1.2一定是直角三角形吗 课时作业2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上册数学1.2一定是直角三角形吗 课时作业 一、单选题 1．设三角形的三边长分别等于下列各组数，能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，12，13 2．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　） A．1.5，2，3 B．2，3，4 C．1，， D．5，13，14 3．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．   D．   4．在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（    ） A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2 C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2 D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形 5．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 EFGH 拼成的一个大正方形ABCD，连结 AC， 交 BE 于点 P， 如图所示， 若正方形ABCD的面积为 28，AE+BE=7，则 的值是（　　） A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5 6．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．4，5，6 B．5，7，2 C．12，13，15 D．21，28,35 8．如图，已知图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k，正方形A，B，C，D的面积分别为S1，S2，S3，S4，且S1＞S2，S3＞S4，则下列结论正确的是（　　） A．S1•S4＝k2S2 B．S1+S4＝S22 C．S1•S4＝S22 D．S1+S4＝kS2 二、填空题 9．读诗求解：“出水三尺一红莲，风吹花朵齐水面，水平移动有六尺，水深几何请你算？”请你写出水的深度为 尺． 10．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ．    11．在长、宽都是6cm，高是9cm的长方体纸箱的外部，一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所爬行的最短路线的长是 ． 12．如图，圆柱的底面周长为48，高为7，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点，现有两种路径：①折线；②在圆柱侧面上从到的一条最短的曲线．请分别计算这两种路径的长，较短的路径是 .（填①或②）． 13．如图，图1是第七届国际数学教育大会（ICME−7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，则的值为 ．    三、解答题 14．学校为了美化校园环境，准备把一块面积为的正方形空地改造成草坪，并且在草坪中央竖一个喷水管，请你计算出这个喷水管到这块正方形草坪顶点的距离. 15．如图，有一块等腰三角形草地，测得腰，米，腰比底边上的高多1米.现在园艺师想更换一下草坪，已知每平方米草坪售价200元，请你帮园艺师计算一下全部更换草坪需要多少资金？ 16．学校要征收一块土地，形状如图所示，，，，，土地价格为1000元，请你计算学校征收这块地需要多少钱？ 17．回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空． 材料一：勾股定理，被称为“几何学的基石”．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前世纪的《周髀算经》中有“勾三股四弦五”的记载，意思是在一个直角三角形中，如果较短直角边的长度为，较长直角边的长度为，斜边的长度则为（如图），可根据勾股定理计算得出． 材料二：在西方，最早提出并证明勾股定理的是古希腊的毕达哥拉斯，因此也被称为毕达哥拉斯定理．他根据勾股定理，在初始的大正方形上，做出了两个相邻的小正方形，两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积（如图），再以此类推，无限重复地做出各种大小不一的正方形，就形成了茂密的“毕达哥拉斯树”（如图）．    (1)在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为厘米和厘米，根据勾股定理：（    ），得到这个直角三角形的斜边的长度为（    ）厘米； (2)如图4所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中，最大的正方形的边长是厘米，则正方形、、、的面积和是（    ）平方厘米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C A A B D C 1．C 【详解】试题分析：利用勾股定理的逆定理来解答，较短的两直角边的平方和等于较长的边的平方，因为，所以6、8、10能构成直角三角形. 考点: 勾股定理的逆定理 2．C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．因为，所以以1.5，2，3为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．因为，所以以2，3，4为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．因为，所以以1，，为边长能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．因为，所以以5，13，14为边长不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C 3．C 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，不能证明勾股定理，符合题意； D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 4．A 【分析】根据勾股定理的内容，对选项逐个判断即可． 【详解】解：勾股定理的内容是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故A正确，符合题意； B：没有指明直角边、斜边，故选项错误，不符合题意； C：没有说明直角三角形，故选项错误，不符合题意； D：勾股定理的逆定理，而不是勾股定理，故选项错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题考查了勾股定理的基础知识，熟练掌握理解勾股定理的内容是解题的关键． 5．A 【分析】先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，则，由于正方形ABCD的面积为 28，则，根据勾股定理得：，整体代入可得结论． 【详解】 如图所示DG与AC交于点M， 正方形ABCD的面积为28， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了“赵爽弦图”，多边形的面积，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题． 6．B 【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab的值． 【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：，又小正方形的面积为 即 ∴ ∴ab=6 故选：B． 【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示大小正方形的面积． 7．D 【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、∵42+52≠62，∴A不是勾股数，故A错误； B、∵52+72≠22，∴B不是勾股数，故B错误； C、∵122+132≠152，∴C不是勾股数，故C错误； D、∵212+282=352，∴D是勾股数，故D正确． 故选D． 【点睛】解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形． 8．C 【分析】设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a，分别用含b和含a的式子表示出最大正方形的边长、正方形D左侧的正方形的边长及最大正方形下方直角三角形的最长边；再分别表示出S1，S2，S4；然后在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得出b2与a2的数量关系；最后观察并计算可得出答案． 【详解】解：设正方形B的边长为b，正方形D的边长为a， ∵其中每个直角三角形的最长边与最短边的长度之比均为k， ∴最大正方形的边长为kb，正方形D左侧的正方形的边长为ka， ∴最大正方形下方直角三角形的最长边为k2a， ∴S1＝（kb）2﹣b2， ＝（k2﹣1）b2， S2＝b2， S4＝a2， 在最大正方形下方的直角三角形中，由勾股定理得： （ka）2+（kb）2＝（k2a）2， ∴a2+b2＝k2a2， ∴b2＝（k2﹣1）a2， ∴S1＝（k2﹣1）2a2， ∴S1•S4＝（k2﹣1）2a2•a2， ＝[（k2﹣1）a2]2， ＝； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形和正方形中的运用，数形结合并正确找到相关线段的数量关系是解题的关键． 9．4.5 【分析】设BC为x，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】如图，AB是出水3尺红莲，BC是在水中的红莲，即水深，CD是红莲被风吹得与水面平齐的样子，BD是水面 由题意得：AB＝3，BD＝6，AC＝CD，BD⊥AC 设BC＝x，则CD＝3＋x 在Rt△BCD中，，即： 解得：x＝4.5 故答案为：4.5 【点睛】本题考查勾股定理在生活实际中的应用，关键是理解题干中诗句的意思，转化为对应的数学模型． 10．25 【分析】根据大正方形的面积求得，利用勾股定理可以得到，进而得到的值，再根据直角三角形的面积公式即可求得ab的值；然后根据代入相关数值即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 四个直角三角形的面积为：，化简得：， 所以， ， 所以， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和，之间的关系． 11．15cm 【分析】分情况讨论，将纸箱展开后，蚂蚁可经上表面爬到B点，也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度，比较可得答案． 【详解】将纸箱展开,当蚂蚁经右表面爬到B点,则, 当蚂蚁经上侧面爬到B点,则 比较上面两种情况,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点,那么它所行的最短路线的长是15， 故答案为15cm. 【点睛】本题涉及平面展开最短路径问题和分类讨论思想,难度中等. 12．1 【详解】试题分析：①∵圆柱的底面周长为48cm，∴直径d=cm，∴折线B→C→A的长=（7+）cm； ②将圆柱沿着BC剪开，如图所示，线段AB即所爬行的路径， 由勾股定理可得：AB==25（cm）．∵7+＜25，∴沿折线B→C→A爬行路径最短．故答案为①． 考点：勾股定理、平面展开-最短路径问题． 13． 【分析】利用勾股定理依次计算出，，，.. ，然后依据计算出前几个三角形的面积，然后依据规律解答求得即可． 【详解】由题意得：， ， , ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 14．到草坪顶点的距离为m. 【分析】求出正方形对角线的长度即可解决问题. 【详解】∵正方形的面积为，则边长为10m， ∴对角线长为（m）， ∵喷水管在草坪中央， ∴到草坪顶点的距离为m. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用正方形的性质和勾股定理求出对角线的长度. 15．答：全部更换草坪需要2400元． 【分析】只要求出△ABC的面积，就可以求出需要多少资金． 【详解】解：过点C作CD垂直AB，交AB与点D． ∵△ABC为等腰三角形，CD⊥AB，所以D为AB中点．（三线合一） ∴AD=BD=3m． 设CD为x，则AC为x+1. 32+x2=（x+1）2 解得：x=4. ∴S△ABC=6×4÷2=12m2 12×200=2400（元） 答：需要2400元． 【点睛】本题是对等腰三角形的性质和勾股定理的综合考察，本题关键是建立勾股定理方程解答，求出面积即可． 16．学校征收这块地需要234000元． 【分析】利用勾股定理进行综合计算即可． 【详解】如图，连接AC． 在中，，，， 由勾股定理得：．． 在中，，， 由勾股定理得：，． 所以四边形的面积为：． （元）． 答：学校征收这块地需要234000元． 【点睛】本题考查了勾股定理的是实际应用，熟练掌握勾股定理，结合题意准确计算是解决本题的关键． 17．(1)，； (2)． 【分析】（1）在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别为厘米和厘米，根据勾股定理：，得到这个直角三角形斜边即可求； （2）根据材料二可得：最大正方形面积． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）根据材料二可得：，，，    ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，理解勾股定理的意义及“毕达哥拉斯树”的特征是解决本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$