空间向量与立体几何章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量与立体几何章末检测解析版 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在平行六面体中中，，，，点在上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在平行六面体中中，点在上，且， ， 所以. 故选：A 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为， 所以，则或. 故选：D 3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 4．已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【详解】 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上， 且， 所以， 即的最小值为. 故选：D 5．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，其中，， 则，， ，， 据此可得，，， 由空间中两点之间距离公式可得 ， 当时，，当时，， 结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为. 故选：B. 6．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，设， ，，于是， 整理得，显然点不能在坐标轴上，否则， 当时，， 而，无解，即点不能在棱上； 当时，， 若，则；若，则无解；若，则， 于是点不能在棱上，可以在棱上； 当时，， 若，则无解；若，则，于是点不能在棱上，可以在棱上， 所以可以在棱上，点P的个数为3. 故选：B 7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，平面，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，， 由余弦定理得， 故，所以⊥， 的外接圆圆心为的中点， 又平面，平面，所以， 故的中点即为球的球心，此时有， 且，故外接球半径为， 外接球表面积为. 故选：C 8．如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（   ）      A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】    设截面分别于交于点，连接， 取的中点，连接，分别交于点， 交于点， 由于，平面， 所以平面，而平面，所以， 又平面，平面，平面平面， 所以，同理，，，所以， 则四边形为矩形， 平面平面，所以，则为的中点， 又，则，则， 平面，所以平面， 则点到平面的距离为， 因为，则， 在中，， 又，则，即，则， 所以， 而正四面体的高， 所以 ， 则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 则在切线斜率增大，在切线斜率减小，故选择图象D. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 【答案】BCD 【详解】由题意过点作于点，因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 所以两两互相垂直， 故以为原点分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 因为， 所以， ， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，显然的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 而， 从而，令，解得， 所以， 所以，故C正确； 对于D，,设平面PAD的一个法向量为， 则，令，解得， 所以的一个法向量为，而， 从而，则直线与平面所成角的正弦值为，故D正确. 故选：BCD. 10．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（    ） A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．不在同一个球面上 D．若，则点轨迹长度为 【答案】AD 【详解】对于选项A：取的中点，连接， 在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点， 易知平面在面内， 所以面面， 所以面面，所以， 连接是正方形，， 因为面面，所以， 因为面面， 所以面，因为面，所以， 综上，面面，又， 所以面面，故平面平面，故A正确； 对于选项B：取的中点，连接，则， 所以是异面直线所成的角， 又，则，故B错误； 对于选项C：记正方体的中心为点，则， 所以在以为球心，以为半径的球面上，故C不正确； 对于选项D：因为，且为的中点， 所以，故， 所以点轨迹是过点与平行的线段，且， 所以，故D正确. 故选：AD 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（   ） A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面BMN C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为 【答案】BCD 【详解】选项A，连接，，，正方体中易知， P，N分别是，中点，则，所以，即四点共面， 当与重合时满足B，N，P，Q四点共面， 但Q是线段上的动点（不包含端点），故A错误； 选项B，如图，取中点为，连接，，， 因为M，N分别是，中点，则与平行且相等， 故四边形是平行四边形， 所以，又是中点，所以，所以， 平面，平面，所以平面，B正确； 选项C，如图，在平面上作⊥于K， 过K作⊥交BC或者于T， 因为平面⊥平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，平面， 所以平面QKT， 平面QKT截正方体截面为平行四边形， 当T与点C重合时，面积最大，此时，，面积为， 当Q与点无限接近时，面积接近于0， 过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为，C正确； 选项D，取的中点，连接，则， 则平面，取的中点，以为圆心，为半径作圆， 交，于X，Y， 则点H的轨迹为以O为圆心，2为半径的部分圆弧， 此时满足直线PH与直线AD夹角为， 如图，，故， 所以点H的轨迹长度为，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为 . 【答案】 【详解】正三棱锥中，因为平面，又平面， 因此，故， 故， 则，延长交于点， 过点作的平行线交于点，易知两两垂直， 以为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则，， 设直线与所成的角为， 则， 当或时，取最大值． 故答案为：. 13．已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E为的中点，点H是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为 . 【答案】 【详解】 连接上、下底面的对角线，交点分别为，根据题意易知两两垂直， 故可建立如上图所示的空间直角坐标系， 则, 设，所以， ， 设直线与直线所成角为， 则， 令， 显然时，不符合题意，则， 要使两直线夹角正切最小，即使其夹角余弦最大，即时，此时， 所以. 故答案为：. 14．已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 正四面体的棱长为，设其内切球球心为点， 连接并延长交底面于点， 则为正的中心，且平面， 连接并延长交于点，则为的中点，且， ，， 因为平面，平面，则， 可得， 的面积为， 正四面体的体积为， 设正四面体的内切球的半径为， 则， 即，解得， 可得， 因为，， 可得， 当点位于正四面体的顶点时，取最大值， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在多面体中，，，四边形是边长为2的菱形，为棱上一点． (1)若，证明：平面； (2)若平面，，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) （2）建立如图所示坐标系，设，求出，再求平面的法向量，代入空间线面角公式求出，再由模长计算结果即可； 【详解】（1）在线段上取一点，使， 连结，则， 又因为，所以， 因为平面平面，所以平面， 由，得，又，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. （2） 因为四边形是边长为2的菱形，平面，所以平面， 又平面，所以，所以， ，所以，即， 所以两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，设， ，，，， 设，，所以，即，， 设平面的法向量为， 则即， 取，则， 设直线与平面所成角为， ， 解得，所以，所以，. 16.（本小题15分） 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，则， 则， 所以， 因为为的中点， 所以，， 则，所以， 又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）由，可得，则， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 设， 则， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 所以的长度为. 17.（本小题15分） 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面．    (1)求证：． (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点 【详解】（1）连接，如图，由题知四边形是菱形，则， 又分别为棱的中点，所以，故． 因为为等边三角形，为的中点，所以． 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，故． 又平面，所以平面， 因为平面，所以．    （2）连接，如图． 由，可知为等边三角形， 又是的中点，所以， 由(1)得平面，所以两两互相垂直． 故以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 假设在棱上存在符合要求的点，设， 则． 设平面的法向量为， 则即即 取，则，所以． 由(1)得是平面的一个法向量， 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，即，解得或（舍去）， 故存在点，且为棱上靠近点的一个三等分点，使得平面与平面的夹角的余弦值为． 18.（本小题17分） 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【详解】（1）在中，，，则， 在几何体中，， 平面，则平面，而平面， 则，又，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    依题意，，， 则，， 显然平面的一个法向量，设与平面所成的角为， 则，， 所以与平面所成角的大小为. （3）由（2）知的面积， 由是的中点，得点到平面的距离， 因此， 假设在线段上存在符合要求的点，设到平面的距离为， 因为， 所以， 因为，所以， 则，得， 所以，则是的三等分点等近的点， 所以， 即在线段上存在点满足条件，. 19.（本小题17分） 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.    (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角为，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解； (2). 【详解】（1）因为，， 所以均在的垂直平分线上，所以，， 因为， 所以， 因为，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面； （2）由（1）可知， 以为原点，所在直线分别为轴，过点垂直于底面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为， 所以，所以， 从而由等面积法，可知，由勾股定理，可知， 由（1）可知，所以， 由（1）可知，而平面平面，平面，平面，且二面角为， 所以， 所以与轴所在直线的夹角为， 所以， 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令，解得， 所以平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量与立体几何章末检测 姓名___________ 班级_________ 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在平行六面体中中，，，，点在上，且，则（    ）    A． B． C． D． 2．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．或 3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（   ） A． B．4 C．6 D． 5．在边长为2的正方体中，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在正方体中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足与所成的角为的点P的个数为（   ） A．0 B．3 C．4 D．6 7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，平面，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正四面体的棱长2，过棱AB上任意一点做与AD，BC都平行的截面，将正四面体分成上下两部分，记，截面上方部分的体积为，则函数的图象大致为（   ）      A．   B．   C．   D．   二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，且，，M，N分别是棱，的中点，则（   ） A． B． C．平面平面 D．直线PB与平面PAD所成角的正弦值为 10．如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点在正方体表面运动，则下列结论中正确的为（    ） A．在中点时，平面平面 B．异面直线所成角的余弦值为 C．不在同一个球面上 D．若，则点轨迹长度为 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），则（   ） A．存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 B．存在点Q，使平面BMN C．过Q且与BN垂直的平面截正方体所得截面面积取值范围为 D．点H是四边形内的动点，且直线PH与直线AD夹角为，则点H的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在正三棱锥中，平面，点在底面内的投影为点是平面内以为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线与所成角的余弦值最大为 . 13．已知直四棱柱，，底面是边长为1的菱形，且，点E为的中点，点H是棱上的动点.则直线与直线所成角的正切值的最小值为 . 14．已知球是棱长为的正四面体的内切球，是球的一条直径，为该正四面体表面上的动点，则的最大值为 . 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分） 如图，在多面体中，，，四边形是边长为2的菱形，为棱上一点． (1)若，证明：平面； (2)若平面，，，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 16.（本小题15分） 如图，在平行六面体中，底面是矩形，，，点E，F分别为，，的中点，且. (1)证明：平面平面； (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 17.（本小题15分） 如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是棱的中点，平面平面．    (1)求证：． (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 18.（本小题17分） 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点（不与端点、重合），使？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 19.（本小题17分） 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”.如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中，，交于点.    (1)求证：平面平面； (2)若，且二面角为，求平面与平面所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$