专题02 应用二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 应用二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 知识点、二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收，去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了，支出减少，预计今年结余比去年结余多11400元．回答下列问题： (1)今年结余_______元； (2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为_______元，支出为_______元；（用含的代数式表示） (3)根据（2）所设的未知数，列出相应的方程组； (4)是（3）中所列出的方程组的解吗？ 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程（组）． 古代问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和枚银币，但他干满个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和枚银币．这件衣服值多少枚银币？ 小刚所列方程组：，小强所列方程：． 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中的意义是__________；小刚所列的方程组中的意义是__________； (2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含的代数式表示，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程．请完成这一推导过程； (3)请从以上两个方程（组）中任选一个，并直接回答老师提出的问题． 2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？ 3．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话： 记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了． 妹妹：我比哥哥少4岁； 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄； 根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 1．（23-24八年级下·河北邢台·期末）现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量． (1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x的代数式表示）． (2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m元，有盖长方体每个售价n元，完全售出后，满足如下数据： x（张） 60 90 销售后的总利润y（元） 540 510 ①求y与x之间的关系式， ②求y的最小值； 2．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 3．（2023下·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【经典例题三 方案问题】 【例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 1．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨，某物流公司现有吨货物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)若型车每辆需租金每次元，型车租金每次元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 2．（2023上·全国·八年级专题练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 3．（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）去年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来； (3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【经典例题四 行程问题】 【例4】（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 2．（2021上·山西太原·八年级校考阶段练习）一辆公交车从站出发匀速开往站，在行驶时间相同的前提下，如果车速是千米/小时，就会超过站千米；如果车速是千米/小时，就还需行驶千米才能到达站，求站和站相距多少千米？行驶时间是多少？ 3．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？ 【经典例题五 工程问题】 【例5】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 3．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）宿鸭湖是亚洲面积最大平原人工水库，位于河南省驻马店市汝南县罗店镇东2公里处，为打造驻马店宿鸭湖沿岸的风景带，有一段长为720米的水库清淤扩容工程由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治48米，B工程队每天整治32米，共用20天． (1)根据题意，小华和小军分别列出了尚不完整的方程组如下： 根据小华、小军所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并在表格中补全两人所列的方程组． 小华：x表示_______________，y表示_____________； 小军：x表示_______________，y表示____________． (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【经典例题六 数字问题】 【例6】（23-24八年级上·全国·单元测试）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出两个“极数” ， ； (2)猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由； (3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是 ． 1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 2．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 3．（2022上·湖北武汉·七年级校考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 1．（23-24七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 2．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 3．（2022下·云南·七年级云大附中校考期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【经典例题八 分配问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 1．（23-24七年级下·广西桂林·阶段练习）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张； (2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 2．（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 3．（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例9】（2024八年级上·全国·专题练习）小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 1．（23-24八年级下·辽宁本溪·开学考试）某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表： 冰墩墩 雪容融 进价（元/个） 120 70 标价（元/个） 160 100 (1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个? (2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元? 2．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元． (1)求购进两种水果各多少千克？ (2)8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值． 3．（2023下·全国·七年级期末）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元/个 售价元/个 A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 2．（2023下·浙江金华·七年级校考阶段练习）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 3．（2022上·安徽六安·七年级校考期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【经典例题十一 几何问题】 【例11】（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 1．（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．    (1)如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值； (2)如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长； (3)如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系． 3．（2022上·安徽滁州·七年级校考阶段练习）数轴上有两个动点，，如果点始终在点的左侧，我们称作点是点的“追赶点”如图，数轴上有个点A，，它们表示的数分别为，，已知点是点的“追赶点”，且，表示的数分别为，．    (1)由题意易知，点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同；类似的，______． (2)在A，，三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含的代数式来表示． (3)若，，求和的值． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 2．（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 3．（2022下·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（24-25九年级上·广西贺州·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 1．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 2．（2022·安徽·校联考模拟预测）《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数． 3．（2023下·河南新乡·七年级校考期中）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只， ① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）； ② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________； (2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数； (3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25八年级上·山东济南·期中）甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？ (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 1．（23-24七年级下·广西贵港·期中）电影《刘三姐》中有一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”刘三姐和她的姐妹们随即以对歌的形式给出了答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．” （注：罗秀才的歌词表达的是一道数学题，大意是：把300条狗分成4群，每个群中狗的数量都是奇数，一个群狗的数量少，其他三个群狗的数量多且数量相同，应该如何分？） (1)经分析可知，刘三姐和她的姐妹们给出的答案不是唯一正确的答案，那么请你直接给出另外一个正确答案； (2)如果罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群中，每个群中狗的数量比数量较少的那个群中狗的数量多32条”，求每个群中狗的数量． 2．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）某市为提升山海健康步道夜景效果，在两条笔直平行的景观道，上安装旋转灯，旋转灯A的光射线自顺时针旋转至再回转，灯B的光射线自旋转至再回转，灯A为激光灯，灯B为灯，分为两种型号，型号一每秒转，型号二每秒转，这两种型号的灯购买费用如下表： 购买型号一数量（个） 购买型号二数量（个） 总价（元） 1 2 145 3 4 335   (1)如图1，若灯A的光射线顺时针旋转，光线与交于C点，D为上一点，且，求． (2)如图2，若灯A每秒转，其先转20秒后灯B开始转40秒后，两灯的光束的夹角为．请你判断所安装的是哪个型号的灯，并求该型号灯单个购买费用． (3)如图3，在转动过程中，若某一时刻两灯的光束交于点O，此时点E为射线上一点，与的角平分线交于点F，求和的数量关系． 3．（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）贵阳垃圾分类“百日攻坚”正在行动中，某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放和两种不同型号的分类垃圾桶，购买3个垃圾桶和4个垃圾桶共需430元；购买5个垃圾桶和8个垃圾桶共需770元，求这两种不同型号的分类垃圾桶单价各为多少元？ 1．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 2．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（    ） ①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·河南新乡·模拟预测）班主任张老师准备将200元钱全部用于购买A，B两种款式的笔记本作为奖品（两种款式的都要买），已知一个A款笔记本10元，一个B款笔记本15元，张老师的购买方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付18元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元． 若小明买1支签字笔和1本笔记本，则应付的钱数为（    ） A．7元 B．8元 C．9元 D．10元 5．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（   ） A． B．6或 C．2或6 D． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）用块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，则每块地砖的长为 ，宽为 ． 7．（23-24九年级下·重庆·自主招生）河中有A、B两点相距210km，两艘船分别从A、B两地同时出发，相向而行2小时相遇，朝一个方向行驶14时，甲追上乙，问甲的速度是 千米/小时． 8．（23-24八年级下·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 9．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）五一前夕，某超市促销，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品各一件，分别抽到七折（按售价）和九折销售，共付款386元，这两种商品按原价销售共需500元，则甲、乙两种商品原销售价分别为 元、 元． 10．（2023·北京昌平·二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 12．（23-24七年级下·重庆万州·期中）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 13．（23-24七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 14．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 应用二元一次方程组重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优） 题型一 根据实际问题列二元一次方程组 题型二 根据几何图形列二元一次方程组 题型三 方案问题 题型四 行程问题 题型五 工程问题 题型六 数字问题 题型七 年龄问题 题型八 分配问题 题型九 销售、利润问题 题型十 和差倍分问题 题型十一 几何问题 题型十二 图表信息题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 知识点、二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 【经典例题一 根据实际问题列二元一次方程组】 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收，去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了，支出减少，预计今年结余比去年结余多11400元．回答下列问题： (1)今年结余_______元； (2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为_______元，支出为_______元；（用含的代数式表示） (3)根据（2）所设的未知数，列出相应的方程组； (4)是（3）中所列出的方程组的解吗？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)是 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，列代数式，有理数的加法运算的应用； （1）根据去年菠萝的收入结余元，结余今年预计比去年多元，可以计算出今年的结余； （2）根据今年菠萝的收入比去年增加了，支出减少，可以表示出今年的收入和支出； （3）根据题意“去年菠萝的收入结余元，今年结余比去年多元．列出相应的方程组，即可； （4）将代入（3）中的方程组检验，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：今年的结余为元； 故答案为： （2）解：设去年的收入为元，支出为元，则今年的收入为元，支出为元； 故答案为：； （3）解：根据题意得：． （4）当时，， ∴是方程组的解． 1．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）下列是学习方程应用时，老师板书和两名同学所列的方程（组）． 古代问题：某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和枚银币，但他干满个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和枚银币．这件衣服值多少枚银币？ 小刚所列方程组：，小强所列方程：． 根据以上信息，解答下列问题． (1)以上两个方程（组）中的意义是__________；小刚所列的方程组中的意义是__________； (2)小红发现可将小刚所列的方程组中的某个方程变形为用含的代数式表示，再将其代入另一个方程，即可得到小强所列的方程．请完成这一推导过程； (3)请从以上两个方程（组）中任选一个，并直接回答老师提出的问题． 【答案】(1)一件衣服的价值；每个月所得的报酬 (2)过程见解析 (3)这件衣服值枚银币，每月报酬为银币 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据题意中方程的含义即可求解； （2）运用代入消元法即可求解； （3）运用加减消元法可二元一次方程组，运用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的方法解方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的意义是：一件衣服的价值；的意义是：每个月所得的报酬． （2）解：， 由得，， 将代入得，． （3）解：选择小刚的方法，， ②①得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为：； 选择小强的方法，， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类型得，， 系数化为1得，，即这件衣服的价值为银币， ∴每月的报酬为银币， 答：这件衣服值枚银币，每月报酬为银币． 2．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？ 【答案】共有14棵树苗，44名学生． 【分析】设共有棵树苗，名学生，根据若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可．、 【详解】解：设共有棵树苗，名学生， 由题意等：， 解得：， 答：共有棵树苗，名学生． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话： 记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了． 妹妹：我比哥哥少4岁； 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄； 根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄． 【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁， 根据题意得：， 解得：， 答：今年妹妹6岁，哥哥10岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【经典例题二 根据几何图形列二元一次方程组】 【例2】（23-24七年级下·陕西榆林·期中）小森制作了一个大正方形纸片（灰色）和四个相同的小正方形纸片（白色），按图1、图2两种方式摆放．    (1)根据图示可知，大正方形纸片（灰色）的边长为______，小正方形纸片（白色）的边长为_____（用含a，b的代数式表示）． (2)求图2中灰色部分的面积（用含a，b的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为，根据图形列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据灰色部分的面积等于图2中大正方形的面积减去周围四个小正方形的面积列式计算即可． 【详解】（1）解：设大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为， 根据题意，可得， 解得， 所以大正方形纸片（灰色）的边长为，小正方形纸片（白色）的边长为． 故答案为：，； （2）图2中灰色部分的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、完全平方公式的应用、正方形面积公式等知识，理解题意，正确解得大正方形纸片（灰色）的边长和小正方形纸片（白色）的边长是解题关键． 1．（23-24八年级下·河北邢台·期末）现有300张完全相同的矩形纸片．一张纸片若按图1所示方式裁剪后，可以围成一个无盖长方体，一张纸片若按图2的所示方式裁剪后，可以形成2个与前面无盖长方体搭配的盖子，现先按图2所示的方式裁剪矩形纸片x张，再按图1所示的方式裁剪剩余纸片，其中盖子的数量不大于无盖长方体的数量． (1)直接写出搭配完后，剩余的无盖长方体的数量______．（用含有x的代数式表示）． (2)把搭配完的无盖长方体和有盖长方体进行包装后，放到网格平台进行销售，其中无盖长方体每个售价m元，有盖长方体每个售价n元，完全售出后，满足如下数据： x（张） 60 90 销售后的总利润y（元） 540 510 ①求y与x之间的关系式， ②求y的最小值； 【答案】(1)300-3x (2)①y与x之间的关系式y=-x+600；②当x=100时，y有最小值，最小值是500． 【分析】（1）x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子，一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x，根据题意剩余的盒子为300-x-2x； （2）①由题意得到y=（300-3x）m +n⋅2x，再由表中数据可以得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组求出m，n的值即可得出结论； ②有函数的性质结合x的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：由题意得，x张纸片可以剪2x个盖子，剩余的（300-x）张纸片可以剪（300-x）个盒子， ∵一个盒子配一个盖子，且2x≤300-x， ∴剩余的无盖长方体的数量为300-3x， 故答案为：300-3x； （2）解：①设y=m（300-3x）+n⋅2x， 依据题意得， 解得， ∴y=2（300-3x）+2.5⋅2x=-x+600， ∴y与x之间的关系式y=-x+600； ②∵2x≤300-x， 解得x≤100， ∵y=-x+600，-1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=100时，y有最小值，最小值是500． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，根据题意列出函数解析式是解题关键． 2．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示.    (1)小长方形的长和宽各是多少？ (2)求阴影部分的面积. 【答案】(1)小长方形的长为，宽为； (2)． 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】（1）设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）由（）得：小长方形的长为，宽为， ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023下·湖南岳阳·七年级统考阶段练习）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小正方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【经典例题三 方案问题】 【例3】（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 1．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用辆型车和辆型车装满物资一次可运吨；用辆型车和辆型车一次可运吨，某物流公司现有吨货物资，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)辆型车和辆型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)若型车每辆需租金每次元，型车租金每次元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨； (2)租用辆型车，辆型车，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，根据题意正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （）设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨，根据题意列出方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，根据为正整数求出二元一次方程的解，再分别求出每一种方案的费用，比较即可求解． 【详解】（1）解：设辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨， 由题意得，， 解得， 答：辆型车装满物资一次可运吨，辆型车装满物资一次可运吨； （2）解：由题意可得，， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴该物流公司共有种租车方案： 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车； 方案：租用辆型车，辆型车； 方案的费用：元； 方案的费用：元； 方案的费用：元； ∵， ∴租用辆型车，辆型车，最少租车费为元． 2．（2023上·全国·八年级专题练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元 (2)该公司共有二种购买方案，最大利润为元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键． （1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可． 【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：，解得，， ∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，，且， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司共有二种购买方案， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， ∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元． 3．（2023下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）去年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． (1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来； (3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨； (2)物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车； (3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元． 【分析】(1)设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (2)据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程； (3)根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨， 依题意，得：，解得：； （2）依题意，得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴，，， ∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． （3）方案1所需租金为(元)； 方案2所需租金为(元)； 方案3所需租金为 (元)． ∵， ∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程；(3)根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用． 【经典例题四 行程问题】 【例4】（23-24八年级上·辽宁·期中）甲、乙两人从P地出发沿同一条公路匀速前往Q地，甲开汽车，乙骑自行车．乙行驶的时间为t（h），甲乙两人之间的距离为y（），y与t的函数关系如图所示，乙先出发1小时；甲出发0.5小时与乙相遇． (1)求出线段所在直线的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围）； (2)写出B点的实际意义； (3)直接写出甲、乙两人行驶的速度． 【答案】(1)直线的函数解析式为 (2)B表示两人在乙出发1.5小时后两人相遇 (3)甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二元一次方程组的应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象结合题意，分析即可得出； （3）设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米，根据题意结合图象得到两人在乙出发1.5小时后相遇，在乙出发小时后，相距千米，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）由题意，设直线BC的函数解析式为， 把，得：， ， ∴直线的函数解析式为； （2）由题意，结合图象可得，B表示两人在乙出发小时后两人相遇． （3）由题意，设甲、乙两人行驶的速度分别是每小时x千米、y千米， 根据题意可得，， 解得 答：甲的速度是每小时60千米，乙的速度是每小时20千米． 1．（24-25八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行，乙车到达A地后停止行驶，甲车到达B地后，立即按原速返回（调头时间忽略不计），结果与乙车同时到达A地，甲、乙两车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)A、B两地之间的路程是________，a的值为________； (2)求线段所表示的y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两车相距70千米时，x的值为________． 【答案】(1)360，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，求一次函数解析式． （1）根据图象可知：甲乙两地相距360千米，求出甲乙两车速度，即可求出的值； （2）根据线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）等于360减去甲走的路程求出； （3）设时间为时，两车相距70千米，分三种情况，分别找出等量关系式列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：当时，甲乙两地相距360千米， 设甲车的速度为，乙车速度为：， 由题可得：， 解得：， ， 故答案为：360，120； （2）解：由图可知：乙车到达A地的时间为：（小时），故， 甲车到达B地的时间为：（小时），故， ∵线段所表示甲到达B地之前，甲车距B地的路程y（千米）与出发时间x（时）之间的函数图象， ∴线段的解析式为：； （3）解：设时间为时，两车相距70千米，则分以下三种情况： 当两车未相遇前：，解得：； 当两车相遇后：，解得：； 当甲车返回时：，解得：； 综上所述：或或． 故答案为：或或． 2．（2021上·山西太原·八年级校考阶段练习）一辆公交车从站出发匀速开往站，在行驶时间相同的前提下，如果车速是千米/小时，就会超过站千米；如果车速是千米/小时，就还需行驶千米才能到达站，求站和站相距多少千米？行驶时间是多少？ 【答案】；小时 【分析】设行驶的时间是小时，站和站相距千米，根据题意列方程组解答即可． 【详解】解：设行驶的时间是小时，站和站相距千米， 根据题意得： 解之得：， 答：站和站相距，行驶小时． 【点睛】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键． 3．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？ 【答案】(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元 (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需15月，60月 【分析】（1）设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元，根据两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元列出方程组求解即可； （2）根据工作效率工作总量工作时间进行列式求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元， 由题意得：， 解得， 答：甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元； （2）解：， ， ∴乙单独完成此项工程需要60个月； ， ∴乙单独完成此项工程需要15个月； 答：甲、乙两队单独完成此项工程各需15个月，60个月． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键． 【经典例题五 工程问题】 【例5】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？ 【答案】女工要比男工多18人． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算． 设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可． 【详解】设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y， 根据题意得，， 解得，， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工（人）， 需要男工（人）， 女工比男工多（人）． 故女工比男工要多18人． 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米． (1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？ (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进米，乙组平均每天比原来多掘进米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？ 【答案】(1)甲乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米； (2)两组还需要190天才能完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用—工程问题，本题关键在于设出两个未知数，找出等量关系列方程组． （1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可； （2）用剩余的隧道工程长度除以两组每天共掘进的长度数，即可求得结果． 【详解】（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米， 由题意得， 解得 答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、米； （2）按此施工进度，还需要：（天）， 答：按此施工进度，两组还需要190天完成任务． 2．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天． (1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天； (2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的； (3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？ 【答案】(1)40，15 (2)6 (3)16 【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则； （2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可； （3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数． 【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天； （2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 设还需要再合作天可完成此项工程的， 依题意得，， 解得，， ∴还要再合作6天可完成此项工程； （3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴甲工程队参加工作16天． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）． 3．（2023下·河南新乡·七年级校考阶段练习）宿鸭湖是亚洲面积最大平原人工水库，位于河南省驻马店市汝南县罗店镇东2公里处，为打造驻马店宿鸭湖沿岸的风景带，有一段长为720米的水库清淤扩容工程由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治48米，B工程队每天整治32米，共用20天． (1)根据题意，小华和小军分别列出了尚不完整的方程组如下： 根据小华、小军所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并在表格中补全两人所列的方程组． 小华：x表示_______________，y表示_____________； 小军：x表示_______________，y表示____________． (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)甲方程的解为，乙方程的解为，A队整治河道120米，B队整治河道240米 【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲． 【详解】（1）解：由题意得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 甲：，乙：； （2）解： 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴方程组的解为， 则，， ∴A队整治河道120米，B队整治河道240米； ， 整理得， 得：， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为， ∴A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． 【经典例题六 数字问题】 【例6】（23-24八年级上·全国·单元测试）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”． (1)请任意写出两个“极数” ， ； (2)猜想任意一个“极数”是否是的倍数，请说明理由； (3)如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记，则满足是完全平方数的所有m的值是 ． 【答案】(1)(答案不唯一) (2)任意一个“极数”都是的倍数，理由见解析 (3)或或或 【分析】本题考查了有理数，整式的加减，解二元一次方程等知识．理解题意，正确表示四位数是解题的关键． （1）根据定义求解作答即可； （2）设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数），则“极数”为，然后作答即可； （3）设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数），则四位数m为，，由是完全平方数，，且x、y为整数，可得或或或，计算求解，然后作答即可 【详解】（1）解：由“极数”的定义得，两个“极数”为， 故答案为：； （2）解：任意一个“极数”都是的倍数，理由如下： 设任意一个“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且a、b为整数）， ∴“极数”为， ∵，且a、b为整数， ∴是整数， ∴任意一个“极数”都是的倍数． （3）解：设“极数”的千位数为，百位数为，则十位数为，个位数为，其中（，且x、y为整数）， ∴四位数m为， ∴， ∵是完全平方数，，且x、y为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴m可以为或或或， 故答案为：或或或． 1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”．如对于四位数3564，因为，所以3564是“平衡数”；对于四位数2356，因为，所以2356不是“平衡数”． (1)最小的“平衡数”是________，最大的：“平衡数”是__________； (2)判断7128是不是“平衡数”，并说明理由； (3)若一个“平衡数”满足千位数字与百位数字的积是12，且十位数字与个位数字的和为6，请你写出所有满足条件的“平衡数”． 【答案】(1)1001，9999 (2)是，理由见解析 (3)2651或6215 【分析】（1）根据新定义，即可得出结论； （2）根据新定义，即可得出结论； （3）根据题意知，，求得和的值，再根据题意是6，结合，取舍即可求得所有满足条件的“平衡数”． 【详解】（1）根据题意：一个四位正整数满足：，我们就称该数是“平衡数”， 最小的正整数是1，最大的正整数是9， ∵，， ∴最小的“平衡数”是1001，最大的“平衡数”是9999， 故答案为：1001，9999； （2）是，理由如下： ∵， ∴7128是“平衡数”； （3）设这个“平衡数”为， 依题意得：，， 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为2651； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∵a，b，c，d都是整数，故不符合题意，应舍去； 当时，， ∵ ∴，即， ∵ ∴解得，， ∴此时“平衡数”为6215； 综上，满足条件的“平衡数”是2651或6215． 【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键． 2．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为．这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数． (1)列一元一次方程求解． (2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组． (3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组． 【答案】(1)原两位数为38 (2) (3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组 【分析】（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据题意，列出方程组即可求解； （3）结合（1），可知：，，进而即可求解． 【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：原两位数为38； （2）设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意，得：； （3）结合（1）可知，，， ∴，， ∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键． 3．（2022上·湖北武汉·七年级校考期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图1就是一个幻方．图2、图3、图4分别是未完成的幻方． 4 9 2 3 5 7 8 1 6 图1 0 2 a 图2 m 8 20 16 n 图3 图4 (1)如图2，将、、、、0、1、2、3、4这9个数填入图2的幻方中，其中、0、2已填入，则a的值是______． (2)如图3，则______． (3)如图4，直接写出图中y的值是______． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t，分别用含有t的式子表示每一空格的数，再根据第三行的和等于第二行的和列方程求解即可； （2）由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组求得m、n的值，即可求解； （3）根据第一行的和等于第三列的和可得关于x的一元二次方程，求得x的值，再根据第二行的和与对角线的和相等即可求解． 【详解】（1）解：设每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和为t， 则每一空格如图所示， 0 2 3 a ∴， ∴，， 故答案为：； （2）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴最左下角的数为：， ∴最中间的数为：或， ∴最右下角的数为：或， ∴， 解得， ∴， 故答案为：4； （3）解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 整理得，， ∵， 整理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． 【经典例题七 年龄问题】 【例7】（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 1．（23-24七年级下·吉林延边·期末）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话： 妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁． 哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄． 根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得                         解得                                       答：现在哥哥10岁，妹妹6岁． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决． 2．（2022上·全国·八年级专题练习）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 3．（2022下·云南·七年级云大附中校考期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【经典例题八 分配问题】 【例8】（23-24七年级上·江苏苏州·期中）七年级新生入学，若每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，有多少名住宿新生？有多少间宿舍？ 【答案】有 144 名住宿新生，19 间宿舍 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用．熟练掌握总人数与每个房间人数和房间数的关系，列方程，是解题的关键． 设有 x 间宿舍，根据每间宿舍住 6 名新生，则 30 名新生没宿舍住，若每间住 8 名，则有一间宿舍空闲，列方程解答． 【详解】解：设有 x 间宿舍， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：有 144 名住宿新生，19 间宿舍． 1．（23-24七年级下·广西桂林·阶段练习）某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图2），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图1）．（注：图1中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片 张，正方形纸片 张； (2)现将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可以做成甲乙两种小盒各40个，80个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数加法的实际应用： （1）分别求出1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片即可得到答案； （2）设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将400张长方形硬纸片和200张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，1个甲种长方体小盒需要4个长方形硬纸片，1个正方形硬纸片，1个乙种长方体小盒需要3个长方形硬纸片，2个正方形硬纸片， ∴制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片7张，正方形纸片3张， 故答案为：7；3； （2）解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各40个，80个． 2．（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 3．（2023下·贵州·七年级校联考阶段练习）已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． (2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨． （2）依题意，得：， ． ，均为非负整数， ，，， 该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆． 方案1所需租金：（元， 方案2所需租金：（元， 方案3所需租金：（元． ， 方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金． 【经典例题九 销售、利润问题】 【例9】（2024八年级上·全国·专题练习）小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次 6 5 1140 第二次 3 7 1110 第三次 9 8 1062 (1)在这三次购物中，第____________次购物打了折扣； (2)求出商品A，B的标价； (3)若商品A，B的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)三 (2)商品A的标价为90元，商品B的标价为120元 (3)商店是打六折出售这两种商品 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）根据图表可得小林以折扣价购买商品A、B是第三次购物； （2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据图表列出方程组求出x和y的值； （3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据表格可知，小林以折扣价购买商品A，B是第三次购物． 故答案为：三； （2）解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元． 根据题意，得， 解得：， 故商品A的标价为90元，商品B的标价为120元． （3）解：设商店打a折出售这两种商品． 根据题意得：， 解得：． 故商店是打六折出售这两种商品的． 1．（23-24八年级下·辽宁本溪·开学考试）某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表： 冰墩墩 雪容融 进价（元/个） 120 70 标价（元/个） 160 100 (1)求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个? (2)如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元? 【答案】(1)该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个. (2)商场将毛绒玩具全部售出后会获利1840元. 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进个，雪容融毛绒玩具购进个， 由题意得：， 解得：， 答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个； （2）（元， 答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元． 2．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元． (1)求购进两种水果各多少千克？ (2)8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值． 【答案】(1)购进40千克葡萄，85千克西瓜 (2) 【分析】（1）设购进m千克葡萄，n千克西瓜，根据“购进西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，且购进两种水果共花费370元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进m千克葡萄，n千克西瓜， 根据题意得：， 解得：． 答：购进40千克葡萄，85千克西瓜； （2）根据题意得：， 解得：． 答：y的值为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 3．（2023下·全国·七年级期末）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价元/个 售价元/个 A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)1100 (3)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球， 根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【经典例题十 和差倍分问题】 【例10】（2024·湖南株洲·模拟预测）某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？ 【答案】120元和90元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元，由题意知篮球的单价高于足球的单价，再由篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，列出方程组求解即可． 【详解】解：设每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元， 由题意知篮球的单价高于足球的单价， 则， 解得： 答：每个篮球和足球价格分别是120元和90元． 1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）为弘扬爱国主义精神，对青少年学生进行爱国主义教育，勿忘国耻，本记使命，某校准备组织学生到抚顺平顶山惨案纪念馆参观，参观学生共计300人，学校到租车公司联系车辆，该公司现有A，B两种座位数不同的车型，如果租用A型车3辆，B型车3辆，则空余15个座位；如果租用A型车5辆，B型车1辆，则有15个人没座位． (1)求A，B两种车型各有多少个座位． (2)若最终租用了两种车型的车，且座位恰好坐满，则两种车型的车各租用了多少辆？ 【答案】(1)每个A型车有45个座位，B型车有60个座位 (2)需租用A型车4辆，B型车2辆 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． （1）设该公司，两种车型各、个座位，根据题意得：，即可求解； （2）设需租A型车m辆，B型车n辆，可得，再利用正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设每个A型车有x个座位，B型车有y个座位， 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型车有45个座位，B型车有60个座位． （2）解：设需租A型车m辆，B型车n辆， 依题意，得：， ∴． ∵m，n均为正整数， ∴． 答：需租用A型车4辆，B型车2辆． 2．（2023下·浙江金华·七年级校考阶段练习）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)A型车3吨，B型车4吨 (2)A型车6辆，B型车2辆或A型车2辆，B型车5辆 (3)A型2辆，B型5辆，需要800元，费用为800元 【分析】（1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由（1）及题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案； （3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，分别求出租车费用即可． 【详解】（1）解：设A型车可运x吨，B型车可运y吨 ， 解得：， 答：A型车一次可运货3吨，B型车一次可运货4吨． （2）解：由（1）知 A型车一次可运货3吨，B型车一次可运货4吨， 根据题意得：， 解得：或 答：物流公司租车方案有方案一：A型车6辆，B型车2辆，方案二：A型车2辆，B型车5辆； （3）解：由（2）知：方案一的租车费用：（元）， 方案二的租车费用：（元）， ， 答：最省钱的租车方案是A型2辆，B型5辆，需要800元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题． 3．（2022上·安徽六安·七年级校考期中）小明逛，两家网店发现都有他看中的甲，乙两种课外资料在售卖，且每种课外资料在两家店的售价相同，甲，乙两种课外资料的单价之和是 200元，且每本甲种课外资料售价比乙种课外资料售价的2倍少40元． (1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是多少元？ (2)某一天恰好赶上商家促销，网店所有商品打八五折销售，网店全场购买每满50元减8元，小明需要购买两种课外资料各一本，请通过计算判断怎样购买更省钱？ 【答案】(1)该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 (2)在网店B购买更省钱 【分析】（1）设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元，再根据两种资料单价和为200元列出方程求解即可； （2）根据（1）所求结合所给的折扣分别计算出两个网店的花费即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种课外资料的售价为x元，则甲种课外资料的售价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：该同学看中的甲，乙两种课外资料的每本售价各是120元，80元 （2）解：网店A的花费为元， 网店B的花费为元， ∵， ∴在网店B购买更省钱． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求出两种资料的单价是解题的关键． 【经典例题十一 几何问题】 【例11】（23-24七年级下·甘肃陇南·期末）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为60米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为45米，15米 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、长方形的面积等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． （1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出x、y的值即可； （2）先求出大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为45米，15米． （2）解：大长方形的长为米，宽为60米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 1．（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 2．（2023下·四川成都·七年级统考期末）如图，长方形拼图，白色部分均由长为、宽为的小长方形卡片拼成．    (1)如图1，当图中最大长方形的宽为时，分别求、的值； (2)如图2，若大正方形的面积为81，每张卡片的面积为14，求小正方形的边长； (3)如图3，当两个阴影部分（均为长方形）面积差为定值时，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据图形得出；，然后解方程组即可； （2）根据图形得出；根据，得出，即可求出结果； （3）设最大长方形的长为，得出，根据，整理得出，得出当时，为定值，即可得出答案． 【详解】（1）解：由最大长方形的宽可得： ； 由最大长方形的长可得： ，从而．         ．    （2）解：小正方形的边长为，大正方形的边长为， 比较图中正方形的面积可得：； 当时，． ． （3）解：设最大长方形的长为，则． ∴ ， 当时，为定值． ∴为定值时，．    【点睛】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． 3．（2022上·安徽滁州·七年级校考阶段练习）数轴上有两个动点，，如果点始终在点的左侧，我们称作点是点的“追赶点”如图，数轴上有个点A，，它们表示的数分别为，，已知点是点的“追赶点”，且，表示的数分别为，．    (1)由题意易知，点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同；类似的，______． (2)在A，，三点中，若其中一个点是另两个点所构成线段的中点，请用含的代数式来表示． (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2)①是A、的中点，；②A是、点中点时，；③N是、A的中点时，； (3)，或，或， 【分析】（1）根据“点A是点的“追赶点”，表示线段的长，以下相同”即可得到答案； （2）分三种情况进行分析求解即可； （3）根据得到，由，得到，分别列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 故答案为； （2）①是A、的中点， 则， ； ②A是、点中点时， 则， ∴； ③N是、A的中点时， 则， ； （3）， ， ， ， 或 或或， ，或，或，或，， ， ，或，或，． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、线段中点的定义等知识，熟练掌握二元一次方程组的解法和分类讨论是解题的关键． 【经典例题十二 图表信息题】 【例12】（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）[阅读] 将九个数分别填在（3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”也称幻方，m为幻方值下面的图1是满足条件的“和15幻方”    [探究] (1)若图2为“和m幻方”，则． (2)小明发现了幻方中的其它等量关系，例如图1中有：；；；……你能运用这个规律解决以下问题吗？ 问题解决：图3为幻方，，且，求出图3的幻方值． 【答案】(1)8，0 (2)39 【分析】（1）根据幻方的特点即可求出和的值； （2）由幻方的特点得出和，再结合条件建立方程组求出，，，的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， 故答案为：8，0； （2）由幻方的特征得，， ， ， ，， 由幻方的特征得，， ， ， ， ，， 图3的幻方值为． 【点睛】此题主要考查了幻方的特征，解二元一次方程组，掌握幻方的特点建立方程和方程组是解本题的关键． 2．（2022上·陕西西安·八年级统考期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 3．（2022下·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3 5 1750元 第二周 4 10 3000元 (1)求A、B两种型号电风扇的销售单价； (2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由． (3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案． 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元 (2)不能，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标； （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 依题意得：， 解得：． 答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元． （2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下： 设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 不符合题意，舍去， 即不能实现利润为1200元的目标． （3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇， 依题意得：， ， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有3种购买方案， 方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇； 方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇； 方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（24-25九年级上·广西贺州·期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器六、小器一容五斛；大器一、小器六容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？” 【答案】大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系． 设大容器的容积是x斛，小容器的容积是y斛，根据大容器6个、小容器1个，总容量为5斛；大容器1个、小容器6个，总容量为2斛．列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 根据题意得： 解得： 答：大容器的容积是0.8斛，小容器的容积是0.2斛． 1．（23-24七年级下·浙江湖州·阶段练习）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人、羊价各是多少？ 设合伙人为人，羊价为钱，根据题意甲、乙两位同学得到如下方程组：甲同学： 乙同学： 请你判断上述两位同学所列方程组是否正确，如正确并解答；若不正确，请你重新列方程组并解答． 【答案】两位同学所列的方程组都是错误的，详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意找准等量关系，列出方程组求解即可．设合伙人为人，羊价为钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”列出方程组，即可判断两位同学所列的方程组都是错误的，再解方程组即可解题． 【详解】解：两位同学所列的方程组都是错误的， 设合伙人为人，羊价为钱， 根据题意可得：， 解得：． 答：合伙人为21人，羊价为150钱． 2．（2022·安徽·校联考模拟预测）《算法统宗》中有这样一道数学问题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？请君布算莫迟疑！”大意是说：“用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，请问究竟甜、苦果各有几个？”试求甜果，苦果的个数． 【答案】苦果买343个，甜果买657个 【分析】设苦果买x个，甜果买y个，根据用999文钱可以买甜果和苦果共1000个，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设苦果买x个，甜果买y个， 根据题意，得， 解得 答：苦果买343个，甜果买657个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023下·河南新乡·七年级校考期中）阅读下列材料，解决问题． 《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ (1)[尝试]若设母鸡有x只，公鸡有y只， ① 小鸡有_______只，买小鸡一共花费_____文钱（用含x，y的式子表示）； ② 根据题意，列出一个含有x，y的方程__________； (2)[探索]小军对“百鸡问题”增加一个条件：“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数； (3)[拓展]小明对“百鸡问题”增加两个条件：“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”求此时公鸡､母鸡､小鸡的只数． 【答案】(1)① ；② (2)公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只 (3)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只 【分析】（1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合小鸡的价格即可求出购买小鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合“母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）先根据求出x，y之间的关系，然后结合“若买得公鸡和母鸡之和不超过20只，且买得公鸡数不低于母鸡数，”讨论，即可求出结论． 【详解】（1）①∵要买100只鸡，且小鸡每三只值一文钱， ∴买了只小鸡，买小鸡花了文钱． 故答案为：；． ②根据题意得：． 故答案为：． （2）由题意得 ， 解得， ∴只． 答：公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只； （3）根据题意得：，化简得：， 当时，；当时，；当时，；当时，；当时，（舍去）． 又因为，且， 所以仅有，符合题意，此时． 答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只． 【点睛】本题考查了列代数式，以及二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组求解是解答本题的关键． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25八年级上·山东济南·期中）甲、乙两个乐团决定向某服装厂购买演出服，已知甲乐团购买的演出服每套70元，乙乐团购买的演出服每套80元，两个乐团共75人，购买演出服的总价钱为5600元． (1)甲、乙两个乐团各有多少人？ (2)现从甲乐团抽调人，从乙乐团抽调人，去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”，甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责6位小朋友，这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【答案】(1)甲乐团有40人，乙乐团有35人 (2)共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，读懂题意，根据题意列出方程组是解本题的关键． （1）设甲乐团有人，乙乐团有人，然后根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可得，然后求得正整数解即可． 【详解】（1）解：设甲乐团有人，乙乐团有人， 根据题意，得， 解得， 答：甲乐团有40人，乙乐团有35人； （2）由题意，得， 变形得， 因为，，且，均为整数， 所以或， 所以共有两种方案：从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调1人，从乙乐团抽调10人． 1．（23-24七年级下·广西贵港·期中）电影《刘三姐》中有一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”刘三姐和她的姐妹们随即以对歌的形式给出了答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．” （注：罗秀才的歌词表达的是一道数学题，大意是：把300条狗分成4群，每个群中狗的数量都是奇数，一个群狗的数量少，其他三个群狗的数量多且数量相同，应该如何分？） (1)经分析可知，刘三姐和她的姐妹们给出的答案不是唯一正确的答案，那么请你直接给出另外一个正确答案； (2)如果罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群中，每个群中狗的数量比数量较少的那个群中狗的数量多32条”，求每个群中狗的数量． 【答案】(1)97，97，97，9（答案不唯一） (2)每个群中狗的数量为83条，数量较少的那个群中狗的数量为51条 【分析】（1）根据题意，可设数量多的有x条，数量少的为y条，且x，y都是奇数，根据题意，得，变形，得，分类计算即可． （2）根据题意，可设数量多的有x条，数量少的为y条，且x，y都是奇数，根据题意，得，转化为方程组解答即可． 本题考查了二元一次方程的解，解方程组，熟练掌握解方程组，求二元一次方程的解是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，可设数量多的有x条，数量少的为y条，且x，y都是奇数， 根据题意，得， 变形，得， 当时，； 当时，； 当时，； 答案不唯一， 故新答案为：97，97，97，9． （2）解：根据题意，可设数量多的有x条，数量少的为y条，且x，y都是奇数，根据题意，得， 解得， 故每个群中狗的数量为83条，数量较少的那个群中狗的数量为51条． 2．（2022下·福建厦门·七年级校考期中）某市为提升山海健康步道夜景效果，在两条笔直平行的景观道，上安装旋转灯，旋转灯A的光射线自顺时针旋转至再回转，灯B的光射线自旋转至再回转，灯A为激光灯，灯B为灯，分为两种型号，型号一每秒转，型号二每秒转，这两种型号的灯购买费用如下表： 购买型号一数量（个） 购买型号二数量（个） 总价（元） 1 2 145 3 4 335   (1)如图1，若灯A的光射线顺时针旋转，光线与交于C点，D为上一点，且，求． (2)如图2，若灯A每秒转，其先转20秒后灯B开始转40秒后，两灯的光束的夹角为．请你判断所安装的是哪个型号的灯，并求该型号灯单个购买费用． (3)如图3，在转动过程中，若某一时刻两灯的光束交于点O，此时点E为射线上一点，与的角平分线交于点F，求和的数量关系． 【答案】(1) (2)50 (3) 【分析】（1）根据题意可知，，根据平角的定义和平行线的性质即可得出答案； （2）设两灯的光束交于点，过作，根据平行线的性质得 ，则，根据题意得 ，进而算出，根据“转速二转过的角度时间”列出算式计算，设设型号一的灯单价为元，型号二的灯单价为元，根据题意列出二元一次方程组，再求解即可； （3）设与交于点，根据平行线的性质得，即，，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的性质和三角形外角性质得 ，以此化简即可解答． 【详解】（1）解：∵灯的光射线顺时针旋转，光线与交于点， （2）解：设两灯的光束交于点，过作， 由题意可得， ∴， ∴， ∴灯的旋转速度为(度/秒) ∴安装的是型号二的灯， 设型号一的灯单价为元，型号二的灯单价为元， 根据题意得：， 解得∶， 型号一的灯单价为45元，型号二的灯单价为50元， ∴该型号灯单个购买费为50元； （3）解：设与交于点，如图， ∵， ∴，即， ∴， ∵、分别为与的角平分线， ∴， ∵ ∴，即， ， 即 即． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、二元一次方程组的应用、角平分线的性质、三角形外角 性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键． 3．（2022上·贵州贵阳·八年级统考期末）贵阳垃圾分类“百日攻坚”正在行动中，某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放和两种不同型号的分类垃圾桶，购买3个垃圾桶和4个垃圾桶共需430元；购买5个垃圾桶和8个垃圾桶共需770元，求这两种不同型号的分类垃圾桶单价各为多少元？ 【答案】垃圾桶的单价为90元，垃圾桶的单价为40元 【分析】设垃圾桶的单价为元，垃圾桶的单价为元，然后根据“购买3个垃圾桶和4个垃圾桶共需430元；购买5个垃圾桶和8个垃圾桶共需770元”列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设垃圾桶的单价为元，垃圾桶的单价为元， 根据题意得， 解得， 答：垃圾桶的单价为90元，垃圾桶的单价为40元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是读懂题意，找到题目中的等量关系列出方程组． 1．（2024·河北·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？大意：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？小青根据题意列出方程组小云根据题意列出一元一次方程，则下列说法正确的是（    ） A．小青正确，小云错误 B．小青错误，小云正确 C．小青、小云都正确 D．小青、小云都错误 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程和二元一次方程组，找准等量关系，正确列出一元一次和二元一次方程组是解题的关键，根据“若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，和关于的一元一次方程． 【详解】解：设人数量为个，车的辆数为辆， 若3人坐一辆车，则两辆车是空的， ∴； 若2人坐一辆车，则9人需要步行， ∴， ∴， 根据意可列出方程组为， 即小青错误，小云正确， 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川绵阳·开学考试）某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板制作如图②所示的A、B两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板120张，长方形纸板360张，刚好全部用完，则下列结论中正确的个数是（    ） ①甲同学：设制作A型盒个数为x，根据题意可得；②乙同学：设制作B型盒用正方形纸板的张数为m，根据题意可得；③制作A型盒72个；④制作B型盒需正方形纸板共48张．    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】观察图形可知，A型纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，B型纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，设A型盒子个数为x个，可得A型纸盒需要长方形纸板的数量和B型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对①进行判断；设B 型盒中正方形纸板的个数为m个，可得B型纸盒需要长方形纸板的数量和A型纸盒需要长方形纸板的数量，可列出方程对②进行判断；设制作A 型盒子a个，B型盒子b个，根据长方形纸板360张，正方形纸板120张，可得出方程组，解之即可得出a，b值，进而可对③④进行判断． 【详解】解：设A型盒子个数为x个，则A型盒子需要长方形纸板张，正方形纸板x张， ∵B型纸盒需要2个正方形纸板， ∴可制作B型纸盒的数量为个，需要长方形纸板张， ∴，故①正确； 设B 型盒中正方形纸板的个数为m个，则B型纸盒有个，需要长方形纸板张，A型盒子有个， ∴，故②正确； 设制作A 型盒子a个，B型盒子b个， 则，解得， ∴A型盒子有72个，B型纸盒有24个， ∴B型纸盒中正方形纸板48个， 故③④正确； 故正确的个数有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及二元一次方程组的应用，找准等关系，正确列出一元一次方程(或二元一次方程组)是解题的关键． 3．（2024·河南新乡·模拟预测）班主任张老师准备将200元钱全部用于购买A，B两种款式的笔记本作为奖品（两种款式的都要买），已知一个A款笔记本10元，一个B款笔记本15元，张老师的购买方案共有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．9种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，设购买x个A款笔记本，y个B款笔记本，根据题意列出二元一次方程，得出y是2的倍数，再分情况找出方案的数量即可． 【详解】解：设购买x个A款笔记本，y个B款笔记本， 依题意，得：， 解得：， ∵x，y均为正整数， ∴y是2的倍数， ∴或或或或或， ∴共有6种购买方案． 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在学习之余去买文具，打算购买2支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 小明：您好，我要买2支签字笔和3本笔记本． 售货员：好的，那你应付18元． 小明：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付22元． 若小明买1支签字笔和1本笔记本，则应付的钱数为（    ） A．7元 B．8元 C．9元 D．10元 【答案】B 【解析】略 5．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在长方形中，，E为的中点，若点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点C向点B运动，当与全等时，则点Q的运动速度是（   ） A． B．6或 C．2或6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，全等三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．根据四边形是长方形可得，设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是，根据题意分别表示出，再根据全等三角形的对应边相等分两种情况讨论，当时，当时，分别建立方程组求解即可． 【详解】解：由题可知：， E为的中点 ， ， 设运动的时间为t秒，点Q的运动速度是， 依题有：， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等 ， 当时， ， 解得：， 即点Q的运动速度为时，与全等， 综上可得，点Q的运动速度为或时，与全等， 故选：B． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）用块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，则每块地砖的长为 ，宽为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系，即拼放成的大长方形的长小长方形的长小长方形的宽小长方形的长，拼放成的大长方形的宽小长方形的长小长方形的宽．根据这两个等量关系可列出方程组求解即可． 【详解】解：设每块长方形地砖的长为，宽为， 由题意可得：， 解得：， 则地砖的长为，宽为， 故答案为：，． 7．（23-24九年级下·重庆·自主招生）河中有A、B两点相距210km，两艘船分别从A、B两地同时出发，相向而行2小时相遇，朝一个方向行驶14时，甲追上乙，问甲的速度是 千米/小时． 【答案】60 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲的速度是千米小时，乙的速度是千米小时，利用路程速度时间，结合“两艘船分别从、两地同时出发，相向而行2小时相遇，朝一个方向行驶14时，甲追上乙”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲的速度是千米小时，乙的速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 甲的速度是60千米小时． 故答案为：60． 8．（23-24八年级下·北京西城·期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的倍快步赶往图书馆，并在从家出发时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．    （1）小华从家出发 时，爸追上小华； （2）图书馆离小华家 ． 【答案】 10 1760 【分析】本题主要考查了变量关系图像上获取信息以及二元一次方程组的应用，看懂变量之间的图像是解题的关键． （1）根据图像即可得出答案， （2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为，则小华后来的速度为根据函数图像关系列出关于a，b的二元一次方程求解即可得出a的值，再根据路程等于时间乘以速度计算即可得出答案． 【详解】解：（1）由图像可得出时间为的时候，小华与爸爸之间的距离y为0， 即小华从家出发时，爸爸追上小华； 故答案为：10． （2）设小华原来的速度为，爸爸的速度为， 则小华后来的速度为 根据函数关系图可得出：， 解得：， ∴小华原来的速度为，后来的速度为：， ∴图书馆离小华家 故答案为：1760． 9．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）五一前夕，某超市促销，由顾客抽奖决定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品各一件，分别抽到七折（按售价）和九折销售，共付款386元，这两种商品按原价销售共需500元，则甲、乙两种商品原销售价分别为 元、 元． 【答案】 320 180 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 根据题意可知，本题中的等量关系是：以7折优惠价购买甲种商品所付钱数+以9折优惠价购买乙种商品所付钱数元，甲种商品原价买乙种商品原价=500元．根据这两个等量关系可以列出方程组，然后求解即可． 【详解】解：设甲、乙两商品的原价分别是元，元， 则， 解得． 故答案为：320；180． 10．（2023·北京昌平·二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满. （1）要想使花费最少，需要 间两人间； （2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间. 【答案】 1 8 【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间； （2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满． 【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元， 因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间， 花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间， 故答案为：1； （2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元， 此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间， 设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间， 则，， 当，时，满足， 因此27个男生租12个两个间，1个三个间， 此时还剩两人间：（个）， 因此m可以取3，2，1，0， 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，不合题意； 当时，女生需要租三人间个，符合题意； 因此需要租三人间：（个）， 故答案为：8． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为的钢管88根，长为的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根； 方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根． (2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由． 【答案】(1)；；； (2)方法2剪28根，方法3剪4根； (3)方法1剪14根，方法3剪18根． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题目中所给的信息合理列出方程是解题的关键． （1）由总数每份数份数解答即可； （2）设用方法2剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可； （3）设用方法1剪根，用方法3剪根，根据需要长为的钢管88根，长为的钢管36根列出方程运算即可． 【详解】（1）解：方法1：，最多可剪根； 方法2：，最多可剪根； 方法3：，最多可剪根； 故答案为：；；； （2）解：设用方法2剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法2剪28根，方法3剪4根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； （3）解：设用方法1剪根，用方法3剪根长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料， ∴， 解得：； ∴用方法1剪14根，方法3剪18根长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料； 12．（23-24七年级下·重庆万州·期中）某商场从厂家购进了两种品牌篮球共80个，已知购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元，品牌篮球每个进价100元，品牌篮球每个进价80元． (1)求购进两种品牌篮球各多少个？ (2)在销售过程中，品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销，商场决定打a折出售剩余的品牌篮球；品牌篮球每个按进价加价销售，很快全部售出，两种品牌篮球全部售出后共获利2080元，求的值． 【答案】(1)购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个 (2)7折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，掌握题意，找出题目中的等量关系，列出方程并解答是关键． （1）设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个，根据两种品牌篮球共80个和购买品牌篮球的总价比购买品牌篮球总价的2倍还多200元可列出方程组求解即可； （2）根据两种品牌篮球全部售出后共获利2080元列出方程解决问题． 【详解】（1）解：设购进品牌篮球个，则购进品牌篮球个， ， 解得， 故购进品牌篮球50个，购进品牌篮球30个； （2）解：依题意有： ， 解得：， 故品牌篮球打7折出售． 13．（23-24七年级下·江苏南通·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车制造商开发了一款新能源汽车，计划一年生产安装360辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成安装任务，工厂决定招聘部分新工人，他们经过培训后也能独立进行新能源汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车；2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车． (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆新能源汽车？ (2)如果工厂招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)在（2）的条件下，工厂给安装新能源汽车的每名熟练工人每月发放4000元的工资，给每名新工人每月发2400元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能少？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车 (2)工厂有3种新工人的招聘方案：①新工人9人，熟练工2人；②新工人6人，熟练工3人；③新工人3人，熟练工4人 (3)应招聘6名新工人 【分析】本题主要考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是要能够理解题意，正确找到等量关系和不等关系，熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车．根据“1名熟练工和3名新工人每月可安装12辆新能源汽车”和“2名熟练工和5名新工人每月可以安装22辆新能源汽车”列方程组求解． （2）设工厂有名熟练工．根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，根据，都是正整数和，进行分析的值的情况； （3）根据总费用熟练工人的费用新工人的费用列出代数式，分别代入（2）中方案，计算比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）解：设工厂有名熟练工． 根据题意，得， ， ， 又，都是正整数，， 所以，6，3． 即工厂有3种新工人的招聘方案： ①，，即新工人9人，熟练工2人； ②，，即新工人6人，熟练工3人； ③，，即新工人3人，熟练工4人． （3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的数量多于熟练工，则，或，； 根据题意得：． 当时，（元） 当时，（元） ， 当，时，即工厂应招聘6名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额（元）尽可能少． 14．（23-24七年级下·云南昆明·期末）3月12日是我国的植树节，某学校计划组织七年级名师生到林区植树，决定租用当地租车公司小客车，大客车两种型号客车作为交通工具．已知满员时，用辆小客车和辆大客车每次可运送学生人；用1辆小客车和辆大客车每次可运送学生人． (1)1辆小客车和辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？ (2)若学校计划租用小客车辆，大客车辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满； ①请你设计出所有的租车方案； ②若小客车每辆需租金元，大客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生 (2)①方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆； ②方案二最省钱，最少租金3040元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐x，y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； （2）①根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可． ②分别计算费用比较即可． 【详解】（1）设每辆小客车和每辆大客车各能坐，名学生， 根据题意得：， 解得：， 则1辆小客车坐满后一次可送20名学生，辆大客车坐满后一次可送45名学生； （2）①根据题意得：， 整理得：， 当时，；当时，，当时，， 方案一：租小客车11辆，大客车4辆；方案二：租小客车2辆，大客车8辆；方案三：租小客车20辆． ②各种租车费用：方案一租金：(元)； 方案二租金： (元) ； 方案三租金： (元)． ∵． ∴方案二最省钱，最少租金3040元． 15．（24-25八年级上·广东深圳·期中）【综合与应用】 正值双十一购物节，深圳线下各大商场开展火热的促销活动． 恰逢莲花中学举行秋季运动会，团委想借此机会购进一批足球． 现甲、乙商场推出了两种优惠活动，那么选择哪种购买方案更优惠呢？ 某数学学习小组针对此问题进行了如下研究： 选择更优惠的足球购买方案 素材一 在甲或乙商场原价购买3个A品牌足球和4个B 品牌足球共需440元；购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元． 素材二 甲、乙两个商场的优惠方案 甲商场： A，B品牌足球均按原价的8折销售． 乙商场： ①购买A品牌足球数量不超过8个时，按原价销售；数量超过8个时，超过的部分按原价的7折销售． ②购买B品牌足球不打折． 问题解决 任务一 求A、B两种品牌足球的原价． 任务二 学校打算购买A、B品牌足球共60个， 若设购买A品牌足球a个，选择在甲商场购买的总费用为元、选择在乙商场购买的总费用为元．分别求出和关于a的函数关系式． 任务三 任务二中和的函数图象如上图所示， 请结合函数图象分析，学校选择哪个商场购买足球更合算？ 【答案】任务一：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场购买总费用乙商场购买总费用 任务三：见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一次函数的应用等知识． （1）设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）甲商场总花费根据单价乘以数量乘以折扣即可得出答案，乙商场总花费分和两种情况，分别求解即可． （3）当甲，乙两商场总花费相等时，即可得出关于a的一元一次方程求解得出a的值，再结合函数图像即可得出哪个商场购买足球更合算． 【详解】解：任务一：设A品牌足球的单价为x元，B品牌足球的单价为y元． 依题意得， 解得， 答：A品牌足球的单价是80元，B品牌足球的单价是50元． 任务二：甲商场总花费：，即 乙商场总花费：当时， ，即； 当时，，即 综上，甲商场购买总费用， 乙商场购买总费用； 任务三：当甲，乙两商场总花费相等时， 可列方程，， 解得∶， 结合函数图像可得： 当时，，即购买A品牌足球数量少于44个时，选择甲商场购买更合算． 当时，，即购买A品牌足球数量等于44个时，选择甲，乙商场购买都可以． 当时，，即购买A品牌足球数量大于44个时，选择乙商场购买更合算． 学科网（北京）股份有限公司 $$