专题05 函数模型及其应用（7大基础题3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题05 函数模型及其应用 一次、二次函数模型 1．（22-23高一上·山东淄博·期末）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过10t的部分为2.20元/t；超过10t不超过18t的部分为2.80元/t；超过18t部分为3.20元/t. (1)试求居民月水费（元）关于用水量（t）的函数关系式； (2)若某户居民6月份、7月份共用水36t，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？ 【解析】（1）根据题意可得:当时，； 当时，； 当时， 综上， （2）因为两个月共用水吨，说明一个月比吨多，一个月比18吨少， 设6月份用水吨，因为6月份水费少，则， 又因为，且，显然 所以，解得， 所以6月份用水吨，7月份用水吨. 2．（22-23高一上·山东德州·期末）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … y(万个) … 10 … 50 … 150 … 若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：，) 【解析】（1）若选，将，和，代入可得，，解得，故，将代入，； 若选，将，和，代入可得，，解得， 故，将代入可得，； 所以选择函数更合适，解析式为． （2）设至少需要个单位时间， 则，即，两边同时取对数可得，， 则， ， 的最小值为11， 故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个． 3．（23-24高一上·山东济南·期末）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)判断函数能否作为公司奖励方案的函数模型，并说明理由； (2)已知函数能作为公司奖励方案的函数模型，求实数a的取值范围. 【解析】（1）不能，理由：对于函数模型， 当时，是单调递增函数，则，显然恒成立， 若函数恒成立，则，解得. 不一定成立. 故函数模型不符合要求. （2）当时，单调递增， 最大值，. 设恒成立， 则恒成立，即. ，当且仅当时取等号， . ，. 综上，a的取值范围为. 4．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表： （百万元） 2 4 12 （百万元） 0.4 12.8 当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择. (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 【解析】（1）最符合实际的函数模型为， 理由如下： 若选函数，将点代入可得， 解得，所以， 当时，可得，与实际数据差别较大； 若选函数， 将点代入可得，解得， 所以，当时，可得，符合题意， 综上可得，最符合实际的函数模型为. （2）由题意知，利润与投资成本满足关系式, 要获得不少于一个亿的利润，即， 当时，即，即， 又因为，所以； 当时，即，可得， 解得，又因为，所以， 综上可得，， 所以要获得不少于一个亿的利润，投资成本（千万）的范围是. 分式函数模型 5．（22-23高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【解析】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元, 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 6．（22-23高一上·山东菏泽·期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层．某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． (1)求m的值及的表达式； (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值． 【解析】（1）由题设知，则， ，； （2） ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当隔热层的厚度为6.25cm时，总费用取得最小值110万元． 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元． (1)设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式； (2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元? 【解析】（1）由题意可得，正方形的面积为，阴影部分面积为， 所以，且，则， 则 ； （2）由（1）可知， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 由于投入到该休闲场所的资金最多29500元， 所以 解得，当时，符合题意， 所以花坛造价最多投入每平方米2100元． 8．（23-24高一上·山东济宁·期末）为提升居民幸福生活指数，着力打造健康舒适、生态宜居、景观优美的园林城市．某市政府利用城区人居环境整治项目资金，在城区要建一座如图所示的五边形ABCDE休闲广场．计划在正方形EFGH上建一座花坛，造价为32百元/；在两个相同的矩形ABGF和CDHG上铺草坪，造价为0.5百元/；再在等腰直角三角形BCG上铺花岗岩地坪，造价为4百元/．已知该政府预计建造花坛和铺草坪的总面积为，且受地域影响，EF的长度不能超过6m．设休闲广场总造价为y（单位：百元），EF的长为x（单位：m），FA的长为t（单位：m）． (1)求t与x之间的关系式； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当x为何值时，休闲广场总造价y最小？并求出这个最小值． 【解析】（1）由已知得：， 所以， （2）由已知得：， 所以． （3）由（2）知：， 所以， 当且仅当，即时，． 故当x为5m时，休闲广场总造价y最小，并且最小值为1500百元． 9．（22-23高一上·山东威海·期末）某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价． 【解析】（1）由题意可得每个育苗池另一边长为米， 则，； （2）设总造价为元，则 ，， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 所以米时，总造价最低，最低总造价为459200元. 分段函数模型 10．（22-23高一上·山东济南·期末）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 【解析】（1）当时， ， 当时， ， 所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为 （2）当时，， 所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450， 当时， ， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490， 因为， 所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元 11．（22-23高一上·山东潍坊·期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车售价800万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额－成本） (2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【解析】（1）由题意得，当年产量为百辆时，全年销售额为万元， 则， 当时， ， 当时， ， 所以所求函数关系为：. （2）当时，，则， 当且仅当时，不等式中等号成立； 当时， ，即. 当且仅当，即时，不等式中等号成立. 因为， 所以当时，即当2023年的年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为1600万元. 12．（22-23高一上·山东济南·期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元. (1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润. 【解析】（1）10 000台=10千台,则，根据题意得：，解得， 当时，， 当时， ， 综上所述. （2）当时， 当时， 取得最大值； 当时， ， 当且仅当时， 因为， 故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5 900万元. 13．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过． (1)若注射药品，求药品的有效治疗时间； (2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值． 【解析】（1）注射该药品，其浓度为 当时，，解得； 当时，，解得． 所以一次注射该药品，则药物有效时间可达小时． （2）设从第一次注射起，经小时后， 其浓度，则， 因为， 当时，即时，等号成立． ，当时，， 所以，因为， 解得，所以． 当时，，，所以不能保证持续有效， 答：要使随后的6小时内药品能够持续有效治疗，的最小值为． 14．（22-23高一上·山东泰安·期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而，这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 【解析】（1） 当时， ， 当时， ， 所以. （2）当时， ，当时，； 当时， ， 当且仅当时等号成立， 所以当时，， 所以当2023年年产量为100千部时，企业获得最大利润，最大利润为9000万元． 15．（22-23高一上·山东滨州·期末）近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值. 【解析】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以空气中释放的消毒剂浓度为， 当时，，解得； 当时，，解得； 综上求得， 所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达6小时. （2）设从第一次喷洒起，经过x（）小时后，浓度为 ， 因为，所以， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 又，则，满足，等号成立， 所以当接下来的4小时中能够持续有效消毒时，可得， 解得，又，，所以a的最小值为2. 16．（22-23高一上·山东聊城·期末）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，盐城某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，生产这种设备的年固定成本为2500万元，每生产百台，需另投入生产成本万元，当年产量不足35百台时，；当年产量不小于35百台时，；该设备年产量最多不超过60百台，若每台设备售价6万元，通过市场分析，该企业生产的产品能全部销售完． (1)求该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)该企业年产量为多少百台时，所获利润最大？并求出最大利润． 【解析】（1）依题意，成本为万元，销售额为万元， 当时，， 当时，， 所以所求函数关系式为. （2）由（1）知，当时，，当时，取得最大值，万元， 当时，， 当且仅当，即时取等号，而，即当时，， 所以该企业年产量为25百台时，所获利润最大，最大利润万元. 17．（22-23高一上·山东聊城·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 2 3 … … … … 李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是元，依法确定其他扣除是元，则他全年应缴纳的综合所得个税是 元． 【答案】 【解析】由题意得，专项扣除总额为：元， 应纳税所得额为：元， 个税税额为：元， 故答案为：. 18．（22-23高一上·山东烟台·期末）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1700人；当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 【解析】（1）当时，，； 当时，，且当时，，解得，，， 故 （2）当时，，当时有最大值为； 当时，，当时有最大值为. 综上所述：当时有最大值为. 19．（22-23高一上·山东青岛·期末）病毒的直径很小，而在0.3微米的粒径下，可以达到以上过滤效率的防雾霾囗罩，可以防新型冠状病毒．所以疫情防控之下，人们需要佩戴好口罩．数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产量与时间（年）的函数图像（如图），并做出预测．假设预测成立，以下给出了关于该口罩生产状况的几点判断正确的是 （填写序号） ①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少； ③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产． 【答案】①③ 【解析】由数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产 量与时间（年的函数图像，可知前三年的年产量逐步增加， 故①正确，②错误； 后两年的年产量与第三年的年产量相同， 故③正确，④错误． 所以关于该口罩生产状况的几点判断正确的是①③． 故答案为：①③. 指数函数模型 20．（23-24高一上·山东滨州·期末）近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 【解析】（1）当时，设，将代入得，解得，此时，； 当时，设（且），将、代入得， 解得，此时，. 综上：. （2）因为函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，令，得， 则，即， 所以，. 所以，从药物释放开始，至少经过小时后学生才能进入教室. 21．（23-24高一上·山东青岛·期末）人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据边为，则2024年该地区产生的数据量为（    ） A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB 【答案】C 【解析】由题可得，解得，所以， 当时，， 故选：C. 22．（22-23高一上·山东烟台·期末）物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为，物体的初始温度是，经过min后物体的温度为，则．现将一杯的热茶放在的房间中冷却，假设经过10min热茶降温到，那么继续降温到还需要的时间约为（结果精确到0.1，参考数据：，）（    ） A．6.4min B．6.6min C．7.4min D．7.6min 【答案】C 【解析】根据题意：，解得， ，即， . 故选：C 23．（22-23高一上·山东青岛·期末）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破10000000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题． 新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ）（参考数据： A．38 B．40 C．45 D．47 【答案】B 【解析】，当时，， ，，解得． 故选：B 24．