第1章 二次函数 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

二次函数单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x＝2 2．下列函数是二次函数的是（    ） A．y= B．y=2x-3 C．y=3x2+ D．y=8x2+1 3．已知二次函数y=（x+1）2+（x﹣3）2  ， 当函数y取最小值时，x的值是（     ） A．x=﹣1 B．x=3 C．x=2 D．x=1 4．对于二次函数的图像，给出下列结论:①开口向上;②对称轴是直线;③顶点坐标是;④与轴有两个交点.其中正确的结论是( ) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－ 6．二次函数y＝(x－2)2＋3是由二次函数y＝x2怎样平移得到的(    ) A．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 7．若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（     ）． A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2 8．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是(      ) A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m 9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，以下结论正确的是（     ） A．abc＞0 B．方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6 C．a-b+c＜0 D．当y=4时，x的取值只能为0 10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．抛物线y=(x-1)(x+5)的对称轴是直线 ． 12．若是二次函数，则的值是 ． 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值，为4，当x＝0时，y＝－14，则此函数关系式是 ． 14．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额． 15．将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m﹣n= ． 16．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移4个单位后所得到的抛物线解析式为 17．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 18．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． 20．（6分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 21．（8分）已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴； （2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积． 22．（8分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米． （1）求该抛物线的解析式； （2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？ 23．（9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 24．（9分）对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x1和x2，它们的对应函数值分别为y1和y2． 若x2＞x1时，有y2＞y1，则称该函数单调递增；若x2＞x1时，有y2＜y1，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x2，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减． （1）二次函数：y=（x+1）2+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？ （2）证明：函数：y=x﹣在x＞1的函数范围内，该函数单调递增． （3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数y=g+h，则比例系数k1和k2满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？ 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式． （2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 26.（10分）已知：把和按如图（1）摆放点与点重合，点、、在同一条直线上．，，，，． 如图（2），从图（1）的位置出发，以 的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以 的速度沿向点匀速移动．当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为． 解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为 ，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． (3)是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．y轴 D．直线x＝2 【答案】C 【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，其对称轴为x=h，根据此知识点即可解此题． 【详解】解：已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴： ∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)， ∴对称轴是直线x＝0(y轴)． 故选C． 2．下列函数是二次函数的是（    ） A．y= B．y=2x-3 C．y=3x2+ D．y=8x2+1 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义即可解题. 【详解】A. y=为反比例函数,     B. y=2x-3为一次函数, C. y=3x2+为反比例函数    D. y=8x2+1为二次函数, 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数的定义,属于简单题,理解二次函数的定义是解题关键. 3．已知二次函数y=（x+1）2+（x﹣3）2  ， 当函数y取最小值时，x的值是（     ） A．x=﹣1 B．x=3 C．x=2 D．x=1 【答案】D 【分析】将二次函数整理成一般式,根据开口方向,在对称轴处取得最小值,求出对称轴即可解题. 【详解】y=x2+2x+1+x2-6x+9=2x2-4x+10, ∵二次函数开口向上, ∴函数有最小值, 当x=-=1时,y有最小值=8 故选D. 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质,属于简单题,求出二次函数的对称轴是解题关键. 4．对于二次函数的图像，给出下列结论:①开口向上;②对称轴是直线;③顶点坐标是;④与轴有两个交点.其中正确的结论是( ) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【详解】解：∵a=1＞0 ∴开口向上，①正确； 对称轴为x=3，顶点坐标为：（3，-4），故②③错误； ∵开口向上，顶点在第四象限， 所以与x轴有两个交点.故④正确. 故选D. 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数y的对应值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列说法正确的是(　　) A．抛物线的开口向下 B．当x＞－3时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是－2 D．抛物线的对称轴是直线x＝－ 【答案】D 【分析】先根据表格求出抛物线的解析式，之后再根据二次函数的性质一一判定即可． 【详解】解：将点(−4，0)、(−1，0)、(0，4)代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x ²+5x+4． A． a=1>0，抛物线开口向上，A不正确； B． −=−，当x⩾−时，y随x的增大而增大，B不正确； C． y=x²+5x+4=(x+) ²−，二次函数的最小值是−，C不正确； D． −=−，抛物线的对称轴是x=−，D正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线解析式是解题的关键． 6．二次函数y＝(x－2)2＋3是由二次函数y＝x2怎样平移得到的(    ) A．向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B．向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C．向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】A 【详解】试题解析：二次函数 是由二次函数经过向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到. 故选A. 点睛：二次函数平移规律：上加下减，左加右减. 7．若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（     ）． A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4≤x≤2 C．x≤﹣4或x≥2 D．﹣4＜x＜2 【答案】D 【分析】由抛物线与x轴的交点及对称轴求出另一个交点坐标，根据抛物线开口向下，根据图象求出使函数值y＞0成立的x的取值范围即可． 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1， ∴二次函数的图象与x轴另一个交点为（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， 则使函数值y＞0成立的x的取值范围是﹣4＜x＜2． 故选D． 8．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是(      ) A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同 B．点火后24 s火箭落于地面 C．点火后10 s的升空高度为139 m D．火箭升空的最大高度为145 m 【答案】D 【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项． 【详解】A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误； B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误； C、当t=10时h=141m，此选项错误； D、由h=－t2+24t+1=－（t－12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 9．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，以下结论正确的是（     ） A．abc＞0 B．方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6 C．a-b+c＜0 D．当y=4时，x的取值只能为0 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐个分析判断即可． 【详解】A、根据图象可得：a＜0，c＞0，对称轴在y轴的右边， ∴b＞0， ∴abc＜0，故选项错误； B、∵抛物线与x轴的交点的横坐标为-2和6， ∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根分别为-2和6，故选项正确； C、∵当x=-1时，y=a-b+c，而根据图象知道当x=-1时函数值y＞0， ∴a-b+c＞0，故选项错误； D．当y=4时，观察图象可知对应的x的取值有两个，故选项错误． 故选∶B． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可． 【详解】解∶∵对称轴 ∴，2a+b=0；故②正确； ∴a、b异号， ∴ab＜0，故①正确； ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误； 根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确． 如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．抛物线y=(x-1)(x+5)的对称轴是直线 ． 【答案】x=-2 【分析】令y=0求出抛物线与x轴的两交点坐标，找出两交点的中点横坐标，即可确定出抛物线对称轴． 【详解】令y=0，得到x=1或-5， ∵=-2， 则抛物线的对称轴为直线x=-2． 故答案为x=-2． 【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 12．若是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取得最大值，为4，当x＝0时，y＝－14，则此函数关系式是 ． 【答案】y＝－2(x－3)2＋4 【分析】已知函数当x=3时，函数的最大值为4，则二次函数图象的顶点坐标是（3，4）， 利用顶点式求求抛物线的解析式，设解析式是：y=a（x-3）2+4，再把x=0，y=-14代入解析式求a，即可． 【详解】解：根据二次函数图象顶点坐标是（3，4）， 设解析式y=a（x-3）2+4， 把x=0，y=-14代入，得：9a+4=-14，解得a=-2， 所以函数关系式y=-2（x-3）2+4． 【点睛】本题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式．灵活选择适当的形式成为解答本题的关键． 14．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是 人时，这个旅行社可以获得最大的营业额． 【答案】55 【分析】直接根据题意表示出营业额，进而利用配方法求出答案． 