精品解析：河南省2024-2025学年高三上学期11月期中质量检测数学试题

2025届高三第一学期11月质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 4. 已知直线：，：，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 设，为非零向量，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 7. 若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，，设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前n项和为 D. 数列的前2023项和为 10. 已知函数，，是的两个零点，且，则（ ） A. B. 为的极小值点 C. 的极大值为4 D. 满足的解集是 11. 已知函数的定义域为，对于任意非零实数，均有，且，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是第二象限角，且，则______. 13. 在平面直角坐标系中，，若点P满足，则面积的最大值为______. 14. 在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）求满足的的取值范围． 16. 已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. （1）求和a的值； （2）若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 18. 已知数列的前n项和为，数列满足，，. （1）求的通项公式； （2）设，求使得成立的n的最小整数.（表示不超过x的最大整数） 19. 已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数. （1）试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由； （2）已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，为“切线上界”函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第一学期11月质量检测 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算与共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题得，则， 所以． 故选：A. 3. 为了得到函数的图象，只需要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，然后根据图象的变换即得. 【详解】∵函数， ∴把函数的图象向左平移个单位可得函数的图象，即得到函数的图象. 故选：A． 4. 已知直线：，：，设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出或1，从而得到甲是乙的必要不充分条件. 【详解】，解得或1， 故甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5. 设，为非零向量，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，结合平面向量的数量积的运算性质可得，，进而结合夹角公式求解即可. 【详解】由，， 得，即，即， 即，即， 则. 故选：D. 6. 设为等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，易得，再根据等比数列的性质可得，，进而结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，显然， 由，，得，则，即， 所以. 故选：C. 7. 若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设易得，整理题设为，设，，结合导数分析函数的单调性，进而转化问题为在上恒成立，设，，进而结合导数分析的单调性，进而求解即可. 【详解】由题设，显然，由， 即，即， 设，，则， 而，则函数在上单调递减，所以， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 又，所以a的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】赋值可求得，，，，进而结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，， 令，得，即， 令，得，即， 令，得，即， 令，得，即， 同理可得，，，， 则 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 数列是公差为1的等差数列 C. 数列的前n项和为 D. 数列的前2023项和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用求出通项公式，再逐项求解判断即可. 【详解】数列的前n项和，当时，， 而满足上式，因此， 对于A，，A正确； 对于B，，则数列是公差为的等差数列，B错误； 对于C，，数列的前n项和 ，C正确； 对于D，， 则数列的前2023项和为，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数，，是的两个零点，且，则（ ） A. B. 为的极小值点 C. 的极大值为4 D. 满足的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据，是的两个零点可得，，进而结合即可求得的值，进而判断A；结合导数分析函数的单调性，可判断BC；结合函数的图象可判断D. 【详解】因为，是的两个零点， 则，即，， 则， 所以， 即， 解得，则，即. 对于A，，故A错误； 对于B，由， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则为的极小值点，故B正确； 对于C，当时，函数取得极大值，故C正确； 对于D，由于，画出函数的图象，如图， 满足的解集是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的定义域为，对于任意非零实数，均有，且，则下列结论正确的为（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：令代入运算即可；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，令，结合题意分析即可；对于D：整理可得，令，分析讨论的符号即可判断. 【详解】对于选项A：因为对于任意非零实数x，y，均有， 令，则，可得，故A正确； 对于选项B：例如，显然， 对于任意非零实数，，且，符合题意， 但，显然不为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，整理可得， 令，可得， 又因为，且， 可得，故C正确； 对于选项D： 若，由可知成立； 若，由，整理可得， 令，可得， 当时，由可知，即， 所以； 当时，对于， 令，则， 可得，可知， 由可知，即， 可得； 综上所述：，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：1.对于CD：结合选项要适当整理函数关系式，方便理解和运算； 2.也可以整理得，以指数函数为基础理解，可以快速作出选择. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是第二象限角，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据是第二象限角，可得，，进而结合同角三角函数的关系求出，再根据两角和的余弦公式计算即可. 【详解】因为是第二象限角，所以，， 由，解得， 则. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，，若点P满足，则面积的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设可得，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，进而结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】设，由， 得，整理得， 即，即点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， 则面积的最大值为. 故答案为：. 14. 在中，，，D，E两点分别在边AB，AC上，若，则AD的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，，可得，进而结合正弦定理可得，再结合正弦函数及不等式的性质求解即可. 【详解】由题意，要求AD的最大值，不妨设，，则， 由，则， 在中，由正弦定理得，， 即，即， 由，则，即， 则，则， 则AD的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用正弦定理表示出，再利用正弦函数及不等式的性质求解即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数为奇函数． （1）求的值； （2）求满足的的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）奇函数性质得恒成立，即可求参数； （2）由题设及对数运算性质有，即可求范围. 【小问1详解】 由题设，则， 所以，可得，则或， 当，则，不合题设，故. 【小问2详解】 ，则定义域为， 由题设 所以，可得， 故的范围为． 16. 已知函数的最小正周期为，且的最大值为2. （1）求和a的值； （2）若函数在区间内有且仅有两个零点，，求m的取值范围及的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的周期及最值求解即可； （2）根据正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 由 ， 则，即， 又，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 令，即， 当时，， 因为函数在区间内有且仅有两个零点，， 结合正弦函数的图象可知，， 解得，即m的取值范围为. 又，即， 则. 17. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合数量积和面积公式运算求解即可； （2）根据面积可得，中，利用余弦定理可得，再求边即可. 【小问1详解】 因为，则，整理可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为，可得， 又因为为的中点， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得， 解得或（舍去）， 结合，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以的周长为. 18. 已知数列的前n项和为，数列满足，，. （1）求的通项公式； （2）设，求使得成立的n的最小整数.（表示不超过x的最大整数） 【答案】（1） （2）46 【解析】 【分析】（1）根据和的关系可得，进而结合，利用递推关系易得，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解即可； （2）根据分组求和和等比数列的前项和公式可得，进而结合的定义可得，进而结合题设求解即可. 【小问1详解】 由， 则， 两式相减得，， 因为，且时，，又，解得； 当时，， 则，又，则， 即，即，， 又，则数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 则， 则，，，，，，， 则，则， 则由，得， 即，又，则， 所以n的最小整数为46. 19. 已知曲线的图象上存在A，B两点，记直线AB的方程为，若AB恰为曲线的一条切线，且直线与曲线相切于A，B两点，，，则称函数为“切线上界”函数. （1）试判断函数是否为“切线上界”函数.若是，求出一组点A，B；否则，请说明理由； （2）已知为“切线上界”函数，求实数a的取值范围； （3）证明：当时，为“切线上界”函数. 【答案】（1）是“切线上界”函数，（坐标不唯一）； （2） （3） ，， 设切点，， 设直线方程为，满足， 直线的斜率为， ，故在处的切线斜率为， 在处的切线斜率为， 故，所以， 由， 化简得， 令，故， 所以， 因为，所以， 所以， 令， 要证时，为“切线上界”函数， 只需证在R上存在不同两点，其函数值相等， 即证连续函数在R上不单调即可， 令，则， 显然不恒大于等于0或恒小于等于0， 故在R上不单调即可，结论得证. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到在处取得极大值，也是最大值，满足要求，不妨取和，求出的坐标； （2）不妨设切点在上，切点在上，由导数几何意义分别写出在和处的切线方程，对照系数，得到方程组，变形得到，，构造函数，求导，得到其单调性，得到，所以； （3）切点，，设直线方程为，满足，利用导数几何意义得到切线斜率，得到，并得到，换元后得到，变形得到，令，要证时，为“切线上界”函数，只需证连续函数在R上不单调即可，求导得到在R上不单调，结论得证. 【小问1详解】 ， 当，即时， 取得极大值，也是最大值， 中，不妨令和，得和， 故， 此时满足AB恰为曲线的切线，且直线与曲线相切于A，B两点， ，，则是“切线上界”函数. 【小问2详解】 在上单调递增，在上单调递增， 故不会同在，或，上， 不妨设切点在上，切点在上， 由于，故在处的切线方程为， ，故在处的切线方程为， 两切线为同一切线，故， 由①得③，将③代入②得， 故，， 令，， 则， 故在上单调递减， 故，所以； 【小问3详解】 略 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $