第27章 相似三角形 单元测试2024-2025学年人教版九年级下册

2024-11-25
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内容正文:

第 1页,共 5页 相似三角形单元检测 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。 1.下列各组图形一定相似的是( ) A.所有等腰三角形都相似 B.所有等边三角形都相似 C.所有菱形都相似 D.所有矩形都相似 2.已知�� = 5,则 �−� �+�的值是( ) A. − 23 B. − 1 3 C. 2 3 D. 1 3 3.如图,在▱ ����中,�是��边上一点,��与��交于点�,若�� = 2��,则����的值为( ) A. 32 B. 2 3 C. 2 D. 3 4.如图,直线�1//�2//�3,分别交直线�,�于点�,�,�,�,�,�.若��: �� = 5: 3, �� = 15,则��的长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 25 5.如图,在△ ���中,∠� = 78°,�� = 4,�� = 6.将△ ���沿图中所示的虚线剪开,剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是 ( ) A. B. C. D. 6.如图,铁路道口的栏杆短臂长 1�,长臂长 16�.当短臂端点下降 0.5�时,长臂端点 升高(杆的宽度忽略不计)( ) A. 4� B. 6� C. 8� D. 12� 7.在平面直角坐标系中,已知点�( − 4,2),�( − 2, − 2),以原点�为位似中心,将△ ���放大为原来的 2 倍, 则点�的对应点�1的坐标是 ( ) A. ( − 2,1) B. ( − 8,4) C. ( − 8,4)或(8, − 4)D. ( − 2,1)或(2, − 1) 8.如图,在�� △ ���中,∠��� = 90°,�� ⊥ ��,垂足为�,下列结论中,错误的是 ( ) A. ���� = �� �� B. �� �� = �� �� C. �� �� = �� �� D. �� �� = �� �� 9.如图,⊙�与�� △ ���的斜边��相切于点�,与直角边��相交于点�,且��/ ​ /��. 已知�� = 2 2,�� = 3 2,�� = 6,则⊙�的半径是( ) A. 3 B. 4 C. 4 3 D. 2 3 10.如图,矩形����的对角线��与反比例函数� = 9� � > 0 相交于点�,且 �� �� = 3 5, 则矩形����的面积为( ) A. 50 B. 25 C. 15 D. 252 第 2页,共 5页 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。 11.如下图 1,在矩形����中,�是边��的中点,连接��交对角线��于点�,若�� = 4,�� = 3,则�� 的长为 . 12.如上图 2,在△ ���中,�,�分别为边��,��上的点,试添加一个条件: ,使得△ ���与△ ��� 相似. 13.如上图 3,▵ ���与▵ ���是以点�为位似中心的位似图形,�� = ��,若�▵ ��� = 2,则�▵ ��� = . 14.如上图 4,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ ���和△ ���的顶点都在网格线的交点上.设 △ ���的周长为�1,△ ���的周长为�2,则 �1 �2 的值为 . 15.如下图 1,�� △ ���中,∠� = 90°,∠� = 30°,�� = 2,点�,�分别为��,��上一个动点,将△ ��� 沿��折叠得到△ ���,点�的对应点是点�,若点�始终在边��上,当△ ���与△ ���相似时,��的长为 . 16.如上图 2,平面直角坐标系中�是原点,▱ ����的顶点�,�的坐标分别是(8,0),(3,4),点�,�把线段�� 三等分,延长��、��分别交��、��于点�,�,连接��.则下列结论: ①�是��的中点;② △ ���与△ ���相似;③四边形����的面积是203;④�� = 4 5 3 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号). 三、解答题:本题共 8 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题 8 分)如图,�� = 4,�� = 6,�在��上,��、��相交于点�,且��/ ​ /��/ ​ /��. (1)若�� = 3,求��的长. (2)求��的长. 第 3页,共 5页 18.(本小题 8 分)已知:如图,△ ���是等边三角形,点�、�分别在��,��上,且�� = ��,��、��相交 于点�,求证: (1) △ ���∽△ ���; (2)��2 = �� × ��. 19.(本小题 8 分)学完了《相似形》这一章后,某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊 天塔��的高度(如图 1),测量方法如下:如图 2,从塔的底部�出发,作一条射线��,在��上取�,�两点, 分别竖立两根高为 3�的标杆��和��,两标杆间隔��为 44�.从标杆��处沿��后退 3�到�处,从�处观察 �点,发现�,�,�三点成一线;从标杆��处沿��后退 6�到�处,从�处观察�点,发现�,�,�三点也成 一线,请根据以上测量数据,帮助实践小组求出昊天塔的高度. 20.(本小题 8 分) 如图,在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知△ ���三个顶点分别为�( − 1,2)、�(2,1)、�(4,5). (1)画出△ ���关于�轴对称的△ �1�1�1; (2)以原点�为位似中心,在�轴的上方画出△ �2�2�2,使△ �2�2�2 与△ ���位似,且位似比为 2,并求出△ �2�2�2的面积. 第 4页,共 5页 21.(本小题 10 分)如图,在正方形����中,�为��边上一点,�� ⊥ �� 交��于点�. (1)求证:△ ���∽△ ���; (2)若�� = 4,�� = 3��,求��的长; (3)在(2)的条件下,延长��交��延长线于点�,直接写出��的长. 22.(本小题 10 分)如图,在△ ���中,�� = ��,以��为直径作⊙�交��于点�,交��于点�,点�在�� 的延长线上,∠��� = 12∠���. (1)求证:��是⊙�的切线; (2)若�� = 2,�� = 6,求��的长. 23.(本小题 10 分)综合与实践 【思考尝试】 (1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图 1,在矩形����中,�是边��上一点,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��, �� ⊥ ��,�� = ��.试猜想四边形����的形状,并说明理由; 【实践探究】 (2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图 2,在正方形����中,�是边��上一点,�� ⊥ �� 于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��交��于点�,可以用等式表示线段��,��,��的数量关系,请你思考并 解答这个问题; 【拓展迁移】 第 5页,共 5页 (3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图 3,在正方形����中,�是边��上一 点,�� ⊥ ��于点�,点�在��上,且�� = ��,连接��,��,可以用等式表示线段��,��的数量关系, 请你思考并解答这个问题. 24.(本小题 10 分)如图,抛物线� = 3+ 36 � 2 + �� + �与�轴交于�,�两点,点�,�分别位于原点的左、右 两侧,�� = 3�� = 3,过点�的直线与�轴正半轴和抛物线的交点分别为�,�,�� = 3��. (1)求�,�的值; (2)求直线��的函数解析式; (3)点�在抛物线的对称轴上且在�轴下方,点�在射线��上.当△ ���与△ ���相似时,请直接写出所有满 足条件的点�的坐标. 第 1页,共 20页 相似三角形单元测试解析 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求 的。 1.下列各组图形一定相似的是( ) A.所有等腰三角形都相似 B.所有等边三角形都相似 C.所有菱形都相似 D.所有矩形都相似 【答案】B 【解析】解:任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例,不一定相似,A错误; 任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例,一定相似,B正确; 任意两个菱形的对应角不一定相等,不一定相似,C错误; 任意两个矩形的对应边不一定成比例,不一定相似,D错误; 故选:�. 2.已知�� = 5,则 �−� �+�的值是( ) A. − 23 B. − 1 3 C. 2 3 D. 1 3 【答案】A 【解答】 解:∵ �� = 5,∴ � = 5�, ∴ �−��+� = �−5� �+5� = −4� 6� =− 2 3, 故选:�. 3.如图,在▱ ����中,�是��边上一点,��与��交于点�,若�� = 2��,则����的值为( ) A. 32 B. 2 3 C. 2 D. 3 【答案】A 【解答】 解:∵ �� = 2��, ∴ �� = 3��, ∵四边形����是平行四边形, ∴ �� = �� = 3��,��/ ​ /��, ∴△ ���∽△ ���, 第 2页,共 20页 ∴ ���� = �� �� = 3�� 2�� = 3 2, 故选:�. 4.如图,直线�1//�2//�3,分别交直线�,�于点�,�,�,�,�,�.若��: �� = 5: 3,�� = 15,则��的长 为 ( ) A. 6 B. 9 C. 10 D. 25 【答案】B 5.如图,在△ ���中,∠� = 78°,�� = 4,�� = 6.将△ ���沿图中所示的虚线剪开,剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 6.如图,铁路道口的栏杆短臂长 1�,长臂长 16�.当短臂端点下降 0.5�时,长臂端点升高(杆的宽度忽略不 计)( ) A. 4� B. 6� C. 8� D. 12� 【答案】C 【解答】解:如图, 第 3页,共 20页 设长臂端点升高�米, 由题意,∠��� = ∠��� = 90°,∠��� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, ∴ 0.5� = 1 16, 解得:� = 8, 即长臂端点升高 8�. 故选 C. 7.在平面直角坐标系中,已知点�( − 4,2),�( − 2, − 2),以原点�为位似中心,将△ ���放大为原来的 2 倍, 则点�的对应点�1的坐标是 ( ) A. ( − 2,1) B. ( − 8,4) C. ( − 8,4)或(8, − 4)D. ( − 2,1)或(2, − 1) 【答案】C 【解答】 解:∵点�( − 4,2),以原点�为位似中心,相似比为 2,把△ ���放大, ∴点�的对应点�′的坐标是:( − 8,4)或(8, − 4). 故选 C. 8.如图,在�� △ ���中,∠��� = 90°,�� ⊥ ��,垂足为�,下列结论中,错误的是 ( ) A. ���� = �� �� B. �� �� = �� �� C. �� �� = �� �� D. �� �� = �� �� 【答案】C 【解析】解:∵ �� ⊥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 90°, ∵ ∠� = ∠�, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� �� = �� ��, 故 A、�选项正确,不符合题意; 第 4页,共 20页 故 C选项错误,符合题意; ∵ �� ⊥ ��, ∴ ∠��� = ∠��� = 90°, ∵ ∠� + ∠� = 90°,∠��� + ∠� = 90°, ∴ ∠� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, 故 D选项正确,不符合题意. 故选:�. 9.如图,⊙�与�� △ ���的斜边��相切于点�,与直角边��相交于点�,且��/ ​ /��. 已知�� = 2 2,�� = 3 2,�� = 6,则⊙�的半径是( ) A. 3 B. 4 C. 4 3 D. 2 3 【答案】D 【解析】解:延长��交圆于点�,连接��. ∵ ��//��,∠��� = 90°, ∴ ∠��� = 90°, ∴ ��是直径, ∵ ��//��, ∴△ ���∽△ ���,∴ ���� = �� ��, 即 �� 6 = 2 2 3 2 ,∴ �� = 4, ∵⊙ �与�� △ ���的斜边��相切于点�, ∴ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� = ∠��� = 90°, ∴△ ���∽△ ���, ∴ �� �� = �� �� ∴ �� = �� 2 �� = 16 2 2 = 4 2. 根据勾股定理,得�� = 32 + 16 = 4 3, 则圆的半径是 2 3.故选:�. 第 5页,共 20页 10.如图,矩形����的对角线��与反比例函数� = 9� � > 0 相交于点�,且 �� �� = 3 5,则矩形����的面积为( ) A. 50 B. 25 C. 15 D. 252 【答案】B 【详解】解:过点�作�� ⊥ ��,垂直为�,如图所示. 则�▵ ��� = 1 2 × 9 = 9 2. ∵ �� ⊥ ��, �� ⊥ ��, ∴ ��//��, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ �▵ ���: �▵ ��� = ( �� �� ) 2 = 925, ∴ �▵ ��� = 25 2, ∴矩形����的面积为252 × 2 = 25, 故选:�. 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分。 11.如图,在矩形����中,�是边��的中点,连接��交对角线��于点�,若�� = 4,�� = 3,则��的长为 . 【答案】 10 3 【解析】解:如图, ∵四边形����为矩形, ∴ �� = �� = 4,�� = �� = 3,��/ ​ /��, 第 6页,共 20页 ∴ ∠��� = ∠���, 又∵ ∠��� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���,∴ ���� = �� ��, ∵ �是边��的中点,�� = �� = 4,∴ ���� = 2, ∴ ���� = 2, ∵ �� = �� + ��,∴ ���� = 2 3, ∵ �� = ��2 + ��2 = 5,∴ �� = 2 3 × 5 = 10 3. 故答案为 10 3. 12.如图,在△ ���中,�,�分别为边��,��上的点,试添加一个条件: ,使得△ ���与△ ���相似. 【答案】∠��� = ∠�(答案不唯一) 13.如图,▵ ���与▵ ���是以点�为位似中心的位似图形,�� = ��,若�▵ ��� = 2,则�▵ ��� = . 【答案】8 解:∵ �� = ��,∴ ���� = 1 2, ∵ ▵ ���与▵ ���是以点�为位似中心的位似图形, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���,��/ ​ /��, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ ���� = �� �� = 1 2,∴ � ▵ ��� � ▵ ��� = 12 2 = 14, ∵ �▵ ��� = 2, ∴ �△��� = 8,故答案为:8. 第 7页,共 20页 14.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,△ ���和△ ���的顶点都在网格线的交点上.设 △ ���的周长为�1,△ ���的周长为�2,则 �1 �2 的值为 . 【答案】 2 2 15.如图,�� △ ���中,∠� = 90°,∠� = 30°,�� = 2,点�,�分别为��,��上一个动点,将△ ���沿�� 折叠得到△ ���,点�的对应点是点�,若点�始终在边��上,当△ ���与△ ���相似时,��的长为 . 【答案】 8 3或 6 − 2 3 【解答】 解:∵ ∠� = 90°,∠� = 30°,�� = 2, ∴ �� = 2�� = 4,∠� = 60°, 当△ ���与△ ���相似时, ∵点�始终在边��上, 根据折叠�� = ��, 设�� = �,则�� = �� = 4 − �, ∴分两种情况: ① △ ���∽△ ���, 此时∠��� = ∠��� = 90°, ∴ �� = 2��, 即� = 2(4 − �), 第 8页,共 20页 解得� = 83, ∴ �� = 83, ② △ ���∽△ ���, 此时∠��� = ∠��� = 90°, ∴ �� = 33 ��, 即 4 − � = 33 �, 解得� = 6 − 2 3, ∴ �� = 6 − 2 3, 综上,��的长为83或 6 − 2 3, 故答案为: 8 3或 6 − 2 3. 16.如图,平面直角坐标系中�是原点,▱ ����的顶点�,�的坐标分别是(8,0),(3,4),点�,�把线段�� 三等分,延长��、��分别交��、��于点�,�,连接��.则下列结论: ①�是��的中点;② △ ���与△ ���相似;③四边形����的面积是203;④�� = 4 5 3 其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号). 【答案】①③ 【解析】【分析】 本题是四边形的综合题,考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、 三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算 等知识,熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键. ①证明△ ���∽△ ���,列比例式得:���� = �� ��,再由�、�为��的三等分点,则 �� �� = 2 1 = 2,可得结论正确; ②如图 2,延长��交�轴于�证明�� ≠ ��,则∠��� ≠ ∠���,所以△ ���∽△ ���不成立; ③如图 3,利用面积差求得:�△��� = �▱ ���� − �△��� − �△��� − �△��� = 12,根据相似三角形面积的比等于 相似比的平方进行计算并作出判断; ④根据勾股定理进行计算��的长,根据三等分线段��可得结论. 【解答】 解:① ∵四边形����是平行四边形, 第 9页,共 20页 ∴ ��/ ​ /��,�� = ��, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, ∵ �、�为��的三等分点, ∴ ���� = 2 1 = 2, ∴ ���� = 2, ∴ �� = 2��, ∴ �� = 2��, ∴ �是��的中点, 所以①结论正确; ②如图 2,延长��交�轴于�, 由�(3,4)知:�� = 4,�� = 3, ∴ �� = 5, ∴ �� = �� = 5, ∵ �(8,0), ∴ �� = 8, ∴ �� ≠ ��, ∴ ∠��� ≠ ∠���, ∴△ ���∽△ ���不成立, 所以②结论不正确; ③由①知:�为��的中点, 同理得,�是��的中点, ∴ ��是△ ���的中位线, ∴ �� = 12��,��/​ /��, ∵ �� = 3��, ∴ �� = 32��, ∴ ���� = 3 2, 过�作�� ⊥ ��于�,�▱ ���� = �� ⋅ �� = �� ⋅ ��, 第 10页,共 20页 ∴ 4 × 8 = 5��, ∴ �� = 325, �△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 × 4 × 4 = 8,�△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 × 5 2 × 32 5 = 8,�△��� = 1 2 × 4 × 2 = 4, ∴ �△��� = �▱ ���� − �△��� − �△��� − �△��� = 8 × 4 − 8 − 8 − 4 = 12, ∵ ��/ ​ /��, ∴△ ���∽△ ���, ∴ �△����△��� = ( ���� ) 2 = 49, ∴ � 四边形���� �△��� = 59, ∴ � 四边形���� 12 = 5 9 , ∴ �四边形���� = 20 3, 所以③结论正确; ④在�� △ ���中,由勾股定理得:��2 = ��2 + ��2, ∴ �� = 42 + (3 + 8)2 = 137, ∴ �� = 1373 , 所以④结论不正确, 故本题结论正确的有:①③, 故答案为:①③. 三、解答题:本题共 8 小题,共 64 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题 8 分) 如图,�� = 4,�� = 6,�在��上,��、��相交于点�,且��//��//��. (1)若�� = 3,求��的长. (2)求��的长. 【答案】解:(1) ∵ ��//��, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, ∵ �� = 4,�� = 6,�� = 3, ∴ 3�� = 4 6,解得:�� = 9 2; 第 11页,共 20页 (2) ∵ ��//��, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, 同理: �� �� = �� ��, ∴ ���� + �� �� = �� �� + �� �� = ��+�� �� = �� �� = 1, ∵ �� = 4,�� = 6, ∴ ��6 + �� 4 = 1, 解得:�� = 125. 18.(本小题 8 分) 已知:如图,△ ���是等边三角形,点�、�分别在��,��上,且�� = ��,��、��相交于点�,求证: (1) △ ���∽△ ���; (2)��2 = �� × ��. 【答案】证明:(1) ∵△ ���是等边三角形, ∴ �� = ��,∠��� = ∠� = 60°. 在△ ���和△ ���中, �� = �� ∠��� = ∠� �� = �� , ∴△ ���≌△ ���(���), ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���. 又∵ ∠��� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���. (2) ∵△ ���∽△ ���, ∴ ∠��� = ∠��� = 60°, ∴ ∠��� = 60°. 又∵ ∠��� = 60°,∠��� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ��2 = �� × ��. 第 12页,共 20页 19.(本小题 8 分) 学完了《相似形》这一章后,某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔��的高度(如 图 1),测量方法如下:如图 2,从塔的底部�出发,作一条射线��,在��上取�,�两点,分别竖立两根 高为 3�的标杆��和��,两标杆间隔��为 44�.从标杆��处沿��后退 3�到�处,从�处观察�点,发现�, �,�三点成一线;从标杆��处沿��后退 6�到�处,从�处观察�点,发现�,�,�三点也成一线,请根据 以上测量数据,帮助实践小组求出昊天塔的高度. 【答案】解:由题意,�� = �� = 3�,�� = 3�,�� = 44�,�� = 6�, ∴ �� = �� + �� = 50�. ∵ ∠��� = ∠��� = 90∘,∠��� = ∠���, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ ���� = �� ��,即 �� 3 = ��+3 3 . ∵ ∠��� = ∠��� = 90∘,∠��� = ∠���, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ ���� = �� ��,即 �� 3 = ��+50 6 , ∴ ��+33 = ��+50 6 ,解得�� = 44�, ∴ ��3 = 44+3 3 ,解得�� = 47�, 答:昊天塔的高度为 47�. 20.(本小题 8 分) 如图,在边长为 1 的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知△ ���三个顶点分别为�( − 1,2)、�(2,1)、�(4,5). 第 13页,共 20页 (1)画出△ ���关于�轴对称的△ �1�1�1; (2)以原点�为位似中心,在�轴的上方画出△ �2�2�2,使△ �2�2�2与△ ���位似,且位似比为 2,并求出 △ �2�2�2的面积. 【答案】解:(1)如图所示,△ �1�1�1就是所求三角形. (2)如图所示,△ �2�2�2就是所求三角形. ∵ �( − 1,2),�(2,1),�(4,5),△ �2�2�2与△ ���位似,且位似比为 2, ∴ �2( − 2,4),�2(4,2),�2(8,10), ∴ �△�2�2�2 = 8 × 10 − 1 2 × 6 × 2 − 1 2 × 4 × 8 − 1 2 × 6 × 10 = 28. 21.(本小题 10 分) 如图,在正方形����中,�为��边上一点,�� ⊥ ��交��于点�. (1)求证:△ ���∽△ ���; (2)若�� = 4,�� = 3��,求��的长; (3)在(2)的条件下,延长��交��延长线于点�,直接写出��的长. 