第04讲 二次函数与一元二次方程之间的关系-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第04讲 二次函数与一元二次方程之间的关系 课程标准 学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的关系,掌握两者相互转化的方法 2.能用二次函数图象求解一元二次方程,利用方程的解分析函数图象。 3.培养通过函数与方程的联系解决综合问题的能力。 1.知道二次函数和一元二次方程的关联，熟悉相关概念。 2.能够运用二次函数图象求解一元二次方程的解,反之亦然。 3.体会函数与方程结合的思想，提高数学综合运用能力的兴趣。 知识点01 二次函数与一元二次方程的联系 (1)求抛物线与x轴的交点的横坐标的方法:对于抛物线,令y=0,则,若它的解为,,则抛物线y=与x轴的交点的横坐标为 (2)抛物线与x轴的交点个数的确定方法: ①当-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点; ②当-4ac=0时,抛物线与x轴有两个 的交点(顶点在x轴上); ③当-4ac<0时,抛物线与x轴无交点 【即学即练1】 若二次函数的图象与轴交于点，则代数式的值是（   ） A．9 B． C．5 D．10 知识点02 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 一般步骤: (1)列表、描点、连线,画出抛物线; (2)从图象中找出抛物线与x轴交点的横坐标,即一元二次方程的解的 【即学即练1】 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 题型01 求抛物线与坐标轴的交点坐标 【典例1】抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 【变式2】已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例1】若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】如图，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于D，E两点，求的长； (3)当时，的取值范围是______． 【变式2】已知点与点都在二次函数的图像上． (1)求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； (2)求该抛物线上纵坐标为的点的坐标； (3)当时， 求函数的最大值和最小值． 题型03 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）． 【变式2】如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 题型04 二次函数与不等式（组） 【典例1】3．已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ） A．B． C． D． 【变式1】抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】根据如表表格的对应值，估计关于x的方程的一个解的范围是（） x A． B． C． D． 【变式1】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 【变式2】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 1．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．关于x的一元二次方程的两个根是， D．（x为任意实数） 2．对于抛物线，下列结论中正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．对称轴为直线 C．当时，y有最小值6 D．与y轴的交点坐标为 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若，为抛物线上两点，则；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 6．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（    ）    A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 7．已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 3 5 y 0 8 9 5 下列说法错误的是（    ） A． ， B． C．不等式的解集是 D．（m为任意实数） 8．抛物线与轴交点的横坐标是（    ） A．0 B．2 C．0，2 D．0， 9．如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．关于的方程的另一个根在和之间 10．如图，抛物线，与x轴正半轴交于A，B两点，交y轴负半轴于点C．下列结论：①；②；③若点B的坐标为，且，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则．其中，结论正确的序号是 ． 12．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ． 13．抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交点坐标为 ． 15．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有   （填序号） 16．已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； ... 0 1 2 3 4 ... ... 3 0 ____ ____ ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_____． 17．已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若抛物线的对称轴和轴的交点为，直线与轴的交点在线段之间（不与点重合），求的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），不经过点的直线交抛物线于，两点． (1)求点，的坐标； (2)若，求的值； (3)若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 19．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 20．已知二次函数过点，，． (1)该函数的对称轴为 ，方程的解为 (2)根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数与一元二次方程之间的关系 课程标准 学习目标 1.理解二次函数与一元二次方程的关系,掌握两者相互转化的方法 2.能用二次函数图象求解一元二次方程,利用方程的解分析函数图象。 3.培养通过函数与方程的联系解决综合问题的能力。 1.知道二次函数和一元二次方程的关联，熟悉相关概念。 2.能够运用二次函数图象求解一元二次方程的解,反之亦然。 3.体会函数与方程结合的思想，提高数学综合运用能力的兴趣。 知识点01 二次函数与一元二次方程的联系 (1)求抛物线与x轴的交点的横坐标的方法:对于抛物线,令y=0,则,若它的解为,,则抛物线y=与x轴的交点的横坐标为 (2)抛物线与x轴的交点个数的确定方法: ①当-4ac>0时,抛物线与x轴有两个不同的交点; ②当-4ac=0时,抛物线与x轴有两个重合的交点(顶点在x轴上); ③当-4ac<0时,抛物线与x轴无交点 【即学即练1】 若二次函数的图象与轴交于点，则代数式的值是（   ） A．9 B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题．由题意得到方程的一个根为，得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴方程的一个根为， ∴，即， ∴， 故选：A． 知识点02 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 一般步骤: (1)列表、描点、连线,画出抛物线; (2)从图象中找出抛物线与x轴交点的横坐标,即一元二次方程的解的近似值 【即学即练1】 已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在和之间由负到正，故可判断时，对应的的值在和之间． 【详解】解：由表格中的数据看出，随的值逐渐增大，和更接近于0，对应的的值在和之间． 故选：D． 题型01 求抛物线与坐标轴的交点坐标 【典例1】抛物线与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的交点坐标，令，即，即可求出结果． 【详解】解：令，即 ∴抛物线与轴的交点坐标为：． 故选：D． 【变式1】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是． 故选： C． 【变式2】已知二次函数． (1)求抛物线与坐标轴的交点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，求得交点坐标是解题的关键． （1）令，求出y的值，即可得到与y轴的交点坐标，令，求出x的值，即可得到与x轴的交点坐标； （2）求得抛物线的对称轴，进而求得和时的函数值，即可求得结果． 【详解】（1）抛物线与坐标轴的相交 有以下情况 ①与轴相交，解得：． 此时交点为：， ②与轴相交，此时交点为： 抛物线与坐标轴的交点坐标：，，． （2）∵的对称轴为 当时，y有最大值， 当时， ， 当时， ∴当时，的取值范围为： 题型02 已知二次函数的函数值求自变量的值 【典例1】若函数的图象经过点，则n的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的函数值．正确计算是解题的关键． 将点代入求解即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，已知抛物线与轴交于点，． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的平行线交抛物线于D，E两点，求的长； (3)当时，的取值范围是______． 【答案】(1) (2)5 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质以及直线与抛物线的交点，关键是求函数解析式． （1）把，代入，用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，解方程求出的值，再求即可； （3）由（2）和图象可以得出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：把点的纵坐标，代入得：， 解得：，， 则长； （3）解：由（2）和图象知：当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 【变式2】已知点与点都在二次函数的图像上． (1)求和的值，并直接写出该抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； (2)求该抛物线上纵坐标为的点的坐标； (3)当时， 求函数的最大值和最小值． 【答案】(1)，对称轴为，顶点坐标为，二次函数图象开口向上 (2) (3)函数的最大值为，最小值为 【分析】本题主要考查二次函数图象的的性质，待定系数法求解析式， （1）把点代入，运用待定系数法可求出解析式，再把点代入即可求解； （2）根据题意，把代入二次函数解析式，即可求解； （3）根据二次函数图象的性质，当时，；当时，；当时，；由此即可求解． 【详解】（1）解：已知点在二次函数的图象上， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵点在二次函数图象上， ∴， ∵， ∴抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴为； （2）解：抛物线上纵坐标为，即， ∴， 解得，， ∴纵坐标为的点的坐标为，； （3）解：∵二次函数的对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，时，，时，，时，， ∴当时，函数的最大值为，最小值为． 题型03 根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【典例1】如图二次函数的图象，与x轴交于、点，下列说法中：①；②方程的根是③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握由二次函数的图象确定二次函数中的符号是解题的关键．根据二次函数的图象确定二次函数中的符号，由与x轴的交点，确定方程的根，以及观察图象确定函数的增减性，再逐项分析即可． 【详解】①由二次函数的图象开口向上，可知， 与轴交于负半轴， ， ，故①正确； ②二次函数的图象，与x轴交于、点， 方程的根是；故②正确 ③二次函数的图象，与x轴交于， 由图象可知，当时，故③错误； ④观察图象可知，对称轴为， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， 即当时，y随x的增大而增大． 所以正确的有①②④3个． 故选：C． 【变式1】如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有 （请写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由抛物线与轴有两个交点可判断②，由当时函数取最大值可判断③，由函数最大值大于2且抛物线开口向下可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ，②正确； 时函数取最大值， ， ，即，③正确． 由图象可得函数最大值大于2， 有两个不相等的实数根，， 有两个不相等的实数根，， 图象对称轴为直线， ，． ， ∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4； ④错误． 故答案为：②③ 【变式2】如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，对称轴方程，与坐标轴的交点情况可判断①②③④，由图象可得直线与抛物线有两个交点，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由题意及图象得：，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为， ∴当时，可得：，故②正确； ∵抛物线的对称性及对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即，故④正确， ∵由图象可得直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的个数有4个； 故选：C． 题型04 二次函数与不等式（组） 【典例1】3．已知抛物线，抛物线与x轴交于，两点(m<n)，则m，n，，的大小关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，设，而，即函数向下平移3个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解． 【详解】解：设，则、是函数和x轴的交点的横坐标， 而， 即函数向下平移3个单位得到函数y， 则两个函数的图象如图所示（省略了y轴）， 从图象看，， 故选：B． 【变式1】抛物线的部分图象如图，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，利用抛物线的图像写不等式的解集，先利用抛物线的对称性求解抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 再利用图像得到时，函数图像在轴的下方，从而可得答案． 【详解】解：由抛物线的对称轴为： 且过 所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为： 当时，函数图像在轴的下方， 所以： 故选：C． 【变式2】一次函数与二次函数的图像相交于，两点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合思想分析问题，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是解题关键．根据图像，观察一次函数在二次函数图像下方时所对应的自变量取值范围，即为该不等式的解集． 【详解】解：由图像可知， 关于的不等式的解集为或． 故选：B． 题型05 图象法确定一元二次方程的近似根 【典例1】根据如表表格的对应值，估计关于x的方程的一个解的范围是（） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．由于时，；时，，所以x取之间的某一个数时，，从而得到方程的一个解的范围． 【详解】解：时，；时，， 当x取之间的某一个数时，， 方程的一个解的范围是 故选：C 【变式1】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是． 故选： C． 【变式2】已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表，则方程的一个解的范围是（　　） … … … … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用二次函数确定性一元二次方程的近似根．解决本题的关键是根据二次函数与轴的交点的横坐标就是一元二次方程的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【详解】解：从表中可以看出， 当时，， 当时，， 当对应的的值一定有， 一元二次方程的解的范围是． 故选： C． 1．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．关于x的一元二次方程的两个根是， D．（x为任意实数） 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 由题意知，，对称轴为直线，则，，可判断B的正误；当时，，则，可判断A的正误；由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，可判断C的正误；当时，，则，可判断D的正误． 【详解】解：由题意知，，对称轴为直线， ∴， ∴，B错误，故符合要求； 当时，， ∴，A正确，故不符合要求； 由题意知，关于x的一元二次方程的两个根是，，C正确，故不符合要求； 当时，， ∴，D正确，故不符合要求； 故选：B． 2．对于抛物线，下列结论中正确的是（   ） A．当时，y随x的增大而增大 B．对称轴为直线 C．当时，y有最小值6 D．与y轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 由，可知图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，可判断B的正误；当时，y随x的增大而减小，可判断A的正误；当时，y有最大值6，可判断C的正误；当时，，可判断D的正误． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴B正确，故符合要求； 当时，y随x的增大而减小，A错误，故不符合要求； 当时，y有最大值6，C错误，故不符合要求； 当时，，D错误，故不符合要求； 故选：B． 3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 4．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③对于任意实数m，有；④对于实数，若，为抛物线上两点，则；其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性．利用数形结合思想是解题关键．由图象可判断，结合对称轴为直线，即得出图象还过点，，从而得出，即可判断①；将代入解析式，得出，结合，得出，可推出，可判断②；结合题意可求出该二次函数最小值，即得出，可判断③；由题意得出离抛物线对称轴越远的点函数值越大，结合离对称轴远，离对称轴近，可判断④． 【详解】解：由图可知二次函数图象开口向上， ∴． ∵对称轴为直线， ∴，即． ∵图象过点， ∴图象还过点， ∴图象与y轴的交点位于x轴下方， ∴， ∴，故①正确； ∵图象过点， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴，故②错误； 由图可知当时，该二次函数有最小值，即． ∵，， ∴， ∴对于任意实数m，都成立，故③正确； ∵，且该抛物线对称轴为直线， ∴离对称轴远，离对称轴近． 由图可知离抛物线对称轴越远的点函数值越大， ∴，故④正确． 综上可知正确的有3个． 故选C． 5．如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：抛物线的开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，与轴有2个交点，当时，， ∴， 与的函数值相同， ∴，； 综上：只有选项D正确，符合题意； 故选D． 6．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论，其中正确结论是（    ）    A． B． C． D．若点，为函数图象上的两点，则 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系．根据抛物线与轴的交点情况判断A，根据对称轴判断B，根据抛物线的对称性判断CD． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， ，即，选项A不正确； 抛物线的对称轴是直线， ，选项B不正确； 点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 当抛物线与轴交点为时，，选项C不正确； 关于直线的对称点坐标为， 当时，随的增大而减小，， ，选项D正确； 故选：D． 7．已知二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x 0 1 3 5 y 0 8 9 5 下列说法错误的是（    ） A． ， B． C．不等式的解集是 D．（m为任意实数） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据表格中的数据，先确定抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性和二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由表格可知随着的增大，的值先增大再减小， ∴， 和时的函数值相同，均为， 对称轴为直线，故时，有最大值9， ∵， ∴， 故A项正确，不符合题意； 当时，函数值均为0，对称轴为直线， ∴当或时，函数值均为0，即方程有两不等实数根， ∴， 故B项正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向下，当或时，函数值均为0， ∴等式的解集是， 故C正确，符合题意； ∵当时，有最大值9， ∴（m为任意实数）， 整理得：（m为任意实数）， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．抛物线与轴交点的横坐标是（    ） A．0 B．2 C．0，2 D．0， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与轴交点，令，然后解方程即可． 【详解】解：令，得 ， 解得． 故选D． 9．如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．关于的方程的另一个根在和之间 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x轴的交点等问题．根据抛物线开口方向、与轴的交点和对称轴可以对A、B进行判断；利用抛物线的对称性求出抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在和之间，可对C、D进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴的交点在x轴上方， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，即 ，故B选项正确，不符合题意； ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间，即关于x的方程的另一个解在和之间，故选项D正确，不符合题意； ∴时，， ∴，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 10．如图，抛物线，与x轴正半轴交于A，B两点，交y轴负半轴于点C．下列结论：①；②；③若点B的坐标为，且，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和系数的关系是解题的关键．根据函数的开口，判断的符号，根据对称轴，判断的符号，根据于轴交点，判断的符号，即可判断①；根据该函数图象与轴的交点个数，即可判断②；根据可得，则当时，，把代入，消去，即可判断③；根据函数开口向下，对称轴为直线，可知函数的最大值为对应的函数值，则当时，函数值不大于对应的函数值，即可判断④． 【详解】解：函数开口向下， ， 函数对称轴在轴左侧， ， 则， 函数图象与轴相交于负半轴， ， ， 故①正确； 该函数图象与轴有2个交点， ， 故②不正确； ， ， ， ， 当时，， 把代入得：， 即， 把点代入得：，即， ， 整理得：， 故③正确； 把代入得：， 抛物线的对称轴是直线，函数图象开口向下， 该函数的顶点坐标为：， 即该函数最大值为， 当时，， ， 整理得：，即， 故④不正确； 综上：正确的有①③，共2个； 故选：B． 11．如图，二次函数图象的对称轴是直线，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则．其中，结论正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数和式子的关系，分别判、、的符号，即可判断①；根据图象与轴交点可以判断②；根据对称轴是直线，得到，结合，即可判断③；根据二次函数的对称轴得出最值，即可判断④． 【详解】解：图象开口向下，与轴交点再轴上方， ，， ， ， ，故①正确； 函数图象与轴有2个交点， ，即，故②正确； ∵当时，， ，即，故③错误； 当时，的值最大．