3.1 椭圆导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1 椭圆 学习目标:1.理解椭圆的定义.2.理解椭圆标准方程的推导过程。3.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．4.掌握椭圆的简单几何性质，能利用简单性质求椭圆方程.5.能用椭圆的简单几何性质分析解决有关问题. 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 3.1.1 椭圆及其标准方程 问题1:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 问题2：在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 问题3：应该如何完善刚才对椭圆的定义？ 问题4：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？ 问题5：观察图，你能从中找出表示，，的线段吗？ 1. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程． 2. 若点满足方程，求动点M的轨迹方程？ 3. 到的距离之和为6的点的轨迹. 4. 都的距离之和为4的点的轨迹. 5.到的距离之和为3的点的轨迹. 问题6：如图3.1-4，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为，，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1），，焦点在轴上； （2）与椭圆有相同的焦点，且经过点 （3）经过两点 2.中心在原点，焦点在轴上，焦距为8，且过点（3，0）的椭圆方程为（ ）. A． B． C．或 D．或 3.“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（    ）． A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例2如图3.1-5，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么?为什么? 例3 如图3.1-6，设，两点的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是，求点的轨迹方程． 1. 设动圆与圆外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程. 2.在平面直角坐标系中，已知定点、，直线与直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3.已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ） A． B． C． D． 4.已知圆，圆内一定点，动圆过点且与圆内切，设动圆的半径为，则圆心的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 5.圆，从圆上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 巩固提升 1.椭圆的焦距是 ，焦点坐标是 ；若AB为过椭圆的一个焦点F1的一条弦，F2为另一个焦点，则的周长是 . 2.已知椭圆的标准方程是(a>5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为________． 3.椭圆M的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆M于点A，B.若的周长为20，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，M为C上一点，若的中点为，且的周长为，则C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5.已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 6.椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 7.分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上一点，且，则（ ） A． B． C． D．与的取值有关 8.椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 9.设为椭圆的焦点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型一 椭圆上的点到焦点和定点距离的和差最值 1.设，分别为椭圆C：的左，右焦点，过垂直于长轴的直线交椭圆C于A、B两点，且；为C内一点，Q为C上任意一点，求的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.已知点是椭圆的一个焦点，点为椭圆上任意一点，点，则取最大值时，直线的斜率为________ 3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为__________． 4.已知椭圆C的方程为，M为C上任意一点，则的最小值为___________. 3.1.2 椭圆的简单几何性质 问题1：前面已经学习了椭圆的概念与椭圆的标准方程，按照解析几何研究几何图形的内在逻辑，接下去我们应该研究什么？ 追问：你觉得应研究椭圆的哪些几何性质？如何研究？ 1.范围 问题2：观察图3.1-7，容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内，你能利用方程（代数方法）确定出它的具体边界吗？ 2.对称性 问题3：观察椭圆的形状，它有怎样的对称性？在直角坐标系中，要证明一个图形关于坐标轴或原点对称，就是要证明什么？你能利用椭圆的方程证明它的对称性吗？ 3.顶点 问题4：观察椭圆，你认为椭圆 哪些点比较特殊？为什么？如何得到这些点的坐标？ 4.离心率 思考，观察图3.1-9，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同，相同形状的椭圆的扁平程度相同。扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？ 追问：教科书为什么用，而不用刻画椭圆的扁平程度？ 问题6：你能描述离心率的变化与椭圆的扁平程度的关系吗？ 定义 图形 标准方程 范围 长轴长 短轴长 焦点、焦距 顶点 离心率 1.求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 2.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 3.已知椭圆，设椭圆与椭圆的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆的焦点在轴上． (1)求椭圆的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆的方程，并研究其性质． 4.求满足下列条件的椭圆的标准方程． （1）长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为； （2）椭圆过点，离心率； （3）在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8； （4）与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2． 5. 比较两个椭圆与的形状，哪一个更接近于圆，为什么？ 类型一 求椭圆离心率的值 1.椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2.已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 3.过椭圆的右焦点作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两点，为椭圆的左焦点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4.已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 类型二 求椭圆离心率的范围 1.已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.已知椭圆（），椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上的任意一点，且满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4.设是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是（ ） A． B． C． D． 类型三 点与椭圆的位置关系的判断 1已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是_______. 2.点在椭圆的外部，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3.已知椭圆经过点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型四 直线与椭圆的位置关系判断 1.设直线，椭圆． （1）直线与椭圆有一个公共点，则m满足的条件是______． （2）直线与椭圆有两个公共点，则m满足的条件是______． （3）直线与椭圆没有公共点，则m满足的条件是______． 2.直线：，椭圆C：，直线与椭圆的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定，与m的取值有关 3.（多选）已知椭圆的焦点分别为，，焦距为2c，过的直线与椭圆C交于A，B两点.，，若的周长为20，则经过点的直线（ ） A．与椭圆C可能相交 B．与椭圆C可能相切 C．与椭圆C可能相离 D．与椭圆C不可能相切 4.如果直线l：与椭圆C：（）总有公共点，求实数a的取值范围. 类型 五 直线与椭圆相切应用 1.经过点且与椭圆相切的直线方程是( ) A． B． C． D． 2.过圆上一定点的圆的切线方程为.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆上的点作椭圆的切线.则过点且与直线垂直的直线方程为（ ） A． B． C． D．【变式7-2】椭圆 3.上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ） A． B． C． D． 4.直线：与椭圆相交于、两点，点是椭圆上的一点，若三角形的面积为12，则满足条件的点的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型 六 直线与椭圆相交弦长问题 1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ） A． B． C． D． 2.斜率为1的直线l与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（ ） A．2 B． C． D． 3.已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为______． 4.已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数. （1）求点的轨迹. （2）点为轨迹与轴正半轴交点，过点的直线交轨迹于两点，且弦的长为，求直线的方程. 类型七 椭圆的中点弦与点差法 1.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ） A． B． C． D． 类型八 椭圆中的定点定值与最值问题 1.已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点. （1）若求圆心的轨迹的方程. （2）若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程. 2.设点、分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0． （1）求椭圆C的方程； （2）设定点，已知过点且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求m的取值范围． 3.给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为． （1）求椭圆C和其“准圆”的方程； （2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围， 4.已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和. （1）求的方程； （2）过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值. 5.已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为． （1）求椭圆C的标准方程． （2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$