对数与对数函数期末复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

对数与对数函数复习讲义 考点一 对数的定义与运算 1.对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作. 2.两个特殊的对数 (1) 以为底的对数叫做_____________，记作_________________. (2) 以为底的对数叫做_____________，记作_________________. 3.两个对数定值 (1) . (2) . 4.指数式和对数式的互化. (1)由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； (2)由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 5.对数运算法则：如若，则 (1). (2). (3)换底公式：. (4)，特殊的，，. (5) 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【详解】解：因为，， 所以，， 故答案为： 2．（23-24高一上·广东江门·期末）计算： . 【答案】1 【详解】原式. 故答案为：1 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）计算： ． 【答案】5 【详解】由题意可得：原式 . 故答案为：5. 4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由题意，， ∴，， 故答案为：. 5．（23-24高一上·广东佛山·期末）已知，则 ． 【答案】 【详解】由，可得， 则，即， 令，可得， 因为，设，可得为单调递增函数， 所以，所以， 则. 故答案为： 6．（23-24高一上·广东广州·期末）计算 . 【答案】1 【详解】. 故答案为：1 7．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 . 【答案】1 【详解】解：， 所以，， 所以． 故答案为：1． 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若，则 【答案】2 【详解】由题设，故. 故答案为：2 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则 ． 【答案】/0.125 【详解】因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 10．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 . 【答案】 【详解】由方程，可得， ，解得. 故答案为： 11．（23-24高一上·广东潮州·期中）若，则x的值为 ． 【答案】2 【详解】方法一：由，可知， 故，解得． 方法二：由得，解得或． 经检验，当时，对数无意义，舍去，因而x的值为2． 故答案为：. 12．（23-24高一上·广东潮州·期末）化简求值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）由题意， . （2）由题意， . 13．（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算： (1)+； (2). 【答案】(1)0 (2)6 【详解】（1）原式= （2）原式=3+log23⋅log32+lg100=3+1+2=6． 考点二 对数函数的定义与解析式 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数________________叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数的结构特征 (1)对数符号前面的系数是___________； (2)对数的底数是__________________的正实数（常数）； (3)对数的真数仅有___________． 1．（23-24高一上·湖北武汉·期中）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 【答案】3 【详解】因为函数是以为自变量的对数函数， 所以，解得. 故答案为：3 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设（且），若图象经过和，则 ． 【答案】/ 【详解】因为，所以． 故答案为：. 3．（23-24高一上·四川成都·期中）函数为对数函数，则 ． 【答案】4 【详解】由题意知，， 故答案为：4. 4．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知对数函数的图象过点，则 ． 【答案】 【详解】设且， 过点，，即，解得：，， . 故答案为：. 5．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是对数函数，则 ． 【答案】1 【详解】因为函数是对数函数， 则，解得． 故答案为：1. 6．（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则 . 【答案】9 【详解】由对数函数的反函数为相应的指数函数可得， 故. 故答案为：9. 考点三 对数函数的图像与性质 1.对数函数的图像与性质 解析式 图像 2. 函数的底数变化对图象位置的影响 (1)上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象向右越靠近_________轴，时，越大，图象向右越靠近_________轴． (2)左右比较：比较图象与的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的_______越大． 3.函数图像的对称与对称变换 (1) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (2) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. (4) 函数图像向左平移个单位得函数的图像. (5) 函数图像向右平移个单位得函数的图像. (6) 函数图像向上平移个单位得函数的图像. (7) 函数图像向下平移个单位得函数的图像. (8) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (9) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 1．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可得，指数函数为减函数， 对数函数为增函数， 所以， 即. 故选：B 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，函数为增函数，且直线与y轴的交点的纵坐标大于1； 当时，函数为减函数，且直线与y轴的交点的纵坐标在0到1之间，只有C符合， 故选：C． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 5．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 6．（23-24高一上·广西来宾·阶段练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）.      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：要判断的是幂函数的图像，根据的图像可以判断，故A正确； 对于B：要判断的是指数函数的图像，作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确； 对于C、D：要判断的是对数函数的图像，作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，所以，故D正确， C错误；    故选：C 考点四 以对数函数为背景的定义域问题 1.已知解析式求定义域 (1)限制条件：_________________________. (2)限制条件：_________________________. (3)限制条件：_________________________. (4)限制条件：_________________________. (5)如果有多个函数组合，则先分段求出每一段的定义域，再取_____________. 2.解对数不等式 (1)将不等式的两边化成同底的对数式. (2)利用对数函数的_____________性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 1．（24-25高一上·山西太原·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 3．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以函数的定义域为， 故选：D 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 5．（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，不等式恒成立， 当，显然成立； 当时，由，解得， 综上，， 故选：A 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的定义域需要满足： ，解得， 故的定义域为， 的定义域需满足，解得， 故的定义域为， 故选：A 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 8．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 ，所以函数的定义域为. 故选: B 9．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，要使有意义， 只需要，解得， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：D. 考点五 以对数函数为背景的值域问题 1.求值域的常见方法 （1）单调性法 （2）配方法 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）基本不等式法 （6）判别式法 2.常见以对数函数为背景的值域问题 求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围． 1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 在上单调递增， 在上单调递增， 当时，， 当时，， 在上的值域为， 故选：B． 2．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数的值域是. 故选：A 3．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 4．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R， 令，则， 又在上单调递增，则， 则函数的值域为 故选：B 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 设，则， 故函数的值域为. 故选：C 6．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则，又， 所以原函数可变为，， 所以，，所以的值域为. 故选：A. 7．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数，，令，则. 所以原函数转化为,又对称轴为， 所以当时，函数取得最小值，当或时，函数取得最大值为， 所以所求函数的值域为，    故选：A． 8．（22-23高一上·山东德州·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：令，，则在上单调递增， 又，，所以， 又在上单调递增， 所以，即. 故选：A 9．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 10．（24-25高三上·广东·开学考试）已知的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 又值域为，能取遍所有正数， ，解得， 故选：C． 考点六 以对数函数为背景的单调性问题 1.函数的单调性的应用： （1）利用对数函数的单调性比较大小 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的______________直接进行比较. ②若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. ③若底数不同，真数相同，则可以先用_____________化为同底后，再进行比较． ④若底数与真数都不同，则常借助_______等中间量进行比较. （2）利用对数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的对数式. ②利用对数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：_________________________. 1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，因为，解得． 所以函数的定义域为，且，． 因为函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减，函数单调递增， 所以由复合函数的单调性知函数在区间上单调递增， 在区间上单调递减, 故选：A 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得或，故定义域为， 因为在上单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 由同增异减可知的单调递增区间为. 故选：C 3．（24-25高二上·湖南株洲·期中）设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为若在上单调递增，且，可得， 即，解得，即a的取值范围为. 故选：. 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然，又因为函数图象的对称轴方程为， 又函数在上单调递增，所以，即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在定义域上单调递减， 要使函数在上是严格减函数， 则在上单调递增且大于恒成立， 所以，解得， 即实数的取值范围. 故选：B 6．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令， 则，∵，∴在上单调递减， 由复合函数的单调性可知，在单调递减， ∴，则， ∴ 故选：D 7．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在定义域上都是单调递增函数， 所以，即. 故选：B 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对数函数、均为上的增函数， 则，即. 故选：B. 9．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即， ，， 所以. 故选：D 10．（24-25高三上·河南郑州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，，所以. 故选：D. 11．（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 考点七 以对数函数为背景的定点问题 对数函数定点问题的处理思路：令真数为____________. 1．（24-25高一上·山东济南·期中）函数（且）过定点 ． 【答案】 【详解】令且可得， 将代入可得， 故定点为， 故答案为： 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】令，解得，又， 所以函数（且）的图象恒过定点. 故答案为： 3．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 4．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 【答案】 8 【详解】当时，得， 所以过定点，即，所以； 函数， 令，解得或，函数在上递减，在上递增， 又在单调递增， 所以在为增函数，在为减函数， 所以函数的单调递增区间为． 故答案为：；． 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】令，解得，所以， 故函数的图象恒过定点， 故答案为： 6．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【详解】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】因为，（且）， 所以函数（且）的图象恒过定点， 所以， 所以， ，，当且仅当，即等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 考点八 对数函数综合 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 2．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)求方程的解集； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）， 因为，则，即， 则或，解得或， 所以方程的解集为； （2）对，，设，， 所以不等式对于恒成立等价于 不等式对于恒成立，即对于恒成立， 设，，则， 当且仅当时，等号成立，故取得最小值， ∴，即m的取值范围为． 3．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数（，且 ）在区间 上的最大值是1. (1)求 的值； (2)若函数 的定义域为 ，求使得不等式成立的实数的取值范围. 【答案】(1)4或 (2) 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，解得， 故的值为4或. （2）由函数的定义域为，则恒成立， 所以，解得，由（1）知. 所以不等式，即为， 即，所以，解得. 故实数的取值范围. 4．（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）函数有意义，则有， 解得，所以函数的定义域为. （2）， 因为，当且仅当，即时等号成立， 则有，所以． 由恒成立，得， 所以实数k的取值范围是． 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）令，则， 当时，等价于，即， 得，有或， 则或，所以或. （2）法一：令，由，得， 依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立， 令，对称轴， ①当时，即，，得.所以. ②当，即，，得.所以. 综上所述，的取值范围为. 法二：令，由，得， 依题意得恒成立，令， ①当时，易知在上单调递增，且当时，， 所以此时没有最小值，即不存在使得不等式恒成立. ②当时，易知在上单调递增，故恒成立，解得， 即当时，不等式恒成立. ③当时，由基本不等式得，当且仅当时取等号， 要使原不等式成立，须使恒成立，解得 综上所述，的取值范围为. 法三：令，由，得， 依题意得恒成立，因为，所以在上恒成立， 由，得， ①当时，恒成立，R； ②当，，所以在上恒成立， 令，， 则， 在上单调递减，所以， 所以，的取值范围为. ③当，，所以在上恒成立， 令，， 则， 当且仅当，即，，时等号成立，即， 所以，的取值范围为 综上所述，的取值范围为. 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为,所以,故的定义域为, 由，所以，所以，解得：， 所以不等式的解集为. （2）由题意可知：，和的值域有交集, 易知在是减函数，所以， 当时，在是减函数，所以， 所以即； 当时，在是增函数，所以，显然不符合. 综上所述：实数的取值范围. 7．（23-24高二上·广东广州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，判断函数的奇偶性并证明； (3)给定实数且，试判断是否存在直线，使得函数的图象关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3)存在符合题意 ，从而可求得符合题意. 【详解】（1）当时，，要使函数有意义， 则，即，解得，所以函数的定义域为； （2）当时，，函数为偶函数，证明如下： ， 又函数的定义域为，所以函数为偶函数； （3）假设存在直线，使得函数的图像关于直线对称， 则，所以， 即，即， 所以，即， 所以，所以，即， 因为且，所以， 故存在，使得函数的图像关于直线对称. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$对数与对数函数复习讲义 考点一 对数的定义与运算 1.对数的定义 一般地，如果,那么叫做以为底的对数，记作. 2.两个特殊的对数 (1) 以为底的对数叫做_____________，记作_________________. (2) 以为底的对数叫做_____________，记作_________________. 3.两个对数定值 (1) . (2) . 4.指数式和对数式的互化. (1)由指数式转化为对数式时，以指数式的底数为底数，指数运算的结果为真数的对数，其结果为指数式的指数； (2)由对数式转化为指数式时，以对数的底数为底数，对数运算的结果为指数的指数，其结果为对数式的真数. 5.对数运算法则：如若，则 (1). (2). (3)换底公式：. (4)，特殊的，，. (5) 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知，，则 ． 2．（23-24高一上·广东江门·期末）计算： . 3．（23-24高一上·广东深圳·期末）计算： ． 4．（23-24高一上·广东广州·期末）已知，则 ． 5．（23-24高一上·广东佛山·期末）已知，则 ． 6．（23-24高一上·广东广州·期末）计算 . 7．（23-24高一上·安徽·期末）已知实数m，n满足，则 . 8．（24-25高一上·上海浦东新·期中）若，则 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）若，则 ． 10．（23-24高三下·上海·阶段练习）方程的解是 . 11．（23-24高一上·广东潮州·期中）若，则x的值为 ． 12．（23-24高一上·广东潮州·期末）化简求值： (1) (2) 13．（23-24高一上·贵州毕节·期末）计算： (1)+； (2). 考点二 对数函数的定义与解析式 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数________________叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____． 2．对数函数的结构特征 (1)对数符号前面的系数是___________； (2)对数的底数是__________________的正实数（常数）； (3)对数的真数仅有___________． 1．（23-24高一上·湖北武汉·期中）若函数是以为自变量的对数函数，则实数 ． 2．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设（且），若图象经过和，则 ． 3．（23-24高一上·四川成都·期中）函数为对数函数，则 ． 4．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知对数函数的图象过点，则 ． 5．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知函数是对数函数，则 ． 6．（23-24高一上·山西太原·期末）已知函数与互为反函数，则 . 考点三 对数函数的图像与性质 1.对数函数的图像与性质 解析式 图像 2. 函数的底数变化对图象位置的影响 (1)上下比较：在直线的右侧，时，越大，图象向右越靠近_________轴，时，越大，图象向右越靠近_________轴． (2)左右比较：比较图象与的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的_______越大． 3.函数图像的对称与对称变换 (1) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (2) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. (4) 函数图像向左平移个单位得函数的图像. (5) 函数图像向右平移个单位得函数的图像. (6) 函数图像向上平移个单位得函数的图像. (7) 函数图像向下平移个单位得函数的图像. (8) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (9) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 1．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知，且，则函数与的图象只可能是（    ） A．B．C．D． 4．（23-24高一上·上海·阶段练习）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 5．（23-24高一下·湖南·期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（23-24高一上·广西来宾·阶段练习）设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）.      A． B． C． D． 考点四 以对数函数为背景的定义域问题 1.已知解析式求定义域 (1)限制条件：_________________________. (2)限制条件：_________________________. (3)限制条件：_________________________. (4)限制条件：_________________________. (5)如果有多个函数组合，则先分段求出每一段的定义域，再取_____________. 2.解对数不等式 (1)将不等式的两边化成同底的对数式. (2)利用对数函数的_____________性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 1．（24-25高一上·山西太原·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数定义域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点五 以对数函数为背景的值域问题 1.求值域的常见方法 （1）单调性法 （2）配方法 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）基本不等式法 （6）判别式法 2.常见以对数函数为背景的值域问题 求值域时，一方面要抓住对数函数的定义域和单调性，另一方面，若是复合函数，则要抓住中间变量的取值范围． 1．（23-24高三上·广东广州·阶段练习）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知，，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏南通·开学考试）已知函数，在上的值域为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·山东德州·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·广东·开学考试）已知的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六 以对数函数为背景的单调性问题 1.函数的单调性的应用： （1）利用对数函数的单调性比较大小 ①若底数为同一常数，则可由对数函数的______________直接进行比较. ②若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论. ③若底数不同，真数相同，则可以先用_____________化为同底后，再进行比较． ④若底数与真数都不同，则常借助_______等中间量进行比较. （2）利用对数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的对数式. ②利用对数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：_________________________. 1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·重庆·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南株洲·期中）设函数，若在上单调递增，则a的取值范围为(    ). A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·山东德州·期中）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则有（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·河南郑州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 考点七 以对数函数为背景的定点问题 对数函数定点问题的处理思路：令真数为____________. 1．（24-25高一上·山东济南·期中）函数（且）过定点 ． 2．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）函数（且）的图象恒过定点 . 3．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 4．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知函数的图象恒过点，则 ，函数的单调递增区间为 . 5．（23-24高一上·福建莆田·期中）函数的图象恒过定点 . 6．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 7．（2024·陕西西安·模拟预测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为 ． 考点八 对数函数综合 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 2．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，． (1)求方程的解集； (2)若不等式对于恒成立，求m的取值范围． 3．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数（，且 ）在区间 上的最大值是1. (1)求 的值； (2)若函数 的定义域为 ，求使得不等式成立的实数的取值范围. 4．（23-24高一上·广东汕尾·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 5．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，且． (1)若，求方程的解； (2)若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 6．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围. 7．（23-24高二上·广东广州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的定义域； (2)当时，判断函数的奇偶性并证明； (3)给定实数且，试判断是否存在直线，使得函数的图象关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$