【答案】(1)证明:∵四边形����为正方形, ∴ ∠� = ∠� = 90°, ∵ �� ⊥ ��, 第 14页,共 20页 ∴ ∠��� = 90°, ∴ ∠��� + ∠��� = ∠��� + ∠��� = 90°, ∴ ∠��� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���. (2)解:∵四边形����为正方形, ∴ �� = �� = ��. ∵ �� = 4,�� = 3��, ∴ �� = 14�� = 1, ∵△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, ∴ 4�� = 4−�� 1 , ∴ �� = 2. (3)解:∵四边形����为正方形, ∴ ��//��, ∴ ∠��� = ∠�. ∵ ∠��� = ∠���, ∴△ ���∽△ ���, ∴ ���� = �� ��, ∵ �� = 3��, ∴ 2�� = 1 3, ∴ �� = 6, ∴ �� = ��2 + ��2 = 62 + 32 = 3 5. 【解析】本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,能够正确找到相似三角形是解决本题的关 键. (1)利用“一线三直角”即可证明△ ���∽△ ���; (2)由�� = �� = 6,�� = 3��,求出��长,利用△ ���∽△ ���的性质求出��的长度; (3)由△ ���∽△ ���求出��的长度,再由勾股定理求出��的长. 第 15页,共 20页 22.(本小题 10 分) 如图,在△ ���中,�� = ��,以��为直径作⊙�交��于点�,交��于点�,点�在��的延长线上,∠��� = 1 2∠���. (1)求证:��是⊙�的切线; (2)若�� = 2,�� = 6,求��的长. 【答案】(1)如图,连接 AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.∵AB=AC,∴∠��� = 1 2∠���.∵∠��� = 1 2∠���,∴∠CBF=∠BAD.∴∠CBF+∠ABD=90°.∴∠ABF=90°,即 BF⊥OB.∵OB是 ⊙O的半径,∴BF是⊙O的切线 (2)设 AB=AC=m,则 AF=m+2.在 Rt△ABF中,∵BF2+AB2=AF2,∴62+m2=(m+2)2,解得 m=8.∴AB= AC=8,AF=10.如图,连接 BE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°.∴∠AEB=∠ABF=90°.∵∠BAE= ∠FAB,∴△ABE∽△AFB.∴���� = �� ��.∴ 8 10 = �� 8 .∴AE=6.4.∴CE=AC-AE=8-6.4=1.6 23.(本小题 10 分) 综合与实践 【思考尝试】 (1)数学活动课上,老师出示了一个问题:如图 1,在矩形����中,�是边��上一点,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��, �� ⊥ ��,�� = ��.试猜想四边形����的形状,并说明理由; 【实践探究】 第 16页,共 20页 (2)小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图 2,在正方形����中,�是边��上一点,�� ⊥ �� 于点�,�� ⊥ ��于点�,�� ⊥ ��交��于点�,可以用等式表示线段��,��,��的数量关系,请你思考并 解答这个问题; 【拓展迁移】 (3)小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图 3,在正方形����中,�是边��上一 点,�� ⊥ ��于点�,点�在��上,且�� = ��,连接��,��,可以用等式表示线段��,��的数量关系, 请你思考并解答这个问题. 【答案】解:(1) ∵ �� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��, ∴ ∠� = ∠��� = 90∘,∠��� + ∠��� = 90∘. ∵矩形����, ∴ ∠��� = 90∘ = ∠��� + ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, ∵ �� = ��, ∴ ▵ ��� ≌ ▵ ���, ∴ �� = ��, ∴矩形����是正方形. (2) ∵ �� ⊥ ��,�� ⊥ ��,�� ⊥ ��, ∴ ∠��� = ∠� = ∠��� = 90∘, ∴四边形����是矩形, ∴ ∠� = 90∘ = ∠���. 同理可得:∠��� = ∠���. ∵正方形����, ∴ �� = ��, 第 17页,共 20页 ∴ ▵ ��� ≌ ▵ ���, ∴ �� = ��,�� = ��, ∴四边形����是正方形, ∴ �� = ��, ∴ �� = �� = �� + �� = �� + ��. (3)如图,连接��. ∵ �� ⊥ ��,正方形����, ∴ ∠��� = ∠��� = 90∘,���� = 2,∠��� = 45 ∘ . ∵ ∠��� = ∠���, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ ���� = �� ��, ∵ ∠��� = ∠���, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ ∠��� = ∠���, ∵ �� ⊥ ��, �� = ��, ∴ ∠��� = 45∘ = ∠���, ∴ ∠��� = ∠���, ∴ ▵ ��� ∽ ▵ ���, ∴ ���� = �� �� = 1 2, ∴ �� = 2��. 第 18页,共 20页 【解析】本题考查的是矩形的判定与性质,正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形 的判定与性质,作出合适的辅助线,构建相似三角形是解本题的关键. (1)证明▵ ��� ≌ ▵ ���,可得�� = ��,从而可得结论; (2)证明四边形����是矩形,可得∠� = 90∘ = ∠���,同理可得∠��� = ∠���,证明▵ ��� ≌ ▵ ���,�� = ��,�� = ��,证明四边形����是正方形,可得�� = ��,从而可得结论; (3)如图,连接��,证明∠��� = ∠��� = 90∘,���� = 2,∠��� = 45 ∘,▵ ��� ∽ ▵ ���,可得���� = �� ��, 再证明▵ ��� ∽ ▵ ���,可得∠��� = ∠���,证明▵ ��� ∽ ▵ ���,可得���� = �� �� = 1 2,从而可得答案. 24.(本小题 10 分) 如图,抛物线� = 3+ 36 � 2 + �� + �与�轴交于�,�两点,点�,�分别位于原点的左、右两侧,�� = 3�� = 3, 过点�的直线与�轴正半轴和抛物线的交点分别为�,�,�� = 3��. (1)求�,�的值; (2)求直线��的函数解析式; (3)点�在抛物线的对称轴上且在�轴下方,点�在射线��上.当△ ���与△ ���相似时,请直接写出所有满 足条件的点�的坐标. 【答案】解:(1) ∵ �� = 3�� = 3, ∴点�(3,0),点�( − 1,0), ∴将�,�带入� = 3+ 36 � 2 + �� + �得 3+ 3 6 − � + � = 0 27+9 3 6 + 3� + � = 0 ∴ � =− 1 − 33 ,� =− 3 2 − 3 2 ; (2)如图 1,过点�作�� ⊥ ��于�, ∴ ��//��, ∴ ���� = �� ��, ∵ �� = 3��,�� = 3, ∴ 3 = 3��, ∴ �� = 3, ∴点�横坐标为− 3, ∴点�坐标( − 3, 3 + 1), 设直线��的函数解析式为:� = �� + �′, 第 19页,共 20页 由题意可得: 3 + 1 =− 3� + �′ 0 = 3� + �′ , 解得: � =− 33 �′ = 3 , ∴直线��的函数解析式为� =− 33 � + 3; (3) ∵点�(3,0),点�( − 1,0),点�( − 3, 3 + 1), ∴ �� = 4,�� = 2 2,�� = 2 3 + 2,对称轴为直线� = 1, ∵直线��:� =− 33 � + 3与�轴交于点�, ∴点�(0, 3), ∴ �� = 3, ∵ tan∠��� = ���� = 3 3 , ∴ ∠��� = 30°, 如图 2,过点�作�� ⊥ ��于�, ∴ �� = 12�� = 2, ∴ �� = ��2 − ��2 = 8 − 4 = 2, ∴ �� = ��, ∴ ∠��� = 45°, 如图,设对称轴与�轴的交点为�,即点�(1,0), ①若∠��� = ∠��� = 30°, ∴ �� = 3�� = 2,�� = 2��, ∴ �� = 2 33 ,�� = 4 3 3 , 第 20页,共 20页 当△ ���∽△ ���2, ∴ ���� = ��2 ��, ∴ ��2 = 4 3 3 ×(2 3+2) 4 = 2 + 2 3 3 , ∴点�2(1 − 2 3 3 , 0); 当△ ���∽△ ��1�, ∴ ���� = ��1 ��, ∴ ��1 = 4 3 3 ×4 2 3+2 = 4 − 4 3 3 , ∴点�1( − 1 + 4 3 3 , 0); ②若∠��� = ∠��� = 45°, ∴ �� = �� = 2,�� = 2�� = 2 2, 当△ ���∽△ ���4, ∴ ���� = ��4 ��, ∴ 2 22 2 = ��4 2 3+2 , ∴ ��4 = 2 3 + 2, ∴点�4(1 − 2 3, 0); 当△ ���∽△ ��3�, ∴ ���� = ��3 ��, ∴ ��3 = 2 2×2 2 2 3+2 = 2 3 − 2, ∴点�3(5 − 2 3, 0); 综上所述:满足条件的点�的坐标为(1 − 2 33 , 0)或( − 1 + 4 3 3 , 0)或(1 − 2 3, 0)或(5 − 2 3, 0). 相似三角形单元测试解析 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列各组图形一定相似的是(    ) A. 所有等腰三角形都相似 B. 所有等边三角形都相似 C. 所有菱形都相似 D. 所有矩形都相似 【答案】B  【解析】解:任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例,不一定相似,A错误; 任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例,一定相似,B正确; 任意两个菱形的对应角不一定相等,不一定相似,C错误; 任意两个矩形的对应边不一定成比例,不一定相似,D错误; 故选:. 2.已知,则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解:,, , 故选:. 3.如图,在▱中,是边上一点,与交于点,若,则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解答】 解:, , 四边形是平行四边形, ,, ∽, , 故选:. 4.如图,直线,分别交直线,于点,,,,,若,,则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】B  5.如图,在中,,,将沿图中所示的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  6.如图,铁路道口的栏杆短臂长,长臂长当短臂端点下降时,长臂端点升高杆的宽度忽略不计(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解答】解:如图, 设长臂端点升高米, 由题意,,, ∽, , , 解得:, 即长臂端点升高. 故选C. 7.在平面直角坐标系中,已知点,,以原点为位似中心,将放大为原来的倍,则点的对应点的坐标是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解答】 解:点,以原点为位似中心,相似比为,把放大, 点的对应点的坐标是:或. 故选C. 8.如图,在中,,,垂足为,下列结论中,错误的是  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解:, , , ∽, , 故A、选项正确,不符合题意; 故C选项错误,符合题意; , , ,, , ∽, , 故D选项正确,不符合题意. 故选:. 9.如图,与的斜边相切于点,与直角边相交于点,且已知,,,则的半径是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解:延长交圆于点,连接. ,, , 是直径, , ∽,, 即,, 与的斜边相切于点, , , ∽, . 根据勾股定理,得, 则圆的半径是.故选:. 10.如图,矩形的对角线与反比例函数相交于点,且,则矩形的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【详解】解:过点作,垂直为,如图所示. 则 . , , , , , 矩形的面积为, 故选:. 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。 11.如图,在矩形中,是边的中点,连接交对角线于点,若,,则的长为          . 【答案】  【解析】解:如图, 四边形为矩形, ,,, , 又, ∽,, 是边的中点,,, , ,, ,. 故答案为. 12.如图,在中,,分别为边,上的点,试添加一个条件:          ,使得与相似. 【答案】答案不唯一  13.如图,与是以点为位似中心的位似图形,,若,则           . 【答案】  解:,, 与是以点为位似中心的位似图形, ,, , ,, , ,故答案为:. 14.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为,和的顶点都在网格线的交点上.设的周长为,的周长为,则的值为          . 【答案】  15.如图,中,,,,点,分别为,上一个动点,将沿折叠得到,点的对应点是点,若点始终在边上,当与相似时,的长为          . 【答案】或  【解答】 解:,,, ,, 当与相似时, 点始终在边上, 根据折叠, 设,则, 分两种情况: ∽, 此时, , 即, 解得, , ∽, 此时, , 即, 解得, , 综上,的长为或, 故答案为:或. 16.如图,平面直角坐标系中是原点,▱的顶点,的坐标分别是,,点,把线段三等分,延长、分别交、于点,,连接则下列结论: 是的中点;与相似;四边形的面积是; 其中正确的结论是          填写所有正确结论的序号. 【答案】  【解析】【分析】 本题是四边形的综合题,考查了平行四边形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质和判定、平行四边形和三角形面积的计算等知识,熟练掌握平行四边形和相似三角形的性质是关键. 证明∽,列比例式得:,再由、为的三等分点,则,可得结论正确; 如图,延长交轴于证明,则,所以∽不成立; 如图,利用面积差求得:,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算并作出判断; 根据勾股定理进行计算的长,根据三等分线段可得结论. 【解答】 解:四边形是平行四边形, ,, ∽, , 、为的三等分点, , , , , 是的中点, 所以结论正确; 如图,延长交轴于, 由知:,, , , , , , , ∽不成立, 所以结论不正确; 由知:为的中点, 同理得,是的中点, 是的中位线, ,, , , , 过作于,, , , ,,, , , ∽, , , , , 所以结论正确; 在中,由勾股定理得:, , , 所以结论不正确, 故本题结论正确的有:, 故答案为:. 三、解答题:本题共8小题,共64分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图,,,在上,、相交于点,且. 若,求的长. 求的长. 【答案】解:, ∽, , ,,, ,解得:; , ∽, , 同理:, , ,, , 解得:.  18.本小题分 已知:如图,是等边三角形,点、分别在,上,且,、相交于点,求证: ∽;     . 【答案】证明:是等边三角形, ,. 在和中,, ≌, , . 又, ∽. ∽, , . 又,, ∽, .  19.本小题分 学完了相似形这一章后,某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度如图,测量方法如下:如图,从塔的底部出发,作一条射线,在上取,两点,分别竖立两根高为的标杆和,两标杆间隔为从标杆处沿后退到处,从处观察点,发现,,三点成一线;从标杆处沿后退到处,从处观察点,发现,,三点也成一线,请根据以上测量数据,帮助实践小组求出昊天塔的高度. 【答案】解:由题意,,,,, . ,, , ,即. ,, , ,即,  ,解得, ,解得, 答:昊天塔的高度为.  20.本小题分 如图,在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知三个顶点分别为、、. 画出关于轴对称的; 以原点为位似中心,在轴的上方画出,使与位似,且位似比为,并求出的面积. 【答案】解:如图所示,就是所求三角形. 如图所示,就是所求三角形. ,,,与位似,且位似比为, ,,, .  21.本小题分 如图,在正方形中,为边上一点,交于点. 求证:∽; 若,,求的长; 在的条件下,延长交延长线于点,直接写出的长. 【答案】证明:四边形为正方形, , , , , , ∽. 解:四边形为正方形, . ,, , ∽, , , . 解:四边形为正方形, , . , ∽, , , , , .  【解析】本题考查了正方形的性质,相似三角形的判定与性质,能够正确找到相似三角形是解决本题的关键. 利用“一线三直角”即可证明∽; 由,,求出长,利用∽的性质求出的长度; 由∽求出的长度,再由勾股定理求出的长. 22.本小题分 如图,在中,,以为直径作交于点,交于点,点在的延长线上,. 求证:是的切线; 若,,求的长. 【答案】(1)如图,连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.∵AB=AC,∴.∵,∴∠CBF=∠BAD.∴∠CBF+∠ABD=90°.∴∠ABF=90°,即BF⊥OB.∵OB是⊙O的半径,∴BF是⊙O的切线  (2)设AB=AC=m,则AF=m+2.在Rt△ABF中,∵BF2+AB2=AF2,∴62+m2=(m+2)2,解得m=8.∴AB=AC=8,AF=10.如图,连接BE.∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°.∴∠AEB=∠ABF=90°.∵∠BAE=∠FAB,∴△ABE∽△AFB.∴.∴ .∴AE=6.4.∴CE=AC-AE=8-6.4=1.6   23.本小题分 综合与实践 【思考尝试】 数学活动课上,老师出示了一个问题:如图,在矩形中,是边上一点,于点,,,试猜想四边形的形状,并说明理由; 【实践探究】 小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图,在正方形中,是边上一点,于点,于点,交于点,可以用等式表示线段,,的数量关系,请你思考并解答这个问题; 【拓展迁移】 小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图,在正方形中,是边上一点,于点,点在上,且,连接,,可以用等式表示线段,的数量关系,请你思考并解答这个问题. 【答案】解:,,, ,. 矩形, , , , , , 矩形是正方形. ,,, , 四边形是矩形, . 同理可得:. 正方形, , , ,, 四边形是正方形, , . 如图,连接. ,正方形, ,, . , , ,    , , , , , , , , .   【解析】本题考查的是矩形的判定与性质,正方形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,作出合适的辅助线,构建相似三角形是解本题的关键. 证明,可得,从而可得结论; 证明四边形是矩形,可得,同理可得,证明,,,证明四边形是正方形,可得,从而可得结论; 如图,连接,证明,,,,可得,再证明,可得,证明,可得,从而可得答案. 24.本小题分 如图,抛物线与轴交于,两点,点,分别位于原点的左、右两侧,,过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为,,. 求,的值; 求直线的函数解析式; 点在抛物线的对称轴上且在轴下方,点在射线上.当与相似时,请直接写出所有满足条件的点的坐标. 【答案】解:, 点,点, 将,带入得 ,; 如图,过点作于, , , ,, , , 点横坐标为, 点坐标, 设直线的函数解析式为:, 由题意可得: 解得: 直线的函数解析式为; 点,点,点, ,,,对称轴为直线, 直线:与轴交于点, 点, , , , 如图,过点作于, , , , , 如图,设对称轴与轴的交点为,即点, 若, ,, ,, 当∽, , , 点; 当∽, , , 点; 若, ,, 当∽, , , , 点; 当∽, , , 点; 综上所述:满足条件的点的坐标为或或或.  第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$ 相似三角形单元检测 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。 1.下列各组图形一定相似的是(    ) A. 所有等腰三角形都相似 B. 所有等边三角形都相似 C. 所有菱形都相似 D. 所有矩形都相似 2.已知,则的值是(    ) A. B. C. D. 3.如图,在▱中,是边上一点,与交于点,若,则的值为(    ) A. B. C. D. 4.如图,直线,分别交直线,于点,,,,,若,,则的长为  (    ) A. B. C. D. 5.如图,在中,,,将沿图中所示的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是  (    ) A. B. C. D. 6.如图,铁路道口的栏杆短臂长,长臂长当短臂端点下降时,长臂端点升高杆的宽度忽略不计(     ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中,已知点,,以原点为位似中心,将放大为原来的倍,则点的对应点的坐标是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 8.如图,在中,,,垂足为,下列结论中,错误的是  (    ) A. B. C. D. 9.如图,与的斜边相切于点,与直角边相交于点,且已知,,,则的半径是(    ) A. B. C. D. 10.如图,矩形的对角线与反比例函数相交于点,且,则矩形的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。 11.如下图1,在矩形中,是边的中点,连接交对角线于点,若,,则的长为          . 12.如上图2,在中,,分别为边,上的点,试添加一个条件:          ,使得与相似. 13.如上图3,与是以点为位似中心的位似图形,,若,则           . 14.如上图4,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为,和的顶点都在网格线的交点上.设的周长为,的周长为,则的值为          . 15.如下图1,中,,,,点,分别为,上一个动点,将沿折叠得到,点的对应点是点,若点始终在边上,当与相似时,的长为          . 16.如上图2,平面直角坐标系中是原点,▱的顶点,的坐标分别是,,点,把线段三等分,延长、分别交、于点,,连接则下列结论: 是的中点;与相似;四边形的面积是; 其中正确的结论是          填写所有正确结论的序号. 三、解答题:本题共8小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.本小题分如图,,,在上,、相交于点,且. 若,求的长. 求的长. 18.本小题分已知:如图,是等边三角形,点、分别在,上,且,、相交于点,求证: ∽;     . 19. 本小题分学完了相似形这一章后,某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度如图,测量方法如下:如图,从塔的底部出发,作一条射线,在上取,两点,分别竖立两根高为的标杆和,两标杆间隔为从标杆处沿后退到处,从处观察点,发现,,三点成一线;从标杆处沿后退到处,从处观察点,发现,,三点也成一线,请根据以上测量数据,帮助实践小组求出昊天塔的高度. 20. 本小题分 如图,在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知三个顶点分别为、、. 画出关于轴对称的; 以原点为位似中心,在轴的上方画出,使与位似,且位似比为,并求出的面积. 21.本小题分如图,在正方形中,为边上一点,交于点. 求证:∽; 若,,求的长; 在的条件下,延长交延长线于点,直接写出的长. 22.本小题分如图,在中,,以为直径作交于点,交于点,点在的延长线上,. 求证:是的切线; 若,,求的长. 23.本小题分综合与实践 【思考尝试】 数学活动课上,老师出示了一个问题:如图,在矩形中,是边上一点,于点,,,试猜想四边形的形状,并说明理由; 【实践探究】 小睿受此问题启发,逆向思考并提出新的问题:如图,在正方形中,是边上一点,于点,于点,交于点,可以用等式表示线段,,的数量关系,请你思考并解答这个问题; 【拓展迁移】 小博深入研究小睿提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图,在正方形中,是边上一点,于点,点在上,且,连接,,可以用等式表示线段,的数量关系,请你思考并解答这个问题. 24. 本小题分如图,抛物线与轴交于,两点,点,分别位于原点的左、右两侧,,过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为,,. 求,的值; 求直线的函数解析式; 点在抛物线的对称轴上且在轴下方,点在射线上.当与相似时,请直接写出所有满足条件的点的坐标. 第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$

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第27章 相似三角形 单元测试2024-2025学年人教版九年级下册
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