【详解】（1）解：原式， ， ． （2）解：原式， ， ． 3．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）（1）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】本题考查了特殊角的三角函数计算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，算术平方根，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，计算即可； （2）根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值，算术平方根，计算即可． 【详解】（1） ． （2） ． 4．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）（1）； （2）． 【答案】（1）2；（2） 【分析】本题考查同角三角形函数的关系，特殊角的三角形函数值，关键是掌握同角三角形函数的平方关系，特殊角的三角形函数值． （1）由同角三角形函数的平方关系，特殊角的正弦值，正切值，即可计算； （2）由特殊角的正切值，完全平方公式，二次根式的性质，即可计算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【考点题型五】由特殊角的三级哦啊函数值判断三角形形状 1．（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 2．（22-23九年级上·山东泰安·阶段练习）若，则以为内角的的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】直接利用非负数的性质得出，进而得出的形状． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， ∴， ∴以为内角的的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键． 【考点题型六】根据特殊角的三角函数值求角的度数 1．（23-24九年级上·北京·单元测试）已知为锐角． （）若，则 ； （）若，则 ； （）若，则 ． 【答案】 /60度 /30度 /30度 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （2）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答； （3）根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【详解】解：（1），，为锐角， ； （2）， ， ，为锐角， ； （3），，为锐角， ， ． 故答案为：（1）；（2）；（3）． 2．（23-24九年级上·甘肃酒泉·期末）已知、、是△ABC的三个内角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质，正确得出和的度数是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值以及偶次方和绝对值的性质得出和的度数进而求出即可． 【详解】解：∵， ，， ，， 的度数是． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）在中，，，，则 度． 【答案】45 【分析】本题考查根据特殊角的锐角三角函数值确定角的度数．根据锐角三角形函数定义求得，从而确定的度数． 【详解】∵在中，，，， ∴， ∴． 故答案为：45 4．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知α是锐角，且，计算∶ 【答案】 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算，根据题意得，然后代入计算即可得出结果，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键 【详解】解：∵α是锐角，且， ∴， ∴， ∴ 【考点题型七】已知角度比较三角函数值大小 锐角三角函数增减变化：当0°＜∠A＜90°，sin A，tan A随∠A的增大而增大，cos A随∠A的增大而减小. 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A．①③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 2．（23-24九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由，再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，即可得出正确选项． 【详解】解：∵（）， ∴， 当时，正弦值是随着角的增大而增大， ∴ ∴， 故选：C． 3．（22-23九年级上·河南南阳·期末）比较大小： （填“”或“”或“=”）． 【答案】 【分析】正弦函数值小于1，而，故，即可比较二者大小． 【详解】解：∵，， ∴， 又， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，正弦函数值，正切函数值，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 4．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 【考点题型八】根据锐角三级哦啊函数值的范围判断锐角的取值范围 1．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数，首先明确，，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析． 【详解】解： ，正弦值随着角的增大而增大， ， ， 故选C． 3．（21-22九年级下·全国·单元测试）若是锐角，，则应满足 ． 【答案】 【分析】首先明确，再根据余弦函数随角增大而减小即可得出答案． 【详解】解：∵，余弦函数随角增大而减小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 【考点题型九】利用同角的三角函数关系求解 在Rt△ABC中，若∠C为直角，则同角三角函数的关系：① 平方关系：；② 商数关系：. 1．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】分子分母同时除以，化成正切代入即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，中，，，求、、、． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 中，，， ， ① 又，，② 联立①②，解得；； 又， ；． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键． 3.（2023九年级下·全国·专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 【考点题型十】利用互余两角的三角函数关系求解 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）在中，，，则 ． 【答案】/ 【分析】 本题考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解答本题的关键． 根据题意画出三角形，通过已知条件，表示出，，的长，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 如图，，， 设，， 则， ． 故答案为：． 2．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵为锐角， ∴． ∵ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 3．（21-22九年级上·黑龙江大庆·期中）若，则锐角 °． 【答案】40 【分析】根据可得，，由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，解题的关键在于能够熟练掌握：． 4．已知：根据图中数据完成填空，再按要求答题：      如图1： 如图2： 如图3： ①观察上述等式，猜想：如图4，在中，，都有 ； ②如图4，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； ③已知：，且，求． 【答案】1，1，1①1②见解析③ 【分析】根据正弦函数的定义，计算即可得出结果； ①由上计算可想到在中，，都有； ②在中，，利用锐角三角函数的定义得出，，则，根据勾股定理得到，从而证明； ③利用关系式，结合已知条件，进行求解． 【详解】由图可知： 故答案为：1，1，1． ①观察上述等式，可猜想： 故答案为：1． ②在中， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ③∵， ∴ 【点睛】本题侧重考查互余两角三角函数值，掌握三角函数的定义是解题的关键． 【考点题型十一】解直角三角形的相关计算 1．（22-23九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点分别在边，上，平分，，，． (1)求的长． (2)求的值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）由，，，并结合勾股定理可求出、的长，由角平分线的性质可得，即可获得答案； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，然后由，求出的长，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵，， 在，， 设，， 由勾股定理可得，即， 解得 （舍去）或， ∴，， ∵平分，，， ∴； （2）∵，，， 又∵， ∴， ∴， 设，在中，， 解得，即， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、三角函数的定义、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知折痕，且，那么矩形的周长为？ 【答案】36 【分析】根据的值，可设，在中可得，，根据，利用三角函数的知识求出，然后在中利用勾股定理求出k，继而代入可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠的性质得：，，， ∵， ∴设，则， 由勾股定理得： ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴矩形的周长为． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及翻折变换、三角函数的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，如图，，垂足为，，求的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】，， 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理可得，由相似三角形的判定和性质可得，，，结合锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ， ． 4．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是：（1）利用两个角对应相等的三角形相似，证出；（2）在中，通过解直角三角形求出的长． （1）利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出； （2）利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在中，通过解直角三角形即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ． ，垂足为， ． ，， ． ； （2）解：， ， ． 在中，，， ， 即的长为2． 【考点题型十二】解非直角三角形的相关计算 1．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 3．（22-23九年级上·江苏·期末）已知中，． (1)如图1，若，则________（结果保留根号） (2)如图2，若，求AC的长．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解，即可求解； （2）过点作于点，解，即可求解． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作于点， ∵中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三形中的边角关系是解题的关键． 4．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）中，，，，求边的长度． 【答案】 【分析】过点作，利用三角形的内角和定理先求出、，再利用直角三角形的边角间关系求出、的长，最后利用等腰三角形的性质、线段的和差关系得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ，，， ，． 在中， ， ，， ，． 在中， ， ． ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 【考点题型十三】解直角三角形的实际应用-仰角俯角问题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）． (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握含30度的直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，路程与速度和时间的关系，是解题关键． （1）过B点作于C，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的值，结合山高即可求出的值； （2）在中，求得的长，再计算段和段所用时间和即得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C， 则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 答：从山底A处到达山顶处大约需要． 2．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，小红站在学校电子显示屏正前方5m远的A处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为，显示屏底端C的仰角为，已知小红的眼睛与地面的距离． (1)填空： 度， 度； (2)电子显示屏的底端C距地面多少？ (3)电子显示屏高的值为多少？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，） 【答案】(1)45，40 (2)电子显示屏的底端C距地面 (3)电子显示屏高的值约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意得，，即可求解； （2）延长交地面与点，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答； （3）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 则，； 故答案为：45，40； （2）延长交地面与点E，过点A作， 由题意得：，， 在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏的底端C距地面； （3）在中，， ∴， ∴， ∴电子显示屏高的值约为． 3．