大单元复习04 指数函数与对数函数- 2024-2025学年高一年级数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

大单元复习04 指数函数与对数函数（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】指数 7 【考点2】指数函数的概念 9 【考点3】指数函数的图像与性质 11 【考点4】对数 21 【考点5】对数函数的概念 23 【考点6】对数函数的图像与性质 27 【考点7】不同函数增长的差异 38 【考点8】零点与方程的解 42 【考点9】二分法与函数模型 49 知识梳理 一、n次方根的概念与性质 (1)n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 (3)0的任何次方根都是0. 二、根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 性质(当n>1，n∈N*时)： (1)()n＝a；(2)＝ 三、分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 (2)分数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 四、(1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). ④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R). 五、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 六、两类指数型函数模型 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型. (2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 七、 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 八、一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 九、对数的概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数：通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称为自然对数，记为ln__N. 十、对数的性质 (1)零与负数没有对数； (2)loga 1＝0，loga a＝1(a>0且a≠1). 十一、对数恒等式 对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 十一、对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 十二、换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 十三、一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数. 十四、对数函数的图象和性质 函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 十五、反函数 (1)一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 十六、对数型函数的奇偶性 形如f(x)＝loga，f(x)＝loga，f(x)＝loga(a>0，且a≠1，b>0)等的函数均为奇函数. 十七、对数型函数的单调性 (1)若a>1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集. (2)若0<a<1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集. 十八、一次函数与指数函数增长的差异 一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长速度不同，即使k的值远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度. 十九、一次函数与对数函数增长的差异 一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)内都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx. 二十、函数零点的概念 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 二十一、函数零点存在定理 函数零点存在定理 (1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 二十二、二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二十三、用二分法求方程的近似解 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4). 二十四、常见的几种函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数) 分段函数 y＝ 幂函数 y＝xα(α为常数) 指数型函数 y＝k·ax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 对数型函数 y＝klogax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 热考题型 【考点1】指数 一、单选题 1．（24-25高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中） ． 6．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A B ABC ABCD 1．A 【分析】利用分数指数幂运算法则得到答案. 【详解】. 故选：A 2．B 【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3．ABC 【分析】应用根式的运算即可. 【详解】，则，解得． 故选：ABC 4．ABCD 【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果. 【详解】A：，故A正确； B：，故B正确； C：，故C正确； D：，故D正确； 故选：ABCD. 5． 【分析】根据指数幂的运算律及分数指数幂运算求值. 【详解】 . 故答案为：. 6． 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 【考点2】指数函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（2021高一·全国·专题练习）(多选)设指数函数(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是（    ） A．   B． C． D． 5．（23-24高一下·甘肃定西·开学考试）设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 答案 C A A ABD AD 1．C 【分析】利用奇函数的性质求出的值，再结合可求出的值，可得出在时的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，当时，且， 则，即，所以，， 所以，当时，，故， 故选：C. 2．A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 3．A 【分析】由不等式的解集为，可得，再由为指数函数可得，代入运算可得解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，即， 又为指数函数，，所以，，且， . 故选：A. 4．ABD 【分析】根据给定的指数函数，结合指数运算法则逐项计算判断作答. 【详解】因指数函数(a>0，且a≠1)，则有： 对于A，，A中的等式正确； 对于B，，B中的等式正确； 对于C，，，显然，，C中的等式错误； 对于D，，，D中的等式正确. 故选：ABD 5．AD 【分析】利用求得的解析式，从而得到的奇偶性与单调性，从而得解. 【详解】因为，， 所以，解得（负值舍去），则， 易得是偶函数，且在单调递减，在单调递增， 故，，，故AD正确，BC错误. 故选：AD. 6．27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 【考点3】指数函数的图像与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（广东省名校联盟2024-2025学年高一上学期期中联合质量检测数学试题）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·内蒙古赤峰·期末）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过点 B．函数与是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则 10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 11．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 12．（22-23高一下·甘肃武威·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B． C．幂函数的图象经过点,则该函数在上单调递减 D．函数（a>0且a≠1）在区间上的最大值比最小值大,则a的值为2 13．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．已知函数，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．， D．函数的最小值为 三、填空题 14．（2024高一·全国·专题练习）若函数的图象关于原点对称，则 . 15．（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是 . 16．（24-25高二上·广东广州·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 . 17．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则实数 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C A B C D AC AB 题号 11 12 13 答案 BC BC ABD 1．B 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 2．D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 3．C 【分析】求出的值域，然后根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】，因为，所以， ，所以函数值域为. 故选：C 4．C 【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断． 【详解】是增函数，的减区间是， 因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是. 故选：C． 5．A 【分析】根据指数函数的单调性即可得结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 6．B 【分析】首先求出、，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】解：函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 函数在上单调递减，所以， 因为恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 7．C 【分析】分别作出及的图象后，借助图象分析即可得. 【详解】分别作出及的图象如下：    由图可知不等式的解集为. 故选：C. 8．D 【分析】根据复合函数的单调性，可得在的单调性，再根据其对称轴和区间端点值关系，即可求得参数范围. 【详解】因为为上的单调减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减， 故，解得. 故选：D. 9．AC 【分析】根据，可确定选项正确，由两个函数定义域不同，可确定错误，利用抽象函数的定义域的判断及分母不为0，可确定正确，利用换元法求函数解析式，要注意定义域，即可判断错误. 【详解】对于选项，根据，则，即函数恒过点，故正确； 对于选项，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，肯定不是同一个函数，故错误； 对于选项，根据且可得：且，故正确； 对于选项，令（），则， 则，故错误. 故选：. 10．AB 【分析】根据题意，得出函数y的解析式并根据函数的性质求出函数y的定义域，再利用换元法，令，得到关于t的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出函数的取值范围，即函数的取值范围，即可求解． 【详解】由题意，得函数，即 因为的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 令，则， 则， 又因为在上单调递增， 所以，即， 故选：AB. 11．BC 【分析】分类讨论且是增函数还是减函数，将对应值带入计算即可. 【详解】当时，函数单调递减，，解得 当时，函数单调递增，，解得． 故选：BC． 12．BC 【分析】对进行配方即可得选项A的正误;根据即可得选项B的正误;设出幂函数解析式,将代入,再根据幂函数性质可知选项C的正误;根据,对进行分类讨论,根据指数函数单调性,分别求出最值,使差值为,解出即可判断选项D正误. 【详解】解:因为恒成立, 所以不等式解集为,故选项A错误; 因为,所以恒成立,故选项B正确; 因为为幂函数,设, 因为的图象经过点,所以,解得, 故,根据幂函数的性质可知:在上单调递减,故选项C正确; 因为,当时,单调递减, 所以,解得, 当时,单调递增, 所以,解得, 综上:或,故选项D错误. 故选:BC 13．ABD 【分析】根据取整函数的定义，函数的值域可判断A和C，根据偶函数的定义可判断B，利用基本不等式可以判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，因为， 当且仅当时，等号成立；所以，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD. 14．2 【分析】根据函数图象关于原点对称，得到函数为奇函数，再根据奇函数的性质即可求解. 【详解】解：函数的图象关于原点对称， 为奇函数， 即 ， 即 ， ， ， 即 ， 即， 即 ， 故. 故答案为：. 15． 【分析】求出使式子有意义的的范围． 【详解】由题意，解得且， 故答案为：． 16． 【分析】根据指数函数性质并结合临界值的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由于函数在上单调递增， 所以需要满足：，解得， 故答案为：. 17． 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 18．2 【分析】根据函数为偶函数,先由特殊值计算求出,再代入检验即可. 【详解】函数的定义域为， 又为偶函数， 则， 解得， 经检验，,,符合题意． 故答案为：2． 【考点4】对数 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 二、多选题 3．（24-25高一上·广东江门·期中）下列各式正确的是（    ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 4．（24-25高一上·山东淄博·期中）以下运算中正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·天津·期中）设，那么 . 四、解答题 6．（22-23高一上·湖南岳阳·期末）（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B C ABC AC 1．B 【分析】先化简，，结合指数函数的单调性比较，进而比较大小即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．C 【分析】由题意得到，进而求解即可. 【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min代入题中式子得： ，即，即. 故选：C. 3．ABC 【分析】根据指数与对数的运算法则分别计算. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：由，，则，， 则，C选项正确； D选项：，D选项错误； 故选：ABC. 4．AC 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC． 5． 【分析】利用换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 由换底公式可得， ∴，即， ∴. 故答案为：. 6．（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值； （2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立. 【详解】（1）解：，，， 又，，所以； （2）证明：设，则且，，， ，，， ，. 【考点5】对数函数的概念 一、单选题 1．（2023高三上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．函数且是对数函数 C．对数函数且在上是增函数 D．函数与的图象重合 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 三、填空题 5．（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知函数，则 ； ． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D C AB BC 1．D 【分析】根据对数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，当，无意义，所以A错误， 对于B，，故不是对数函数，B错误， 对于C, 当时，对数函数在上是增函数，故C错误， 对于D, ，所以函数与的图象重合， 故D正确， 故选：D 2．C 【分析】由题意可先得到和，再代入得到，由选项解析式代入化简，得到结论. 【详解】由题意得：， ∵，∴， ∴， 若，则，舍去； 若，则，舍去； 若，则，成立； 若，则，舍去. 故选：C. 3．AB 【分析】根据对数函数的定义知，形如且函数符合要求可得解. 【详解】根据对数函数的定义知，，是对数函数，故AB正确； 而，不符合对数函数的定义，故CD错误. 故选：AB 4．BC 【分析】利用函数的对称性可判断A选项；利用已知条件结合偶函数的性质可判断B选项；利用函数周期性可判断C选项；设，利用 【详解】对于A选项，因为，则函数的图象关于点对称，A错； 对于B选项，因为且函数为偶函数， 所以，可得，所以，， 所以，对任意的，，B对； 对于C选项，因为， 若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增，C对； 对于D选项，当时，，， 所以，，D错. 故选：BC. 5． 1 /0.5 【分析】根据函表达式，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又， 所以， 故答案为：，. 6．/ 【分析】根据，求得对数函数解析式，再将代入计算即可. 【详解】设，且， 因为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 【考点6】对数函数的图像与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·山西太原·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中值域为正实数的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一上·云南楚雄·期末）已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 8．（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 10．（22-23高一上·天津滨海新·期中）下列四个函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A．16 B． C．16或 D．2或 12．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·广东广州·期末）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 17．（24-25高一上·陕西渭南·期中）下列命题中正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．已知函数的定义域为，则定义域为 C．命题：“，”的否定是“，” D．函数，则函数的值域是 18．（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高二上·辽宁抚顺·期末）以下结论中正确的有（         ）. A．函数的反函数是 B．函数是非奇非偶函数 C．函数的对称轴为 D．函数是内的减函数 三、填空题 20．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 在区间上的最大值为 . 21．（2024高三·全国·专题练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ． 22．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设，则的大小关系是 ． 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 24．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C A A B C C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 C A D C ABD AC AD AB ABC 1．D 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．B 【分析】由对数函数性质计算出定义域后，结合复合函数单调性的判定方法计算即可得. 【详解】由题意可得，解得或， 由， 则其在上单调递减，在上单调递增， 又为单调递增函数， 故的单调递减区间. 故选：B. 3．A 【分析】分别求每段函数的值域，再求并集. 【详解】在上单调递增，所以， 在上单调递增，所以， 因为，， 所以函数的值域是. 故选：A 4．C 【分析】逐个求解函数的值域进行判断 【详解】对于A，因为，所以，所以函数的值域为，所以A错误， 对于B，因为，所以函数的值域为，所以B错误， 对于C，因为，所以函数的值域为，所以C正确， 对于D，因为，则，所以函数的值域为，所以D错误. 故选：C 5．A 【分析】结合对数函数的单调性计算即可得. 【详解】因为的值域是，所以，解得． 故选：A. 6．A 【分析】令，得到，根据恒成立，得到，即可求解. 【详解】令，可得函数表示开口向上的抛物线，且对称轴为， 所以， 因为恒成立，所以，即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 7．B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 8．C 【分析】利用对数的运算性质可求得溶液甲的值与溶液乙的值的差. 【详解】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为 . 故选：C. 9．C 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得， 两边取对数得. 故选：C 10．D 【分析】对A选项，由二次函数即可判断，对B选项，通过举反例即可证明其不是偶函数，对C选项由反比例函数即可判断，对D选项，证明其为偶函数，再根据对数函数图像得到其在上是增函数. 【详解】对A选项，其开口向下，对称轴为，故其在单调递减，故A错误； 对B选项，，所以，或证明，故其不是偶函数，故B错误， 对C选项，根据反比例函数图像，其在上单调递减，故C错误， 对D选项，其定义域为，故其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，当时，，根据对数函数图像，则其在上是增函数，故D正确， 故选：D. 11．C 【分析】利用分段函数性质，对参数进行分类讨论解方程，即可求得或. 【详解】根据题意可知，当时，，解得； 当时，，解得. 综上，或. 故选：C 12．A 【分析】根据复合函数的单调性以及函数的最值进行分析，从而确定正确答案. 【详解】在单调递减，时，, 即, 另外，时，单调递减，在单调递增， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 13．D 【分析】分和两种情况结合对数函数的单调性去解不等式即可得解. 【详解】由题可得或，又为增函数， 所以解得或，故解集为. 故选：D. 14．C 【分析】根据指对数函数的单调性，即可与中间值比较作答. 【详解】由于，，则， ， 故 故选： 15．ABD 【分析】对分类讨论，结合指数函数与对数函数的图象与性质判断. 【详解】由题意，且， 的定义域为，的定义域为. 当时，， 函数在上单调递减，且过； 在上单调递减，且过， 所以函数，可能的图象是D； 当时，， 函数在上单调递增，且过； 在上单调递减，且过， 所以函数，可能的图象是B； 当时，， 函数在上单调递增，且过； ，其图象是直线，选项中没有符合要求的； 当时，， 函数在上单调递增，且过； 在上单调递增，且过， 所以函数，可能的图象是A. 综上，函数，可能的图象是ABD. 故选：ABD. 16．AC 【分析】由对数函数、幂函数的性质判断即可. 【详解】由图像结合对数函数的性质可知，则D错误； 由图像可知函数为奇函数，则B错误，AC正确； 故选：AC 17．AD 【分析】根据指数的性质令即可求解A，根据定义域的定义即可求解B，根据全称命题的否定为存在量词命题即可求解C，利用分离常数法即可求解D. 【详解】对于A, 令，则，则，故（且）的图象恒过定点，A正确； 对于B，的定义域为，则则定义域为满足，解得，故定义域为，B错误； 对于C, 命题：“”的否定是“”， C错误， 对于D, 令，因为， 则，则，故D正确， 故选：AD 18．AB 【分析】 AB选项，根据幂函数的性质得到AB正确；C选项，不满足奇偶性；D选项，不满足单调性. 【详解】A选项，为奇函数且在R上单调递增，满足要求，A正确； B选项，的定义域为R，且，故为奇函数， 又，故在单调递增，B正确； C选项，为指数函数，结合图象可知其不是奇函数，C错误； D选项，，故当时，单调递减，D错误. 故选：AB 19．ABC 【分析】由反函数定义可求得A正确；函数的定义域不关于原点对称，所以B正确；利用二次函数性质可知C正确；函数的定义域不是，所以D错误. 【详解】对于A，由可求得，将互换位置即可得， 根据反函数定义可知A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，B正确； 对于C，由二次函数性质可得的对称轴为，即C正确； 对于D，易知函数的定义域为，不是，所以D错误； 故选：ABC 20．0 【分析】根据对数函数的单调性直接求解即可． 【详解】因为在区间上单调递减， 所以当时，函数 在区间上的最大值. 故答案为：0. 21． 【分析】问题等价于，利用两个函数的单调性，讨论最小值即可. 【详解】对任意，存在，使， 问题等价于在指定区间内， 函数在上单调递增且恒为正， 则在上单调递增，， 在上为减函数，∴， 由，解得． 故m的取值范围为． 故答案为：. 22． 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小． 【详解】因为在单调递增，所以，即， 因为在上单调递增，所以，即， 因为在上单调递减，所以，即， 所以， 故答案为：． 23．2 【分析】利用整体换元，将复合函数的最值转化为对数函数的最值求解即可. 【详解】令，则，. 又在上单调递增， 所以，此时. 故答案为： 24．6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 【考点7】不同函数增长的差异 一、单选题 1．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ）    A．指数函数 B．对数函数y=log2t C．幂函数y=t3 D．二次函数y=2t2 2．（22-23高一下·湖南株洲·开学考试）已知，则a，b，c 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 4．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是 ．（填序号） 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A D BD AB 1．A 【分析】因为图像中的点坐标比较精确，所以将每个函数中代入等，从而判断出最适合的函数. 【详解】通过图像上的具体坐标可以发现： 对于选项A，当时，，与图像符合； 对于选项B，当时，，与图像不符合； 对于选项C，当时，，与图像不符合； 对于选项D，当时，，与图像不符合； 故选：A. 2．D 【分析】根据对数函数的增长性质，作图求解. 【详解】由题意：，作对数函数的图像如下图： F，G，H是x轴上对应的点，过F，G，H作x轴的垂线，与函数的图像交于A，B，C点， 则， 过A，B点作平行于x轴的直线分别与BG，CH交于D，E点，由于函数的增长速度是随x的增大而变慢的， ，即，，， ； 故选：D. 3．BD 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于， 由于的增长速度是不变的， 当时，大于， 当时，大于，再也追不上， 其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 4．AB 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 5．①③ 【分析】分别根据图象的递增速度的变化，判断总产量的增长速度，利用总产量的数值变化判断生产状况. 【详解】由题图可知前3年的总产量增长速度越来越快； 而图象在区间上平行于轴，说明总产量没有变化， 所以第3年后该产品停止生产； 因此只有①③正确. 故答案为：①③. 6．①②⑤ 【分析】设，，则，，，画出函数图象，分情况讨论的取值，进而求得答案. 【详解】设，，则，，, 分别画出函数，，的图象如图所示： 根据图象知： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故答案为：①②⑤ 【考点8】零点与方程的解 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若函数有个不同的零点，则.已知，存在实数满足，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．与实数有关 3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 7．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数，则（   ） A．当时，有最小值 B．的图象关于原点对称 C．在上为减函数 D．有且只有两个零点 三、填空题 11．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 12．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C D D C BC BCD ABD 1．B 【分析】解一元二次方程，利用方程根与零点的关系即可求解. 【详解】令，即，解得：，， 所以函数的零点为和. 故选：B 2．A 【分析】列出方程，展开后对比对应系数，即可得到答案. 【详解】依题意知有三个零点， 即， 展开对应项系数相等得， 所以. 故选：A 3．A 【分析】根据函数零点存在定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点.来判断两个条件之间的关系. 【详解】充分性判断:若，因为函数在区间上的图象是一条不间断的曲线， 根据零点存在定理可知，函数在区间上有零点，所以“”是“函数在区间上有零点”的充分条件.   必要性判断:当函数在区间上有零点时，比如函数在区间[0,2]上有零点，此时，，， 即存在函数在区间上有零点时，的情况， 所以“”不是“函数在区间上有零点”的必要条件.   综上所得， “”是“函数在区间上有零点”的充分不必要条件. 故选：A. 4．C 【分析】根据给定的数表，利用零点存在性定理判断即得. 【详解】在上的函数的图象是连续不断的， 由数表知，， 因此函数在区间上分别至少有1个零点， 所以函数的零点个数至少为3个. 故选：C 5．