精品解析：安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

2023级高二上学期11月期中考 数学（人教A版）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于x轴对称 B. 点和点关于平面对称 C. 点和点关于y轴对称 D. 点和点关于平面对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标对称关系判断即可. 【详解】已知点和点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等， 所以点和点关于平面对称. 故选：B. 2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面向量定理结合题意设，然后将向量的坐标代入列方程可求得结果. 【详解】由题意得，，即， 所以，解得. 故选：D. 3. 已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量在向量上投影向量的计算公式求解. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 故选：A 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点差法求解中点弦问题求解即可. 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据得到轨迹方程，并得到，表达出，当时，面积最大，求出，，由余弦定理得到答案. 【详解】由题意设，，， 由得：， 化简得，故， ∵，∴当时，面积最大， 此时不妨设，则，. ∴. 故选：D. 8. 已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，结合椭圆上点到同侧焦点和准线的距离比为离心率得，根据角平分线的性质有，列方程求，即可得结果. 【详解】根据对称，不妨设，. 由题意得，，，，则离心率， 左准线方程为，所以， 因为，所以由角平分线定理得， 即，解得，所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若直线与轴负半轴和轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，则面积的最小值是20 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B，根据直线的位置关系，建立方程，通过验根，可得答案；对于C、D，由直线方程，求得斜率与截距、点的坐标，建立不等式组，可得答案. 【详解】若，则，解得或， 经检验时，这两条直线重合，所以，故A错误； 若，则，解得，故B正确； 若直线：不经过第四象限， 则，解得，故C错误； ，，则，解得， ，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ） A. 离心率 B. 的周长与点M的位置无关 C. D. 直线与直线的斜率之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆方程得到、、，即可求出离心率，从而判断A，根据椭圆的定义判断B，根据椭圆的性质判断C，设，表示出斜率，即可判断D. 【详解】因为椭圆C：，则，，，则离心率，故A错误； ∵M是椭圆C上的动点（不与A，B重合）， ∴，故B正确； 因为，即，故C正确； 不妨设，，，则， 所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，正方体的棱长为2，为上底面内部一点（包括边界），，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线和直线所成的角是30°时，点的轨迹长度是 B. 若平面，则的最小值为 C. 若，则直线和底面所成的最大角是45° D. 平面被正方体所截的截面形状是六边形 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即平面，则，进而得到，得到点的轨迹可判断A；由面面平行得到线面平行，即平面平面，则平面，得到点的轨迹可判断B；根据向量关系式确定点的位置，设点在底面的投影为，求出直线和底面所成角的正弦值可判断C；根据平面的性质作出平面被正方体所截的截面可判断D. 【详解】对于A，由正方体得平面， 平面，， 在中，，，则， 所以点的轨迹是上底面内以为圆心，以为半径的弧， 所以点的轨迹长度是，故A正确； 对于B，如图1， 分别取棱和的中点，，连接，，，， 易证平面平面， 若平面，则点在线段上运动， 故的最小值即到的距离，即，故B正确； 对于C，由得点在线段上， 设点在底面的投影为，易得点在线段上， 则为直线和底面所成的角， 则， 当最大时最小，因为，所以， 则直线和底面所成的最小角是45°，故C错误； 对于D，如图2， 延长，分别交，的延长线于点，， 连接，，分别交，于点，， 则平面被正方体所截的截面是五边形，故D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________. 【答案】 【解析】 【分析】求得线段垂直平分线方程并与直线可得圆心为，即可得半径为. 【详解】由题意得的中点为，， 则线段的垂直平分线为，即， 联立，解得，即圆心， 所以该圆的半径为. 故答案为： 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，求得的取值范围，由此列不等式，由此求得离心率的取值范围. 【详解】，即， ， 当且仅当时等号成立. ， 由于，所以当或时， 有最小值为， 所以，则，即， 即，解得. 故答案为： 【点睛】关键点睛： 椭圆焦点和离心率的应用：通过利用椭圆的焦半径和离心率关系，结合椭圆上的点条件，推导出离心率的范围，这是解题的关键步骤. 不等式解的准确性：通过解不等式，得出离心率的范围，确保计算过程中的符号处理正确，是确保结论正确的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. （1）与直线：垂直； （2）两坐标轴上截距相反. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由两条直线垂直求出所求直线的斜率，再由点斜式求出直线方程即可； （2）分截距为零和截距不为零两大类进行讨论求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 则直线的方程为，即. 【小问2详解】 当两坐标轴上截距为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得， ∴，即. 当两坐标轴上截距不为0时，设直线的方程为， 将代入，得，解得，∴，即. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，. （1）求证：异面直线和垂直； （2）求点到平面的距离 【答案】（1）证明：以为坐标原点，，，分别为x，y，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，. 易得，， 所以， 所以异面直线和垂直. （2） 【解析】 【分析】（1）建系，由方向向量的垂直即可求解； （2）建系，通过点到面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，. 设平面的法向量为，则， 即，令，则. 因为，所以点到平面的距离为. 17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或. （2）存在， 【解析】 【分析】（1）分斜率存在与否进行分析，结合弦长公式.列方程求解，可得答案； （2）分斜率存在与否进行分析，联立方程，利用韦达定理，结合斜率与倾斜角的关系，可得答案. 【小问1详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨得，，则，与题意不符，舍去. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由弦长公式得圆心到直线的距离为， 所以，解得， 故直线的方程为或. 【小问2详解】 当直线轴时，直线的方程为， 不妨得，，此时x轴平分. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，. 联立，得，， 所以，. 若x轴平分，则，即， 即，则，即， 解得. 综上，当点Q为时，能使得x轴平分恒成立. 18. 如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. （1）求证：平面平面； （2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E. 因为，，所以，，， 因为，， 所以 ， 即， 所以，所以. 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）过点P，B分别向直线作垂线，垂足分别为点O，E，利用空间向量可得，进而可得线面、面面垂直； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以（1）中的点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，，，， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，，所以. 设平面与平面所成锐二面角为， 则. 平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 【答案】（1） （2）或. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长，结合的关系式，建立方程组，可得答案； （2）分直线斜率是否存在进行分析，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理与圆的性质，可得答案； （3）设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，结合三角形面积公式，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，，所以. 因为短轴长为4，所以，解得，所以， 所以E的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，. 当直线的斜率不存在时，则，， 此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而， 则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在. 设直线的方程为，，， 联立，消去y得，， ，且，. 因为以为直径的圆经过点，所以. 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，，则直线的方程为，直线的方程为， 设，，，， 联立，消去得，， 由，所以， 所以，， 即，同理可得， 因为，所以，则， 记的中点为，则. 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二上学期11月期中考 数学（人教A版）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（ ） A. 点和点关于x轴对称 B. 点和点关于平面对称 C. 点和点关于y轴对称 D. 点和点关于平面对称 2. 已知空间向量，，，若，，共面，则实数m的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 7. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且满足，当且时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在中，，且，当面积取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在椭圆C：上（点P不是椭圆的顶点），，分别为椭圆C的左、右焦点，交y轴于点G，且，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若直线与轴负半轴和轴正半轴分别交于点，，为坐标原点，则面积的最小值是20 10. 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是A，B，M是椭圆C上的一个动点（不与A，B重合），则（ ） A. 离心率 B. 的周长与点M的位置无关 C. D. 直线与直线的斜率之积为定值 11. 如图，正方体的棱长为2，为上底面内部一点（包括边界），，分别是棱和的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当直线和直线所成的角是30°时，点的轨迹长度是 B. 若平面，则的最小值为 C. 若，则直线和底面所成的最大角是45° D. 平面被正方体所截的截面形状是六边形 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆C过，两点，且圆心C在直线上，则该圆的半径为_________. 13. 已知实数x，y满足，则的取值范围为_________. 14. 已知椭圆：，，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率的取值范围为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线过点，求满足下列条件的直线的方程. （1）与直线：垂直； （2）两坐标轴上截距相反. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，分别为，的中点，，. （1）求证：异面直线和垂直； （2）求点到平面的距离 17. 已知过点的直线与圆O：相交于A，B两点. （1）若弦的长度为，求直线的方程； （2）在x轴正半轴上是否存在定点Q，无论直线如何运动，x轴都平分?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 18. 如图1，在矩形中，，，连接，沿折起到的位置，如图2，. （1）求证：平面平面； （2）若点M是线段的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为4. （1）求E的标准方程； （2）过点的直线交E于P，Q两点，若以为直径的圆过E的右焦点，求直线的方程； （3）两条不同的直线，的交点为E的左焦点，直线，分别交E于点A，B和点C，D，点G，H分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值（O为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $