专题11 导数中的构造问题-2025年高考数学一轮复习重难点微专题突破

专题11 导数中的构造问题 专题11 导数中的构造问题 知识梳理 在导数综合应用问题的考察中，如何构造一个合适的用来解题的函数是我们常常要面临的问题. 在平时的解题过程中，我们已经对直接构造和参变分离这两种方法有了大致的了解. 本讲我们则将为大家带来如何解决直接构造和参变分离不便处理时的构造方法. 考点解读 考点一 利用、构造型 【典例精讲】 例1.(2024·江西省南昌市月考)设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·安徽省合肥市月考)已知函数是定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例3.(2024·湖南省娄底市月考)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例4.(2023·安徽省池州市月考)定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 对于所有导数相关的构造问题，思路无外乎两种： ①将条件转化为相关式子等类似的形式并进行构造，讨论其单调性、极值解题； ②将不等式两侧的式子转化为同构，对新的同构式进行函数构造，并讨论其单调性、极值解题. 对本节的、形式的构造，现有构造表格如下： 现有函数式 构造函数 在构造出函数之后，就可以根据现有式子的性质对的导数正负号进行讨论，得到单调递增或递减，最终通过的极值推断的极值等性质或求出参数的取值范围. 后面几节的构造函数法也都是相同的解题方法，过后不再赘述. 另外，有时也可以从题设或者所求中看出的构造方式，也可以大幅度的简化我们的思维难度. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·安徽省池州市月考)己知奇函数的导函数为，当时，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.(2023·江苏省南通市期末)已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意实数都有，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 练习1-3.(2024·安徽省合肥市期末)已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 练习1-4.(2023·江苏省无锡市月考)奇函数满足：时，，，，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 考点二 利用、构造型 【典例精讲】 例5.(2022·江西省宜春市月考)已知函数的导函数为，若，且，则的解集为________． 例6.(2022·福建省漳州市月考)已知是函数的导数，若对任意，都有，且则不等式的解集为______． 例7.(2022·湖北省恩施市月考)设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为        ． 例8.(2024·江苏省南通市月考)已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 现有函数式 构造函数 【拓展提升】 练习2-1.(2022·江西省鹰潭市月考)已知定义在上的可导函数满足，令，，则有(    ) A. B. C. D. 练习2-2.(2024·湖南省郴州市月考)已知函数的导函数，且，，则不等式的解集为          ． 练习2-3.(2023·四川省宜宾市模拟)已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 考点三 利用三角函数相关的构造型 【典例精讲】 例9.(2022·重庆市月考)定义在上的函数，已知是它的导函数，恒有成立，且，则不等式的解集为__________． 例10.(2024·山东省东营市月考)已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为          ． 【方法储备】 对于三角函数中相关的对称性问题， 现有函数式 构造函数 【拓展提升】 练习3-1.(2022·江苏省无锡市月考)设奇函数定义在 上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为________． 练习3-2.(2024·河北省邯郸市月考)已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 考点四 利用和对数函数相关的构造型 【典例精讲】 例11.(2023·河南省郑州市月考)已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例12.(2022·江西省新余市期末)定义在上的可导函数的导数为，且，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 现有函数式 构造函数 【拓展提升】 练习4-1.(2024·广东省东莞市月考)已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，是自然对数的底数，则不等式的解集为          ． 练习4-2.(2024·江苏省无锡市月考)已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 考点五 利用和等相关的同构型 【典例精讲】 例13.(2024·辽宁省本溪市期末)已知分别是函数与的零点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 例14.(2024·湖南河南联考)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是          ． 例15.(2022·湖北省鄂州市月考)若对任意，恒有，则实数的取值范围为____． 【方法储备】 前面提到的都是根据题中给出的函数不等式进行函数的构造，转化成的形式. 而当题中给出具体的函数式的时候，则要考虑“同构”，即将不等号两侧的式子转化成完全相同的形式：. 之后通过判断在给定定义域内的单调性，判断和)应该满足的条件. 在同构应用之中，比较常见的是对和、相乘/相除的式子进行变换，总结如下： ++ 可以看到，这种同构变换的核心就是将式子中的根据需要的情况转化为或. 【拓展提升】 练习5-1.(2024·湖北省孝感市月考)已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练习5-2.(2024·江西省宜春市月考)设函数，，若存在，，使得，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练习5-3.(2023·安徽省滁州市月考)已知函数． 求的单调区间； 若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案解析】 例1 解：令，则，则在递减， 由，得， 故，解得：， 又因为定义为，所以，即， 综上不等式的解集是， 故选：． 例2 解：令，则， 因为，，所以，所以在上单调递减， 由及， 得，即， 所以，解得． 所以不等式的解集为． 故选C． 例3 解：设，则， 当时，， 当时，，即在上单调递减． 由于是奇函数，所以，是偶函数， 所以在上单调递增． 又，所以，， 所以当或时，；当或时，． 所以当或时，，即不等式的解集为． 故选B． 例4 解：是上的奇函数，． ，是上的偶函数． 当时，恒有，即， ， 在上递增，在上递减， ， ，或， 故选D． 练习1-1 解：设，则， 当时，，即，函数在上为增函数． 函数是奇函数，， 函数为定义域上的偶函数． 是奇函数，不等式， 即，即， 由为偶函数且在上为增函数，得， ，解得， 故选D． 练习1-2 解：是定义在上的奇函数，． 对任意实数满足，， 设，．是上的增函数． 不等式 ，，解得． 不等式的解集为： 故选：． 练习1-3 解：令， ，则，故在上单调递增， 由可得， ，，故． 故选：． 练习1-4 解：，， 当时，，， ，在上单调递增， 为奇函数，为奇函数，在上单调递增， 又，， 所以当时，，，当时，，， 当时，，， 当，即时，， 当时，，， 要使得成立， 则有 解得或或或 综上所述：或或． 故答案为． 例5 解：，， 令，则，故F在定义域内单调递减， ，又，故，故的解集为， 故答案为． 例6 解：令，，， ，，， ，，，即，解得. 例7 解：令，则，故在上递增，， 因为，所以，故，， 故答案为． 例8 解：令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 故，即，即 ，故A错误； ，即 ，即  ，故B错误； ，即，即 ，故C错误； ，即，即，故D正确． 练习2-1 解：设， ，，函数为上的增函数， ，，即， ，即， 故选：． 练习2-2 解：由得，即， 不妨设，为常数， 由得，即， 不等式可化为，即，解得． 故答案为：． 练习2-3 解：根据题意，设，， 又由，则有，则函数在上为减函数， ，则， 又由函数是定义在上的增函效，则有，即在上恒成立； 则， 又由为减函数，则有，则不等式的解集为． 故选A． 例9 解：设，，所以 因为，， 所以，，即，单调递减； 因为，，，， 所以，即所以 即不等式的解集为． 故答案为． 例10 解：设，，所以函数在上单调递减， ，即，得 所以，所以不等式的解集为． 故答案为：． 练习3-1 解：令，则． 因为当时，，所以，即函数在上单调递减． 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数是定义在上的偶函数，因此函数在上单调递增． 当时，由得，所以； 当时，由得，所以； 因此关于的不等式的解集为． 故答案为． 练习3-2 解：因，则， 故， 令，则， 所以函数在为减函数， ，， ，． ，，，， 故选A． 例11 解：依题，设，则， 则在上单调递增，又， 不等式等价于，即，故不等式的解为． 故选C． 例12 解：，， ，， 设，则，则在内单调递减， ，即， 故选B． 练习4-1 解：构造函数，，可得， 由，可知，故函数在上单减， 由，故， 因为当时，，所以当时，，所以， 又，，故不等式的解集为． 故答案为． 练习4-2 解：时，， 令，在单调递增，， 时，，，；时，，，； 时，，即时，，  为奇函数，时，， ，或 ，或， 故选B． 例13 解：由题意可知，则， 即，又 所以，则． 设，则， 所以在上单调递增， 所以，则，所以，则． 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为． 故选：． 例14 解：由，得，变形得，所以． 令，则． 当时，，所以在上为增函数． 若，则不等式恒成立． 若，则，， 所以恒成立，即恒成立． 设，，则． 当时，，所以单调递增 当时，，所以单调递减． 所以的最大值为，所以 故实数的取值范围是 例15 解：由不等式，可得， 设，则， 令，则， 时，；时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 因此， 因此在上单调递增， 由，可得，即，即， 设，， 易得当时，，函数单调递减， 当，，函数单调递增，从而的最大值为，故． 故答案为 练习5-1 解：因为当时，恒成立， 所以在恒成立， 所以在恒成立，等价于：在恒成立， 当时，显然成立； 当时，当时，恒成立， 构造函数， 则， 当时，，所以在上单调递增， 当，时，， 所以恒成立，即在恒成立， 所以在恒成立， 设，，， 当时，，所以在上单调递增， 所以在上，的最小值为；所以， 所以实数的取值范围为． 故选：． 练习5-2 解：由题意可得，存在，，使得，即， 即，即， 又，所以在上单调递增，所以， 所以， 令，，则，其中， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，所以，， 所以． 故选：． 练习5-3 解：， 当时，，当时，． 从而的单调递增区间为，单调递减区间为． ， 恒成立， 即恒成立， 当时，显然成立；   当时，即恒成立， 即恒成立，即，即 ，                由知，， 由可知，   ， 即：在时恒成立， 令，，即在上为增函数， 所以， 综上，  共16页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 导数中的构造问题 专题11 导数中的构造问题 知识梳理 在导数综合应用问题的考察中，如何构造一个合适的用来解题的函数是我们常常要面临的问题. 在平时的解题过程中，我们已经对直接构造和参变分离这两种方法有了大致的了解. 本讲我们则将为大家带来如何解决直接构造和参变分离不便处理时的构造方法. 考点解读 考点一 利用、构造型 【典例精讲】 例1.(2024·江西省南昌市月考)设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例2.(2023·安徽省合肥市月考)已知函数是定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例3.(2024·湖南省娄底市月考)设函数是奇函数的导函数，，当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例4.(2023·安徽省池州市月考)定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有，若，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 对于所有导数相关的构造问题，思路无外乎两种： ①将条件转化为相关式子等类似的形式并进行构造，讨论其单调性、极值解题； ②将不等式两侧的式子转化为同构，对新的同构式进行函数构造，并讨论其单调性、极值解题. 对本节的、形式的构造，现有构造表格如下： 现有函数式 构造函数 在构造出函数之后，就可以根据现有式子的性质对的导数正负号进行讨论，得到单调递增或递减，最终通过的极值推断的极值等性质或求出参数的取值范围. 后面几节的构造函数法也都是相同的解题方法，过后不再赘述. 另外，有时也可以从题设或者所求中看出的构造方式，也可以大幅度的简化我们的思维难度. 【拓展提升】 练习1-1.(2024·安徽省池州市月考)己知奇函数的导函数为，当时，若，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 练习1-2.(2023·江苏省南通市期末)已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意实数都有，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 练习1-3.(2024·安徽省合肥市期末)已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 练习1-4.(2023·江苏省无锡市月考)奇函数满足：时，，，，则关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 考点二 利用、构造型 【典例精讲】 例5.(2022·江西省宜春市月考)已知函数的导函数为，若，且，则的解集为________． 例6.(2022·福建省漳州市月考)已知是函数的导数，若对任意，都有，且则不等式的解集为______． 例7.(2022·湖北省恩施市月考)设定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为        ． 例8.(2024·江苏省南通市月考)已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 现有函数式 构造函数 【拓展提升】 练习2-1.(2022·江西省鹰潭市月考)已知定义在上的可导函数满足，令，，则有(    ) A. B. C. D. 练习2-2.(2024·湖南省郴州市月考)已知函数的导函数，且，，则不等式的解集为          ． 练习2-3.(2023·四川省宜宾市模拟)已知函数是定义在上的增函数，，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 考点三 利用三角函数相关的构造型 【典例精讲】 例9.(2022·重庆市月考)定义在上的函数，已知是它的导函数，恒有成立，且，则不等式的解集为__________． 例10.(2024·山东省东营市月考)已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为          ． 【方法储备】 对于三角函数中相关的对称性问题， 现有函数式 构造函数 【拓展提升】 练习3-1.(2022·江苏省无锡市月考)设奇函数定义在 上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为________． 练习3-2.(2024·河北省邯郸市月考)已知，函数满足：恒成立，其中是的导函数，则下列不等式中成立的是(    ) A. B. C. D. 考点四 利用和对数函数相关的构造型 【典例精讲】 例11.(2023·河南省郑州市月考)已知定义在上的函数的导函数为，且，若对任意恒成立，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 例12.(2022·江西省新余市期末)定义在上的可导函数的导数为，且，则(    ) A. B. C. D. 【方法储备】 现有函数式 构造函数 【拓展提升】 练习4-1.(2024·广东省东莞市月考)已知定义在上的函数满足且，其中是函数的导函数，是自然对数的底数，则不等式的解集为          ． 练习4-2.(2024·江苏省无锡市月考)已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 考点五 利用和等相关的同构型 【典例精讲】 例13.(2024·辽宁省本溪市期末)已知分别是函数与的零点，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 例14.(2024·湖南河南联考)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是          ． 例15.(2022·湖北省鄂州市月考)若对任意，恒有，则实数的取值范围为____． 【方法储备】 前面提到的都是根据题中给出的函数不等式进行函数的构造，转化成的形式. 而当题中给出具体的函数式的时候，则要考虑“同构”，即将不等号两侧的式子转化成完全相同的形式：. 之后通过判断在给定定义域内的单调性，判断和)应该满足的条件. 在同构应用之中，比较常见的是对和、相乘/相除的式子进行变换，总结如下： ++ 可以看到，这种同构变换的核心就是将式子中的根据需要的情况转化为或. 【拓展提升】 练习5-1.(2024·湖北省孝感市月考)已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 练习5-2.(2024·江西省宜春市月考)设函数，，若存在，，使得，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 练习5-3.(2023·安徽省滁州市月考)已知函数． 求的单调区间； 若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围． 共16页/第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$