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（    ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则 【答案】ACD 【解析】对于选项A：令，可得， 所以在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB，故A正确； 对于选项B：因为不是定值， 可知计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误； 对于选项C：因为， 所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1，故C正确； 对于选项D：由题意可得：，可得， 则，即，故D正确； 故选：ACD. 25．（多选题）（22-23高一上·山东德州·期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（    ）（参考数值） A．若，则 B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟 C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22 D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多 【答案】AC 【解析】由题知， A选项：若，即，所以，则，A正确； B选项：若，则，则，两边同时取对数得，所以，所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B错误； C选项：5分钟后物体的温度是，即，则，得，所以，故C正确； D选项：为指数型函数，如图，可得红茶温度从下降到所需的时间（）比从下降到所需的时间（）少，故D错误． 故选：AC． 对数函数模型 26．（22-23高一上·山东德州·期末）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（，且）图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效. (1)试求服药后小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式； (2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（参考数据） 【解析】（1）当时，由图象可设， 将点的坐标代入函数表达式，解得， 所以； 当时，将点的坐标代入函数表达式， 得 解得，所以， 故. （2）当时，，令， 解得，即 又因为，所以， 故服药0.3小时后开始有治疗效果. 当时，，令，解得， 又因为，所以. 所以当时，治疗有效，， 所以服药后的治疗效果能持续小时. 27．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时（精确到整数）． （参考数据：，） 【解析】（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时的比例衰减， 给某病人注射了该药物1个单位的该药物，经过y个小时后， 药物在病人血液中的量为，即y与x的关系式为； （2）当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位，病人就有危险，故时，病人才不会有危险， 因为在定义域内单调递减， 所以， 故再次注射该药物的时间不能超过5个小时 28．（22-23高一上·山东潍坊·期末）受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系： ，其中，且．已知在区间上的最大值为，最小值为，且的图象过点． (1)试求的函数关系式； (2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听课效果最佳？请说明理由． 【解析】（1）当时，， ，解得：； 又，，解得：， . （2）当时，令，解得：； 当时，令，解得：； 教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳. 幂函数模型 29．（23-24高一上·山东临沂·期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是 年.参考数据：. 【答案】2026 【解析】设还需要年，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 根据题意可得， 故，所以，解得， 所以还需要6年，即2026年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 故答案为：2026 三角函数模型 30．（多选题）（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由图可知的最大值为15，最小值为， 所以，解得，所以AB正确，D错误， 因为每分钟转4圈，所以转一圈需要15秒，即周期为15， 所以，得，所以C正确. 故选：ABC 31．（23-24高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 由题意可知，，，解得，， 函数的最小正周期为， 则， 当时，，可得， 又因为，则，故， 故选：A. 32．（22-23高一上·山东临沂·期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为 ，其中心到水面的距离为 ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为 ，当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为（在水面下高度为负数），则（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】B 【解析】由题设，水车的角速度为 , 又水车的半径为 ，中心O到水面的距离 ， 设经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为， 由题意可知, 由于时，水筒在处，即， 即，由于，故取， 故t（单位：s）后水筒A距离水面的高度可表示为 ， ， 故选︰B﹑ 33．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． (1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； (2)求四边形面积的最小值． 【解析】（1）（i）由题知：，． 所以． （ii）由（i）知：， 当时，时取等号， 所以， 故当时，的最大值为． （2）因为． 令，所以， 令， 对称轴为，开口向上，由二次函数的性质知， 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以． 若，则在上单调递减， 所以， 综上，当时，四边形面积最小值为； 当时，四边形面积最小值为. 34．（23-24高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【解析】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 35．（22-23高一上·山东烟台·期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示.设水车的直径为，其中心到水面的距离为，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是.当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时，经过（单位：）后水筒距离水面的高度为（在水面下高度为负数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设，水车的角速度为，又水车的直径，中心到水面的距离， ∴，故（单位：）后水筒距离水面的高度为m， ∴. 故选：B. 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 36．（22-23高一上·山东聊城·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 4 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢， A选项，函数增长速度不变，不符合题意. BC选项，当时，函数、增长越来越快，不符合题意. D选项，当时，函数的增长速度越来越慢，符合题意. 故选：D 37．（19-20高一上·山东烟台·期末）科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求. (2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 【解析】（1）由题意，符合公司要求的函数在上单调递增， 且对任意恒有且. ①对于函数在上单调递增， 当时不符合要求； ②对于函数在上单调递减，不符合要求； ③对于函数在上单调递增， 且当时， 因为 而所以当时恒成立， 因此为符合公司要求的函数模型. （2）由得 所以 所以公司的投资收益至少为万元. 38．（23-24高一上·山东威海·期末）某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.） (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 【解析】（1）因为的增长速度越来越快，， 的增长速度越来越慢，所以依题意应选择， 由题意知，所以， 所以，. （2）当时，， 所以藤蔓植物原先种植面积为， 设经过个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 所以， 可得， 所以 ， 所以至少经过个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 利用给定函数模型解决实际问题 39．（23-24高一上·山东烟台·期末）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中为正常数，已知在前消除了的污染物． (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到） （参考数据） 【解析】（1）由可知，当时，， 当时，，则有， 解得， 所以， 故当时，， 即10h后还剩81%的污染物. （2）要使污染物减少三分之一以上，则有，， 因为，所以， ， 所以， 故要使污染物减少三分之一以上至少需要小时. 40．（22-23高一上·山东聊城·期末）用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上． (1)求是，的值； (2)现用个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由． 【解析】（1）由题意，即，解得. （2）由（1）知，设清洗前残留的农药量为， 若清洗一次，设清洗后蔬菜上残留的农药量为， 则，则． 若把水平均分成份后清洗两次， 设第一次清洗后蔬菜上残留的农药量为，则． 设第二次清洗后蔬菜上残留的农药量为，则，得． 比较与的大小：． ①当，即时，， 即，由不等式的性质可得， 所以把水平均分成份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少； ②当，即时，， 两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多； ③当，即时，由不等式的性质可得， 所以清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少． 综上，当时，把水平均分成2份后清洗两次蔬菜上残留的农药量较少； 当时，两种方案清洗后蔬菜上残留的农药量一样多； 当时，清洗一次后蔬菜上残留的农药量较少． 41．（23-24高一上·山东临沂·期末）冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氛化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计 年以后将会有一半的臭氧消失． 【答案】276 【解析】由题意得，得， 即，解得. 故答案为：. 42．（22-23高一上·山东临沂·期末）某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中e是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则 ；要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为 （参考数据：）. 【答案】 4 【解析】显然，当时，，当时，，则有：， 于是得，而，解得， 设经过m小时后能够按规定排放废气，则有， 即， 于是得还需要过滤时间，则正整数的最小值为4. 所以，正整数的最小值为4. 故答案为：；4 建立拟合函数模型解决实际问题 43．（22-23高一上·山东·期末）后疫情时代，人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务，健身教练进入直播间变身网红，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，线上线下相互赋能，成功吸引新会员留住老会员.据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y（单位：万元）随粉丝量x（单位：万人）的变化情况如下表所示.根据表中数据，我们用函数模型进行拟合，建立y关于x的函数解析式.请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为33万人时，线下销售健身卡的利润大约为 万元. （万人） 3 5 9 （万元） 【答案】/ 【解析】依题意，，消去b得，，解得，则， 因此函数模型为，当时，， 所以线下销售健身卡的利润大约为万元. 故答案为： 44．（23-24高一上·山东日照·期末）2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： （天） 5 10 15 20 25 30 （个） 205 210 215 220 215 210 (1)给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； (2)求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）． 【解析】（1）根据表格数据，的函数值关于220对称，故选择合适． 又，， 解得，， 故，验证均满足． 故 （2） 当，时，， 当且仅当，即时等号成立； 因为和在上单调递减， 所以当，时，在上单调递减， 故最小值为． 综上所述：当时，有最小值为427元． 45．（23-24高一上·山东聊城·期末）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数工x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求t的最小值． 参考数据：，，． 【解析】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②， 模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得， 所以，函数为，． （2）由（1）知，， 则．得， ． 故t的最小值为12． 46．（23-24高一上·山东济南·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30 设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间. 参考数据：. 【解析】（1）选择②作为函数模型. 对于模型①，当时，函数无意义，故而排除； 对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除； 对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求； 故应选择模型②. 将前的数据带入，得，解得， 所以所求函数解析式为. （2）由（1）中模型可得，即，所以， 即 所以刚泡好的红茶放置能达到最佳饮用口感. 47．