专题06 函数与方程的综合应用（4大基础题4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题06 函数与方程的综合应用 判断零点所在的区间 1．（23-24高一上·山东济宁·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由递增，递增，则递增，又递增， ∴在定义域上递增， 又，， ∴零点所在区间是. 故选：B. 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由为幂函数，所以，得，所以， 对A：当时，，，故A错误； 对B：，，故B错误； 对C：，，故C正确； 对D：，，故D错误； 故选：C. 3．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数为幂函数，所以，得， 所以，， 因为，，， ，且在上为增函数， 所以在上有唯一零点. 故选：C 4．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数， 易得其在定义域上单调递增， 故函数至多有一个零点， 且，， 故函数的零点在区间内， 故选：B. 5．（22-23高一上·山东烟台·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【解析】依题意，函数的定义域为， 而在为单调递减函数， 在为单调递减函数， 因为，所以，即 所以， ， 所以， 所以由零点存在性定理可知， 函数在区间有零点. 故选：C. 6．（22-23高一上·山东临沂·期末）设的零点为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为函数的零点所在的区间是， 再根据 ，即 由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为，所以 故选:B 7．（22-23高一上·山东临沂·期末），表示不超过的最大整数，例如，，.设为函数的零点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由函数的单调性的性质可知该函数是正实数集上的增函数， 而， 所以函数存在唯一零点，即， 所以， 故选：A 8．（22-23高一上·山东临沂·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于在其定义域上都为增函数， 故函数在上为增函数， 又， 故在内有唯一零点， 故选：B 根据零点的个数求参数 9．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数，作出函数的图象如图所示， 因为方程有三个不同的实数根，所以函数与的图象有三个不同的交点，由图可知：实数的取值范围是， 故答案为：. 10．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若关于的方程有四个根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由，得 令，画出图像 由图可知，当时，方程有四解， 即方程有四个根. 故答案为: 11．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知 (1)写出函数的单调区间； (2)当函数有两个零点时，求的取值范围； (3)求的解析式. 【解析】（1）函数的单调递增区间为，； （2）当函数有两个零点时，即有两根. 由在区间，递增， 所以，（）有一解，即； ，（）有一解，即； 综上，所以当函数有两个零点时； （3）时，，又， 所以，即. 12．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知，若方程有个不等实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，由可得 作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点. 故实数的取值范围是. 故选：D. 13．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出的图象和的图象，如下： 由题意得，，且， 即，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 14．（多选题）（22-23高一上·山东济南·期末）若函数有且仅有3个零点，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】AC 【解析】令，得， 令，则， 因为有且仅有3个零点，由的图象可知， 必有1个值等于2或者等于，另一个值大于2或者小于， 当时， 由得，得； 此时由，得或， 由得，由，得， 所以有且仅有3个零点，符合题意； 当时，由得，得， 此时由得或， 由，得，由得， 所以有且仅有3个零点，符合题意； 综上所述：或. 故选：AC 15．（多选题）（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【解析】因为，画出函数图象如下所示， 函数的有两个零点，即方程有两个实数根， 即方程有两个实数根， 即函数与函数有两个交点， 因为，， 所以由函数图象可得或或， 故选：AD. 16．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知定义域为R的奇函数，当时，，下列说法中错误的是（    ） A．当时，恒有 B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为 C．存在实数k，使函数有5个不相等的零点 D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则 【答案】ACD 【解析】选项A，是奇函数，时，，在上递减，且， 是奇函数，则，时，，在上递减，但，因此在上不是增函数，A错； 选项B，当时，，，因此，当时，是减函数，由得，因此，综上有，B正确； 选项C，易知是的一个零点， 由于，过点时，，此时由得，，，即直线与在点处相切，因此时，直线与的图象只有一交点，在时，直线与只有一个交点， 从而时，直线与的图象有三个交点，而时，，因此，直线与的图象无交点， 所以直线与的图象不可能是5个交点，即函数不可能有5个不相等的零点，C错； 选项D，由上讨论知的解为和， 因此若关于x的方程所有实数根之和为0，由是奇函数知若，则的解是和，符合题意， 但（由此讨论知只有一解），即，即时，关于x的方程所有实数根之和也为0，D错． 故选：ACD． 17．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由在上单调递减，得， 又由且在上单调递减， 得，解得，所以， 作出函数且在上的大致图象， 由图象可知，在上，有且仅有一个解， 故在上，同样有且仅有一个解， 当，即时，联立，即， 则，解得：， 当时，即，由图象可知，符合条件． 综上：． 故选：C． 18．（22-23高一上·山东日照·期末）设函数. (1)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)设，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，若不等式在，上恒成立； 当时，不等式恒成立，则； 当，则在，上恒成立， 即在，上恒成立， 因为在，上单调增，，， 则，解得，； 则实数的取值范围为，； （2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解； 设 ①当时，则，，，且在，上单调递增， 所以，（2）， 则当时，原方程有解，则； ②当时，， 则在上单调增，在上单调减，在上单调增； 所以，，， 当，即时，， 则当时，原方程有解，则； 当，即时，， 则当时，原方程有解，则； 综上，当时，实数的取值范围为，； 当时，实数的取值范围为. 19．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由题设，，即， ∴，可得，则. （2）由题设，，则， ∴，且，整理得， 令，则有且仅有一个零点，，， 当时，， 此时，且开口向上， ∴在上有且仅有一个零点； 当时，，此时，且开口向下且对称轴， ∴，即时，仅当，可得符合条件； ，即时，在上无零点. 综上，. 20．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意的图象过点， ∴，解得，   故函数的解析式为． （2）∵， ∴，   令，∴， 函数在上有一个零点， 等价于在上有一个零点， 当时，，， 该函数有两个零点，符合题意； 当时，由 ， 则或，解得或， 故实数m的取值范围为或． 零点比大小 21．（23-24高一上·山东威海·期末）设函数，（，，），若与的图象有且只有两个交点，且，则（    ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 【答案】D 【解析】由题意，交点的横坐标为方程的两个非零实根， 当时，， 所以， ， 即，故选项A、B错误； 当时，， 所以， ， ，故选项C错误，选项D正确； 故选：D 22．（22-23高一上·山东淄博·期末）设函数，，若实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是单调递增函数，且， 又 因为在是单调递增函数，且，， 又 ， ， 故选：B． 23．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数在上单调递减，函数在上都单调递增， 因此函数在上都单调递减， 在上最多一个零点，，即有， ，则，而，即， 所以. 故选：A 24．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知（其中a为常数，且）是偶函数. (1)求实数m的值； (2)证明方程有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为，试比较与的大小. 【解析】（1）因为是偶函数， 所以对于任意的实数，有， 所以对任意的实数恒成立，即恒成立， 所以，即， （2）设， 因为当时，， 所以在区间上无实数根， 当时，因为，， 所以，使得， 又在上单调递减， 所以存在唯一实数根； 因为，所以， 又，所以， 所以. 所以 零点个数的判断与证明 25．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）设函数，则（    ） A．当时，的值域为 B．当的单调递增区间为时， C．当时，函数有2个零点 D．当时，关于x的方程有3个实数解 【答案】ABD 【解析】A.当时，若，， 若，，于是的值域为，故A正确； B.的单调递增区间是和，因为的单调递增区间是，所以，即，故B正确； C.当时，由，得， 当时，令，得，此方程有唯一解，得，即，故C错误； D.当时，如图所示，的图象与直线有3个交点，D正确； 故选：ABD. 26．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，． (1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明； (2)若，解关于的不等式； (3)证明：恰有两个零点m，，且． 【解析】（1）由题知，， 因为， 所以在上和上单调递增，理由如下： ①，，且， 由． 因，则，，又， 故，即在上单调递增， ②，，，同理可得：，即在上单调递增， 所以在上和上单调递增，即函数的单调增区间为，，无减区间. （2） 由（1）知：在上和上单调递增，又因为． 如图，要使，只需使或，故不等式的解集为：． （3）由（1）知：在上和上单调递增， 又因为，且， 取满足，则， 所以在上有唯一零点， 又因为，且，取满足， 则， 所以在上有唯一零点，则， 又因为， 因在上单调递增，且，，则必有，即， 故． 27．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数（t，，且）为偶函数． (1)求t和k的值； (2)讨论函数的零点个数． 【解析】（1）因为为偶函数，所以， 即， 化简得， 即， 化简得， 当时，，即， 则； （2）由（1）知：，即， 当时，令，，， 当且仅当，即时，等号成立， 人去，且， 则， 因为，所以； 又因为，所以， 则，即， 所以在上单调递增， 根据复合函数同增异减性质可知在单调递增， 因为为偶函数，所以在单调递减，则. 当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 28．