精品解析：云南省镇康县第一中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题

2024—2025学年镇康县第一中学高二11月月考卷 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B 2. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件求解. 【详解】由可得：， 解得：或， 当时，两直线重合，不合题意， 当时，两直线平行. 故选：C. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的取值情况，分析判断集合中元素的特征得不等式，求解即得. 【详解】因， 则， 故. 故选：D. 4. 某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为（ ） A. 79.5分 B. 82.5分 C. 81分 D. 82分 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，先判断化学成绩的上四分位数在内，再利用百分位数的计算公式即可求得. 【详解】上四分位数即第75百分位数， 由频率分布直方图知，分数在内的频率为， 在）内的频率为， 因此第75百分位数位于内，第75百分位数为． 故选:B． 5. 薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系. 在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ） A. 2.25min B. 2.75min C. 3.25min D. 3.75min 【答案】C 【解析】 【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得. 【详解】由图2知，解得，，， 所以， 所以当时，取得最大值. 故选：C. 6. 已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球．每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响．每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲获胜和乙获胜两种情况讨论即可. 【详解】若甲获胜，则第2次乙胜，第3次甲胜，第4次甲胜， 则其概率为， 若乙获胜，则第2次，3次，4次乙胜， 则其概率为， 则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为. 故选：D. 7. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由奇函数性质求出，接着验证满足题意即可结合对数运算性质计算求解的值. 【详解】因为是奇函数，所以， 所以，又，所以， 当时，，定义域为R关于原点对称， 且， 所以是奇函数，所以， 所以. 故选：D. 8. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ） A. ±1 B. C. D. ±2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，结合斜率的定义进行求解即可 【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况． 如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H． 设，，则． 而，所以， l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则， 可求得，可求得l斜率为， 同理，l的斜率小于0时，其斜率为． 故选：D 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：BD 10. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若和外离，则或 B. 若和外切，则 C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切 D. 当时，和内含 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先得到两圆圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再根据两圆的位置关系由圆心距与半径的和差关系得到不等式（方程），即可判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 所以， 若和外离，则，解得或，故A正确； 若和外切，则，解得，故B正确； 当时，，则和内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当时，，则和相交，故D错误. 故选：ABC． 11. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】取计算可判断AB；用代换可得，进而可得可判断D；取，可求得可判断D. 【详解】令，得，解得， 代入，得，所以A正确，B错误； 用替换中的，得， 用替换中的，得， 所以，故D正确； 中，取得，取得， 所以，故C正确. 故选：ACD. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 13. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】由得，即， 所以，解得或， 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据给定条件，设，利用椭圆的定义及余弦定理建立等式即可求出离心率. 【详解】如图，连结，设，则， 在中，由余弦定理，得， 即，整理得：， 在中，由余弦定理，得， 即，整理得：， 因此，而，则，即， 所以C的离心率． 故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在三棱锥中，已知，，平面的法向量为. （1）求异面直线，所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用向量的夹角公式，准确计算，即可求解； （2）根据，求得，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 设异面直线，所成角为， 可得， 所以异面直线，所成角的余弦值. 【小问2详解】 解：由向量，，且平面的法向量为， 所以，解得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，整理成三角方程，根据角的范围即可求角； （2）由余弦定理代值整理求得的值，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 因，故得，即， 因，故； 【小问2详解】 由余弦定理，，代值整理可得，， 又，代入解得，， 于是，的面积为. 17. 已知，，三点，点在圆上运动． （1）若的最大值和最小值分别为和，求的值； （2）过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的一般式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据两点间距离公式以及在圆上运动得到，结合的范围求解即可； （2）设切点，，利用点斜式求出直线的方程，同理得到直线的方程，由均过点，代入可得，，即点，都在直线上，即得直线的一般式方程. 【小问1详解】 设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以； 【小问2详解】 因为过且斜率不存在的直线不是圆的切线， 过且斜率为0的直线也不是圆的切线， 所以直线，，，的斜率都存在， 设切点，，则，， 直线方程为， 整理得， 同理可得直线方程为：， 由直线，均过点，则， ， 即点，都在直线上， 所以直线的方程为. 18. 如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 在中，，，， 由余弦定理，得到， 解得，所以，得到，又， 所以，即， 又平面，面，所以， 又，面，所以面，又面， 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，从而得到，利用线面垂直的性质得到，进而得到面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结果； （2）建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法，得到，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为，，， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，得到，取，得到，即， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则，整理得到，解得， 所以. 【点睛】 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且． （1）求的方程； （2）如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出，得到双曲线方程； （2）设，利用点斜式方程分别写出直线的方程，和双曲线联立后，得到的坐标，然后得到直线的方程，即可求解. 【小问1详解】 渐近线，渐近线． 设为坐标原点，由题意，不妨设在上，在上，是线段的中垂线， 所以．由对称性，， 所以，从而． ，在Rt中，， 解得． 所以，故C的方程为． 【小问2详解】 设，设直线． 可得直线． 联立 得， 则，又， 所以， 所以， 所以，同理． 则 直线， 令，得，所以直线过定点． 【点睛】方法点睛：直线过定点问题，需将待考察的直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理的表达式，将直线方程进行化简整理后进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年镇康县第一中学高二11月月考卷 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名､考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线：，直线：，则命题：是命题：的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 某省教育厅对全省高三学生采用分层抽样的方式抽取了1000名学生参加化学，物理和英语三大学科的抽样考试，目的是为了更好地应对新高考的改革来调整日常教学同时检查各个学校的教学成果，考试结束后对这1000名同学的化学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则这些同学化学成绩的上四分位数约为（ ） A. 79.5分 B. 82.5分 C. 81分 D. 82分 5. 薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系. 在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ） A. 2.25min B. 2.75min C. 3.25min D. 3.75min 6. 已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球．每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响．每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是奇函数，则（ ） A. B. C. D. 8. 设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（ ） A. ±1 B. C. D. ±2 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在平行六面体中，设，若为与的交点，则下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆，则下列结论正确的是（ ） A. 若和外离，则或 B. 若和外切，则 C. 当时，有且仅有一条直线与和均相切 D. 当时，和内含 11. 已知函数满足对任意，都有，则（ ） A. B. 可能是增函数 C. D. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为___________． 13. 若，则_______． 14. 已知椭圆的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线l与C交于P，Q两点（点P在第一象限），若，则C的离心率是________． 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 在三棱锥中，已知，，平面的法向量为. （1）求异面直线，所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 已知，，三点，点在圆上运动． （1）若的最大值和最小值分别为和，求的值； （2）过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的一般式方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，． （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且． （1）求的方程； （2）如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $