专题04 反比例函数与一次函数 几何图形的综合（7大题型+过关训练）-2024-2025学年九年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题04 反比例函数与一次函数 几何图形的综合 目录 【题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1 【题型二 一次函数与反比例函数的交点问题】 4 【题型三 反比例函数与不等式的问题】 6 【题型四 反比例函数 二次函数图象的综合判断】 8 【题型五 反比例函数中的最值问题】 11 【题型六 一次函数与反比例函数的实际应用】 16 【题型七 反比例函数与几何综合】 19 【题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 例题：（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可． 【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第二、四象限，这与图形符合，故A不符合题意； B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故B不符合题意； C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形符合，故C不符合题意； D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象应该过第一、三象限，这与图形不符合，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与反比例函数图象综合．根据反比例函数的比例系数知，可排除选项CD；分和判断一次函数的图象经过的象限即可得到答案． 【详解】解：反比例函数中，，则反比例函数图象经过二、四象限，选项C、D不符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第二象限，选项A符合题意； 当时，，则一次函数的图象不经过第三象限，选项B不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）设，函数和在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象的性质即可作出判断．本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，理解性质是关键． 【详解】解：，则表示在第三象限内的部分，是指在第三象限内的分支． 故选：B． 【题型二 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的关系式，先将点B的坐标代入反比例函数关系式求出m，再求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式，最后令，求出答案即可． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点． ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为， 当时，， ∴点C的坐标为． 故选：C． 【变式训练】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）一次函数与反比例函数 的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点个数，以及一元二次方程根的判别式，联立一次函数与反比例函数解析式建立关于的方程，再结合一元二次方程根的判别式进行判断，即可解题． 【详解】解：联立一次函数与反比例函数有： ， ， 一次函数与反比例函数 的交点个数为2个， 故选：B． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）点，点分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知：反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点关于原点成中心对称．根据点在反比例函数图象上求出的值，再根据反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点关于原点成中心对称求出点的坐标即可． 【详解】解：当时，， 点A的坐标是， 点，点分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点， 点与点关于原点成中心对称， 点的坐标是， 故答案为：． 【题型三 反比例函数与不等式的问题】 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， 由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，则的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，由题意得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点为，确定正比例函数的图象在反比例函数的图象上方的部分即可求解． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象有一个交点， ∴正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点为， 由图象可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴的解是或 故答案为：或 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，用图解法解不等式． 即直线位于双曲线下方部分，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数交于点，， 即直线位于双曲线下方部分， ∴根据图象可知此时或． 故答案为：或． 【题型四 反比例函数 二次函数图象的综合判断】 例题：（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由得二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象和反比例函数的图象得：， ∴二次函数开口向上，故排出A、C选项 ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴， 综上可得B选项符合题意， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】A.由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误； B. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； C. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确； D. 由二次函数图象可知， ，时， ∴ ∴反比例函数的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误； 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数反比例函数和二次函数的图象分布，熟练掌握各函数系数的性质是关键．根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，，再判断一次函数和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可． 【详解】根据二次函数的图象可以确定，开口向上，对称轴在轴右侧，，图象与轴交于正半轴，， 一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数分布在第一、三象限，选项B符合， 故选：B． 【题型五 反比例函数中的最值问题】 例题：（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值，解题的关键是正确做出辅助线． 把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；作点作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，此时的值最小，然后求出的解析式，即可求得． 【详解】解：把点代入一次函数， 得， 解得， ， 点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得：， ， 作点作关于y轴的对称点，交y轴于点，连接，交y轴于点， 此时的值最小， ， ， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴取得最小值时，． 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是的中点，已知长的最小值为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定长的最小时点P的位置，当所在的直线过圆心C时，最短，设，则，，根据勾股定理计算t的值，可得k的值． 【详解】解：连接， 由对称性得：， ∵Q是的中点， ∴， ∵长的最小值为， ∴长的最小值为， 如图，当所在的直线过圆心C时，最短，过B作轴于D， ∵， ∴， ∵B在直线上， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍）或， ∴， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、圆的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用中位线的性质和圆的性质确定出点P的位置． 2．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 【题型六 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（21-22九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 【答案】D 【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答． 【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，， 反比例函数的解析式为：， ∵当时，， 月份的利润为万元，正确，不合题意； B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意； C、设一次函数解析式为：， 则，解得：， 故一次函数解析式为：， 当时，，解得：， ∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意． D、当时，，解得：， ∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键． 2．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【答案】12 【分析】首先根据题意确定一次函数与反比例函数的解析式，然后代入确定两个自变量的值，差即为有效时间． 【详解】解：药物燃烧时y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为 设药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入中得；， ∴， ∴药物燃烧后y关于x的函数关系式为 把代入，得：， 把代入，得：， ∵， ∴那么此次消毒的有效时间是12分钟， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的实际应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 【题型七 反比例函数与几何综合】 例题：（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（  ）    A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，设点坐标为，则点坐标为，据此把代入中即可求出答案． 【详解】解：设点坐标为，则点坐标为， 把代入得，， ∴． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，若函数的图象经过顶点B，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．根据点A的坐标，运用勾股定理算出菱形的边长，以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 则点B的横坐标为， 故B的坐标为：， 将点B的坐标代入得：， 解得：． 故选：B． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图象与边交于点E，与边交于点F．已知，则等于 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上的点的坐标特征，正方形的性质，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据正方形的性质得到，而，则，可得到E点坐标为，从而确定，再根据F点的纵坐标为4，且F在反比例函数上，得到F点的横坐标为6，由此求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，且，． ∴， ∵， ∴， ∴E点坐标为， 把E点坐标代入反比例函数， 得， ∴ 又∵F点的纵坐标为4，且F点在反比例函数的图像上， ∴，解得 ∴F点的横坐标为6， ∴． 故答案为：2． 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题．根据题意当可求出的值，即可得出点的坐标，即可得出的长度，根据题意可知的长度，即可得出点的坐标，由一次函数解析式即可算出点的坐标，即可得出的长度，即可计算出的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可得出④结论是否正确． 【详解】解：当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点， 把点代入中， 得， ∴点，， ∴， ∴①结论正确； 由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大， ∴②结论正确； 由图象可知，一次函数与反比例函数交点在第二、四象限各有一个交点， ∴方程有两个解， ∴③结论错误； 由图象可知，当，， ∴④结论错误. 故正确的结论有①②，共计2个. 故选：B. 2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．一次函数落在与反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选C． 3．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的关系式，先将点B的坐标代入反比例函数关系式求出m，再求出点A的坐标，然后根据待定系数法求出直线解析式，最后令，求出答案即可． 【详解】∵点在反比例函数的图像上， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点． ∵点，点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为， 当时，， ∴点C的坐标为． 故选：C． 4．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 【答案】B 【分析】分别求出线段与曲线的函数解析式，再求出函数值为4时对应的自变量x的值，即可求得此时持续时间． 【详解】解：时，设线段的解析式为， 由于线段过点，则有， 解得：， 即线段解析式为； 当时，设，把点代入中，得， 即， 当时，，得；当时，，得； ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（小时）； 故选：B． 【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，已知函数值求自变量值，其中待定系数法求函数解析式是关键，注意数形结合． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．根据一次函数与反比例函数的图象，得到，，，从而得到二次函数的开口方向、对称轴以及与轴交点，再根据当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，得出，即可确定图象． 【详解】解：由函数图象可知，，，， 二次函数的图象开口向上，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴， 当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 当时，，即， A选项图象符合题意， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 7．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，则的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，联立与即可求出和的坐标，再利用三角形的面积即可求解． 【详解】解：联立，解得或， ∴的坐标是，的坐标是， 过作轴于，则， ∵轴， ∴ 则的面积是． 故答案为：2． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，依据题意，设，，由点E和点C在反比例函数上，求出的值，得到，从而可以求出k的值，解题时要熟练掌握并能灵活运用矩形的性质是关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，点为边的中点， ， ∴设，， ∵点和点在反比例函数上， ， ， ∴， ， 故答案为：． 9．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，先求解，，，可得，再利用面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵点M为线段的中点， ∴， ∵轴交反比例函数图像于点N， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为： 10．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，涉及全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形推出点的含有的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于的方程，解出即可求出的坐标，构造一线三垂直出现全等三角形是本题的突破口． 【详解】解：过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交的延长线于点,如图所示： 点的坐标为， ， ，， ， ，， ， ，，则， ， 点、都在反比例函数上， ，即， 解得，（舍去）， 点的坐标为， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)反比例函数为：，一次函数的解析式为： (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：； （2）解：∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为，点D的横坐标为， ∴，， ∴，， ∴，点A到直线的距离是， ∴． 13．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，连接． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：①的面积为_______； ②当时，自变量x的取值范围为_______． 【答案】(1)， (2)①12；②或． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）①根据坐标和三角形面积公式计算即可；②根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，交点坐标满足两个函数解析式是关键． 【详解】（1）解： 两函数图象相交于点，， ，则， 反比例函数解析式为，， ，在一次函数图象上， ， 解得， 一次函数解析式为． （2）解：①设直线与轴交于点，当时，， ， ． ②当时，自变量的取值范围为：或． 故答案为：①12；②或． 14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】这是一道一次函数和反比例函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数（反比例函数）关系式，求反比例函数和一次函数的交点，对于（1），根据，可求，得出点A，B的坐标，再根据待定系数法求出直线的关系式，结合，即点C的横坐标为，将代入直线关系式求出点C的坐标，进而得出反比例函数关系式； 对于（2），先求出点D的坐标，再根据可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点A，B， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为． ∵， ∴点C的横坐标为， 将代入，得， ∴点． ∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的为； （2）将两个函数关系式联立，得 ， 解得， 当时，， ∴点， ∴． 15．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，双曲线经过的顶点和的中点．轴，点的坐标为，连接交轴于点，连接． (1)确定的值； (2)求直线的解析式； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直线的解析式为 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例、一次函数解析式，坐标与图形性质，平行四边形的判定，以及线段中点坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）把的坐标代入反比例解析式求出的值即可； （2）由与轴平行，且纵坐标为6，得到纵坐标为6，再由为中点，确定出纵坐标为3，代入反比例解析式确定出坐标，利用待定系数法确定出直线解析式即可； （3）四边形为平行四边形，理由为：由的坐标确定出的坐标，进而确定出的长，由直线与轴的交点为，确定出坐标，得出的长，由与平行且相等，得到四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：将代入表达式，得． （2）解：轴，点的纵坐标是6，点为的中点， ∴点的纵坐标为3， 把代入反比例函数表达式得， 即点的坐标为． 设直线的表达式为， 将与代入得， 解得， 直线的解析式为． （3）解：四边形为平行四边形． 理由： 点的坐标为， 点的坐标为，即． 把代入中得，即， ， ． ， 四边形为平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数与一次函数 几何图形的综合 目录 【题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 1 【题型二 一次函数与反比例函数的交点问题】 2 【题型三 反比例函数与不等式的问题】 3 【题型四 反比例函数 二次函数图象的综合判断】 4 【题型五 反比例函数中的最值问题】 6 【题型六 一次函数与反比例函数的实际应用】 7 【题型七 反比例函数与几何综合】 8 【题型一 一次函数与反比例函数图象综合判断】 例题：（24-25九年级上·河北石家庄·期中）一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东济南·期中）函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·单元测试）设，函数和在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【题型二 一次函数与反比例函数的交点问题】 例题：（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024·河北邯郸·模拟预测）一次函数与反比例函数 的交点个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）点，点分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的两个交点，则点的坐标为 ． 【题型三 反比例函数与不等式的问题】 例题：（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图所示，正比例函数与反比例函数的图象有一个交点，则的解是 ． 2．（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知，一次函数与反比例函数的图象如图示，当时，的取值范围是 ． 【题型四 反比例函数 二次函数图象的综合判断】 例题：（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）一次函数的图象和反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）二次函数与反比例函数且在同一平面直角坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆北碚·开学考试）二次函数的图象如下图所示，则一次函数，和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型五 反比例函数中的最值问题】 例题：（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，1为半径的上，Q是的中点，已知长的最小值为，则k的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【题型六 一次函数与反比例函数的实际应用】 例题：（21-22九年级上·山西·期中）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（    ） A．月份的利润为万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元 C．月份该厂利润达到万元 D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元 2．（2023·山东青岛·二模）为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图）．现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于才有效，那么此次消毒的有效时间是 分钟．    【题型七 反比例函数与几何综合】 例题：（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点、．若，则的值为（  ）    A．8 B． C．4 D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，O是坐标原点，菱形的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的正半轴上，若函数的图象经过顶点B，则k的值为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽滁州·期中）如图，正方形的边在x轴的正半轴上，，．反比例函数的图象与边交于点E，与边交于点F．已知，则等于 一、单选题 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，与双曲线交于点C，连接，过点C作轴，垂足为点M，且．则下列结论正确的个数是（   ） ①；②当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大；③方程只有一个解为；④当，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（、是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 3．（24-25九年级上·广西贺州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某药品研究所开发一种抗菌新药，临床实验中测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系图象由一条线段和一段曲线组成，如图（当时，y与x成反比例）．则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第二象限内有两个交点，如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为 ．    7．（2024九年级上·北京·专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作轴于点C，则的面积是 ． 8．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点在轴上，反比例函数的图象经过边的中点和点，若，则的值为 ． 9．（2024·安徽·三模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于C，D两点，点M为线段的中点，轴交反比例函数图像于点N，P为x轴上任一点，若，则k的值为 ． 10．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为，连接．若，则的值为 ． 三、解答题 11．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)当时，求的面积． 13．（2024·湖北·模拟预测）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，连接． (1)求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)填空：①的面积为_______； ②当时，自变量x的取值范围为_______． 14．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于C，D两点，与x，y轴交于B，A两点，且，，． (1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 15．（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）如图，双曲线经过的顶点和的中点．轴，点的坐标为，连接交轴于点，连接． (1)确定的值； (2)求直线的解析式； (3)判断四边形的形状，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$