2025年河南中考数学一轮复习 第一章 数与式

2025年河南中考数学一轮复习 第一章　数与式　落地2022年课标新理念·大单元整合 学生版 整合点(一)　实数及其运算 1．2 024的绝对值是(　 　) A．－2 024　　　 B．2 024 C．　　　 D．－ 2．－5的相反数是(　 　) A．－5　　　　 B．5　　　 C．　　　 D．－ 3．4的倒数是(　 　) A．　　　 B．－4　　　 C．2　　　 D．±2 4．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为(　 　) A．50×108光年　　　 B．5×108光年 C．5×109光年　　　 D．5×1010光年 5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为(　 　) A．0.15×103纳米　　　　 B．1.5×104纳米 C．15×10－5纳米　　　　 D．1.5×10－6纳米 6．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m －415 －28 －156 －40 其中最低海拔最小的大洲是(　 　) A．亚洲　　　 B．欧洲　　　 C．非洲　　　 D．南美洲 7．将－1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是(　 　) A．－1　　　 B．1　　　 C．－3　　　 D．3 8．四个数－10，－1,0,10中，最小的数是(　 　) A．－10　　　 B．－1　　　 C．0　　　 D．10 9．估计(＋)的值应在(　 　) A．8和9之间　　　 B．9和10之间 C．10和11之间　　　 D．11和12之间 10．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(　 　) A．ab＞0　　　 B．a＋b＜0 C．|a|＞|b|　　　 D．a－b＜0 11．计算：＋(－1)2 024＝3. 12．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：＞(填“＞”或“＜”)． 13．将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是(　 　) A．7　　　 B．8　　　　 C．　　　 D．4 14．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为1. 15．已知＝1，则x＝1. 16．计算：20×＋－3－1. 17．(2024·湖北)计算：(－1)×3＋＋22－2 0240. 18．(2025·河南预测)计算：|－|－－1＋2 0250. 整合点(二)　整式及因式分解 1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是(　 　) A．a＋3＝8b　　　 B．3a＝8b C．a＋3＝b8　　　 D．3a＝8＋b 2．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，….按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是(　 　) A．2 022　　　 B．2 023　　　　 C．2 024　　　 D．2 025 3．下列单项式中，ab3的同类项是(　 　) A．3ab3　　　 B．2a2b3　　　　 C．－a2b2　　　 D．a3b 4．下列计算正确的是(　 　) A．＝±4 B.3＝－x6y3 C．分解因式：a3－a＝a(a2－1) D．2a2·4a3＝8a5 5．(2024·浙江)下列式子运算正确的是(　 　) A．x3＋x2＝x5　　　 B．x3·x2＝x6 C．(x3)2＝x9　　　 D．x6÷x2＝x4 6．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是(　 　) A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6 000 D．运算结果可以表示为4 100a＋1 025 7．已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝－6. 8．将连续的正整数排成如图所示的数表．记a(i，j)为数表中第i行第j列位置的数字，如a(1,2)＝4，a(3,2)＝8，a(5,4)＝22.若a(m，n)＝2 024，则m＝45，n＝2. 9．先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a＝2，b＝－1. 10．(　 　)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12－02 3＝22－12 5＝32－22 7＝42－32 9＝52－42 … 4＝22－02 8＝32－12 12＝42－22 16＝52－32 20＝62－42 … 一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝ 按上表规律，完成下列问题： (ⅰ)24＝(　7　)2－(　5　)2； (ⅱ)4n＝(n＋1)2－(n－1)2. (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)．师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数． 而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 整合点(三)　分式 1．已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝(　 　) 　　　 A．x　　　 B．y　　　　 C．x＋y　　　 D．x－y 2．已知a2－2b＋1＝0，则的值是2. 3．要使分式有意义，则x需满足的条件是x≠19. 4．化简：÷(x－)＝. 5．化简：÷. 解：÷ ＝· ＝· ＝. 6．化简：÷. 解：÷ ＝· ＝· ＝－. 7．已知有按顺序排列的若干个数：x1，x2，x3，…，xn(n是正整数)．从第二个数x2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x2＝，x3＝，…，例如：若x1＝3，x2＝＝＝－，…，根据上述信息，完成下列问题． (1)若x1＝2，则x2＝－1，x3＝　　，x4＝2，x1＋x2＋x3＋…＋x10＝6.5. (2)若x1＝a(a≠0且a≠1)，求证：x1·x2·x3＝－1. 8．先化简，再求值：÷，其中a＝＋2. . 9．(2024·遂宁)先化简÷，再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 11．先化简，再求值：÷－，其中a，b满足b－2a＝0. 12．先化简，再求值：÷，并从－1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值． 13．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：.若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值． 14．欧拉是历史上享誉全球的伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的非零数，称Pn＝＋＋(n＝0,1,2,3)为欧拉分式． (1)写出P0对应的表达式； (2)化简P1对应的表达式． 整合点(四)　二次根式 1．若式子有意义，则实数x的值可能是(　 　) A．－1　　　 B．0　　　 C．1　　　 D．2 2．下列计算正确的是(　 　) A．x6÷x4＝x2　　　　 B.＋＝ C．(x3)2＝x5　　　　 D．(x＋y)2＝x2＋y2 3．下列计算正确的是(　 　) A．＝×　　　　 B.＝－2 C．2＝　　　　 D.－＝ 4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x＞1. 5．化成最简二次根式为　2　. 6．如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(　 　) A．2　　　 B．2　　　 C．4　　　 D．6 7．计算：－×. 8．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S＝.其中p＝.我国南宋时期数学家秦九韶(约1208—1261年)曾提出利用三角形的三边长求其面积的秦九韶公式S＝.若一个三角形的三边长分别为2,3,4.请用上述两种不同的方法求该三角形的面积． 9．已知a，b，n均为正整数． (1)若n＜＜n＋1，则n＝3； (2)若n－1＜＜n，n＜＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少2个． 2025年河南中考数学一轮复习 第一章　数与式　落地2022年课标新理念·大单元整合 教师版 整合点(一)　实数及其运算 1．2 024的绝对值是(　B　) A．－2 024　　　 B．2 024 C．　　　 D．－ 2．－5的相反数是(　B　) A．－5　　　　 B．5　　　 C．　　　 D．－ 3．4的倒数是(　A　) A．　　　 B．－4　　　 C．2　　　 D．±2 4．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为(　C　) A．50×108光年　　　 B．5×108光年 C．5×109光年　　　 D．5×1010光年 5．目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为(　B　) A．0.15×103纳米　　　　 B．1.5×104纳米 C．15×10－5纳米　　　　 D．1.5×10－6纳米 6．亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m －415 －28 －156 －40 其中最低海拔最小的大洲是(　A　) A．亚洲　　　 B．欧洲　　　 C．非洲　　　 D．南美洲 7．将－1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是(　B　) A．－1　　　 B．1　　　 C．－3　　　 D．3 8．四个数－10，－1,0,10中，最小的数是(　A　) A．－10　　　 B．－1　　　 C．0　　　 D．10 9．估计(＋)的值应在(　C　) A．8和9之间　　　 B．9和10之间 C．10和11之间　　　 D．11和12之间 10．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是(　D　) A．ab＞0　　　 B．a＋b＜0 C．|a|＞|b|　　　 D．a－b＜0 11．计算：＋(－1)2 024＝3. 12．我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为.比较大小：＞(填“＞”或“＜”)． 13．将一组数，2，，2，，2，…，，…，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是(　C　) A．7　　　 B．8　　　　 C．　　　 D．4 14．若m，n为实数，且(m＋4)2＋＝0，则(m＋n)2的值为1. 15．已知＝1，则x＝1. 16．计算：20×＋－3－1. 解：原式＝1×＋2－ ＝＋2－ ＝2. 17．(2024·湖北)计算：(－1)×3＋＋22－2 0240. 解：原式＝－3＋3＋4－1 ＝3. 18．(2025·河南预测)计算：|－|－－1＋2 0250. 解：原式＝|－2|－3＋1 ＝2－3＋1 ＝2＋1－3 ＝0. 整合点(二)　整式及因式分解 1．若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是(　A　) A．a＋3＝8b　　　 B．3a＝8b C．a＋3＝b8　　　 D．3a＝8＋b 2．如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，….按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是(　B　) A．2 022　　　 B．2 023　　　　 C．2 024　　　 D．2 025 3．下列单项式中，ab3的同类项是(　A　) A．3ab3　　　 B．2a2b3　　　　 C．－a2b2　　　 D．a3b 4．下列计算正确的是(　D　) A．＝±4 B.3＝－x6y3 C．分解因式：a3－a＝a(a2－1) D．2a2·4a3＝8a5 5．(2024·浙江)下列式子运算正确的是(　D　) A．x3＋x2＝x5　　　 B．x3·x2＝x6 C．(x3)2＝x9　　　 D．x6÷x2＝x4 6．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图①所示的“表格算法”，图①表示132×23，运算结果为3 036.图②表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图②中现有数据进行推断，正确的是(　D　) A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6 000 D．运算结果可以表示为4 100a＋1 025 7．已知a2－b2＝12，且a－b＝－2，则a＋b＝－6. 8．将连续的正整数排成如图所示的数表．记a(i，j)为数表中第i行第j列位置的数字，如a(1,2)＝4，a(3,2)＝8，a(5,4)＝22.若a(m，n)＝2 024，则m＝45，n＝2. 9．先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b，其中a＝2，b＝－1. 解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b ＝(4a2＋4ab＋b2－4a2＋b2)÷2b ＝(4ab＋2b2)÷2b ＝2a＋b. 当a＝2，b＝－1时，原式＝2×2－1＝3. 10．(2024·安徽)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12－02 3＝22－12 5＝32－22 7＝42－32 9＝52－42 … 4＝22－02 8＝32－12 12＝42－22 16＝52－32 20＝62－42 … 一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝ 按上表规律，完成下列问题： (ⅰ)24＝(　7　)2－(　5　)2； (ⅱ)4n＝(n＋1)2－(n－1)2. (2)兴趣小组还猜测：像2,6,10,14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)．师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为偶数． ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝为4的倍数． 而4n－2不是4的倍数，矛盾．故x，y不可能均为奇数． ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数． 而4n－2是偶数，矛盾．故x，y不可能一个是奇数一个是偶数． 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容． 解：(1)(i)4＝4×1＝(1＋1)2－(1－1)2， 8＝4×2＝(2＋1)2－(2－1)2， 12＝4×3＝(3＋1)2－(3－1)2， 16＝4×4＝(4＋1)2－(4－1)2， 20＝4×5＝(5＋1)2－(5－1)2， 24＝4×6＝(6＋1)2－(6－1)2＝72－52， ...... 4n＝4·n＝(n＋1)2－(n－1)2. 故答案为7,5. (ii)由(1)推导的规律可知4n＝4·n＝(n＋1)2－(n－1)2. 故答案为(n＋1)2－(n－1)2. (2)(2k＋1)2－(2m＋1)2＝(4k2＋4k＋1)－(4m2＋4m＋1)＝4(k2－m2＋k－m)． 故答案为4(k2－m2＋k－m)． 整合点(三)　分式 1．已知A为整式，若计算－的结果为，则A＝(　A　) 　　　 A．x　　　 B．y　　　　 C．x＋y　　　 D．x－y 2．已知a2－2b＋1＝0，则的值是2. 3．要使分式有意义，则x需满足的条件是x≠19. 4．化简：÷(x－)＝. 5．化简：÷. 解：÷ ＝· ＝· ＝. 6．化简：÷. 解：÷ ＝· ＝· ＝－. 7．已知有按顺序排列的若干个数：x1，x2，x3，…，xn(n是正整数)．从第二个数x2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x2＝，x3＝，…，例如：若x1＝3，x2＝＝＝－，…，根据上述信息，完成下列问题． (1)若x1＝2，则x2＝－1，x3＝　　，x4＝2，x1＋x2＋x3＋…＋x10＝6.5. (2)若x1＝a(a≠0且a≠1)，求证：x1·x2·x3＝－1. (1)解：∵x2＝，x3＝，…，∴x1＝2时，x2＝＝－1，x3＝＝，x4＝＝2，x5＝＝－1，x6＝＝，x7＝＝2，x8＝＝－1，x9＝＝，x10＝＝2， ∴x1＋x2＋x3＋…＋x10 ＝2－1＋＋2－1＋＋2－1＋＋2＝6.5. (2)证明：∵x1＝a(a≠0且a≠1)，∴x2＝，x3＝＝.∴x1·x2·x3＝a··＝－1. 8．(2024·潍坊)先化简，再求值：÷，其中a＝＋2. 解：÷＝÷ ＝·＝a－2， 当a＝＋2时，原式＝＋2－2＝. 9．(2024·遂宁)先化简÷，再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 解：÷＝÷ ＝·＝x－1，∵x－1≠0，x－2≠0，∴x≠1，x≠2，当x＝3时，原式＝2. 10．(2024·内蒙古)先化简，再求值：÷＋3，其中x＝－. 解：原式＝·＋3 ＝·＋3＝x＋3， 当x＝－时，原式＝－＋3＝－. 11．先化简，再求值：÷－，其中a，b满足b－2a＝0. 解：原式＝·－ ＝－＝， ∵b－2a＝0，∴b＝2a， ∴原式＝＝. 12．先化简，再求值：÷，并从－1,0,1,2,3中选一个合适的数代入求值． 解：÷＝÷ ＝÷＝· ＝. ∵x≠0且x≠3， ∴x＝－1或x＝1或x＝2(答案不唯一，三个任选一个代入就行)． 当x＝－1时，原式＝＝－. 13．利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：.若m是其显示结果的平方根，先化简：÷，再求值． 解：÷ ＝· ＝· ＝，根据计算器可得m＝±＝±＝±2，∵4－2m≠0，∴m≠2. 当m＝－2时，原式＝＝－. 14．欧拉是历史上享誉全球的伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的非零数，称Pn＝＋＋(n＝0,1,2,3)为欧拉分式． (1)写出P0对应的表达式； (2)化简P1对应的表达式． 解：(1)由题意可得，P0＝＋＋＝＋＋. (2)由题意可得，P1＝＋＋＝－＋＝ ＝ ＝ ＝0. 整合点(四)　二次根式 1．若式子有意义，则实数x的值可能是(　D　) A．－1　　　 B．0　　　 C．1　　　 D．2 2．下列计算正确的是(　A　) A．x6÷x4＝x2　　　　 B.＋＝ C．(x3)2＝x5　　　　 D．(x＋y)2＝x2＋y2 3．下列计算正确的是(　C　) A．＝×　　　　 B.＝－2 C．2＝　　　　 D.－＝ 4．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为x＞1. 5．化成最简二次根式为　2　. 6．(2024·斗门区校级一模)如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为(　A　) A．2　　　 B．2　　　 C．4　　　 D．6 7．计算：－×. 解：原式＝3－3＝0. 8．已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究．古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式S＝.其中p＝.我国南宋时期数学家秦九韶(约1208—1261年)曾提出利用三角形的三边长求其面积的秦九韶公式S＝.若一个三角形的三边长分别为2,3,4.请用上述两种不同的方法求该三角形的面积． 解：(1)∵三角形的三边长分别为2,3,4，∴p＝＝.∴S＝ ＝＝. (2)∵三角形的三边长分别为2,3,4，∴22＋32－42＝－3. ∴S＝ ＝×＝×3 ＝×＝. 9．已知a，b，n均为正整数． (1)若n＜＜n＋1，则n＝3； (2)若n－1＜＜n，n＜＜n＋1，则满足条件的a的个数总比b的个数少2个． 解：(1)∵＜＜，∴3＜＜4. ∵n＜＜n＋1，n为正整数，∴n＝3. 故答案为3. (2)∵n－1＜＜n，∴(n－1)2＜a＜n2，∴a的个数为n2－(n－1)2－1＝n2－n2＋2n－1－1＝2n－2. ∵n＜＜n＋1，∴n2＜b＜(n＋1)2，∴b的个数为(n＋1)2－n2－1＝n2＋2n＋1－n2－1＝2n. ∵2n－(2n－2)＝2，∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个． 故答案为2. 学科网（北京）股份有限公司 $$