（22-23高一上·山东临沂·期末）2022年11月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第x天每股的交易价格（元）满足，第x天的日交易量（万股）的部分数据如下表： 第x（天） 1 2 4 10 （万股） 14 12 11 10.4 (1)给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 【解析】（1）对于函数， 根据题意，把点代入可得，解得， 而点均不在函数的图象上； 对于函数， 根据题意，把点代入可得，解得， 此时. 而均在函数的图象上. 所以. （2）由（1）知. 所以， 即 当时， 当且仅当时，即时等号成立， 当时，为减函数. 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值484. 48．（22-23高一上·山东德州·期末）某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药1小时后血液中含药量达到峰值，7小时后血液中含药量为，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段OA是函数的图象，曲线段AB是函数（，k为吸收常数，为常数，e为自然对数的底）的图象． (1)写出服药后每毫升血液中含药量C关于时间t的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上8点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到） 【解析】（1）当时，，把代入可得， 解得：，所以当时，， 当时，把代入（k，a是常数）， 得，解得，所以 故， （2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得：， 即第一次服药后后服第二次药，也即下午13：00服药； （3）第二次服药后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为： 每毫升血液中含第二次服药后剩余量为： 所以此时两次服药剩余的量为 故该病人每毫升血液中的含药量为 49．（22-23高一上·山东济宁·期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 【解析】（1）因为（，）的增长速度越来越快， （）和（）的增长速度越来越慢， 所以应选函数模型（，）. 由题意得，解得， 所以该函数模型为（）； （2）由题意得，即， 所以， 又. 所以至少经过培养基中菌落的覆盖面积能超过. 50．（22-23高一上·山东济宁·期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的；另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0． (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 【解析】（1）因为两个函数模型，在上都是增函数． 随着x的增大，的函数值增加的越来越快，而的函数值增加的越来越慢． 因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快， 所以，甲同学提出的函数模型满足要求． 由题意知，解得，， 所以， （2）一月底水深植物面积为 由，解得 又 故． 所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上． 51．（22-23高一上·山东烟台·期末）直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型营销模式.据统计，某职业主播的粉丝量不低于万人时，其货物销售利润（单位：万元）随粉丝量（单位：万人）的变化情况如右表所示： x（万人） 2 3 5 y（万元） (1)根据表中数据，分别用模型和建立关于的函数解析式； (2)已知该主播的粉丝量为万人时，货物销售利润为万元，你认为（1）中哪个函数模型更合理？说明理由.（参考数据：） 【解析】（1）若选用， 则依题意得：， 解得，，，所以. 若选用函数模型， 则依题意得：， 解得，，，所以. （2）对于函数，当时，万元. 对于函数，当时，万元. 因为， 所以选用模型更合理. 52．（22-23高一上·山东济宁·期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为24，三月底测得该水生植物的面积为40，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 【解析】（1）因为三月底面积增量几乎是二月份的一倍，所以选择同学甲提出的比较合适， 由题意得，解得， 所以， （2）由（1）可知，一月底时水生植物的面积为， 假设月后水生植物的面积是一月水生植物面积的10倍以上，即 ， 所以， 所以， 因为，所以， 所以从6月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 函数模型及其应用 一次、二次函数模型 1．（22-23高一上·山东淄博·期末）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过10t的部分为2.20元/t；超过10t不超过18t的部分为2.80元/t；超过18t部分为3.20元/t. (1)试求居民月水费（元）关于用水量（t）的函数关系式； (2)若某户居民6月份、7月份共用水36t，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？ 2．（22-23高一上·山东德州·期末）2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据： 1 2 3 4 5 6 … y(万个) … 10 … 50 … 150 … 若该变异毒株的数量y(单位：万个)与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择． (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．(参考数据：，) 3．（23-24高一上·山东济南·期末）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%. (1)判断函数能否作为公司奖励方案的函数模型，并说明理由； (2)已知函数能作为公司奖励方案的函数模型，求实数a的取值范围. 4．（22-23高一上·山东济南·期末）“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”，根据市场调查与预测，投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表： （百万元） 2 4 12 （百万元） 0.4 12.8 当投资成本不高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择. (1)当投资成本不高于12（百万元）时，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)当投资成本高于12（百万元）时，利润（百万元）与投资成本（百万元）满足关系，结合第（1）问的结果，要想获得不少于一千万元的利润，投资成本（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：） 分式函数模型 5．（22-23高一上·山东日照·期末）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 6．（22-23高一上·山东菏泽·期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层．某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：，．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和． (1)求m的值及的表达式； (2)当隔热层的厚度为多少时，总费用达到最小，并求最小值． 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一座八边形的休闲场所．