检测06 圆锥曲线的方程（能力卷）- 2024-2025学年高二年级上学期数学大单元复习与单元检测及期中、期末（新高考人教A版2019专用）

检测06 圆锥曲线的方程（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则点M的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2025·安徽·一模）抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 7．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 10．（2024·云南昆明·三模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（     ） A．若为的中线，则 B． C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 13．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 14．（24-25高二上·上海·单元测试）椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 16. (15分) （23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 17. (15分) （23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值． 18. (17分) （24-25高三上·四川达州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于． 19. (17分) （24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）. (1)若为圆上的动点，求线段长度的最小值； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A D D A B ABC AC 题号 11 答案 ABD 1．D 【分析】过作轴于点，设点的横坐标为，利用抛物线的定义得到，在中，利用余弦和二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】解：过作轴于点，设点的横坐标为， 抛物线，则焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义得， 在中， ， ． 故选：D． 2．D 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由可知，点P的轨迹是以为焦点的双曲线上支， 设双曲线的方程为，可知，， 所以，，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 3．C 【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可. 【详解】椭圆， 故， 故，当且仅当时，等号成立. 故选：C 4．A 【分析】由题意结合椭圆定义可求出，再由通径定义可得，进而求出，再由结合离心率公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以由椭圆定义得， 又由椭圆通径定义可知，所以，即， 所以. 故选：A. 5．D 【分析】设双曲线的右焦点为，求出渐近线方程，设F关于的对称点为，由中点坐标公式和两直线垂直的条件列出方程，化简整理即可求解． 【详解】双曲线的右焦点为，渐近线方程为：， 设F关于的对称点为， 由题意可得，解得， 又点M在双曲线上，则， 整理得：，得离心率， 故选：D 6．D 【分析】先由题得直线斜率必存在且，故由对称性不妨设得A和B在第一象限，过作轴交于点，则根据题意可得结合点，然后利用结合条件条件即得. 【详解】由题可知，，直线斜率必存在，且， 由对称性不妨设，则A和B在第一象限， 因为，所以，过作轴交于点， 则，即， 又点在上，所以即， 代入得， 整理得，即， 所以或，此时或， 因为A和B在第一象限，所以，故，    所以 ， 所以即. 故选：D. 【点睛】思路点睛：由图的结构特征可知，所以解决本题的方向是求出点A和B，先由题得直线斜率必存在，且，故由对称性不妨设得A和B在第一象限，过作轴交于点，则由得，再结合点在上计算整理得或，进而由A和B在第一象限求出点A和B. 7．A 【分析】由点在双曲线上得到，再由图中角度关系结合两角差的正切展开式得到，然后结合已知得到，最后由离心率的齐次式得到结果； 【详解】    设，则，， ，则，① 则， 所以， ， 所以，② 将①代入②得， ， 因为， 所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 【点睛】方法点睛：过两点的直线斜率（或正切值）为，再结合两角差的正切展开式将问题转化为. 8．B 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设，    因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 9．ABC 【分析】由椭圆的定义可得，结合可求出的值，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 10．AC 【分析】根据垂直关系以及角平分线可得，即可求解斜率，判断A，根据数量积的几何意义即可根据长度求解B，根据三角形全等，以及三角形的中位线即可求解DC. 【详解】，不妨设在第二象限， 当时，则，则，故， ，,故,， 由于是的角平分线，所以,进而可得,故斜率为，故A正确， 由于，所以,B错误，    延长,交于点，连接, 由于是的角平分线，，所以, 故是的中点，, 由双曲线定义可得， 又是的中点，,故C正确，D错误， 故选：AC    11．ABD 【分析】取，两点都在第一象限, 设，，联立抛物线，利用韦达定理以及抛物线的定义来判断各项正误. 【详解】不妨取，两点都在第一象限，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为， 设，，， 联立，得且，即， 所以， 则， 对于A：若为的中线，则，结合得，所以， 所以，， 此时，所以，A正确； 对于B：由求根公式， 则，所以，B正确； 对于C：若，即，明显等腰直角三角形， 此时，即，所以，解得，此时， 此时为同一点，不合题意，C错误； 对于D：， 又，结合，都恒成立，D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12． 【分析】根据向量的共线关系可得，即可由斜率公式得斜率表达式，结合基本不等式即可求解最值. 【详解】解：根据题意可设，，， 又，，， ，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：． 13． 【分析】由题意可得，由此求出，，即可求出点坐标，代入，即可得出答案. 【详解】不妨设点在第一象限，连接，则， 故，， 设，因为，所以为的中点， ，故.， 将代入中，故，则. 故答案为：.    14． 【分析】先设，分别求出直线，的方程，再由角平分线的性质，得到，结合的取值范围即可得的取值范围； 【详解】 设，则． 又，， 所以直线，的方程分别为， ． 由点到两直线的距离相等得，， 所以． 因为，， 所以，所以， 因此． 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解； （2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 16．(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组确定a,b,c的值即可确定椭圆方程； （2）设，，，联立直线方程与椭圆方程，由题意可得，结合韦达定理和直线斜率的定义得到m与k的关系，代入直线PB的方程即可证得直线过定点. 【详解】（1）由已知得，解得， 椭圆的标准方程， （2） 设，则， 可设的直线方程为， 联立方程，整理得， ， ， ， 整理得，， ，解得， 的直线方程为：， 直线恒过定点. 17．(1)； (2)． 【分析】（1）根据抛物线的标准方程和准线方程即可求解； （2）利用直径所对的圆周角为直角，得出，再用向量的坐标表示垂直关系，结合韦达定理建立方程，即可求解. 【详解】（1）准线为，， 抛物线的方程为； （2） 设，，联立得， ，得， 则，， 所以 以为直径的圆过坐标原点，所以，即， 则， 或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意， 又， 综上，的值为． 18．(1) (2)证明见解析，点的坐标为 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据椭圆的焦点坐标、点在椭圆上以及，，的关系列出等式即可求出椭圆的标准方程； （2）设，根据“共轭点对”得到直线方程为，再联立方程求解； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，求出，的坐标，设点，，，，利用点差法得到，设过点且与直线平行的直线的方程为，求出直线与椭圆相切时的值，再检验证明此时不满足，进而证明四边形面积小于． 【详解】（1）由题，椭圆的另一焦点为， 因此， 所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）设“共轭点对”中点的坐标为， 根据“共轭点对”定义： 点的坐标满足所以或 于是有两个点满足，且点的坐标为． （3）设． 设所在直线为，则的方程为． 设点，则 两式相减得． 又，于是，则，所以线段的中点在直线上． 所以线段被直线平分． 设点到直线的距离为， 则四边形的面积． 又，则有．    设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，取得最大值． 由消去得 令，解得． 当时，方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件， 从而直线与不可能相切， 即小于直线和平行直线（或）的距离， 所以． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 19．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解， （2）根据两点坐标可得直线的直线方程，由直线与圆相切可得是方程的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点. 【详解】（1）由题意得椭圆的方程：，所以短半轴 所以，所以抛物线的方程是. 设点，则， 所以当时，线段长度取最小值. （2）是抛物线上位于第一象限的点， ，且. 设，则： 直线，即，即. 直线，即. 由直线与圆相切得，即. 同理，由直线与圆相切得. 所以是方程的两个解， . 代入方程得， 解得 直线恒过定点. 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 学科网（北京）股份有限公司 $$ 检测06 圆锥曲线的方程（能力卷） 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则点M的横坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知，，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为，，过作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若，，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的焦点关于渐近线的对称点在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 6．（2025·安徽·一模）抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．过点作直线与抛物线交于两点，其中点A在点B的右边．若的面积为，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 7．（24-25高三上·陕西安康·开学考试）在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（24-25高二上·全国·课后作业）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 10．（2024·云南昆明·三模）已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且在在上方，过作角平分线的垂线，垂足为是坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则直线的斜率为 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（     ） A．若为的中线，则 B． C．存在直线使得 D．对于任意直线，都有 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 13．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知为坐标原点，双曲线的左､右焦点分别为，点在以为圆心､为半径的圆上，且直线与圆相切，若直线与的一条渐近线交于点，且，则的离心率为 . 14．（24-25高二上·上海·单元测试）椭圆C：的左、右焦点分别为、，点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接、，设的平分线交椭圆C的长轴于点，则m的取值范围为 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 16. (15分) （23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知椭圆，右焦点的坐标为，且点在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（直线不与轴垂直），已知点与点关于轴对称，证明：直线恒过定点，并求出此定点坐标. 17. (15分) （23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值． 18. (17分) （24-25高三上·四川达州·开学考试）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求证：有两个点满足“共轭点对”，并求出的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于． 19. (17分) （24-25高三上·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离等于椭圆的短轴长，点在抛物线上，圆（其中）. (1)若为圆上的动点，求线段长度的最小值； (2)设是抛物线上位于第一象限的一点，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点.证明：直线经过定点. 学科网（北京）股份有限公司 $$