精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二第一学期中段试题 数学 24.11.16 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 5. 已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（ ） A. 5 B. C. D. 6. 棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在x轴上的截距为1 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 若，则或 D. 若，则 10. 已知圆，圆，直线，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 11. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____． 13. 在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为______． 14. 已知圆上两点满足，则的最小值为______． 四、解答题.本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 在平面直角坐标系中，点，，直线． （1）当点A到直线l的距离最大时，求k的值： （2）在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 17. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 18. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. （1）在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? （2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 19. 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期中段试题 数学 24.11.16 一、单选题.本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将直线转化为斜截式得到直线斜率，再利用斜率公式求得直线的倾斜角即可. 【详解】因为直线可化为，所以， 设直线的倾斜角为，则由得， 因为，所以. 故选：D. 2. 三棱锥中，，点为中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图形，题意，结合空间向量加减法可得答案. 【详解】，又为中点， 故选：C 3. 椭圆的焦距为4，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 4. 如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（ ） A. B. C. D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点 ， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以， 可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 5. 已知原点与点关于直线对称，则在轴上的截距为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线是线段的垂直平分线，利用点斜式方程可求直线，即可求在轴上的截距. 【详解】解：由题可知，直线为线段的垂直平分线， 所以，，则，中点为，则的方程为， 当时，，则在轴上的截距为. 故选：B. 6. 棱长为3的正方体中，点E，F满足，，则点E到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量法求点到直线的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，根据条件可得，，， ，，设向量与的夹角为， ， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 7. 已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点在椭圆内部，整理不等式可得离心率. 【详解】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即， 解得. 故选：A 8. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义，将问题转化为动点到定点和的距离之和的最小值问题，然后求出点A关于的对称点为，结合图形可解. 【详解】因为， 所以，目标式表示动点到定点和的距离之和. 点在直线上， 设点A关于的对称点为， 则，解得， 由对称性可知，， 当三点共线时等号成立， 所以，的最小值为. 故选：C 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线在x轴上的截距为1 B. 直线在y轴上的截距为1 C. 若，则或 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据截距的定义和直线的平行，垂直逐项判断； 【详解】选项A：令，代入直线，解得：，选项正确； 选项B：令，代入直线，解得：，选项错误； 选项C：直线的法向量分别为，，因为，所以直线的法向量也平行，即：，解得：或，当时，重合，舍去，故选项错误； 选项D：，所以直线的法向量也垂直，即，解得：，选项正确； 故选：AD. 10. 已知圆，圆，直线，过点作圆的两条切线，切点分别为．下列说法中，正确的是（ ） A. 圆与圆相交 B. 直线过定点 C. 圆被直线截得的弦长的最小值为 D. 直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由几何法判断两圆的位置关系即可判断A；将化为，由即可求出直线过的定点判断B；当直线与垂直时，弦长最小，由弦长公式求解即可判断C；则直线为过的圆与圆的公共弦，两个方程相减即可判断D. 【详解】，所以圆心，半径， 由圆，圆心，半径， 则两圆心的距离，所以圆与圆内含，故A错误； ， 所以，即， 所以，故，所以直线过定点为，故B正确； 当直线与垂直时，弦长最小，则圆心到直线的距离为：， 所以最小弦长为：，故C正确； 过点作圆的两条切线，切点分别为． 则所在圆的圆心为的中点，半径为， 所以所在圆的方程为：， 则直线为圆与圆的公共弦， 与圆两式相减得： ，故D正确； 故选：BCD 11. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当P在侧面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C. 当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为 D. 若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足平面时，PF长度的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于,根据面平面，可知点到平面的距离不变，结合方形的面积不变，可判断正确；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值范围即可求得；对于，分析点的位置，确定点的轨迹，求出轨迹长度，求和即可；对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据平面，则，从而有， 利用坐标求得，即可求出其范围. 【详解】对于,因为平面平面， 所以当P在侧面上运动时，点到平面的距离不变， 而正方形的面积不变，所以当P在侧面上运动时， 四棱锥的体积不变，故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 设，则， 设与所成角为， 则， ，当时，； 当时, ， 则，综上，. 所以当在线段上运动时，与所成角的取值范围是，故错误； 对于，因为直线与平面所成角为， 若点在平面和平面内， 最大，不成立； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，点的轨迹是； 在平面内，作平面, 因为,所以 因为所以所以 点的轨迹是以为圆心，以为半径的四分之一圆， 所以点的轨迹长度为 所以点的轨迹总长度为故正确； 对于，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，, 则， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 则， 因为平面,所以， 即， 所以， 当时，等号成立，故错误. 故选： 三、填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】方程表示焦点在轴上的椭圆，可以得到不等式，解这个不等式，求出实数的取值范围. 【详解】解：∵方程表示焦点在轴上的椭圆， ∴， ∴或． 故答案为或． 【点睛】本题考查了焦点在横轴上椭圆方程的识别，考查了解不等式的能力. 13. 在长方体中，已知异面直线与AD，与AB所成角的大小分别为60°和45°，则直线和平面所成的角的余弦值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由题意求出长方体的棱，的长，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】设，，，则， 由于，所以异面直线与AD所成角为，而，从而， 由于，所以异面直线与AB所成角为，从而， 所以，． 如图，以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线和平面所成的角的正弦值为， 从而直线和平面所成的角的余弦值为． 故答案为： 14. 已知圆上两点满足，则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】设弦的中点为,由题意推出动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，再将所求式理解为点到直线的距离的5倍与点到直线的距离的5倍的和，结合图形，证明当且与小圆相切时得到的的5倍即所求式的最小值. 【详解】设弦的中点为，则 因点在圆上，则，， 于是 ，即动点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆. 设， 则可将其理解为点到直线的距离的5倍， 设， 可将其理解为点到直线的距离的5倍, 故要求的最小值，可先求的最小值. 如图，，且的距离为4，过点作，交小圆于点， 过点作小圆的切线，交大圆于点,分别交直线于点， 在小圆上任取点，过点作小圆的切线交大圆于点， 分别过点作于点，作于点 过点作的平行线与过点与垂直的直线交于点. 则,易得, ， 下面说明图中的即的最小值，最小值为， 此时的最小值为5，即的最小值为5. 理由：因，而, 故，即为的最小值. 故答案为：5. 四、解答题.本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 在平面直角坐标系中，点，，直线． （1）当点A到直线l的距离最大时，求k的值： （2）在（1）的条件下，若过点的直线与直线和轴正半轴分别交于点M，N，其中M在第一象限，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当直线时，点到直线的距离最大，再用垂直直线斜率乘积结论即可； （2）分情况讨论，当直线轴时和当直线的斜率存在时，求出的面积，结合二次函数知识计算最小值即可. 【小问1详解】 当直线时，点到直线的距离最大， 因为直线OA的斜率为，所以． 【小问2详解】 当直线轴时，易得，，此时的面积为． 当直线的斜率存在时，设，，，则， 联立解得，． 所以的面积； 当时，等号成立． 综上，的面积的最小值为24，此时直线． 16. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值； （3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，所以，， 又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，且，，平面， 所以平面， 所以平面平面. （2） （3）不能，理由：由（1）得，，，， 设，则，可得， 所以， 由（2）知是平面的一个法向量， 若平面，可得，则，该方程无解， 所以直线不能与平面垂直. 【解析】 【分析】（1）建立合适空间直角坐标系，利用向量先证明平面，然后可证明平面平面； （2）分别求出平面与平面的一个法向量，然后计算出法向量夹角的余弦值，结合图形可求二面角的平面角的余弦值； （3）由表示出点坐标即可表示出，再根据位置关系确定出与法向量的关系，确定方程解的情况可作出判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知是平面的一个法向量，，， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 令，则，，所以， 所以， 又由图可知二面角的平面角为锐角， 所以二面角的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 略 17. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （3）若为圆上异于的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）或． （3）证明:设，则， 直线方程是，令，得， 直线方程是，令得， 所以 ． 即为定值． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在于不存在讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； （3）分别由直线的方程得到点的坐标，代入计算，即可证明. 【小问1详解】 根据题意，，． 设，，则，， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． 【小问2详解】 根据垂径定理可得． ①当斜率不存在时，直线的方程为：， 直线截点轨迹所得弦长弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为，解得． 直线的方程为或． 【小问3详解】 略 18. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. （1）在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? （2）求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【答案】（1）游客不在该摄像头监控范围内 （2）观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米 【解析】 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【小问1详解】 以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. 【小问2详解】 由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 19. 已知椭圆的左焦点为，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）已知，点P为椭圆C上一点． （ⅰ）若点P在第一象限内，延长线交y轴于点Q，与的面积之比为1∶2，求点P坐标； （ⅱ）设直线与椭圆C的另一个交点为点B，直线与椭圆C的另一个交点为点D．设，求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）设，，直线的方程为， 其中，则， 联立，可得， 根据韦达定理可知，因为， 所以，所以， ， 设直线的方程为，其中， 同理可得， 所以 ， 所以为定值. 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的几何性质，列方程组求解即可； (2) (i)设其方程为，根据已知条件可知，利用已知条件可推出点是的中点，可表达出点坐标，将其带入到椭圆方程中，求出，即可得到点； (ii) 设，分别联立直线，和椭圆的方程，结合韦达定理与平面向量的坐标运算，化简即可得解. 【小问1详解】 由题意知，，则①， 又因点在上， 所以②，联立①、②式可得， 解之可得，，所以椭圆方程为. 【小问2详解】 (i)由题意知，直线的斜率一定存在， 设其方程为，根据题意可知，如图所示， 令，则，即点坐标为， 设点到直线的距离为， 又因是的中点，所以点到直线为， 又因与的面积之比为1∶2， 所以，所以， 即点是的中点，所以可得点坐标为， 又因点在椭圆上，所以， 解之可得，所以点坐标为； (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $