3.3抛物线 导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3 抛物线 学习目标:1．了解抛物线的定义、几何图形；2.了解抛物线的标准方程及推导过程；3.掌握抛物线的简单几何性质，能利用简单性质求抛物线方程.4.理解抛物线简单几何性质的推导过程.5.能用抛物线的简单几何性质分析解决一些简单的问题. 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 3.3.1 抛物线及其标准方程 如图：F是定点，是不过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作MH垂直，线段FH的垂直平分线交MH于点拖动点H，点M随之运动，你能发现M满足的几何条件吗？ 抛物线定义： 符号语言： 图形语言： 焦点： 准线： 思考：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 方程特点： 思考：二次函数的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点坐标、准线方程. 例1（1）已知抛物线的标准方程是, 求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点是， 求它的标准方程。 目标检测： 1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 （1） （2） （3） （4） 2.根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是 （2）准线方程是 （3）焦点到准线的距离是 3.已知抛物线过点，则抛物线的标准方程为______． 4.以椭圆的对称中心为顶点，椭圆的焦点为焦点的抛物线的方程是（ ） A. B．或 C． D．或 5.已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点A满足，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 6.已知抛物线上的点与焦点的距离等于7，求点的坐标. 7.抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型一 利用抛物线定义解决轨迹问题 1.若动点满足，则点M的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2.动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3.设圆C与圆外切，与直线相切，则圆C的圆心的轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆 4.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 题型二 抛物线中距离和差最值问题 1.已知抛物线焦点的坐标为，P为抛物线上的任意一点，，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D． 2.已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点，则|PA|+|PM|的最小值是（ ） A．5 B． C．4 D． 3.已知抛物线：的准线为，点的坐标为，点在抛物线上，点到直线的距离为，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 4.已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 5.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 3.3.2抛物线的简单几何性质 探究一：抛物线的范围 问：观察直角坐标系中的抛物线，它的范围是什么？ 探究二：抛物线的对称性 问：观察方程的曲线，开口向右的抛物线有对称轴，对称中心吗？ 探究三：抛物线的顶点 问：椭圆与双曲线的顶点是如何定义的？抛物线有几个顶点？为什么？ 探究四：抛物线的离心率 【思考1】双曲线的开口大小由离心率来衡量，那么抛物线的开口大小怎样确定呢？ 【思考2】通径是一类特殊的焦点弦，那么请问通径是抛物线最短的焦点弦吗？ 标准方程 图形 焦点 准线 顶点 开口方向 对称轴 x的取值范围 y的取值范围 1.抛物线上一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( ) A. B. C.0 D. 2.已知抛物线（）上一点M的纵坐标为，该点到准线的距离为6，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B．或 C． D．或 3.已知抛物线过点，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若，则实数( ) A. B. C.2 D.3 4.已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：相交于不同的两点，与抛物线的准线相交于不同的两点，且.求抛物线的方程； 问题1：直线与抛物线的位置关系有哪些？有多少个公共点？如何判断？ 例1 已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ 问题2:直线过抛物线的焦点时，直线与抛物线的位置关系如何？有多少个公共点？ 例2 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长. 例3 直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. （1）用，表示线段的长，并证明：长度最小为（通径）. （2）求证：. （3）求证：. （4）求证：以为直径的圆与准线相切. （5）求证：以焦半径为直径的圆与轴相切. 问题3: 当直线不过抛物线焦点时，结论是否成立？ 例4 斜率为1的直线经过抛物线的定点，且与抛物线相交于，两点，求线段AB的长. 1. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行与抛物线的对称轴． 2. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，若点，求的最小值． 3. 抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，求证：是一个定值． 4. 已知过定点的直线交抛物线于，两点，求△面积的最小值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 题型三 判断直线与抛物线位置关系 1.已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2.已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 3.已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（ ） A． B． C． D． 题型四 直线与抛物线相交弦长问题 1.已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（ ） A． B．3 C． D．2 2.已知双曲线E：，若抛物线的焦点到双曲线E的渐近线的距离为，过焦点倾斜角为的直线与抛物线交于A，B两点，则的值为（ ） A． B． C．8 D． 3.已知直线被曲线截得的弦长为，求实数的值． 4.已知抛物线的焦点为F，已知第一象限的点A在抛物线上，连接AF并延长交抛物线于另一点B，且，则的面积是 . 题型五 抛物线的中点弦及点差法 1.已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为 . 2.已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3.过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 4.已知抛物线的焦点为. （1）求的值； （2）过点的直线与抛物线交于，两个不同点，若的中点为，求的面积. 题型六 抛物线的综合问题 1.已知直线与抛物线C：交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D． （1）证明点D在一条定直线上； （2）过点D作y轴的平行线交C于点E，求面积的最小值． 2.已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于、两点，满足． （1）求抛物线的方程； （2）过点且斜率为的直线被抛物线截得的弦为，若在以为直径的圆内，求的取值范围． 3.已知抛物线C：的焦点F与椭圆的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B． （1）求抛物线C的标准方程及其准线方程； （2）设直线MA，MB的斜率分别为，，证明：为定值． 4.已知动圆P过点且与直线相切，圆心P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）若A，B是曲线C上的两个点，且直线AB过的外心，其中O为坐标原点，求证:直线过定点. 第 5 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$