D 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 6．D 【分析】作出函数图象，数形结合判断函数单调区间和零点个数. 【详解】函数，结合二次函数和对数函数的图像和性质，作函数的图象如图所示，    由图象可知，函数的增区间为和，A选项错误； 的零点，是函数和图象交点的横坐标， 由图象可知，当有3个零点时，，B选项错误； 解方程可知，当时，有两个零点，和，所有零点之和为，C选项错误； 当时，函数和的图象有1个交点，即有1个零点，D选项正确. 故选：D 7．C 【分析】求出与，根据零点存在定理即可求解. 【详解】由题意得，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选:C. 8．BC 【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内， 得， 解得, 故选：BC 9．BCD 【分析】由题意，作出函数的图象，结合图形和二次函数的性质，依次判断选项即可. 【详解】结合函数的图象可知，，故A错误；    由，可得，故B正确； 因为，所以，所以，则， 又，所以， 由二次函数性质得在上单调递增， 故，故C正确； 因为，所以，故D正确． 故选：BCD 10．ABD 【分析】A选项，由基本不等式求出最小值；B选项，由函数的奇偶性定义作出判断；C选项，由对勾函数的性质得到C错误；D选项，令，解方程，求出答案. 【详解】A选项，，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，的定义域为， 则，故为奇函数， 图象关于原点对称，B正确； C选项，的定义域为， 由对勾函数性质知，在上为减函数， 而在上不为减函数，C错误； D选项，令得，解得， 故有且只有两个零点，D正确. 故选：ABD 11． 【分析】当二次函数图象与x轴相切或相交且在0处的端点值小于等于0即可. 【详解】解：二次函数，即， 若二次函数在区间上仅有一个零点， 则或，即或. 故答案为：. 12． 【分析】当时，，方程有2个不相等的实数解，则当时，，此时方程只有1个实数解，对分类讨论，由的值域求实数的取值范围. 【详解】方程，即或， 当时，，由解得，由解得； 当时，，此时方程只有1个实数解， 若，则在上单调递减，， 此时和都有解，不合题意， 若，则在上单调递增，，则. 所以实数的取值范围是. 故答案为： 13． 【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，结合函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【详解】函数的定义域为，由得， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知在上有个交点，故函数在上有个零点． 故答案为：. 【考点9】二分法与函数模型 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中正确的是（    ） A．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 3．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 .若 ，则k的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2022·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 二、多选题 6．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一·全国·课后作业）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ） A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢 B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢 C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变 三、填空题 8．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 9．（24-25高一上·安徽·阶段练习）某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件 元.（利润=售价-进价） 四、解答题 10．（24-25高一上·广东·期中）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 11．（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 12．（24-25高一上·湖南怀化·期中）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）； (3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）. （参考值：） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C C D C BD AC 1．B 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 2．C 【分析】画出的图象，观察图象即可判断. 【详解】在平面直角坐标系中画出与的图象如图所示， 由图象可判断出衰减情况为衰减速度越来越慢，衰减速度越来越慢． 故选：C. 3．C 【分析】根据对数加法运算可得，利用换底公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 又因为， 由题意可得，即，解得. 故选：C. 4．D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 5．C 【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果. 【详解】由题可得：，两式相除可得，即， 设繁殖天后数量达到200， 则，又，则， ∴，则，即， ∴， ∴， 则要使数量达到200大约需要22天. 故选：C. 6．BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值， 则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. 7．AC 【分析】根据函数图像依次分析各选项即可得答案. 【详解】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确， 由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误， 在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误. 故选：AC 8． 【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足（精确度）确定即可. 【详解】设需要计算次，则满足， 即，由于，， 所以将区间等分的次数至少是次. 故答案为：. 9．30 【分析】根据题意建立函数关系，利用换元法，构造二次函数，结合其性质求得最大值，可得答案. 【详解】设日利润为，则， 令，由，则，可得， 由二次函数的对称轴，当时，取得，此时日利润最大， 故当，即时，日利润最大. 故答案为：. 10．(1) (2) 【分析】（1）代入函数值即可求出参数值； （2）列出利润函数，分段列出不等式，求得解集即为所求范围. 【详解】（1）因为当时，， 所以，解得. （2）设公司所获得的利润为（单位：万元），所以 当时，，即， 解得，， 当时，， 综上，当且仅当时，公司所获得的利润不低于20万元. 11．(1) (2)，最小总费用是12200元. 【分析】（1）由面积求得矩形的另一边长，然后由新墙和旧墙计算费用得结论； （2）利用基本不等式求得最小值． 【详解】（1）由题意知，矩形的一边长为，另一边长为， 则 ， 故. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 12．(1) (2)药效时间2.81小时 (3)0.52毫克 【分析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可； (2)根据题意列出不等式，求解出答案即可； (3)分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. 【详解】（1）当时，设，将代入得， 解得，此时，； 当时，设且，将､（1，1代入得， 解得，此时，. 综上：. （2）当时，，解得 当时，，即 而，故 药效时间 所以，药效时间2.81小时. （3）完成第二次注射药物1小时后 每升血液中第一次注射药物的含量：， 每升血液中第二次注射药物的含量：， 所以此时两次注射药物后的药物含量为：0.52毫克. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大单元复习04 指数函数与对数函数（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 7 【考点1】指数 7 【考点2】指数函数的概念 7 【考点3】指数函数的图像与性质 8 【考点4】对数 11 【考点5】对数函数的概念 12 【考点6】对数函数的图像与性质 13 【考点7】不同函数增长的差异 16 【考点8】零点与方程的解 18 【考点9】二分法与函数模型 20 知识梳理 一、n次方根的概念与性质 (1)n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)n次方根的性质 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 (3)0的任何次方根都是0. 二、根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 性质(当n>1，n∈N*时)： (1)()n＝a；(2)＝ 三、分数指数幂 (1)分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 (2)分数指数幂的运算性质 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). 四、(1)无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数. (2)实数指数幂的运算法则 ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R). ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R). ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R). ④拓展：＝ar－s(a>0，r，s∈R). 五、指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 六、两类指数型函数模型 (1)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当a>1时为指数增长型函数模型. (2)y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当0<a<1时为指数衰减型函数模型. 七、 指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 八、一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质： (1)函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. (2)当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. 九、对数的概念 (1)一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. (2)常用对数与自然对数：通常，将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N，以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，称为自然对数，记为ln__N. 十、对数的性质 (1)零与负数没有对数； (2)loga 1＝0，loga a＝1(a>0且a≠1). 十一、对数恒等式 对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0). 十一、对数的运算性质 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R). 十二、换底公式 对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 十三、一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). 在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数. 十四、对数函数的图象和性质 函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0<x<1时，y<0， 当x>1时，y>0 当0<x<1时，y>0， 当x>1时，y<0 单调性 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 十五、反函数 (1)一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换. (2)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称. 十六、对数型函数的奇偶性 形如f(x)＝loga，f(x)＝loga，f(x)＝loga(a>0，且a≠1，b>0)等的函数均为奇函数. 十七、对数型函数的单调性 (1)若a>1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集. (2)若0<a<1，则函数f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集；f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集. 十八、一次函数与指数函数增长的差异 一般地，指数函数y＝ax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)的增长速度不同，即使k的值远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度. 十九、一次函数与对数函数增长的差异 一般地，虽然对数函数y＝logax(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)内都单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx. 二十、函数零点的概念 (1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 二十一、函数零点存在定理 函数零点存在定理 (1)条件：①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 二十二、二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 二十三、用二分法求方程的近似解 给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤： (1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0； (2)求区间(a，b)的中点c； (3)计算f(c)，进一步确定零点所在的区间： ①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； ③若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. (4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4). 二十四、常见的几种函数模型 函数模型 解析式的一般形式 一次函数 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数) 分段函数 y＝ 幂函数 y＝xα(α为常数) 指数型函数 y＝k·ax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 对数型函数 y＝klogax＋b(k≠0，a>0，a≠1) 热考题型 【考点1】指数 一、单选题 1．（24-25高一上·广西北海·期中）若，，则（   ） A．24 B．12 C． D． 2．（24-25高一上·全国·课堂例题）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中） ． 6．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求 ． 【考点2】指数函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知是奇函数，当时，且，又，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 3．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（2021高一·全国·专题练习）(多选)设指数函数(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是（    ） A．   B． C． D． 5．（23-24高一下·甘肃定西·开学考试）设函数（，且），若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【考点3】指数函数的图像与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东淄博·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 5．（广东省名校联盟2024-2025学年高一上学期期中联合质量检测数学试题）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二上·内蒙古赤峰·期末）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，那么不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·云南昆明·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过点 B．函数与是同一函数 C．若的定义域为，则的定义域为 D．若函数，则 10．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 11．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 12．（22-23高一下·甘肃武威·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．不等式的解集为 B． C．幂函数的图象经过点,则该函数在上单调递减 D．函数（a>0且a≠1）在区间上的最大值比最小值大,则a的值为2 13．（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，．已知函数，则（    ） A． B．函数为偶函数 C．， D．函数的最小值为 三、填空题 14．（2024高一·全国·专题练习）若函数的图象关于原点对称，则 . 15．（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是 . 16．（24-25高二上·广东广州·期中）已知函数在R上单调递增，则实数的取值范围为 . 17．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 18．（2023高三·全国·专题练习）已知函数是偶函数，则实数 . 【考点4】对数 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建宁德·期中）某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（   ） A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃ 二、多选题 3．（24-25高一上·广东江门·期中）下列各式正确的是（    ） A．设，则 B．已知，则 C．若，，则 D． 4．（24-25高一上·山东淄博·期中）以下运算中正确的有（    ） A．若，，则 B． C． D． 三、填空题 5．（24-25高三上·天津·期中）设，那么 . 四、解答题 6．（22-23高一上·湖南岳阳·期末）（1）已知实数满足，求的值． （2）若，求证：． 【考点5】对数函数的概念 一、单选题 1．（2023高三上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．函数且是对数函数 C．对数函数且在上是增函数 D．函数与的图象重合 2．（24-25高二上·浙江·期中）已知函数，，且，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（22-23高一上·贵州遵义·期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （    ） A． B． C． D． 4．（2022·山东淄博·三模）已知定义在上的偶函数，满足，则下列结论正确的是（    ） A．的图象关于对称 B． C．若函数在区间上单调递增，则在区间上单调递增 D．若函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式为 三、填空题 5．（23-24高一上·北京大兴·阶段练习）已知函数，则 ； ． 6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数是对数函数，且，则 ． 【考点6】对数函数的图像与性质 一、单选题 1．（24-25高一上·山西太原·期中）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知函数则的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中值域为正实数的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数的值域是，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．（20-21高一上·云南楚雄·期末）已知函数(，且)，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 8．（23-24高二上·贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·浙江绍兴·阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年，该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为m，经检测现在的存量，据此推测该生物距今约为（    ）（参考数据：) A．2700年 B．3100年 C．3500年 D．3900年 10．（22-23高一上·天津滨海新·期中）下列四个函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A．16 B． C．16或 D．2或 12．（24-25高三上·江苏常州·期中）已知函数（，且）.，使得成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高三上·浙江·期中）已知函数，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 15．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在同一直角坐标系中，函数，可能的图象是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高一上·广东广州·期末）函数与的图像如图所示，则实数的值可能为（    ） A． B． C． D．3 17．（24-25高一上·陕西渭南·期中）下列命题中正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．已知函数的定义域为，则定义域为 C．命题：“，”的否定是“，” D．函数，则函数的值域是 18．（23-24高一上·北京延庆·期末）下列函数中是奇函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 19．