3.2 双曲线导学案-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2 双曲线 学习目标:1.通过从具体情境中抽象双曲线概念的过程，准确说出双曲线的概念；2.通过类比椭圆推导标准方程，能推导双曲线标准方程，并解决简单问题。3.了解双曲线的范围、对称轴、顶点、实轴、虚轴、渐近线等概念。4.类比椭圆几何性质的研究方法，自主研究并获得双曲线的几何性质，并能解决简单问题。 1、 课前准备:预习教材，找出疑惑之处. 3.2 双曲线及其标准方程 问题1：回顾椭圆的概念？ 问题2：我们知道，平面内与两个定点，的距离的和等于常数（大于)的点的轨迹是椭圆．一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？下面我们先用信息技术探究一下． 双曲线定义： 追问1：双曲线定义中去掉“绝对值”字眼可以吗？ 要点诠释： 请回答以下问题： （1）已知已知|F1F2|=6,,M点到F1,F2两点的距离之差的绝对值为5,则M点的轨迹是什么? （2）把绝对值改为6呢？ （3）把绝对值改为10呢？ （4）把绝对值改为0呢？ 探究：类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？ 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点 a，b，c的关系 焦点位置的判定 例1巳知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 例2 已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 1. 判断下列双曲线的焦点位置，并求出焦点坐标和焦距 （1） （2） 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程 （1） ，且焦点在轴上 （2） 焦点为，且经过点 （1）一个焦点是，经过点； （2）与双曲线有相同焦点，且经过点； （3）焦点在轴上，经过点， （4）过两点. (5)经过点 题型一：对双曲线定义的理解 1.设P是双曲线在第一象限内的任意一点，若是双曲线左、右两个焦点，则等于（ ） A．10 B．8 C．5 D．4 2.已知点的坐标满足，则动点P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．双曲线一支 C．两条射线 D．一条射线 3.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（ ） A．5 B．1 C．3 D．1或5 4、已知双曲线的左､右焦点分别是，，点P在双曲线C上，且，则（ ） A．13 B．16 C．1或13 D．3或16 5.已知双曲线的焦点为，，过左焦点交双曲线左支于､两点，若，则等于___________. 题型二 由双曲线标准方程求参数范围 例2：已知 (1)若以上方程表示双曲线，求k的取值范围. (2)若以上方程表示焦点在x轴上的双曲线，求k的取值范围. (3)若以上方程表示焦点在y轴上的双曲线，求k的取值范围. (4)若以上方程表示椭圆，求k的取值范围. 1.如果方程表示双曲线，则m的取值范围是( ) A. B. C. D. 2.已知方程表示双曲线，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 3.“0＜λ＜4”是“双曲线的焦点在x轴上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 双曲线的焦点三角形问题 1.已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（ ） A． B． C． D． 2.设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ） A．24 B． C． D．30 3.已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 4.双曲线的两焦点为、，点P在双曲线上，直线、倾斜角之差为，则面积为（ ） A． B． C．32 D．42 5.已知双曲线的两个焦点为，，为双曲线上一点，，的内切圆的圆心为，则（ ） A． B． C． D． 题型四 双曲线的轨迹问题 探究：点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，试求点的轨迹方程，并由点的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3比较，你有什么发现？ 1.设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ） A． B． C． D． . 2.已知定圆，定圆，动圆圆与定圆都内切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 3.已知定点，，M是上的动点，关于点M的对称点为N，线段的中垂线与直线交于点P，则点P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．直线 4.已知，，，动点P满足，则点P的轨迹是（ ） A．椭圆 B．双曲线 C．射线 D．双曲线的一支 3.2.2双曲线的简单几何性质 问题1：复习椭圆的范围、对称性是从椭圆方程 的哪些代数特性获得的？ 椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？ 追问1：（1）双曲线的范围？ （2）对称性 （3）顶点 追问2：能否类比椭圆把1（0，－），2（0，）两点画在轴上？线段有何几何意义？ 追问3：在双曲线－＝1位于第一象限的曲线上画一点，测量点的横坐标以及它到直线－＝0的距离d，向右拖动点，观察与d的大小关系，你发现了什么？ 双曲线的渐近线： 追问4：已知双曲线方程如何求渐进线方程？ 追问5：在双曲线方程（,）中，如果，渐进线是什么？ 等轴双曲线： 追问6：双曲线的离心率是什么？ 追问7：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 追问8： 标准方程 图形 性质 焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线方程 例1 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 2.求下列双曲线的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. （1）； （2）； （3）； （4）． 3.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A． B． C． D． 4.已知双曲线，当变化时，下列关于双曲线说法正确的是（ ） A．顶点坐标不变 B．焦距不变 C．离心率不变 D．渐近线不变 5.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，实轴长是10，虚轴长是8； （2）焦点在y轴上，焦距是10，虚轴长是8； 6.焦点坐标为，，实轴长为6，则此双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 7.顶点在轴上，两顶点间的距离为8，的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上且虚轴长为12，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 9.已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（ ） A．=1 B．=1 C．=1 D．=1 题型一 与双曲线渐近线相关的问题 1.双曲线的实轴长为4，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 2.椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 3.与双曲线共渐近线且一个焦点为的双曲线方程为（ ） A． B． C． D． 4.，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 题型二 求离心率的值或取值范围 1.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2.已知双曲线的右焦点为，为右支上一点，与轴切于点，与轴交于两点，若为直角三角形，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 3.双曲线C：的左焦点为F，过原点作一条直线分别交C的左右两支于A，B两点，若，，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．3 4.已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（ ） A． B． C． D． 题型三 直线与双曲线的位置关系 1..直线与双曲线的交点个数是（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 2.直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数的值是（ ） A． B．或 C．或 D． 3.已知双曲线，过点作直线l，若l与该双曲线只有一个公共点，这样的直线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型四 直线与双曲线相交弦长问题 例4 如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求. 1.若经过双曲线的一个焦点，且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A，B两点，则线段AB的长为______. 2.已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ） A． B． C． D． 3.已知双曲线C：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 4.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A，B两点，若，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 5.以直线为渐近线，且截直线所得弦长为的双曲线的标准方程是___. 题型五 双曲线的中点弦与点差法 1.已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ） A．2 B． C． D． 2.直线l交双曲线于A，B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 3.已知双曲线的离心率为，直线与交于两点，为线段的中点，为坐标原点，则与的斜率的乘积为（ ） A． B． C． D． 4.已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为( ) A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$