2.2 切线长定理 同步课件 2023--2024学年浙教版九年级数学下册

浙教版 九年级下册 2.2 切线长定理 第2章 直线与圆的位置关系 课前复习 我们已经学习了一条直线与圆的位置关系： 相离 一条直线与圆的位置关系 相切 相交 切线的定义 切线的性质与判定 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 2 课前练习 C 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 3 课前练习 【解析】 ∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB. ∴由垂径定理，得AB＝2AC＝8. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 4 新知学习 问题1 经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？ P P B A P 问题2 过圆外一点P，如何作圆的切线，可以作几条？ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 5 新知学习 画一画 过圆外一点P，如何作已知圆的切线？ P 借助三角板 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 6 新知学习 O. P A B 定义：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外 这一点到切点间的线段的长叫做切线长. 切线和切线长的区别： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2.切线长是线段的长，可以度量. 问题3 观察你所画的图形，你有什么发现吗？ 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 7 新知学习 已知： P 为⊙O 外一点，PA，PB 分别与⊙O 相切于点 A，B. 求证：PA=PB. O. P A B 证明：如图，连结AO，BO，PO． ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴AO⊥PA，BO⊥PB． 又∵AO＝BO，PO＝PO， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP． ∴PA＝PB． 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新方法 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 几何语言：∵PA、PB与⊙O分别相切于点A，B， ∴PA = PB 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 8 新知学习 定理应用 你还能得出什么新的结论？ 图形关系： 全等三角形：△AOP≌△BOP …… 等腰三角形：△OAB、△PAB …… 数量关系: 等线段：OA=OB，AC=BC …… 等角：∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO， ∠PAB=∠PBA，∠OAB=∠OBA …… 位置关系： AB⊥OP，OA⊥PA，OB⊥PB …… E 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 9 新知学习 【归纳】在解决有关圆的切线长问题时，往往需要构建以下三个基本图形： （1）连接圆心和切点，得到直角； （2）连接两切点，构建等腰三角形； （3）连接圆心和圆外一点，得到角平分线. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 10 新知学习 【例1】如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点 A，B. 已知∠ACB=80°，OC=100cm. 求点 C 到⊙O的切线长(结果精确到1cm). 解： 如图，连结OA，OB. ∵AC，BC分别与⊙O相切于点A，B， ∴AC=BC (过圆外一点所作的圆的两条切线长相等). 又∵OA = OB，OC=OC，∴△OAC ≌ △OBC. ∴∠ACO= ∠BCO= ∠ACB= ×80° = 40°. 在 Rt△OAC 中，∠OAC=90°， ∵ =cos 40°，∴AC=OC× cos 40°= 100× cos 40°≈77(cm). 答：点C到⊙O的切线长约为77cm. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 11 新知学习 【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm). 解：如图，连结AB，OA，OB，OP . ∵MP，NP分别切⊙O于点A ，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP ， AP=BP. 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， ∴AB=AP=24cm. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 12 新知学习 ∵OA=OB，∴OP平分∠APB，∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°=24×=8(cm). 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120° ， ∴= =≈29(cm). 答：两个切点间的距离为24cm， 的长约为29cm. 【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B. 延长MA，NB，相交于点P.已知∠APB=60°，AP=24cm，求两切点间的距离和的长(结果精确到1cm). 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 13 学以致用 6.1 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 14 学以致用 【解析】 如答图，设光盘的圆心为O，由题意，可知AB，AC分别切⊙O于点B，C，连结OC，OB，OA. ∵AC，AB分别为圆O的切线， ∴AC＝AB，OC⊥AC，OB⊥AB. 又∵OA是公共边， ∴Rt△OCA≌Rt△OBA(HL)， 在Rt△AOB中，∠OAB＝60°，AB＝3.5 cm， ∴OB＝AB·tan ∠OAB≈6.1(cm)， ∴这张光盘的半径约为6.1 cm. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 15 学以致用 【2】如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， 连结PO并延长，与⊙O相交于点C，D.若CD ＝12，PA＝8，则sin ∠ADB的值为(　　) A 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 16 学以致用 【解析】 如答图，连结AO，BO. ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PB＝PA＝8. ∵DC＝12，∴AO＝6，∴OP＝10. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 17 学以致用 ∴∠ADC＝∠BDC. 又∵∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADB＝∠AOC， 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 18 学以致用 【3】如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相 切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm， OC＝8 cm.求： (1)∠BOC的度数． (2)BE＋CG的长． (3)⊙O的半径． 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 19 学以致用 解：(1)根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，易证∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG. ∵AB∥CD， ∴∠ABC＋∠BCD＝180°， ∴∠OBF＋∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°. (2)由(1)知∠BOC＝90°. ∵OB＝6 cm，OC＝8 cm， ∴由勾股定理，得BC＝10 cm， ∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 20 学以致用 (3)如答图，连结OF，则OF⊥BC. 即⊙O的半径为4.8 cm. 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 21 课堂总结 相离 直线与圆的关系 相切 相交 切线的定义 切线的性质与判定 一条直线与圆的位置关系 两条直线与圆的位置关系 …… 两直线与圆都相切 …… 切线长定理 本质 作用 常见辅助线 圆的轴对称 证明线段相等 ①连接圆心与切点 ②连接两切点 ③连接圆心和圆外一点 在描述判定方法（SAS）时我们要注意强调这个角是两边的夹角. 22 【练习】如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan ∠OAB＝，则AB的长为(　　) A．4 B．2 C．8　 D．4 【1】为了测量一张光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按如图所示放置于桌面上，并量出AB＝3.5 cm，则这张光盘的半径是________cm(精确到0.1 cm，参考数据：≈1.73). ∴∠AOP＝∠BOP，∴＝， ∴sin ∠ADB＝sin ∠AOC＝＝. $$