（21-22高二上·辽宁抚顺·期末）以下结论中正确的有（         ）. A．函数的反函数是 B．函数是非奇非偶函数 C．函数的对称轴为 D．函数是内的减函数 三、填空题 20．（24-25高三上·上海·期中）已知函数 在区间上的最大值为 . 21．（2024高三·全国·专题练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值范围是 ． 22．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）设，则的大小关系是 ． 23．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ． 24．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【考点7】不同函数增长的差异 一、单选题 1．（23-24高三上·河北衡水·阶段练习）“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ）    A．指数函数 B．对数函数y=log2t C．幂函数y=t3 D．二次函数y=2t2 2．（22-23高一下·湖南株洲·开学考试）已知，则a，b，c 的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 4．（24-25高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 三、填空题 5．（24-25高一上·全国·课后作业）某工厂8年来某产品总产量与时间（年）的函数关系如图，则： ①前3年总产量增长速度越来越快； ②前3年总产量增长速度越来越慢； ③第3年后，这种产品停止生产． 以上说法中正确的是 ．（填序号） 6．（23-24高三上·四川内江·阶段练习）已知实数满足.则下列关系式中可能成立的是 .（填序号） ①   ②    ③      ④      ⑤ 【考点8】零点与方程的解 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的零点为（    ） A．1， B．， C．2， D．， 2．（23-24高一下·湖北·阶段练习）若函数有个不同的零点，则.已知，存在实数满足，则（    ） A．8 B．-8 C．16 D．与实数有关 3．（24-25高三上·江苏扬州·期中）若函数在区间上的图象是一条不间断的曲线，则“”是“函数在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·北京·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表： 1 2 3 4 5 6 136.1 15.6 10.9 判断函数的零点个数至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 6．（23-24高二上·广西柳州·开学考试）已知函数，令，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间为 B．当有3个零点时， C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 7．（24-25高一上·贵州·期中）函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25高三上·山东菏泽·期中）已知函数，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知函数，则（   ） A．当时，有最小值 B．的图象关于原点对称 C．在上为减函数 D．有且只有两个零点 三、填空题 11．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若二次函数在区间上仅有一个零点，则的取值范围是 ． 12．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）已知且，函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数解，则实数的取值范围是 ． 13．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）函数的零点个数为 . 【考点9】二分法与函数模型 一、单选题 1．（24-25高一上·辽宁·期中）下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中正确的是（    ） A．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越快 B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢 C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢 D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快 3．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为 .若 ，则k的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2022·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·北京丰台·期中）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 二、多选题 6．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 7．（21-22高一·全国·课后作业）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ） A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢 B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢 C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变 三、填空题 8．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知图象连续不断的函数 在区间 上有唯一零点，如果用二分法求这个零点（精确度为 ）的近似值，那么将区间等分的次数至少是 . 9．（24-25高一上·安徽·阶段练习）某中学在校园内开设了“希望之星小市场”，将获得的利润捐给希望工程.校学生会通过市场调研得知，某商品的进价为每件20元，设每件售价为元，则每天的销售件数，要想日利润最大，售价应定为每件 元.（利润=售价-进价） 四、解答题 10．（24-25高一上·广东·期中）几个大学生联合自主创业拟开办一家公司，根据前期的市场调研发现：生产某种电子设备的固定成本为20万元，每生产一台设备需增加投入万元.已知总收入（单位：万元）与月产量（单位：台）满足函数：，且当时，. (1)求实数的值； (2)预测：当月产量为多少时，公司所获得的利润不低于20万元?（总收入总成本十利润） 11．（24-25高一上·广西桂林·期中）如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为56元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. (1)求关于的函数表达式； (2)试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 12．（24-25高一上·湖南怀化·期中）某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： (1)写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； (2)据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）； (3)第一次药物注射完成2小时后，马上进行第二次注射，则第二次注射完成后再过1小时，该人每毫升血液中药物含量为多少毫克？（结果保留小数点后两位）. （参考值：） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$