【详解】设一个旅行团的人数是x人，设营业额为y元， 根据题意可得：y＝x[800−10（x−30）]＝−10x2＋1100x＝−10（x2−110x）＝−10（x−55）2＋30250， 故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额． 故答案为55． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 15．将y=2x2﹣12x﹣12变为y=a（x﹣m）2+n的形式，则m﹣n= ． 【答案】33． 【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；然后求得m、n的值；最后将其代入所求的代数式求值． 【详解】由y=2x2-12x-12，得 y=2（x-3）2-30， ∴m=3，n=-30； ∴m-n=33． 故答案是：33． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）． 16．将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移4个单位后所得到的抛物线解析式为 【答案】y=2（x﹣3）2﹣4 【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可． 【详解】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0）， 向右平移3个单位，再向下平移4个单位后的图象的顶点坐标为（3，-4）， 所以，所得图象的解析式为y=2（x-3）2-4， 故答案为y=2（x-3）2-4． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 17．已知二次函数的图象如图所示，若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】分析：先移项，整理为一元二次方程，让根的判别式大于0求值即可． 详解：由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，5）， ∴=5，即b2-4ac=-20a， ∵ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根， ∴方程ax2+bx+c-k=0的判别式△＞0，即b2-4a（c-k）=b2-4ac+4ak=-20a+4ak=-4a（5-k）＞0 ∵抛物线开口向下 ∴a＜0 ∴5-k＞0 ∴k＜5． 故答案为k＜5． 点睛：本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点． 18．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可． 【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N， ∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0）， ∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3． ∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h， 将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣． ∴点P的坐标是（－3，﹣）． 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积， ∴S=， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y（m2）与它与墙平行的边的长x（m）之间的函数． 【答案】y=﹣0.5x2+25x. 【分析】根据已知条件，用x表示出矩形的宽，再利用矩形的面积公式即可求解． 【详解】设与墙平行的边的长为x（m），则垂直于墙的边长为： =（25﹣0.5x）m，   根据题意得出：y=x（25﹣0.5x）=﹣0.5x2+25x. 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意表示出矩形的宽是解决问题的关键． 20．（6分）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？ 【答案】销售单价为35元时，才能在半月内获得最大利润. 【详解】本题考查了二次函数的应用. 设销售单价为x元，销售利润为y元．求得方程，根据最值公式求得． 解：设销售单价为x元，销售利润为y元． 根据题意，得y=（x-20）[400-20（x-30）]=（x-20）（1000-20x）=-20x2+1400x-20000 当x==35时，才能在半月内获得最大利润 21．（8分）已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． （1）求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴； （2）设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积． 【答案】（1）A的坐标是(－1,0)，B的坐标是(3,0)；x=1;   （2）16. 【分析】(1)令y＝0解方程即可求得A和B的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；(2)首先求得D的坐标，然后利用面积公式即可求解. 【详解】(1)令y＝0，则，解得，则A的坐标是(－1,0)，B的坐标是(3,0)，∴，则对称轴是，顶点C的坐标是(1,4)；(2)由题意，D的坐标是(1,－4)，AB＝3－(－1)＝4，CD＝4－(－4)＝8，则四边形ACBD的面积是，故本题⑴，⑵四边形ACBD的面积是16. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标,正确求得A和B的坐标是解决本题的关键. 22．（8分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示，已知OA＝8米，距离O点2米处的棚高BC为米． （1）求该抛物线的解析式； （2）若借助横梁DE（DE∥OA）建一个门，要求门的高度为1.5米，求横梁DE的长度是多少米？ 【答案】（1）y＝﹣x2+x；（2）4． 【分析】由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0），代入，求出a，b即可求解. 当y＝1.5时，代入得出横梁DE与抛物线的两个交点，再代入即可求解. 【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0）， 故， 解得：， 故抛物线解析式为：y＝x2+x； （2）由题意可得：当y＝1.5时， 1.5＝x2+x， 解得：x1＝4+2，x2＝4﹣2， 故DE＝x1﹣x2＝4+2﹣（4﹣2） ＝4． 【点睛】此题主要考查二次函数的基本性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要学会设合适的函数解析式. 23．（9分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）. （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）求△PBQ的面积的最大值. 