专题03 函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（江苏专用）

专题03 函数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：求函数的定义域、值域 4 考点二：函数（分段函数）求值 6 考点三：函数的三种表示法 6 考点四：函数单调性的判断 7 考点五：函数的最值 8 考点六：函数的奇偶性 9 实战训练 10 明晰 函数的定义域、分段函数求值、奇偶性和单调性的判断与简单应用是本章的重点.定义域问题注意几类特殊的函数形式对自变量的要求；分段函数求函数值只需要根据要求代入相应自变量对应的解析式； 给出相应函数的解析式判断奇偶性和单调性是常见问题，需要着重识别几类常见函数.尤其注意二次函数，其单调性、奇偶性、最值均比较常见. 1、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} ①一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)； ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ③反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝(k≠0)． 2、函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 3、分段函数 分段函数求值时，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间；然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 4、函数的单调性 （1）①基本概念 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 ②当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. ③定义中x1，x2有三个特征：①x1，x2属于同一个区间；②任意性，x1与x2不能用D上的特殊值代替；③有序性，通常规定x1<x2. (2)函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. ①函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. ②若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 5、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 ①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值. ②对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略. 5、函数的奇偶性 (1)定义及图象特征 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数.如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. 奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. （2）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. ①奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. ②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 考点一：求函数的定义域、值域 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 求函数的定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值的集合，即分式的分母不为0，偶次方根被开方数非负，对数的真数大于0，底数大于0不等于1等. 【即时演练】 1．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D． 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 考点二：函数（分段函数）求值 【典型例题】 例题1．已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 例题2．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 例题3．已知函数，则=（    ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 例题4．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 分段函数求值，先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 【即时演练】 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 2．已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3.已知函数，若，则的取值为（    ） A．3 B．5 C． D． 考点三：函数的三种表示法 【典型例题】 例题1．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 例题2．如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是（    ）      A．       B．   C．   D．   例题3．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 例题4． 已知函数用列表法表示如下表，则 0 1 2 2 0 1 【即时演练】 1．在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线.如表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元；表示2小时内的平均价格为3元，下四个图中，实线表示的图象，虚线表示的图象，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象如图所示，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 4．的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列不正确的是（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 考点四：函数单调性的判断 【典例讲解】 例题1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例题2．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 例题3．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 对于几类具有单调性的函数要着重理解、记忆，如指数函数、对数函数，对一些特殊的幂函数，如，要能画出它们的图象；二次函数的单调区间和对称轴的关系需要能准确理解. 【即时演练】 1．在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 考点五：函数的最值 【典例讲解】 例题1．已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 例题2.已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 例题3.用定义证明函数在上的单调性，并求在上的最值. 【即时演练】 1．下列函数中，存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则在上的最大值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 3.