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知函数，对且，恒有 (1)求和的单调区间； (2)证明：的图象与的图象只有一个交点. 【解析】（1）对且即时，，时，， ，则时，，时，， 设，， 当时，，，所以在上是增函数， 当时，，则，所以在上是减函数， 又，设，则，则， 所以在上是减函数，同理在上是增函数， 综上，的增区间是，减区间是，的增区间是，减区间是； （2）设，， 由（1）知时，递减，递增， 设，，即， 所以在上是减函数， 又， ， 所以存在唯一的，使得， 时，由（1）知，即，， 所以， 所以在上无零点， 综上，只有一个零点，即与的图象只有一个交点． 函数与零点的综合应用 29．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，作出函数的图象如图： 令，则函数，即，即， 即，由题意函数所有零点的乘积为1， 可知的所有解的乘积为1， 而的解可看作函数的图象与直线的交点的横坐标； 结合的图象可知， 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，符合题意； 当时，函数的图象与直线有3个交点， 其中最左侧交点的横坐标小于等于0，则的所有解的乘积小于等于0，不合题意； 当时，函数的图象与直线有2个交点， 不妨设交点横坐标为，则， 且，即，符合题意； 综合以上可知实数的取值范围为， 故选：B 30．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知是方程的零点（其中为自然对数的底数），下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数在R上单调递增，而，， 而是方程的零点，则，即，A正确； 由得：，整理得：，B正确； 因，，则，C不正确； 因，则有，D正确. 故选：C 31．（22-23高一上·山东东营·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】， 当时，方程有个不相等的实数根，在上递增， 所以时，有个根， 且时，有个根， 所以，解得. 由于，则， 所以 ， ， ，， . 当时，当时，方程的判别式， 所以此时不符合题意. 当时，，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 32．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数m，n的值； (2)若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由可知，函数关于对称， 又，所以函数在单调递增， 可得，即， 解得，. （2）易知， 所以即为， 可化为， 令，即； 则关于x的方程有四个不同的实数解等价为于关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，， 需满足，解得； 所以实数a的取值范围为. 33．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 【解析】（1）为奇函数， ， ，即， ，整理得， （时，不合题意而舍去）． （2）由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数； （3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得. 34．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若函数的值域为，求的值； (2)若时，函数对一切正整数，在区间内总存在唯一零点，求的取值范围. 【解析】（1）由题意得函数在区间上单调递减，在区间 上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 所以函数值域为， 因为函数的值域为， 所以，故. （2）函数， 因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为在上总存在唯一零点， 所以 则， 可得对一切正整数，总有，得， 即得. 35．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数是偶函数，且当时，函数的图像与函数（且）的图像都恒过同一个定点． (1)求和的值； (2)设函数，若方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 【解析】（1）因为函数（且）的图像恒过定点， 当时，函数图像与图像过同一定点， 所以， 又函数为偶函数， 所以， 即， 即 所以，对恒成立， 所以， 故. （2）由题意方程有且只有一个实数解等价于： 即方程有且只有一个实数解， 化简得：有唯一的实数解， 令，则问题转化为方程：只有一个正实数解， 则： ①当时，方程化为不合题意， ②当时，为一元二次方程， （i）若两正根相等则：， 解得：或， 当时，代入方程得： 不满足题意， 当时，代入方程得： 满足题意， （ii）若方程有一正根一负根时，由韦达定理有两根之积小于0： 即满足题意， 综上所述，实数的取值范围是：. 36．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知函数． (1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求a的值； (3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 【解析】（1）由题知，当，， 设．则，所以， 因为是奇函数，所以， 又因为 所以； （2）令，整理得， 因为有且只有一个零点， 所以方程有且只有一根或两相等根， 当时，，符合题意， 当时，只需 所以，此时，符合题意 综上，或． （3）在上任取，且，则，． 所以，所以在上单调递减． 所以函数在上的最大值与最小值分别为，． 所以， 即，对任意成立． 因为，所以函数的图象开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递增， 所以当时，y有最小值，所以，解得． 所以a的取值范围为． 零点新定义 37．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） (2)证明：函数存在“2倍值区间”； (3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 【解析】（1）取， ∵在上单调递增， ∴在上的最小值为，最大值为，且， 故函数是“倍缩函数”. （2）取， ∵函数在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， 等价于至少有两个不相等的实根， 等价于至少有两个零点， ∵，且在定义内连续不断， ∴在区间内均存在零点， 故函数存在“2倍值区间”. （3）对，且，则， ∵，则， ∴，即， 故函数在上单调递增， 若函数存在“k倍值区间”，即存在，使得成立， 即在内至少有两个不相等的实根， ∵是方程的根，则在内有实根， 若，则，即，且， ∴，即. 38．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，设函数则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．方程有无数个实数根 D．若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是 【答案】BD 【解析】当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； …… 当时，，所以； 作出函数的图形，如下图所示： 由图像可知，函数的值域为，故A错误； 由图像可知，若，则，所以，故B正确； 由图像可知，函数与没有交点，所以方程无实数根，故C错误； 在同一直角坐标系中作出函数和函数的图象，如下图所示： 由图像可知，若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 39．（22-23高一上·山东菏泽·期末）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，函数定义域为， 任取，有，，， 则，即，所以在上单调递增， 由，∴只有一个零点， 函数与互为“零点相邻函数”，则在上存在零点． ，解得或 （1）当，即 ，存在唯一零点，时， 符合题意；时，不符合题意； （2）当，即 或 ，，；，； 若在 上只有1个零点，则， 即，解得． 若在 上有两个零点，则 ，解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：B 40．（22-23高一上·山东滨州·期末）定义，若，则关于函数的三个结论： ①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实数根，则m的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】令，得或， 则， 则函数在上递减， 又当时，，所以该函数在上单调递减，故②正确； 当时，， 当或，， 所以函数的值域为，故①错误； 方程实根的个数，即为函数交点的个数， 作出两个函数的图象如图所示， 由图可知两函数图象有4个交点时，m的取值范围是，故③正确， 所以正确结论的个数是2个. 故选：C. 41．（多选题）（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 C．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 D．若函数满足性质，则函数必存在零点 【答案】ABD 【解析】对选项A：，，，则，正确； 对选项B：，即，即，根据图像知方程有唯一正数解，正确； 对选项C：，即，取得到，取得到，方程组无解，故等式不恒成立，错误； 对选项D：若，则1即为的零点；若，则， ，可得，， ，故当趋近正无穷时，趋近正无穷，所以存在零点； 若，则由， 可得， 由， 可得， ，， 当趋近正无穷时，趋近负无穷，所以存在零点. 综上所述：存在零点，正确. 故选：ABD 嵌套函数问题 42．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数，若函数有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得或， 作出函数的图象，如图所示， 与有4个交点，即方程有4个不相等的实根， 由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， 故实数t的取值范围是. 故选：D. 43．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A．-1 B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数，的图象如下， 因为关于的方程有5个不同的实根， 所以关于的一元二次方程有两个不同的根， 且满足，，或，，或，， 令，则的两根满足，时， 令， ，即，解得． 若的两根满足，，则，此时或，不符合要求，舍去， 若的两根满足，，则，此时或符合要求， 综上， 故选：C 44．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期末）已知函数，若，则（   ） A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点 【答案】AC 【解析】当时，令，由，即 解得或或， 作出函数的图象，如图1所示，则有一解，无解，有三解， 故有4个不同的实数解， 即当时，有4个零点，故A正确，B错误； 当时，令，所以，即， 解得或或，由，故舍去， 作出函数的图象，如图2所示，则无解，有一解， 故有1个实数解， 即当时，有1个零点，故C正确，D错误. 故选：AC. 45．（多选题）（22-23高一上·山东枣庄·期末）设定义域为的函数,若关于的方程有五个不同的解,且从小到大分别为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】解:由题知, 画出图象如下: 令, 则方程, 等价于, 因为方程恰有5个不同的实数解, 所以等价于方程有两个实数解, 由图可知,, 此时, 则, 解得, 故选项A错误,选项B正确; 因为,所以, 则,而, 所以,故选项C正确; 因为, 由基本不等式可得, 所以,则, 故选项D正确． 故选:BCD 46．（23-24高一上·山东淄博·期末）设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是 . 【答案】 【解析】作出函数的图象如图所示， 由，得或， 当时，有3个零点， 要使函数有7个零点， 则当时，，即与有4个交点， 结合图形可得，解得， 即m的取值范围为 故答案为：. 47．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，关于x的方程恰有2个不同实数解，则a的值为 ． 【答案】4 【解析】令， 则方程可化为 因为方程恰有2个不同实数解， 所以有两组解， 因为， 所以函数为偶函数， 当时，； 当时，. 所以当时，，又函数为偶函数， 所以， 作函数的图象如下， 所以当时，没有解， 当时，有两个解， 当时，有四个解， 当时，有没有解， 因为有两组解， 2必须为方程（）的一个解， 所以，故, 当时，由可得 所以或，满足条件； 所以， 故答案为：4. 48．（22-23高一上·山东威海·期末）已知函数若关于x的方程有六个不等的实数根，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】画出 函数的图象如下图所示， 令，则方程可化为. 由图可知：当时，与有个交点， 要使关于的方程恰好有六个不同的实数解， 则方程在内有两个不同实数根，所以，， 解得，因此，实数的取值范围为. 故答案为：. 等高线问题 49．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】作出函数的图象，如下图所示： 方程有四个不同的解， 则，，所以， 则， 设，所以， 因为，所以，则， 则的取值范围为， 故答案为：. 50．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，若有两个实根，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】原问题等价于函数与直线的图象有两个不同的交点， 此时，，， ∴， 由对勾函数的性质知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当，， 所以， 则. 故答案为：. 51．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知函数，若存在实数满足，则的值为 ，的取值范围为 . 【答案】 1 【解析】函数的图象如图所示， 因为存在实数满足， 所以，， ， 所以， 当时，，由，得， 所以， 故答案为：1， 52．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，令，则（    ） A．若有1个零点，则或 B．若有2个零点，则或 C．的值域是 D．若存在实数a，b，c（）满足，则的取值范围为（2，3） 【答案】BCD 【解析】由函数的图象，根据函数图象的翻折变换， 由函数的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位， 可得函数的图象，如下图： 函数的图象可由函数经过平移变换得到， 显然当或时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A错误； 由函数的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确； 由图象，易知C正确； 设，则，由前两个方程可得，则， 由图象可知，解得，即，故D正确； 故选：BCD. 53．（多选题）（22-23高一上·山东聊城·期末）已知函数，函数的四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，则函数图象如下所示： 当时，对称轴为， 因为函数的四个零点，，，，且， 即有四个解，即与有四个交点， 结合图象可知，所以，故A错误； 由图可知、关于对称，所以，故B正确； 当时，令，则， 所以或，即或， 所以或（舍去）， 所以， 又，即，即， 所以，即，所以，故C正确； 又， 所以， 令，则，， 令，，函数的对称轴为， 所以函数在上单调递减，所以， 即，所以，故D正确； 故选：BCD 54．（多选题）（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列命题正确的是（    ） A．幂函数在上是增函数，则或 B．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 C．若，则 D．若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】对于A，∵为幂函数， ∴，∴或， 当时，在上是减函数，故A错误； 对于B，当时，要使函数在上单调递减， 只需在上单调递减，且， 所以，解得无解； 当时，要使函数在上单调递减， 只需在上单调递增，且， 所以，解得， 综上，实数a的取值范围是，故B正确； 对于C，，， 因为在定义域内单调递增，所以 因为，所以，所以即， 因为，所以， 因为，且， 所以，即，综上，故C正确； 对于D，的图象如图所示 函数有4个不同的零点，即有4个不同的零点， 即与有四个不同的交点， 因为，故， 由于的对称轴为，所以， 因为当，所以， 所以，所以， 所以， 因为对勾函数在上单调递增，所以 所以的取值范围是，故D正确 故选：BCD 55．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，即 当，；当，； 不妨设，做出函数的大致图像，如下图所示， 结合图像可得：，， 即，的取值范围是 故选:C 56．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意设，则函数的零点即为方程的根， 在同一平面直角坐标系中分别画出函数的图象以及直线如图所示： 若函数有三个零点，（不妨设为）， 则方程的根有三个根，且， 所以， 且， 因为在单调递增，所以，即， 所以， 令，，解得，令，，解得， 所以. 故答案为：. 57．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 . 【答案】 【解析】画出函数的图象如图所示： 要使得方程有4个不同的实数根， 只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点， 结合图象可知：. 因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 而是的两根，即， 因为，满足所以， ， 令，因为，则在单调递增， 所以，故. 故答案为：；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数与方程的综合应用 判断零点所在的区间 1．（23-24高一上·山东济宁·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·山东烟台·期末）函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 6．（22-23高一上·山东临沂·期末）设的零点为，若，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（22-23高一上·山东临沂·期末），表示不超过的最大整数，例如，，.设为函数的零点，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（22-23高一上·山东临沂·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 根据零点的个数求参数 9．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ． 10．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若关于的方程有四个根，则实数的取值范围为 ． 11．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知 (1)写出函数的单调区间； (2)当函数有两个零点时，求的取值范围； (3)求的解析式. 12．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知，若方程有个不等实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数，若函数有三个零点a，b，c，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（多选题）（22-23高一上·山东济南·期末）若函数有且仅有3个零点，则实数m的值可能是（    ） A． B． C．10 D．11 15．（多选题）（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（    ） A． B．0 C．1 D．2 16．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知定义域为R的奇函数，当时，，下列说法中错误的是（    ） A．当时，恒有 B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为 C．存在实数k，使函数有5个不相等的零点 D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则 17．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一上·山东日照·期末）设函数. (1)当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (2)设，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数k的值； (2)若方程有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围. 20．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数（且）的图象过点. (1)求的解析式； (2)若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围. 零点比大小 21．（23-24高一上·山东威海·期末）设函数，（，，），若与的图象有且只有两个交点，且，则（    ） A．当时，， B．当时，， C．当时，， D．当时，， 22．（22-23高一上·山东淄博·期末）设函数，，若实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 23．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数在区间内的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·山东淄博·期末）已知（其中a为常数，且）是偶函数. (1)求实数m的值； (2)证明方程有且仅有一个实数根，若这个唯一的实数根为，试比较与的大小. 零点个数的判断与证明 25．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）设函数，则（    ） A．当时，的值域为 B．当的单调递增区间为时， C．当时，函数有2个零点 D．当时，关于x的方程有3个实数解 26．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，． (1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明； (2)若，解关于的不等式； (3)证明：恰有两个零点m，，且． 27．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数（t，，且）为偶函数． (1)求t和k的值； (2)讨论函数的零点个数． 28．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知函数，对且，恒有 (1)求和的单调区间； (2)证明：的图象与的图象只有一个交点. 函数与零点的综合应用 29．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知是方程的零点（其中为自然对数的底数），下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高一上·山东东营·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是 ． 32．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，在时最大值为1，最小值为0.设. (1)求实数m，n的值； (2)若关于x的方程有四个不同的实数解，求实数a的取值范围. 33．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 34．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. (1)若函数的值域为，求的值； (2)若时，函数对一切正整数，在区间内总存在唯一零点，求的取值范围. 35．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数是偶函数，且当时，函数的图像与函数（且）的图像都恒过同一个定点． (1)求和的值； (2)设函数，若方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 36．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知函数． (1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式； (2)若函数有且只有一个零点，求a的值； (3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围． 零点新定义 37．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数的定义域为D，对于给定的正整数k，若存在，使得函数满足：函数在上是单调函数且的最小值为ka，最大值为kb，则称函数是“倍缩函数”，区间是函数的“k倍值区间”． (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果） (2)证明：函数存在“2倍值区间”； (3)设函数，，若函数存在“k倍值区间”，求k的值． 38．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，设函数则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域为 B．若，则 C．方程有无数个实数根 D．若方程有两个不等的实数根，则实数a的取值范围是 39．（22-23高一上·山东菏泽·期末）对于函数和，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 40．（22-23高一上·山东滨州·期末）定义，若，则关于函数的三个结论： ①该函数值域为；②该函数在上单调递减；③若方程恰有四个不等的实数根，则m的取值范围是.其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 41．（多选题）（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数的定义域为，且函数图象连续不间断，假如存在正实数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 C．若，则存在唯一的正数，使得函数满足性质 D．若函数满足性质，则函数必存在零点 嵌套函数问题 42．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数，若函数有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数若关于的方程有5个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A．-1 B． C． D． 44．（多选题）（23-24高一上·山东烟台·期末）已知函数，若，则（   ） A．当时，有4个零点 B．当时，有5个零点 C．当时，有1个零点 D．当时，有2个零点 45．（多选题）（22-23高一上·山东枣庄·期末）设定义域为的函数,若关于的方程有五个不同的解,且从小到大分别为,则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一上·山东淄博·期末）设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是 . 47．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，关于x的方程恰有2个不同实数解，则a的值为 ． 48．（22-23高一上·山东威海·期末）已知函数若关于x的方程有六个不等的实数根，则实数a的取值范围为 ． 等高线问题 49．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，若方程有四个不同的解，则的取值范围是 ． 50．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，若有两个实根，则的取值范围为 . 51．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知函数，若存在实数满足，则的值为 ，的取值范围为 . 52．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数，令，则（    ） A．若有1个零点，则或 B．若有2个零点，则或 C．的值域是 D．若存在实数a，b，c（）满足，则的取值范围为（2，3） 53．（多选题）（22-23高一上·山东聊城·期末）已知函数，函数的四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 54．（多选题）（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列命题正确的是（    ） A．幂函数在上是增函数，则或 B．若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 C．若，则 D．若函数有4个不同的零点，且，则的取值范围是 55．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，，若函数有三个零点，则的取值范围是 . 57．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为 ，的取值范围为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$