精品解析：广东省梅州市五华县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期九年级期中学习能力检测题 数学 说明： 1．全卷共6页，23小题，共60分，全卷满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，化简后为是一元一次方程，原选项不符合题意； 、中没有，不能判定是一元二次方程，原选项不符合题意； 、是一元二次方程，原选项符合题意； 、不是一元二次方程，原选项不符合题意； 故选：． 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配方，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：A． 3. 如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的判定，根据菱形的性质，正方形的判定逐一判断即可，熟练掌握菱形的性质，正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，故不能判定菱形是正方形； ∵， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴菱形是正方形，故判定菱形是正方形； 综上：能判定菱形是正方形， 故选：． 4. 小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， ∴方程的其中一个解的整数部分是， 故选：． 5. 如果、、、是四边形四条边的中点，要使四边形是菱形，那么四边形应具备的条件是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等且互相平分 C. 一组对边平行而另一组对边不平行 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，由四边形中，分别是四条边的中点，要使四边形为菱形，则，根据中位线定理，，故要使，则需，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形中，分别是四条边的中点，要使四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴要使， ∴， ∴四边形应具备的条件是， 故选：． 6. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 7. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，过点作，交的延长线于点，根据等边三角形的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再根据的面积求解即可． 【详解】解：图1连接， 菱形中，， ， 是等边三角形， 对角线， ， ， 图3过点作，交的延长线于点， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， ∵，即， ∴的取值范围是且， 故选：． 9. 等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，三角形的三边关系，根的判别式，解一元二次方程，分当其他两条边中有一个为时，将代入原方程求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可，当为底时，则其他两边相等，即，求出，然后解方程和三角形三边关系讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当其他两条边中有一个为时，将代入原方程， 得：， 解得：， 将代入原方程，得：， 解得，， ∴，，不能组成三角形，不符合题意舍去； 当为底时，则其他两边相等，即， 此时：， 解得：， 将代入原方程，得：， 解得：， ∴，，能够组成三角形，符合题意， 故的值为， 故选：． 10. 如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、平移等知识点，确定的坐标是解题的关键． 先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点的坐标，最后利用平移的性质求解即可． 【详解】解∶∵A，的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴， 又∵轴， ∴点的坐标为， ∵将菱形平移，使点A与原点重合， ∴菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为，即． 故选∶A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程是关于的一元二次方程，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 |m|=2，且m-2≠0，解得m=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 12. 一个不透明的盒子里装有个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率求数量，一元一次方程的应用，根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解即可，正确理解通过大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设盒子中红球的个数为， 根据题意，得：， 解得：，即盒子中红球的个数为， 故答案为：． 13. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 14. 如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意连接，延长交于，继而得到，四边形是矩形，，，，，由勾股定理得，由是的中点，，可得，继而求出本题答案． 【详解】解：连接，延长交于， ∵正方形和正方形， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形性质，矩形判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边一半，正确添加辅助线是解决本题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点、移动，当移动时间为秒时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，根据题意，得出，，勾股定理求得，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，掌握解一元二次方程的直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法的一般步骤是解题的关键． 【详解】解： 或， ∴，． 17. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2），相交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由尺规作的角平分线的过程可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）先证四边形为平行四边形，继而再根据，即可得四边形为菱形； （）由四边形为菱形可得，，，则，在中，求出的长即可得答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，等角对等边，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 18. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的求解方法以及画树状图或列表法是解题关键． （1）根据松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择，即可求解； （2）根据题意画出树状图，找出总的可能情况和松鼠经过门出去的情况，即可求出概率． 【小问1详解】 解：∵松鼠经过第一道门时，要么选择，要么选择， ∴松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是， 故答案为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的情况，其中松鼠经过门出去的情况有2种， ∴松鼠经过门出去的概率是 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴无论取何值，方程都有两个实数根； （2）． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求证； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴． 20. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）证明：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ． （2） 当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． 理由： ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ，即， 四边形是矩形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形． ，， ， 矩形是正方形． 【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键． 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 【答案】（1）道路的宽为米； （2）每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 【解析】 【分析】（）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程，解答并检验即可； （）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据“月租金每个车位的月租金车位数”，列出方程并解答即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； 【小问2详解】 解：设月租金上涨元，停车场月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让利居民， ∴， 答：每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为元． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】（1） （2） ，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 23. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空：______，点的坐标是______； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒． 当时，求的面积； 当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值． 【答案】（1），； （2） 证明：由（）得：直线解析式为，点的坐标是， ∴， ∵线段平行于轴， ∴点的纵坐标相同， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）的面积为；当点，运动至四边形为矩形时，的值为或． 【解析】 【分析】（）代入点坐标即可得出值确定直线的解析式，进而求出点坐标即可； （）求出，点坐标，根据，即可证四边形是平行四边形； （）作于，设出点的坐标，根据勾股定理计算出的长度，根据运动时间求出的长度即可确定的面积； 先证四边形为平行四边形，根据对角线相等确定的长度，再根据的位置分情况计算出值即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于点，则， ∵点在直线上， ∴设点坐标为， ∵，， ∴，，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∵， ∴当时，， ∴的面积为； 如图，设与交于点， 由（）得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴当时，，当时，， 当点，运动至四边形为矩形时，， ∵点的坐标是，点， ∴， ∴当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上可知： ∴当点，运动至四边形为矩形时，的值为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，两点间的距离，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级期中学习能力检测题 数学 说明： 1．全卷共6页，23小题，共60分，全卷满分为120分，考试用时为120分钟． 2．答卷前，考生先用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填上自己的学校、班级、姓名、座号，再在考生号栏下写上考生号，最后用2B铅笔把考生号对应的地方涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时只交回答题卡． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，对角线，交于点，下列条件：，，，．上述条件能使菱形是正方形的是（ ） A. B. C. D. 4. 小颖在探索一元二次方程的近似解时作了如下列表计算．观察表中对应的数据，可以估计方程的其中一个解的整数部分是（ ） A. B. C. D. 5. 如果、、、是四边形四条边的中点，要使四边形是菱形，那么四边形应具备的条件是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等且互相平分 C. 一组对边平行而另一组对边不平行 D. 对角线相等 6. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，有六根长度相同的木条，小明先用四根木条制作了能够活动的菱形学具，他先将该活动学具调成图1所示菱形，测得，对角线，接着将该活动学具调成图2所示正方形，最后用剩下的两根木条搭成了如图3所示的图形，连接，则图3中的面积为（　　） A. B. 50 C. D. 25 8. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 等腰三角形一条边的边长为，它的另两条边的边长是关于的一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 方程是关于的一元二次方程，则__________． 12. 一个不透明的盒子里装有个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为______． 13. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 14. 如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以，为边作矩形，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点、移动，当移动时间为秒时，的值为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解一元二次方程． 17. 如图：在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点（尺规作图的痕迹保留在图中了），连接． （1）求证：四边形为菱形； （2），相交于点，若，，求的长． 18. 笼子里关着一只小松鼠（如图），管理员决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（或），再经过第二道门（或或）才能出去． （1）松鼠经过第一道门时，从口出去的概率是_____； （2）请用画树状图或列表的方法表示松鼠出笼子的所有可能路线（经过两道门），并求松鼠经过门出去的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 20. 如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由； （3）在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 21. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位个，据调查分析，当每个车位的月租金为元时；可全部租出：若每个车位的月租金每上涨元，就会少租出个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为元，同时尽可能让利居民？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： （1）【理解探究】已知代数式，求A的最小值； （2）【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； （3）【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 23. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点．线段平行于轴，交直线于点，连接，． （1）填空：______，点的坐标是______； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止．设两个点的运动时间均为秒． 当时，求的面积； 当点，运动至四边形为矩形时，请求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $