指数与指数函数期末复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数与指数函数复习讲义 考点一 根式与分数指数幂 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． (2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： (1). (2). (3)． (4)． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 2．（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 考点二 指数函数的定义与解析式 1．指数函数的概念 一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2．指数函数的结构特征 （1）底数：大于零且不等于的常数； （2）指数：仅有自变量； （3）系数：的系数是____________． 1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 2．（24-25高一上·北京·期中）已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 3．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 考点三 指数函数的图像 1.指数函数的图像与性质 解析式 图像 2.利用图像比较底数的大小 判断底数大小的方法：过点作与轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数． 3.常见函数的平移变换、翻折变换 (1)将函数向左平移个单位得函数________的图像. (2)将函数向右平移个单位得函数________的图像. (3)将函数向上平移个单位得函数________的图像. (4)将函数向下平移个单位得函数________的图像. (5)将函数关于轴对称得函数________的图像. (6)将函数关于轴对称得函数________的图像. (7)将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数________的图像. (8)将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数________的图像. 1．（24-25高一上·上海·期中）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25高一上·广东广州·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   3．（23-24高一上·上海青浦·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A．B．C． D． 4．（23-24高一·江苏南京·期末）已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一·江苏徐州·期中）若函数的图像不过第一象限，则a，b所满足的条件是（    ） A．a>1，b<-1 B．0<a<1，b≤-1 C．0<a<1，b<-1 D．a>1，b≤-1 6．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）已知函数，则函数的图像经过（    ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 8．（23-24高一·广东潮州·期中）如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（    ） A．； B．； C．； D．． 考点四 以指数函数为背景的定义域问题 1.已知解析式求定义域 （1）限制条件：_________________________. （2）限制条件：_________________________. （3）限制条件：_________________________. （4）如果有多个函数组合，则先分段求出每一段的定义域，再取_____________. 2.抽象函数的定义域 （1）对于、、这三个函数中，__________、__________、__________的取值范围相同； （2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是由______________，求出______的取值范围； （3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由______的取值范围，求_________的取值范围； （4）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的定义域先求的定义域，再由的定义域求的定义域. 3.解指数不等式 （1）将不等式的两边化成同底的指数式. （2）利用指数函数的_____________性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数的定义域是 . 2．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 3．（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是 . 4．（24-25高一上·天津津南·期中）的定义域为 ． 5．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 考点五 以指数函数为背景的值域问题 1.求值域的常见方法 (1)单调性法 (2)配方法 (3)换元法 (4)分离常数法 (5)基本不等式法 (6)判别式法 2.常见以指数函数为背景的值域问题 (1)型 ①根据的大小确定函数的单调性. ②根据自变量的范围确定函数的最值. (2)型 ①令，由定义域求出_______的范围. ②根据的大小确定函数的单调性，进而确定函数值域. (3)型 ①令，由定义域求出_______的范围. ②讨论二次函数在定义域的值域. 3.对于值域问题，一方面要考虑函数的________和_________性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是_______． 1．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东广州·期中）若，则函数的值域是（　　） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 考点六 以指数函数为背景的单调性问题 1.函数的单调性的应用： (1)利用指数函数的单调性比较大小 ①若底数相同、指数不同，可直接利用________性比较； ②若底数不同、指数相同，可利用指数函数的______________解决； ③若底数不同、指数也不同，可以采用_______法，中间量常取1． (2)利用指数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的指数式. ②利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：_________________________. 1．（23-24高一上·重庆忠县·期中）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·宁夏·阶段练习）函数的单调减区间是 A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·陕西西安·期中）若函数在R单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知在定义域内单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·河北邢台·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·陕西汉中·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 考点七 以指数函数为背景的定点问题 1.常见的两个定值：(1); (2) . 2.处理定值问题的两个常见思路： (1)若底数不变，令指数为__________; (2)若指数不变，令底数为__________. 1．（24-25高一上·山西太原·期中）函数（，且的图象必经过的定点是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C． D．28 4．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 考点八 指数函数综合 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 4．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 6．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断在上的单调性并简单说明理由（不必证明）； (3)解关于t的不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$指数与指数函数复习讲义 考点一 根式与分数指数幂 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． (2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： (1). (2). (3)． (4)． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. （2）由可得，，从而计算出的值. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 2．（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）32；（2） （2）通过，及即可求结果. 【详解】（1）原式； （2）由， 因为，所以，， 所以. 故. 考点二 指数函数的定义与解析式 1．指数函数的概念 一般地，函数____________叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2．指数函数的结构特征 （1）底数：大于零且不等于的常数； （2）指数：仅有自变量； （3）系数：的系数是____________． 1．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段练习）已知指数函数图象过点，则等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【详解】设且， 将代入得， 解得，所以， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·北京·期中）已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是 ． 【答案】 【详解】由已知，设，且， 又函数图像过点， 即， 解得， 即， 故答案为：. 3．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数是指数函数，则实数的值是 . 【答案】2 【详解】由函数是指数函数，得，解得， 所以实数的值是2. 故答案为：2 考点三 指数函数的图像 1.指数函数的图像与性质 解析式 图像 2.利用图像比较底数的大小 判断底数大小的方法：过点作与轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数． 3.常见函数的平移变换、翻折变换 (1)将函数向左平移个单位得函数________的图像. (2)将函数向右平移个单位得函数________的图像. (3)将函数向上平移个单位得函数________的图像. (4)将函数向下平移个单位得函数________的图像. (5)将函数关于轴对称得函数________的图像. (6)将函数关于轴对称得函数________的图像. (7)将函数图像位于轴下方的图像向上翻折，轴上方图像不变，得函数________的图像. (8)将函数图像位于轴右方的图像向左翻折，轴右方图像不变，得函数________的图像. 1．（24-25高一上·上海·期中）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象判断求解． 又函数（且）的图像不经过第二象限， 则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即， 故选：D． 2．（24-25高一上·广东广州·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 3．（23-24高一上·上海青浦·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（        ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意， 对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意， 对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数 不是指数函数，不符合题意， 对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意， 故选：A 4．（23-24高一·江苏南京·期末）已知函数的图像恒过定点，则函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】∵恒过定点 ∴， ∴， ∴为减函数，且过点，大致图像如图所示 ∴的函数图象不经过第三象限． 故选：C 5．（23-24高一·江苏徐州·期中）若函数的图像不过第一象限，则a，b所满足的条件是（    ） A．a>1，b<-1 B．0<a<1，b≤-1 C．0<a<1，b<-1 D．a>1，b≤-1 【答案】B 【详解】当时，， 因为的图像不过第一象限， 所以有， 故选：B 6．（23-24高一上·上海杨浦·期中）若函数的图像可由函数的图像向右平移一个单位长度得到，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图像向右平移一个单位长度得到 即 故选：B. 7．（23-24高一上·陕西咸阳·期中）已知函数，则函数的图像经过（    ）． A．第一、二、四象限 B．第二、三、四象限 C．第二、四象限 D．第一、二象限 【答案】B 【详解】因为， 所以函数的图象经过一、二象限， 又的图象是由的图象沿y轴向下平移2个单位得到， 所以函数的图象经过二、三、四象限，如图， 故选：B 8．（23-24高一·广东潮州·期中）如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【详解】解：作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图， 所以 故选：B 考点四 以指数函数为背景的定义域问题 1.已知解析式求定义域 （1）限制条件：_________________________. （2）限制条件：_________________________. （3）限制条件：_________________________. （4）如果有多个函数组合，则先分段求出每一段的定义域，再取_____________. 2.抽象函数的定义域 （1）对于、、这三个函数中，__________、__________、__________的取值范围相同； （2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是由______________，求出______的取值范围； （3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由______的取值范围，求_________的取值范围； （4）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的定义域先求的定义域，再由的定义域求的定义域. 3.解指数不等式 （1）将不等式的两边化成同底的指数式. （2）利用指数函数的_____________性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 1．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为，故答案为： 2．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 3．（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意，解得且， 故答案为：． 4．（24-25高一上·天津津南·期中）的定义域为 ． 【答案】 【详解】由，得， 即，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 5．（23-24高一上·安徽·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 6．（24-25高三上·山东烟台·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，且，所以，因此， 故函数的定义域为. 故选：D. 考点五 以指数函数为背景的值域问题 1.求值域的常见方法 (1)单调性法 (2)配方法 (3)换元法 (4)分离常数法 (5)基本不等式法 (6)判别式法 2.常见以指数函数为背景的值域问题 (1)型 ①根据的大小确定函数的单调性. ②根据自变量的范围确定函数的最值. (2)型 ①令，由定义域求出_______的范围. ②根据的大小确定函数的单调性，进而确定函数值域. (3)型 ①令，由定义域求出_______的范围. ②讨论二次函数在定义域的值域. 3.对于值域问题，一方面要考虑函数的________和_________性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是_______． 1．（2024高二下·浙江·学业考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得：的值域是，即，可得， 所以的值域是. 故选：C. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由复合，两个都是增函数，则原函数为增函数. 当时，. 当趋于时，也趋于.因为指数函数（），当趋于时，趋于，所以趋于，所以. 故原函数值域为. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数的值域是. 故选：C 4．（24-25高一上·宁夏吴忠·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则 在上单调递减，∴，又， ∴的值域为. 故选：A. 5．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，又 所以； 当时，， 所以，的值域为. 故选：B. 6．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 7．（23-24高一上·广东广州·期中）若，则函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以可化为， 由指数函数的单调性可得， 解得，所以，故函数的值域是. 故选：B 8．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】二次函数开口向下， 当时，最大值为， 函数是单调递减函数， 所以的值域为. 故选：B. 9．（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 在上单调递减，，又， 的值域为. 故选：B. 10．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以的值域为， 故选：C 11．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知的值域为，则x的取值范围可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 由题知，，解得或， 即或，解得或. 故选：D 考点六 以指数函数为背景的单调性问题 1.函数的单调性的应用： (1)利用指数函数的单调性比较大小 ①若底数相同、指数不同，可直接利用________性比较； ②若底数不同、指数相同，可利用指数函数的______________解决； ③若底数不同、指数也不同，可以采用_______法，中间量常取1． (2)利用指数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的指数式. ②利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：_________________________. 1．（23-24高一上·重庆忠县·期中）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则由. 得到，即函数的定义域. 又. 所以在上单调递减, 即函数在上单调递减. 故选：B. 2．（23-24高三上·宁夏·阶段练习）函数的单调减区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：先研究函数的定义域，由已知，即或， 当时，单调递减，单调递增． 当时，单调递增，单调递减． 故选D． 3．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为当时，， 又函数在区间上都为增函数， 所以函数在区间上为增函数， 又函数在上单调， 所以， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高一上·陕西西安·期中）若函数在R单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若函数在R单调递增, 则，解得. 若函数在R单调递减, 则，无解 综上所得，实数a的取值范围是. 故选：B. 5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知在定义域内单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由分段函数中当时，，对称轴为， 因为函数在定义域内单调，则函数在上单调递增且. 当时，为单调递增函数，则，即， 要使函数在上单调递增，则满足，解得，综上，. 故选：B 6．（24-25高一上·河北邢台·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是减函数，所以，即．易得， 则幂函数是增函数，所以， 又是减函数，所以．故． 故选：D. 7．（24-25高一上·吉林长春·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 8．（24-25高一上·陕西汉中·期中）设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于，，因为函数在区间上单调递增，所以，即； 对于，，因为函数在区间上单调递减，所以，即； 因此， 故选：C. 9．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在定义域上单调递减且过点， 定义域为，在定义域上单调递增且过点， 在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下： 所以与有且仅有一个交点，且交点的横坐标属于，又， 所以，又，所以， 因为，所以， 综上可得. 故选：D 考点七 以指数函数为背景的定点问题 1.常见的两个定值：(1); (2) . 2.处理定值问题的两个常见思路： (1)若底数不变，令指数为__________; (2)若指数不变，令底数为__________. 1．（24-25高一上·山西太原·期中）函数（，且的图象必经过的定点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，代入解析式，得到图象必经过的定点是. 故选：A. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，令可得，， 所以该函数过定点； 又该定点在直线上，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：B. 3．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（   ） A．13 B．16 C． D．28 【答案】B 【详解】函数的图像恒过定点， 点A在直线上，有，又， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B. 4．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得， 由题意可知：点在直线上， 可得，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 6．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图像恒过定点， 再由点在直线上，则， 而， 取等号条件是,此时， 故选：C. 考点八 指数函数综合 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 2．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求的值； (2)用定义证明在上单调递增. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）函数是定义域为的奇函数， ，即，解得， 下证当时，为奇函数. ， 当时，为奇函数. （2）由（1）得，任取， ，且函数在上单调递增， ，而， ，即， 是上的单调增函数. 3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即， 又，化简得：，， 而此时， ， （2）令， ∵且单调递减，∴在上单调递减， 又∵在上单调递减， 在上单调递减且的最大值是， 又令，对于任意，存在， 使得，等价于成立，即成立， ，则在上单调递减， ，故，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），，又， 解得，， 所以. （2）当时，在区间上单调递减， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时，，， 所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 5．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在R上单调递增，证明见解析 【详解】（1），易知的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴是奇函数； （2）在R上单调递增，理由如下： 设，，且， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，且， ∴，即， ∴在R上单调递增. 6．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断在上的单调性并简单说明理由（不必证明）； (3)解关于t的不等式． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3)不等式的解集为 【详解】（1）由题意，解得，此时， 而它的定义域为关于原点对称，且， 所以经检验满足题意. （2）由题意在上单调递增，理由如下： 不妨设，则 ， 即， 所以函数在上单调递增. （3）由题意， 又因为函数在上单调递增， 所以，即， 解得，即不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$