如图，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为100平方米的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为每平方米元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺彩色水磨石地坪，造价为每平方米105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米40元． (1)设长为米，总造价为S元，求S关于的函数解析式； (2)若市面上花坛造价每平方米1000到3000元不等，该小区投入到该休闲场所的资金最多29500元，问花坛造价最多投入每平方米多少元? 8．（23-24高一上·山东济宁·期末）为提升居民幸福生活指数，着力打造健康舒适、生态宜居、景观优美的园林城市．某市政府利用城区人居环境整治项目资金，在城区要建一座如图所示的五边形ABCDE休闲广场．计划在正方形EFGH上建一座花坛，造价为32百元/；在两个相同的矩形ABGF和CDHG上铺草坪，造价为0.5百元/；再在等腰直角三角形BCG上铺花岗岩地坪，造价为4百元/．已知该政府预计建造花坛和铺草坪的总面积为，且受地域影响，EF的长度不能超过6m．设休闲广场总造价为y（单位：百元），EF的长为x（单位：m），FA的长为t（单位：m）． (1)求t与x之间的关系式； (2)求y关于x的函数解析式； (3)当x为何值时，休闲广场总造价y最小？并求出这个最小值． 9．（22-23高一上·山东威海·期末）某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同的长方体育苗池．其平面图如图所示，每个育苗池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路．设育苗池底面的一条边长为x米（），甬路的面积为S平方米． (1)求S与x之间的函数关系式； (2)已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米，若不考虑其他费用，求x为何值时，总造价最低，并求最低造价． 分段函数模型 10．（22-23高一上·山东济南·期末）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本） (2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润. 11．（22-23高一上·山东潍坊·期末）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车售价800万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求出2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：百辆）的函数关系；（利润＝销售额－成本） (2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 12．（22-23高一上·山东济南·期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产 （千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元. (1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量 （千台）的函数关系式; (2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润. 13．（23-24高一上·山东青岛·期末）某药品可用于治疗某种疾病，经检测知每注射tml药品，从注射时间起血药浓度y（单位：ug/ml）与药品在体内时间（单位：小时）的关系如下：当血药浓度不低于时才能起到有效治疗的作用，每次注射药品不超过． (1)若注射药品，求药品的有效治疗时间； (2)若多次注射，则某一时刻体内血药浓度为每次注射后相应时刻血药浓度之和．已知病人第一次注射1ml药品，12小时之后又注射aml药品，要使随后的6小时内药品能够持续有效消疗，求的最小值． 14．（22-23高一上·山东泰安·期末）近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而，这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x（千部）手机，需另投入成本万元，且．由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出2023年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)2023年产量为多少千部时，企业所获利润最大?最大利润是多少? 15．（22-23高一上·山东滨州·期末）近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（）个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值. 16．（22-23高一上·山东聊城·期末）新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，面对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，习近平总书记亲自指挥、亲自部署，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．疫情爆发后，造成全球医用病毒检测设备短缺，盐城某企业计划引进医用病毒检测设备的生产线，生产这种设备的年固定成本为2500万元，每生产百台，需另投入生产成本万元，当年产量不足35百台时，；当年产量不小于35百台时，；该设备年产量最多不超过60百台，若每台设备售价6万元，通过市场分析，该企业生产的产品能全部销售完． (1)求该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式（利润=销售额-成本）； (2)该企业年产量为多少百台时，所获利润最大？并求出最大利润． 17．（22-23高一上·山东聊城·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依据《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数，应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除．其中，基本减除费用为每年元，税率与速算扣除数见下表： 级数 全年应纳税所得额所在区间 税率（%） 速算扣除数 1 2 3 … … … … 李华全年综合所得收入额为元，假定缴纳的专项扣除基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是，专项附加扣除是元，依法确定其他扣除是元，则他全年应缴纳的综合所得个税是 元． 18．（22-23高一上·山东烟台·期末）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状态，载客量为1700人；当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与成正比．假设每辆列车的日均车票收入（单位：万元）． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． 19．（22-23高一上·山东青岛·期末）病毒的直径很小，而在0.3微米的粒径下，可以达到以上过滤效率的防雾霾囗罩，可以防新型冠状病毒．所以疫情防控之下，人们需要佩戴好口罩．数学应用调研小组在2019年调查到某种口罩总产量与时间（年）的函数图像（如图），并做出预测．假设预测成立，以下给出了关于该口罩生产状况的几点判断正确的是 （填写序号） ①前三年的年产量逐步增加； ②前三年的年产量逐步减少； ③后两年的年产量与第三年的年产量相同； ④后两年均没有生产． 指数函数模型 20．（23-24高一上·山东滨州·期末）近来，流感病毒肆虐，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系为（且）.根据图中提供的信息，求： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)为确保学生健康安全，药物释放过程中要求学生全部撤离，药物释放完毕后，空气中每立方米含药量不超过毫克时，学生方可进入教室.