【答案】(1) y=－x2＋9x（0<x≤4） (2)20 【分析】（1）分别表示出PB、BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解． （2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：（1）∵，PB=AB－AP=18－2x，BQ=x， ∴y=（18－2x）x， 即y=－x2＋9x（0<x≤4）． （2）由（1）知：y=－x2＋9x=． ∵当0<x≤时，y随x的增大而增大， 而0<x≤4， ∴当x=4时，． ∴△PBQ的最大面积是20cm2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出PB、BQ的长度是解题的关键． 24．（9分）对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x1和x2，它们的对应函数值分别为y1和y2． 若x2＞x1时，有y2＞y1，则称该函数单调递增；若x2＞x1时，有y2＜y1，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x2，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减． （1）二次函数：y=（x+1）2+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？ （2）证明：函数：y=x﹣在x＞1的函数范围内，该函数单调递增． （3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k1x+b1和h=k2x+b2，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数y=g+h，则比例系数k1和k2满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？ 【答案】（1）x≤-1时，单调递减（2）证明见解析（3）一次函数y=g+h，则比例系数k1和k2满足k1＞0，k2＜0，k1+k2＞0时，函数y在实数范围内单调递增 【分析】（1）根据a＞0，二次函数的自变量在对称轴左侧单调递减，可得答案； （2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论； （3）根据一次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）y=（x+1）2+2自变量在x≤﹣1范围内，该函数单调递减； （2）证明：任取 x2＞x1  ， 则=（x2﹣x1）+（） =（x2﹣x1）+（） 因为x2＞x1  ， 所以y2＞y1 ∴y=x﹣在x＞1的函数范围内，该函数单调递增； （3）、g=k1x+b1和h=k2x+b2  ， 且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减， ∴k1＞0，k2＜0， y=g+h 即y=（k1x+b1）+（k2x+b2）=（k1+k2）x+（b1+b2） y=（k1+k2）x+（b1+b2）单调递增， ∴k1+k2＞0， 一次函数y=g+h，则比例系数k1和k2满足k1＞0，k2＜0，k1+k2＞0时，函数y在实数范围内单调递增． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，a＞0时，自变量在对称轴的左侧y随x的增大而减小，自变量在对称轴的右侧，y随x的增大而增大． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴． （1）求该抛物线的解析式． （2）若过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）∴直线AB的解析式为：或 （3）（2，1.5）或（2，-1.5）或（2，-6）或（2，6） 【分析】（1）根据图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），可利用交点式求出二次函数解析式； （2）根据直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，得出AC，BC的长，得出B点的坐标，即可利用待定系数法求出一次函数解析式； 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3）， ∴假设二次函数解析式为：y=a（x﹣1）（x﹣3）， 将D（0，3），代入y=a（x﹣1）（x﹣3），得： 3=3a， ∴a=1， ∴抛物线的解析式为：y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3； （2）∵过点A（﹣1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6， ∴AC×BC=6， ∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点， ∴二次函数对称轴为x=2， ∴AC=3， ∴BC=4， ∴B点坐标为：（2，4）或（2，-4）， 一次函数解析式为；y=kx+b， ∴， 解得：， 当点B为（2，-4）时， 解得 ∴ ∴直线AB的解析式为：或 26.（10分）已知：把和按如图（1）摆放点与点重合，点、、在同一条直线上．，，，，． 如图（2），从图（1）的位置出发，以 的速度沿向匀速移动，在移动的同时，点从的顶点出发，以 的速度沿向点匀速移动．当的顶点移动到边上时，停止移动，点也随之停止移动．与相交于点，连接，设移动时间为． 解答下列问题： (1)当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ (2)连接，设四边形的面积为 ，求与之间的函数关系式；是否存在某一时刻，使面积最小？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由． (3)是否存在某一时刻，使、、三点在同一条直线上？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)与之间的函数关系为；当时， (3)当，点、、三点在同一条直线上 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，列式计算即可； （2）作，交于，根据正弦的定义用含的代数式表示，根据三角形的面积公式求出函数关系式，根据二次函数的性质求出的最小值； （3）作，交于，证明，根据相似三角形的性质得到，，证明，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：点在线段的垂直平分线上， ． ，，， ． ． ． 由题意知：，， ． ． 在中，由勾股定理得：． 则． ． 解得：． 答：当时，点在线段的垂直平分线上． （2）过作，交于， ∴．    在和中，， ． 解得： ． ，， ． ∴ ． ∵ ∴当时，． 答：；当 时，四边形的面积最小，最小面积为 ． （3）假设存在某一时刻，使点、、三点在同一条直线上．    过作，交于， ． ， ． ． ． ，． ， ，、、在同一条直线上， ，． ， ． ， 即． 解得：，经检验是原方程的解． 答：当 ，点、、三点在同一条直线上． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、正弦的定义，相似三角形的判定和性质、二次函数的最值的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、二次函数的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$