专题08 三角恒等变换的综合运用（6大基础题3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题08 三角恒等变换的综合运用 利用两角和与差的正余弦和正切公式求值 1．（22-23高一下·山东济宁·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A 2．（22-23高一下·山东日照·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 故选:C． 3．（22-23高一上·山东临沂·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】又 所以 故选：B 4．（22-23高一下·山东临沂·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】； ； 原式 . 故选：C 5．（23-24高一下·山东青岛·期末）若△ABC为斜三角形，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】由，可知或， 又为斜三角形，所以，即， 故选：A. 6．（23-24高一下·山东日照·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 7．（多选题）（22-23高一上·山东菏泽·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 即， 故， 所以， 即，故D错误. 故选：AC. 8．（多选题）（22-23高一上·山东·期末）在斜三角形中，的三个内角分别为，，，若，是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C． D． 【答案】BC 【解析】因为，是方程的两根， 所以，， 所以，，则，， 所以， 所以，又， 所以，即为钝角，则是钝角三角形，故A错误，B正确； 因为，所以或， 所以，则，故D错误； ，即，故C正确； 故选：BC 9．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，都是锐角，所以， 故， 又，所以， 所以 . 故选：B 10．（23-24高一上·山东济南·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 故选：C. 实际应用 11．（23-24高一下·山东东营·期末）某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，脚的位置位于点处，伞的边缘位于点处，则脚与伞边缘的水平距离为. 由题意得，在中，，则，则， ， . 故选：. 12．（多选题）（22-23高一上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B．的最大值为2 C． D． 【答案】ACD 【解析】， ， 对选项A：，正确； 对选项B： ，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确. 故选：ACD 13．（22-23高一上·山东滨州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为 . 【答案】2 【解析】依题意，， 显然，由得：， 即，整理得， 在中，， 当且仅当，即时取等号， 所以PQ的最小值为2. 故答案为：2 14．（22-23高一下·山东东营·期末）已知圆心角为60°的扇形的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图所示，这个矩形的面积最大值为    【答案】 【解析】设，， 则，，， 所以， 所以矩形的面积 ， 因为，所以， 所以当，即时，矩形的面积取最大值. 故答案为： 15．（22-23高一下·山东临沂·期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则 . 【答案】 【解析】因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 给值求值型问题 16．（多选题）（22-23高一上·山东聊城·期末）已知，，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因，则，又，则， ，而， 与同号，即，则， 与异号，即，则， 所以的值可能为或. 故选：AC 17．（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 所以， 故选：A. 18．（23-24高一下·山东淄博·期末）若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】因为， 所以 所以， 故选：B. 19．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得，解得， 所以，， 故. 故选：D. 20．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以，所以， 由可得， 故， 故选：A 21．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 又，所以； 因为，所以， 又，所以， 所以， 又 所以 . 故选：B. 22．（多选题）（22-23高一下·山东临沂·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，， 对于选项A：因为， 解得，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AB. 23．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知，，则 . 【答案】/ 【解析】由已知 ，分子分母同时除以得 ， 解得. 故答案为： 24．（22-23高一下·山东潍坊·期末）已知，，则 . 【答案】 【解析】因为，即， 所以，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为： 25．（22-23高一上·山东菏泽·期末）（1）已知，为第二象限角，求和的值； （2）已知，，，为锐角，求的值． 【解析】（1）∵，是第二象限角， ∴由，得， ∴； （2）∵，，，为锐角，， ∴，， ∴． 26．（22-23高一下·山东青岛·期末）已知，，且，． (1)求； (2)求． 【解析】（1）因为，所以， 又因为， 所以 由， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 又因为，， 所以， 所以. 二倍角公式 27．（22-23高一下·山东青岛·期末）已知，则 ． 【答案】 【解析】， 由. 故答案为： 28．（22-23高一下·山东威海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，得 ，所以. 故选：C. 29．（22-23高一下·山东潍坊·期末）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 即， 因为，所以，， 所以， 因为，所以，解得. 故选：D 30．（22-23高一下·山东聊城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以， ， 则. 故选：A. 31．（22-23高一下·山东德州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，化简可得，即， 且，则. 故选：D 32．（22-23高一下·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 又，所以，， 所以， 所以. 故选：C. 33．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， . 故选：A. 34．（23-24高一下·山东威海·期末）若，则 . 【答案】/-0.6 【解析】因为，所以， . 故答案为： 35．（23-24高一下·山东东营·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【解析】由已知得， 即， 故答案为：. 36．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）方法一：由于，可得，则， ， 整理得 解得（舍去），或. 