第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式 课程标准 学习目标 1理解待定系数法的原理,明确其在确定二次函数表达式中的应用流程。 2能熟练运用待定系数法,根据已知条件准确确定二次函数的表达式。 3体会待定系数法在解决二次函数相关问题中的重要性，培养数学建模与求解能力。 1.掌握待定系数法的概念及基本步骤，了解其适用情况。 2.会根据给定的点坐标等条件，运用待定系数法求出二次函数表达式，提升运算与解题能力。 3.感受待定系数法的巧妙之处，增强运用数学方法解决问题的信心和兴趣。 知识点01 二次函数解析式的三种形式 1.一般式:(a、b、c为常数，且 a≠0); 2.顶点式:(a、h、k为常数，且 a≠0); 3.交点式:(为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0) 【即学即练1】 基础知识考查： （1）一次函数表达式，当k>0，b>0时，图象经过象限；当k>0，b<0时，图象经过象限；当k<0，b>0时，图象经过象限；当k<0，b<0时，图象经过象限．特别当b=0时，图象经过，称为函数． （2）反比例函数三种表达方式分别为：、、反比例函数的图象称为，当k>0时，图象在和象限，y随x的增大而；当k<0时，图象在和象限，y随x的增大而． （3）特殊三角函数值： 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA （4）二次函数表达式： ①一般式：； ②顶点式：；；； ． ③交点式（两点式）：； ④对称轴公式：顶点坐标公式：． ⑤二次函数图象称为，当a>0时，图象开口向；当a<0时，图象开口向．c>0时，图象和轴正半轴相交，c<0时，图象和轴负半轴相交． 【答案】（1），一、二、三，一、三、四，一、二、四，二、三、四，正比例；（2），，，双曲线，第一，第三，减小，第二，第四，增大；（3）见解析；（4）①，②，，，，③，④， ，⑤抛物线， 上 ， 下， y ，y . . 【分析】（1）根据一次函数的定义以及图像和性质作答； （2）根据反比例函数的定义以及图像和性质作答； （3）根据特殊角度的三角函数值填表； （4）根据二次函数的定义以及图像和性质作答. 【详解】解：（1）一次函数表达式，当k>0，b>0时，图像经过一、二、三象限；当k>0，b<0时，图像经过一、三、四象限；当k<0，b>0时，图像经过一、二、四象限；当k<0，b<0时，图像经过二、三、四象限．特别当b=0时，图像经过原点，称为正比例函数． （2）反比例函数三种表达方式分别为：、、反比例函数的图像称为双曲线，当k>0时，图像在第一和第三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图像在第二和第四象限，y随x的增大而增大． （3）特殊三角函数值： 0° 30° 45° 60° 90° sinA 0 1 cosA 1 0 tanA 0 不存在 cotA 不存在 0 （4）二次函数表达式： ①一般式：； ②顶点式：；；；． ③交点式（两点式）:； ④对称轴公式：，顶点坐标公式：． ⑤二次函数图像称为抛物线，当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下．c>0时，图像和y轴正半轴相交，c<0时，图像和y轴负半轴相交． 【点睛】（1）题考查一次函数的定义以及图像和性质，（2）题考查反比例函数的定义以及图像和性质，（3）题考查特殊角度的三角函数值，（4）题考查二次函数的定义以及图像和性质，熟记基本概念是关键. 知识点02 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程(组)，解出这些待定系数，从而得到函数表达式 1、二次函数一般式(a≠0)中若有一个待定系数，就需要已知一个条件得到一个方程求解;若有两个待定系数,就需要已知两个条件得到两个方程,联立得到二元一次方程组求解;若有三个待定系数就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标(h，k)或对称轴或最值等有关条件时，通常设函数表达式为 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为，其中为抛物线与x轴交点的横坐标. 【即学即练1】 已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 【答案】(1)次函数的表达式为，对称轴为直线 (2)最大值为8，最小值为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质； （1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可； （2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：二次函数经过和， ， 解得， 二次函数的表达式为， 对称轴为直线； （2）解：由（1）可知的开口向上， 二次函数的对称轴为直线在内， 当时，有最小值； 直线距直线最远， 当时，有最大值． 题型01 二次函数的一般式 【典例1】抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【分析】（1）把三个点的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求解即可． （2）利用配方法把一般式化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标即可． 【解答】解：（1）将（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）代入抛物线y＝ax2+bx+c中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+12x﹣8． （2）∵y＝﹣2x2+12x﹣8＝﹣2（x﹣3）2+10， ∴顶点坐标为（3，10）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法． 【变式1】已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积． 【分析】（1）将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式求解可得； （2）将解析式配方成顶点式得其顶点坐标，再根据三角形的面积公式求解可得． 【解答】解：（1）将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得： ， 解得：， 则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4； （2）∵y＝﹣2x2﹣4x+4＝﹣2（x+1）2+6， ∴顶点C坐标为（﹣1，6）， ∵A（0，4）， ∴OA＝4， 则S△CAO•OA•|xC|4×1＝2． 【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 【变式2】如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 【分析】（1）将（2，0），（0，﹣2）代入y＝x2﹣mx+n，即可求得二次函数的解析式，再利用即可求出对称轴； （2）由抛物线的轴对称性，先求出点D的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面积． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣mx+n过点B（2，0），C（0，﹣2）， ∴将（2，0），（0，﹣2）代入，得， 解得， 则该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2， ∴， 即抛物线的对称轴l为； （2）∵点D与点C关于对称轴l对称，点C（0，﹣2）， ∴点D的坐标为（1，﹣2）， ∴CD＝1，且CD∥x轴． ∴． 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键． 题型02 二次函数的顶点式 【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为（﹣3，2）即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为：y＝a（x+3）2+2， ∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， 则a， 则抛物线解析式为：y（x+3）2+2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 【变式1】已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x+4 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝x2﹣2x+1 【分析】利用顶点式直接写出抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3）， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+3， 即y＝x2﹣2x+4． 故选：A． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 【变式2】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 【分析】（1）由题意可得抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2，然后将点（1，﹣3）代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数法的值，也就求出了抛物线的解析式． （2）根据二次函数的性质易得当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）利用y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值， ∴抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2， ∵抛物线过点（1，﹣3）， ∴﹣3＝a（1﹣2）2， ∴解得a＝﹣3， ∴此抛物线的解析式y＝﹣3（x﹣2）2． （2）因为抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向下， 所以当x＜2时，y随x的增大而增大． （3）当x＝0时，y＝﹣3（x﹣2）2＝﹣12， 所以抛物线y＝﹣3（x﹣2）2与y轴的交点坐标为（0，﹣12）． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型03 二次函数的交点式 【典例1】求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为（2，0），且经过点（﹣2，4）； （2）已知二次函数的图象经过点（3，0），（﹣2，0），（0，6）． 【分析】（1）依据题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣2）2，又过点（﹣2，4），进而代入得4＝a（﹣2﹣2）2，最后计算可以得解； （2）依据题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣3）（x+2）又过点（0，6），再代入得6＝a（0﹣3）（0+2），进而求出a后可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣2）2， 又过点（﹣2，4）， ∴当 x＝﹣2 时，y＝4． ∴4＝a（﹣2﹣2）2． ∴． ∴所求表达式为 ． （2）由题意，设所求函数表达式为 y＝a（x﹣3）（x+2）， 又过点（0，6）， ∴当 x＝0 时，y＝6． ∴6＝a（0﹣3）（0+2）． ∴a＝﹣1． ∴所求表达式为 y＝﹣（x﹣3）（x+2）＝﹣x2+x+6． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【变式1】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 【分析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y＝x2+bx+c求得a、b的值即可解答； （2）先求出AB＝4，设点P的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得m＝±5；然后再分m＝5和m＝﹣5两种情况求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； （2）∵抛物线 y＝x2﹣2x﹣3经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点， ∴AB＝4， 设点P的纵坐标为m， ∵S△PAB＝10， ∴，即，解得：m＝±5； 当m＝5，有5＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣2或4， ∴点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5）； 当m＝﹣5，有﹣5＝x2﹣2x﹣3，即x2﹣2x+2＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0， ∴方程x2﹣2x+2＝0无解． 综上，点P的坐标为（﹣2，5）或（4，5）． 【点评】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 题型04 待定系数法求二次函数表达式 【典例1】如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，然后代入一次函数解析式可求解． 【详解】（1）解：令的，则，令，则． ，． 把，代入得： ，解方程组得， 二次函数的表达式为； （2）解：由 二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为． 【变式1】已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，利用待定系数法计算即可得解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴设二次函数的解析式为， 将代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． 【变式2】如图，二次函数图象过原点，且，，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，求二次函数解析式．掌握利用待定系数法求函数解析式是解题关键．由题意可知二次函数的图象的顶点坐标为，即可设其顶点式，再根据二次函数图象过原点，即将代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴顶点B的坐标为， ∴可设该二次函数的解析式为． ∵二次函数图象过原点， ∴， 解得：， ∴． 1．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，先利用待定系数法求出二次函数解析式，再代入计算即可得解． 【详解】解：将，，代入二次函数得， 解得：， ∴二次函数的解析式为， 当时，， 故选：B． 2．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，由给定点的坐标，利用待定系数法，即可求出这个二次函数的表达式． 【详解】解：将和代入得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故选：C． 3．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，根据当a取任何实数时，点P都在抛物线上可求解析式为，代入点Q即可得，即可求解． 【详解】解：∵点P都在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∵点Q在抛物线上， ∴， ∴， 故选B． 4．某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同是解题关键．根据顶点坐标设函数解析式为，再根据抛物线的形状和开口方向相同，确定的值，即可得到答案． 【详解】解：某抛物线的顶点坐标是， 设它的函数解析式为， 它的形状和开口方向与抛物线相同， ， 它的函数解析式为， 故选：C． 5．如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用．根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同， ， 则， 故选：A． 6．已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（   ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D．该抛物线一定经过点 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知该抛物线的对称轴是：直线，当时，y随x的增大而增大，再利用待定系数法求得函数解析，从而可得到答案，． 【详解】解：∵抛物线过点，， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故B错误； ∵由表格可知：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，C错误； ∵将，，，代入得， ，解得：， ∴， 当时，， ∴该抛物线一定经过点，故D正确． 故选：D． 7．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．利用待定系数法求得二次函数的解析式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，点和点， ∴， 解得， 故选：D． 8．根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确列出方程组求解是关键． 将点，，代入解析式解方程组即可确定答案． 【详解】解：将点，，代入， 得， 解得， ， 故选：B． 9．如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质．作轴，于，于，证明得到，，设，可得方程组，解方程组得到，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：作轴，于，于，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设， ∵点的坐标分别是， ∴， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 10．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 11．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式， 根据二次函数的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把代入解析式即可得出a的值，进而可得出函数的解析式． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为：， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 故答案为：． 12．如图，已知抛物线与直线相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象下方时，自变量x的取值范围．根据图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与直线交于、两点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或， 故答案为：或． 13．将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的翻折问题．先求出原抛物线的顶点坐标为，可得沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线的顶点坐标为， ∴沿x轴翻折所得抛物线表达式为． 故答案为：. 14．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 15．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，将点的坐标代入函数的解析式中，即可求得b的值． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得：， 故答案为：． 16．已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式．根据抛物线的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为，即． 故答案为：． 17．写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点，这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查构造二次函数．根据开口向上，得到，与y 轴交于点，得到，进行构造即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的开口向下，与y 轴交于点， ∴，， ∴二次函数可以为：； 故答案为：（答案不唯一） 18．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键．首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，只有经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大，然后用待定系数法求出函数解析式，求出当时的函数值即可． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图，经过A、D、C三点的抛物线，当时，y的值最大， 把代入，得， 解得， ∴经过A、D、C三点的抛物线的解析式为， 当时，， 故的最大值等于2， 故答案为：2． 19．已知二次函数的图像经过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式．把点代入二次函数即可求出这个函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， ∴， ， 故此二次函数的解析式为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出平移后得到抛物线，得其顶点坐标是．待定系数法求出直线的函数表达式是．代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴．       ∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，       ∴二次函数的表达式是； （2）解：抛物线可化为．       ∵抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上， ∴平移后得到抛物线，其顶点坐标是． 设直线的函数表达式， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的函数表达式是．       ∴， ∴． 21．已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式及顶点坐标． 【答案】，顶点坐标为 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的顶点坐标的计算，掌握待定系数法，顶点坐标的计算方法是解题的关键． 将点代入抛物线可得，求出二次函数解析式，根据二次函数的对称轴可得顶点坐标，由此即可求解． 【详解】解：将点代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式是，       ∵抛物线的对称轴是， ∴将代入，得， ∴抛物线的顶点坐标为． 22．已知：二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为直线 (3)当时，随的增大而减小 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值即可； （2）一般式转化为顶点式，即可得出结果； （3）根据二次函数的增减性进行作答即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线； ∴当时，随的增大而减小． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线第一象限上一动点，求点运动到什么位置时四边形的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由可求出的长，进而可求得点坐标，设二次函数解析式为，将、、三点坐标代入，建立三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）过点作轴于点，设点坐标为（），利用各点坐标可分别求出、、、、的长，根据及三角形的面积公式，即可将四边形的面积用表示出来，将该二次函数化成顶点式，即可求得四边形面积的最大值以及此时的点坐标． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 设二次函数解析式为， 二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点， 将上述三点坐标代入，可得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点， 点为抛物线第一象限上一动点， 设点坐标为（）， ， ， ， ， ， ， ， 函数图象开口向下， 当时，取得其最大值，最大值为， ， ， 答：点运动到时四边形的面积最大，最大面积为． 【点睛】本题主要考查了已知两点坐标求两点距离，已知正切值求边长，等式的性质，待定系数法求二次函数解析式，解三元一次方程组，三角形的面积公式，整式的混合运算，将二次函数化成顶点式，二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，代数式求值等知识点，利用待定系数法正确求解二次函数解析式是解题的关键． 24．二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征以及利用配方法将一般式化为顶点式． （1）根据二次函数的对称轴是直线即可求解； （2）①将代入，即可求出此时二次函数的表达式； ②利用配方法即可把化为的形式，再根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线，即直线， 二次函数的对称轴是直线； （2）解：①二次函数的图象经过点， ∴， ∴， 此时二次函数的表达式为； ②∵， 顶点坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 用待定系数法确定二次函数表达式 课程标准 学习目标 1理解待定系数法的原理,明确其在确定二次函数表达式中的应用流程。 2能熟练运用待定系数法,根据已知条件准确确定二次函数的表达式。 3体会待定系数法在解决二次函数相关问题中的重要性，培养数学建模与求解能力。 1.掌握待定系数法的概念及基本步骤，了解其适用情况。 2.会根据给定的点坐标等条件，运用待定系数法求出二次函数表达式，提升运算与解题能力。 3.感受待定系数法的巧妙之处，增强运用数学方法解决问题的信心和兴趣。 知识点01 二次函数解析式的三种形式 1.一般式:(a、b、c为常数，且 a≠0); 2.顶点式:(a、h、k为常数，且 a≠0); 3.交点式:(为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0) 【即学即练1】 基础知识考查： （1）一次函数表达式，当k>0，b>0时，图象经过象限；当k>0，b<0时，图象经过象限；当k<0，b>0时，图象经过象限；当k<0，b<0时，图象经过象限．特别当b=0时，图象经过，称为函数． （2）反比例函数三种表达方式分别为：、、反比例函数的图象称为，当k>0时，图象在和象限，y随x的增大而；当k<0时，图象在和象限，y随x的增大而． （3）特殊三角函数值： 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA （4）二次函数表达式： ①一般式：； ②顶点式：；；； ． ③交点式（两点式）：； ④对称轴公式：顶点坐标公式：． ⑤二次函数图象称为，当a>0时，图象开口向；当a<0时，图象开口向．c>0时，图象和轴正半轴相交，c<0时，图象和轴负半轴相交． 