此时，， 而当时，， ，即，故④正确； 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④． 12．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， ∵图象和x轴有交点， ∴， 解得，， 故答案为：且 ． 13．抛物线与x轴有交点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 根据抛物线与x轴交点个数与的关系求解． 【详解】解∶抛物线与x轴有交点， ． 解得， 故答案为∶． 14．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，直接令，即可求出抛物线与轴交点坐标，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴的交点问题． 【详解】解：令， ∴， ∴二次函数的图象与轴交点坐标为， 故答案为：． 15．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有   （填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的，分两种情况求出函数解析式，进而判断①②③，图象法，求出临近点，判断④． 【详解】由题意，可知，的图象，是由的图象，函数值小于0的部分的图象沿轴翻折得到的， 由图象可知：过点，或，， 当过点，时： 设函数解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 此时， ∴， 同理，当过点，时：， 此时， ∴， 故①错误，②正确； ∵图象过，对称轴为，故③正确； 如图， 当直线过时，，， 当直线过时，，， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 当与只有一个交点时： 令，整理，得： ，解得：， ∴当时，直线与 的图象有2个公共点， 综上：当直线与 的图象有2个公共点，则或；故④正确； 故答案为：②③④ 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及待定系数法求解析式，对称性求对称轴，图象法求不等式的解集，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 16．已知二次函数． (1)补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象； ... 0 1 2 3 4 ... ... 3 0 ____ ____ ... (2)根据图象回答：当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)0，3，画出函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，二次函数的性质， （1）根据题目中的函数解析式可以将表格中补充完整，然后描点、连线作出图象即可； （2）根据函数图象写出y的取值范围即可． 【详解】（1）解：补全表格： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 描点、连线画出函数图象如图： （2）解：由图象可知：当时，的取值范围是． 故答案为：． 17．已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若抛物线的对称轴和轴的交点为，直线与轴的交点在线段之间（不与点重合），求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）将点和代入，通过待定系数法求解； （2）由图象中抛物线在轴下方时x的取值范围求解； （3）由抛物线解析式求出抛物线对称轴，把、分别代入得出k的值，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：将点和代入， 得解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令， 解得， ，， 根据函数图象可知，当时，； （3）解：由题意可得对称轴是直线， ， 把代入直线，得，即， 把代入直线，得，即， ∴的取值范围是． 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），不经过点的直线交抛物线于，两点． (1)求点，的坐标； (2)若，求的值； (3)若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 【答案】(1)， (2)b的值为 (3)与满足的数量关系为： 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，勾股定理等知识点， （1）令得：，解方程即可得解； （2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E，先求出，，再由勾股定理得方程，解方程即可得解； （3）先用含b的代数式表示出与，然后相加即可得解； 熟练掌握其性质，求出交点坐标是解决此题的关键． 【详解】（1）令得：， 解方程得：，， ∵抛物线交轴于点，（点A在点的左侧）， ∴，； （2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E， ∵方程组的解为或， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴b的值为； （3）由（1）得， 由（2）得，，， ∵直线记为，直线记为， ∴，， ∴，， ∴， ∴与满足的数量关系为：． 19．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （3） ， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 20．已知二次函数过点，，． (1)该函数的对称轴为 ，方程的解为 (2)根据函数图象完成以下问题： ①当时，y的取值范围为 ②当时，x的取值范围为 【答案】(1)直线；，； (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）先根据待定系数法求出二次函数解析式，然后根据对称轴公式求出对称轴，令，即可求出方程的解； （2）①先，，对应的函数值，然后函数图象即可得到结论； ②先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得 ∴， ∴对称轴为直线， 令，则， 解得，， ∴方程的解为为，， 故答案为：直线；，； （2）解：①当时，；当时，， 当时， ∴由图象知：当时，y的取值范围为， 故答案为：； ②当时，， 解得，， ∴由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$