方法二：因为，所以， 所以； （2） . 给值求角型问题 37．（22-23高一下·山东威海·期末）已知锐角，满足，，则 . 【答案】/ 【解析】由，得， 由于，为锐角，所以，故， 故答案为： 38．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 【解析】（1）因为角的终边过点，所以， 则，，． ． （2）因为角的终边过点，所以为第四象限角，即， 又因为为锐角，则，可得， 因为，则， 因为，所以． 则 ． 所以． 39．（22-23高一下·山东德州·期末）已知角终边过点，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）根据三角函数的定义，因为角终边上有一点， 所以，，即，所以； （2）由且，得，所以. 由（1）知，所以. 又因为，，所以， 所以，且， 因为. 所以. 给角求值型问题 40．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知 (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若为锐角，且，求的值. 【解析】（1） 因为是第三象限角，且，所以， 则， 所以； （2）方法一： ， ，又是锐角，所以， 则. 方法二： ， ，又是锐角，所以， 则. 三角恒等变换的化简 41．（22-23高一下·山东东营·期末）已知， (1)求的值 (2)求的值． 【解析】（1），解得， 因为，所以， 又，解得. （2）原式 . 三角恒等变换的综合应用 42．（22-23高一下·山东淄博·期末）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【解析】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 43．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 【答案】ABC 【解析】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 整体法思想求值 44．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值； 【解析】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角恒等变换的综合运用 利用两角和与差的正余弦和正切公式求值 1．（22-23高一下·山东济宁·期末）（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·山东日照·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山东临沂·期末）（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·山东临沂·期末）（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·山东青岛·期末）若△ABC为斜三角形，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 6．（23-24高一下·山东日照·期末）（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（22-23高一上·山东菏泽·期末）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（22-23高一上·山东·期末）在斜三角形中，的三个内角分别为，，，若，是方程的两根，则下列说法正确的是（    ） A． B．是钝角三角形 C． D． 9．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·山东济南·期末）（    ） A． B． C． D． 实际应用 11．（23-24高一下·山东东营·期末）某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（   ） A． B． C． D． 12．（多选题）（22-23高一上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义，，则（    ） A． B．的最大值为2 C． D． 13．（22-23高一上·山东滨州·期末）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD延长线上的点，，且，则PQ的最小值为 . 14．（22-23高一下·山东东营·期末）已知圆心角为60°的扇形的半径为1，C是AB弧上一点，作矩形CDEF，如图所示，这个矩形的面积最大值为    15．（22-23高一下·山东临沂·期末）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则 . 给值求值型问题 16．（多选题）（22-23高一上·山东聊城·期末）已知，，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·山东淄博·期末）若，则（    ） A． B．0 C．1 D． 19．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）（22-23高一下·山东临沂·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 23．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知，，则 . 24．（22-23高一下·山东潍坊·期末）已知，，则 . 25．（22-23高一上·山东菏泽·期末）（1）已知，为第二象限角，求和的值； （2）已知，，，为锐角，求的值． 26．（22-23高一下·山东青岛·期末）已知，，且，． (1)求； (2)求． 二倍角公式 27．（22-23高一下·山东青岛·期末）已知，则 ． 28．（22-23高一下·山东威海·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高一下·山东潍坊·期末）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23高一下·山东聊城·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 31．（22-23高一下·山东德州·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 32．（22-23高一下·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 33．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·山东威海·期末）若，则 . 35．（23-24高一下·山东东营·期末）已知，则 ． 36．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)求的值； (2)求的值. 给值求角型问题 37．（22-23高一下·山东威海·期末）已知锐角，满足，，则 . 38．（23-24高一上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点． (1)求的值； (2)已知为锐角，，求． 39．（22-23高一下·山东德州·期末）已知角终边过点，，且. (1)求的值； (2)求的值. 给角求值型问题 40．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知 (1)若角是第三象限角，且，求的值； (2)若为锐角，且，求的值. 三角恒等变换的化简 41．（22-23高一下·山东东营·期末）已知， (1)求的值 (2)求的值． 三角恒等变换的综合应用 42．（22-23高一下·山东淄博·期末）如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 43．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 整体法思想求值 44．（22-23高一上·山东济南·期末）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$