那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室.（精确到小时）（参考值：，，） 21．（23-24高一上·山东青岛·期末）人类已进入大数据时代，数据量已从级别跃升到级别，据研究结果表明：某地区的数据量（单位：EB）与时间（单位：年）的关系符合函数，其中，．已知2022年该地区产生的数据成为，2023年该地区产生的数据边为，则2024年该地区产生的数据量为（    ） A．1.5EB B．1.75EB C．2EB D．2.25EB 22．（22-23高一上·山东烟台·期末）物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为，物体的初始温度是，经过min后物体的温度为，则．现将一杯的热茶放在的房间中冷却，假设经过10min热茶降温到，那么继续降温到还需要的时间约为（结果精确到0.1，参考数据：，）（    ） A．6.4min B．6.6min C．7.4min D．7.6min 23．（22-23高一上·山东青岛·期末）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破10000000人．疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题． 新型冠状病毒肺炎以发热、干咳、乏力等为主要表现，重者快速进展为急性呼吸窘迫综合征、脓毒症休克、难以纠正的代谢性酸中毒和出凝血功能障碍及多器官功能衰竭等．专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（    ）（参考数据： A．38 B．40 C．45 D．47 24．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（    ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则 25．（多选题）（22-23高一上·山东德州·期末）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：℃），环境温度是（单位：℃），其中、则经过t分钟后物体的温度将满足（且）．现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（    ）（参考数值） A．若，则 B．若，则红茶下降到所需时间大约为6分钟 C．5分钟后物体的温度是，k约为0.22 D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多 对数函数模型 26．（22-23高一上·山东德州·期末）某医药公司研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，由监测数据可知，服用后6小时内每毫升血液中含药量（单位：微克）与时间（单位：时）之间的关系满足如图所示的曲线，当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（，且）图象的一部分，根据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于微克时，治疗有效. (1)试求服药后小时内每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式； (2)问服药多久后开始有治疗效果？治疗效果能持续多少小时？（参考数据） 27．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了1个单位的该药物，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位． (1)求y与x的关系式； (2)当该药物在病人血液中的量低于0.3个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少个小时（精确到整数）． （参考数据：，） 28．（22-23高一上·山东潍坊·期末）受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系： ，其中，且．已知在区间上的最大值为，最小值为，且的图象过点． (1)试求的函数关系式； (2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听课效果最佳？请说明理由． 幂函数模型 29．（23-24高一上·山东临沂·期末）由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是 年.参考数据：. 三角函数模型 30．（多选题）（23-24高一下·山东青岛·期末）如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一上·山东聊城·期末）如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系可以表示为（   ）    A． B． C． D． 32．（22-23高一上·山东临沂·期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示，设水车的半径为 ，其中心到水面的距离为 ，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间为 ，当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时经过（单位：s）后水筒距离水面的高度为（在水面下高度为负数），则（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 33．（23-24高一上·山东青岛·期末）如图，正方形的边长为，点W，E，F，M分别在边，，，上，，，与交于点，，记． (1)记四边形的面积为的函数，周长为的函数， （i）证明：； （ii）求的最大值； (2)求四边形面积的最小值． 34．（23-24高一上·山东烟台·期末）如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 35．（22-23高一上·山东烟台·期末）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，其工作示意图如图所示.设水车的直径为，其中心到水面的距离为，水车逆时针匀速旋转，旋转一周的时间是.当水车上的一个水筒从水中（处）浮现时开始计时，经过（单位：）后水筒距离水面的高度为（在水面下高度为负数），则（    ） A． B． C． D． 根据实际问题增长率选择合适的函数模型 36．（22-23高一上·山东聊城·期末）某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据： 3 9 27 81 2 4 以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ） A． B． C． D． 37．（19-20高一上·山东烟台·期末）科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金(单位：万元)随投资收益(单位：万元)的增加而增加，奖金总数不低于万元，且奖金总数不超过投资收益的. (1)现有三个奖励函数模型：①②③.试分析这三个函数模型是否符合公司要求. (2)根据中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到万元，公司的投资收益至少为多少万元？ 38．（23-24高一上·山东威海·期末）某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.） (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 利用给定函数模型解决实际问题 39．（23-24高一上·山东烟台·期末）某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中为正常数，已知在前消除了的污染物． (1)后还剩百分之几的污染物？ (2)要使污染物减少三分之一以上至少需要多少时间？（结果精确到） （参考数据） 40．（22-23高一上·山东聊城·期末）用水清洗一堆蔬菜上的农药，设用个单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为，且．已知用个单位量的水清洗一次，可洗掉本次清洗前残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上． (1)求是，的值； (2)现用个单位量的水可以清洗一次，也可以把水平均分成两份后清洗两次，问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量较少，并说明理由． 41．（23-24高一上·山东临沂·期末）冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氛化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计 年以后将会有一半的臭氧消失． 42．（22-23高一上·山东临沂·期末）某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中e是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则 ；要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为 （参考数据：）. 建立拟合函数模型解决实际问题 43．（22-23高一上·山东·期末）后疫情时代，人们的健身需求更加多样化和个性化.某健身机构趁机推出线上服务，健身教练进入直播间变身网红，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，线上线下相互赋能，成功吸引新会员留住老会员.据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y（单位：万元）随粉丝量x（单位：万人）的变化情况如下表所示.根据表中数据，我们用函数模型进行拟合，建立y关于x的函数解析式.请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为33万人时，线下销售健身卡的利润大约为 万元. （万人） 3 5 9 （万元） 44．（23-24高一上·山东日照·期末）2023年10月29日，日照马拉松鸣枪开跑，全国各地20000多名跑友相聚日照最美赛道．从森林跑向大海，用脚步丈量山与海的距离，共同为梦想而奔跑．为了进一步宣传日照马拉松，某赞助商开发了一款纪念产品，通过对这款产品的销售情况调查发现：该产品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价格（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系近似满足，该商品的日销售量（单位：个）与时间部分数据如下表所示： （天） 5 10 15 20 25 30 （个） 205 210 215 220 215 210 (1)给出以下三种函数模型：①，②，③，请你根据上表中的数据，从中选择最合理的一种函数模型来描述该商品的日销售量与时间的关系，并求出该函数的解析式； (2)求该商品的日销售总收入（单位：元）的最小值（注：日销售总收入＝日销售价格×日销售量）． 45．（23-24高一上·山东聊城·期末）为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为脱贫乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数工x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数y（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立t年的会员人数将超过100.2万人，求t的最小值． 参考数据：，，． 46．（23-24高一上·山东济南·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30 设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间. 参考数据：. 47．（22-23高一上·山东临沂·期末）2022年11月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第x天每股的交易价格（元）满足，第x天的日交易量（万股）的部分数据如下表： 第x（天） 1 2 4 10 （万股） 14 12 11 10.4 (1)给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式； (2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额的函数关系式，并求其最小值. 48．（22-23高一上·山东德州·期末）某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药1小时后血液中含药量达到峰值，7小时后血液中含药量为，服药后每毫升血液中的含药量与服药后的时间之间，近似满足如图所示的连续曲线，其中曲线段OA是函数的图象，曲线段AB是函数（，k为吸收常数，为常数，e为自然对数的底）的图象． (1)写出服药后每毫升血液中含药量C关于时间t的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上8点，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少？（精确到） 49．（22-23高一上·山东济宁·期末）流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积（单位：）与经过时间（单位：）的关系现有三个函数模型：①（，），②（），③（）可供选择.（参考数据：，） (1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式； (2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过？（结果保留到整数） 50．（22-23高一上·山东济宁·期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为，三月底测得该水生植物的面积为，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的；另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0． (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 51．（22-23高一上·山东烟台·期末）直播带货是通过互联网直播平台进行商品线上展示､咨询答疑､导购销售的新型营销模式.据统计，某职业主播的粉丝量不低于万人时，其货物销售利润（单位：万元）随粉丝量（单位：万人）的变化情况如右表所示： x（万人） 2 3 5 y（万元） (1)根据表中数据，分别用模型和建立关于的函数解析式； (2)已知该主播的粉丝量为万人时，货物销售利润为万元，你认为（1）中哪个函数模型更合理？说明理由.（参考数据：） 52．（22-23高一上·山东济宁·期末）某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的，最初测得该水生植物面积为，二月底测得该水生植物的面积为24，三月底测得该水生植物的面积为40，该水生植物的面积y（单位：）与时间x（单位月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的，另一个是同学乙提出的，记2021年元旦最初测量时间x的值为0. (1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式； (2)池塘水该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究探讨时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$