知识点02 待定系数法求二次函数表达式 在求含有待定系数的二次函数的表达式时，可以通过题中条件得到方程(组)，解出这些待定系数，从而得到函数表达式 1、二次函数一般式(a≠0)中若有 待定系数，就需要已知一个 得到一个方程求解;若有两个待定系数,就需要已知两个条件得到两个方程,联立得到二元一次方程组求解;若有三个待定系数就需要已知三个条件，组成一个三元一次方程组求解. 2.当已知抛物线的顶点坐标(h，k)或 或最值等有关条件时，通常设函数表达式为 3.当已知抛物线与x轴交点坐标时，通常设函数表达式为，其中为抛物线与x轴交点的横坐标. 【即学即练1】 已知二次函数经过和． (1)求该二次函数的表达式和对称轴． (2)当时，求该二次函数的最大值和最小值． 题型01 二次函数的一般式 【典例1】抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣22），（0，﹣8），（2，8）三点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）把该表达式写成顶点式，并写出顶点坐标． 【变式1】已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）． （1）求此函数解析式； （2）求出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积． 【变式2】如图，已知抛物线y＝x2﹣mx+n过点A与B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）．点D在抛物线上，且与点C关于对称轴l对称． （1）求该抛物线的函数关系式和对称轴； （2）求△BCD的面积． 题型02 二次函数的顶点式 【典例1】一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，3），则抛物线对应的函数解析式为（　　） A．y＝x2﹣2x+4 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x+1 D．y＝x2﹣2x+1 【变式2】已知抛物线y＝a（x﹣h）2，当x＝2时，有最大值，且抛物线过点（1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）当y随x的增大而增大时，求x的取值范围； （3）求抛物线与y轴的交点坐标． 题型03 二次函数的交点式 【典例1】求下列二次函数的表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点为（2，0），且经过点（﹣2，4）； （2）已知二次函数的图象经过点（3，0），（﹣2，0），（0，6）． 【变式1】如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标． 题型04 待定系数法求二次函数表达式 【典例1】如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、两点，二次函数的图象经过点A，． (1)求二次函数的表达式； (2)直线与二次函数图象的对称轴交于点，求点坐标． 【变式1】已知一个二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式． 【变式2】如图，二次函数图象过原点，且，，求该二次函数的解析式． 1．若二次函数的与的部分对应值如右表，则当时，的值为（   ） … … … 0 3 4 3 … A． B． C．0 D．3 2．已知二次函数的图象经过点和，这个二次函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 3．当a取任何实数时，点P都在抛物线上，若点Q在抛物线上，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 4．某抛物线的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标是，那么它的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 5．如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．已知抛物线上部分点的横坐标x和纵坐标y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 5 … y … 根据上表，下列判断正确的是（   ） A．该抛物线开口向上 B．该抛物线的对称轴是直线 C．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的 D．该抛物线一定经过点 7．若二次函数的图象过点，点和点，则（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．根据下表中自变量x与函数值y的对应关系，可判断二次函数的解析式为（　　） x … 0 1 2 … y … -5 5 … A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点的坐标分别是，点在抛物线的图象上，则的值是（   ） A． B． C． D． 10．为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 11．已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，则此二次函数的解析式为 ． 12．如图，已知抛物线与直线相交于、两点，则关于x的不等式的解集是 ． 13．将二次函数的图象，沿x轴翻折后得到的新抛物线的解析式为 ． 14．如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为 ． 15．已知二次函数的图象过点，则的值为 ． 16．已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 ． 17．写出一个二次函数，使其满足：开口向下且过点，这个二次函数的解析式可以是 ．（写出一个即可） 18．在“探索二次函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于 ． 19．已知二次函数的图像经过点，求这个二次函数的解析式． 20．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴正半轴上，且，二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式． (2)将该抛物线先向右平移个单位，再向上平移个单位，此时顶点恰好落在线段上，求与的关系． 22．已知：二次函数的图象经过点． (1)求的值； (2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (3)当取何值时，随的增大而减小． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D，O为坐标原点，． (1)求二次函数的表达式； (2)若点为抛物线第一象限上一动点，求点运动到什么位置时四边形的面积最大，最大面积为多少？ 24．二次函数的图象经过点A． (1)求二次函数的对称轴； (2)当时． ①求此时二次函数的表达式； ②把化为的形式，并写出顶点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$