（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图为某校大门处安装的“测温门”截面图，小敏做了如下实验：当她在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为；当她在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为．已知测温门顶部A距地面的高度为米，小敏在地面的有效测温区间的长度为米． (1)“测温门”的探测角度_______度； _______米 (2)求小敏的身高（注：额头到地面的距离以身高计，结果精确到米，参考数据：，，）． 【答案】(1) (2)小敏的身高为米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用， （1）延长交于点，得到，即可得到的度数，证明四边形是矩形，即可得到米； （2）设小敏的身高为米，证明四边形是矩形，则，则，求出，，得到，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， 由题意可知，，， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴米， 故答案为： （2）解：设小敏的身高为米， ∵，， ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 则， 在中，， ∵ ∴ 在中，， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得， 答：小敏的身高为米． 【考点题型十四】解直角三角形的实际应用-方向角问题 1．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，米．点C在点B的北偏东；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东方向，米． (1)求的长度（精确到个位）； (2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：，，） 【答案】(1)3127米 (2)路线二较近，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H，则四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形，在中求出的长，进而可求的长，在中，即可求出的长度； （2）分别求出和的长度，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作交的延长线于点M，过点B作交于点N，过点D作交于点H． 由题可知：，，． ∴四边形、四边形、四边形都是矩形，是等腰直角三角形． 在中， ∵，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， 在中，， ∴米米， 答：BC的长度为3127米． （2）解：路线一：米米 ∵米， ∴米， ∴路线二：米米， ∵， ∴路线二较近． 2．（22-23九年级下·河南南阳·阶段练习）某地修建了一个半径为的圆形公园．如图，公园的中心点A位于C地南偏西37°方向和B地东南方向上．C地在B地的正东方向，且两地相距．有关部门计划在B，C两地之间修一条笔直的公路来连接两地，请问该公路是否穿过公园？试通过计算加以说明．（精确到，参考数据：） 【答案】不能，理由见详解 【分析】过点作于点，根据题意可得设，然后得出，代入数值得，计算可求解的长，进而可求解．本题主要考查解直角三角形的应用方向角，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点， 由题意知：， 设 在中， ∴ ∵公园的中心点A位于B地东南方向上 在中， 则 ∴ ∴ ∴ 故该公路不能穿过纪念园． 3．（2023·湖南怀化·模拟预测）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向800米处．    (1)求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为300米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【答案】(1)湖岸A与码头C的距离为1386米 (2)在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船 【分析】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30度角的直角三角形的性质，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键． （1）过点作垂线，交延长线于点，设，则，，，在中，，即可求出，根据中，即可求出湖岸与码头的距离； （2）设快艇将游客送上救援船时间为分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程，列出方程，求出时间，再和5分钟进行比较即可求解． 【详解】（1）解：过点作垂线，交延长线于点，如图所示，    由题意可得：，，米，则， 设，则，，， 在中，， ∴，解得， 在中，， ∴（米）， ∴湖岸与码头的距离为1386米； （2）解：设快艇将游客送上救援船时间为分钟， 由题意可得：， ， ∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船． 【考点题型十五】解直角三角形的实际应用-坡度坡比问题 1．（2023·山东济南·三模）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的坡度小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为点，，，在同一平面内．结果精确到，参考数据：，，，，，， (1)求度数； (2)求居民楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，先得到，则，进而求出，由平行线的性质得到，则，即可得到； （2）先解在中，得到，，设，则，解，得到，解得到，，据此得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：， 斜坡的坡度， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 度数为； （2）解：由题意得：，， 在中，，， ，， ， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 居民楼的高度约为． 2．如图，拦水坝的横断面为梯形，根据图中的数据求： (1)坡角和； (2)坡底和斜坡的长；（精确到0.1m） (3)若拦水坝总长500米，修筑这样的拦水坝至少需要多少立方米的泥土？ 【答案】(1)， (2)， (3)修筑这样的拦水坝至少需要43500立方米的泥土 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）根据坡度等于坡角的正切值，求出坡角和即可； （2）利用坡度分别求出，进而利用线段的和差关系求出的长，勾股定理求出的长即可； （3）求出梯形的面积乘以水坝总长进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）作， 则四边形是矩形， 由题意，得：， ∴， ∴，； （3）由题意可得：（立方米）， 答：修筑这样的拦水坝至少需要40500立方米的泥土． 3．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度（结果保留整数）． 【答案】(1)乙山B处到河边的垂直距离为520米 (2)河的宽度约为468米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）过点B作，垂足为E， ∵乙山的坡比为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为520米； （2）如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， ∴（米）， ∴河的宽度约为468米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$