函数在区间上的最小值为，最大值为，则 最值问题要先确定定义域，再判断单调性，在定义域范围内，利用单调性求得最值. 考点六：函数的奇偶性 【典例讲解】 例题1.已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例题2.下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 例题3.已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（    ） A．   B．   C．   D．   例题4.已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 定义域为R的奇函数，一定有，且；偶函数，一定有. 【即时演练】 1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若的图象关于原点对称，则实数 . 3.奇函数，则 ． 实 1．函数，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数则等于（    ） A． B． C． D． 7．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 9．函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则下面是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 10．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数是上奇函数，则_______. 12．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：求函数的定义域、值域 4 考点二：函数（分段函数）求值 7 考点三：函数的三种表示法 9 考点四：函数单调性的判断 12 考点五：函数的最值 15 考点六：函数的奇偶性 18 实战训练 21 明晰 函数的定义域、分段函数求值、奇偶性和单调性的判断与简单应用是本章的重点.定义域问题注意几类特殊的函数形式对自变量的要求；分段函数求函数值只需要根据要求代入相应自变量对应的解析式； 给出相应函数的解析式判断奇偶性和单调性是常见问题，需要着重识别几类常见函数.尤其注意二次函数，其单调性、奇偶性、最值均比较常见. 基 1、函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} ①一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)＝ax＋b(a≠0)； ②二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是，对应关系实际上就是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ③反比例函数f(x)＝(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)＝(k≠0)． 2、函数的三种表示方法 表示法 定义 解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系 3、分段函数 分段函数求值时，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间；然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. 4、函数的单调性 （1）①基本概念 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减 图示 ②当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数；当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数. ③定义中x1，x2有三个特征：①x1，x2属于同一个区间；②任意性，x1与x2不能用D上的特殊值代替；③有序性，通常规定x1<x2. (2)函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间. ①函数的单调区间是其定义域内的某一个区间，故讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域. ②若函数在两个区间上都是单调递增(或递减)的，这两个单调区间不能用并集符号“∪”连接. 5、函数的最值 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ∀x∈I，都有f(x)≤M ∀x∈I，都有f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 ①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使得f(x0)等于最值. ②对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两个字不可省略. 5、函数的奇偶性 (1)定义及图象特征 ①设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数.如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数. ②图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. 奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数. （2）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性. ①奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. ②若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 考讲练 考点一：求函数的定义域、值域 【典型例题】 例题1．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定义域与含分式的函数定义域，构成不等式组求解即可. 【详解】因为，所以定义域满足， 解得， 故选：A. 例题2．（2023高三·江苏·学业考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数定义域满足，，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，，解得. 故选：D 例题3．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的定义域；再根据复合函数单调性的判断方法判断的单调性；最后根据单调性即可得出答案. 【详解】要使函数有意义，须使，解得， 即函数的定义域为. 令，， 则. 因为函数在上单调递增，在上单调递减；为上的增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，. 又因为，， 所以函数的值域为. 求函数的定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值的集合，即分式的分母不为0，偶次方根被开方数非负，对数的真数大于0，底数大于0不等于1等. 【即时演练】 1．下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不为0即可判断A；根据偶次方根被开方数大于等于0即可判断B；根据对数函数真数大于0即可判断C；根据幂函数定义域即可判断D. 【详解】对A，其定义域为，故A错误； 对B，其定义域为，故B错误； 对C，由题意得，解得，则其定义域为，故C错误； 对D，显然其定义域为，故D正确. 故选：D. 2．函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式、分式的意义直接运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B. 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶次根式有意义的条件求解即可 【详解】函数的定义域为， 故选：B 4.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域为且在定义域内是增函数可得答案. 【详解】函数的定义域为且在定义域内是增函数. 所以 故选：D 【点睛】本题考查具体函数的值域，属于基础题. 考点二：函数（分段函数）求值 【典型例题】 例题1．已知，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】直接代入求解即可. 【详解】因为，则， 故选：B. 例题2．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据题意，结合分段函数的解析式，代入准确运算，即可求解. 【详解】由函数，则. 故选：D. 例题3．已知函数，则=（    ） A．1 B．3 C．-3 D．-1 【答案】B 【分析】计算出，从而求出. 【详解】，. 故选：B 例题4．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案. 【详解】当时，，当时，， 故由，得， 故选：A 分段函数求值，先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止. 【即时演练】 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】直接代入计算即可. 【详解】. 故选：A. 2．已知集合，定义函数则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，结合分段函数的解析式可得答案. 【详解】由题意可知， 所以， 故选：B. 3.已知函数，若，则的取值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】利用分类讨论表示方程求解即可. 【详解】当时，，不符合题意， 当时，，符合题意 故选：A. 考点三：函数的三种表示法 【典型例题】 例题1．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】由函数解析式求解． 【详解】因为，所以， 故选：A 例题2．如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周老师散步的路线可能是（    ）      A．       B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据关于的函数关系的图象确定正确答案. 【详解】根据关于的函数关系的图象可知， 周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越来越近）， 所以D选项对应图象符合. 故选：D 例题3．某工厂生产零件x件，当时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（   ）元 A．1000 B．1750 C．1500 D．1300 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出生产成本与产量的函数关系，再代入求出函数值. 【详解】令生产零件件的成本为元， 当时，， 当时，， 因此，当时，， 所以当时，生产成本为1750元. 故选：B 例题4． 已知函数用列表法表示如下表，则 0 1 2 2 0 1 【答案】0 【分析】由表格给出的数据有，则可求出答案. 【详解】根据表格中的数据有 所以 故答案为：0 【点睛】本题考查根据函数的列表法求函数值，属于基础题. 【即时演练】 1．在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线.如表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元；表示2小时内的平均价格为3元，下四个图中，实线表示的图象，虚线表示的图象，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合函数图象，可得答案. 【详解】刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A、D错误； 开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减，故B错误. 故选：C. 2．函数的图象如图所示，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】有图像可知，当时，，即可求解. 【详解】有图像可知，当时，，故. 故选：C. 3．已知，则的解析式可取为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配凑法求得的解析式. 【详解】由于， 所以. 故选：C 4．的面积为，如果矩形的长为，宽为，对角线为，周长为，下列不正确的是（   ） A．（） B．（） C． （） D．（） 【答案】C 【分析】根据已知条件逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为矩形的面积为，矩形的长为，宽为， 所以，得，所以矩形的周长为（），所以A正确， 对于B，由选项A，可知（），所以B正确， 对于C，因为矩形的面积为，对角线为，长为，宽为， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 因为，所以，所以矩形的周长为（），所以C错误， 对于D，由选项C可知，，所以， 因为，所以（），所以D正确， 故选：C. 考点四：函数单调性的判断 【典例讲解】 例题1．已知函数在上的图像如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 例题2．下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：函数在上单调递减，故A正确； 对于B：函数在上单调递增，故B错误； 对于C：函数在上不具有单调，故C错误； 对于D：函数在上单调递增，故D错误； 故选：A 例题3．下列函数中，在其定义域内为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：函数在定义域上单调递减，故A错误； 对于B：函数在定义域上单调递增，故B正确； 对于C：函数在，上单调递减，故C错误； 对于D：函数在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：B. 对于几类具有单调性的函数要着重理解、记忆，如指数函数、对数函数，对一些特殊的幂函数，如，要能画出它们的图象；二次函数的单调区间和对称轴的关系需要能准确理解. 【即时演练】 1．在下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得. 【详解】对A：在上单调递增，故A错误； 对B：在上单调递增，故B错误； 对C：在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D：在上单调递减，故D正确. 故选：D. 2．若函数满足“对定义域内任意实数，都有”，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式代入检验判断A，取特殊值检验判断BC，根据解析式及基本不等式可判断D. 【详解】对A，，，所以满足条件，故A正确； 对B，取，，不满足条件，故B错误； 对C，取，，不满足条件，故C错误； 对D，，，， 由知当时，，故，故D错误. 故选：A 3．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性即可． 【详解】对于A，函数在定义域内单调递增，函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上为减函数，A选项错误； 对于B，由反比例函数的性质可知，在区间上为增函数，B选项正确； 对于C，由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，C选项错误； 对于D，由指数函数性质可知，在区间上为减函数，D选项错误. 故选：B 考点五：函数的最值 【典例讲解】 例题1．已知函数，则函数的最大值为（    ） A．15 B．10 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以函数的最大值为15. 故选：A 例题2.已知函数，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．6 D．10 【答案】C 【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值. 方法二：求出函数在上的单调性，根据单调性判断函数的最值. 【详解】方法一：当时，， 所以得最小值是6. 方法二：因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故选：C 例题3.用定义证明函数在上的单调性，并求在上的最值. 【答案】证明见解析，， 【分析】取，计算得到证明，再根据函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】任取，则 ，即， 故函数在上是增函数， ，故，. 【即时演练】 1．下列函数中，存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可. 【详解】单调递减值域为,无最小值，A选项错误； 在单调递减，在单调递增，当取得最小值，B选项正确； 单调递增，值域为，无最小值，C选项错误； 单调递增，值域为,无最小值，D选项错误. 故选:B. 2．已知函数，则在上的最大值为（    ） A．9 B．8 C．3 D． 【答案】A 【分析】先通过对称轴确定单调性，进一步可求最大值. 【详解】函数的对称轴为， 所以函数在上单调递减， . 故选：A. 3.函数在区间上的最小值为，最大值为，则 【答案】 【分析】结合函数的单调性计算即可得. 【详解】由在上单调递减，故，， 即. 故答案为：. 最值问题要先确定定义域，再判断单调性，在定义域范围内，利用单调性求得最值. 考点六：函数的奇偶性 【典例讲解】 例题1.已知是定义在上的奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的性质求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，即. 故选：B. 例题2.下列函数中，是偶函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意奇偶性的性质和定义逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以不具有奇偶性，故A错误； 对于选项BC：可知，均为奇函数，故BC错误； 对于选项D：因为的定义域为， 且，所以为偶函数，故D正确； 故选：D. 例题3.已知奇函数的图象关于原点对称．下列函数图象中，可以表示奇函数的有（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】BC 【分析】根据奇函数关于原点对称判断选项. 【详解】根据奇函数关于原点对称结合函数图象，符合题意是B,C选项. 故选：BC. 例题4.已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 定义域为R的奇函数，一定有，且；偶函数，一定有. 【即时演练】 1.下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性、奇偶性等知识来确定正确答案. 【详解】A选项，是非奇非偶函数，不符合题意. B选项，在上不是增函数，不符合题意. C选项，在上单调递减，不符合题意. D选项，设的定义域是， ，所以是奇函数，， 当时，单调递增， 根据奇函数的性质可知在上单调递增，符合题意. 故选：D 2.已知函数，若的图象关于原点对称，则实数 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，令，即可得到答案. 【详解】∵函数的图象关于原点对称, ∴为奇函数, ∴， ∴，经验证满足题设. 故答案为： 3.奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合奇函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，即， 经验证：函数的定义域为关于原点对称， 且，符合题意，所以. 故答案为：. 实战能力训练实战能力训练 1．函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据函数的解析式可求出结果. 【详解】由题意，函数， 所以. 故选：A. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 3．对于函数，部分与的对应关系如下表： 则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格先求，再求的值. 【详解】由表格可得，， 所以. 故选：C. 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明函数的单调性，然后利用函数的单调性求解即可. 【详解】函数在上单调递减. 所以当时， ，， 所以的值域为. 故选：B 5．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接求解即可. 【详解】解：因为，所以． 故选：D． 6．已知函数则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可. 【详解】∵ ∴. 故选：A. 7．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据学生的走法情况，先跑步（快速），再步行（慢速），从离校的距离与出发时间的函数图象来看，先陡后平缓，且随着的增大而减小，由此可作出判断. 【详解】由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭， 后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为，故符合要求的图象为D选项中的图象. 故选：D. 【点睛】本题主要考查实际问题中函数图象的识别，属于基础题. 8．下列函数中，在其定义域上为单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数，幂函数相关知识直接进行判断 【详解】在R上单调递减，A正确； 在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 在上单调递增，故C错误； 在R上单调递增，D错误 故选：A 9．函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则下面是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可. 【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的增区间是和. 故选：B. 10．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用奇函数的定义分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，因为，所以为偶函数，所以A不符合题意； 对于B，定义域为，因为，所以为奇函数； 对于C，定义域为，因为，所以不是奇函数； 对于D，定义域为，因为，所以为偶函数，所以D不符合题意. 故选：B 11．已知函数是上奇函数，则_______. 【答案】1 【分析】利用奇函数的定义可求参数的值. 【详解】因为是上的奇函数，故，所以=0，故， 当时，，，则是奇函数， 所以. 12．已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据二次函数图象对称轴与区间端点的位置关系求解即可. 【详解】依题意，函数的对称轴为， 又在区间上是单调函数，故或，解得或. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$