投影与三视图重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 -2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

投影与三视图重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、平行投影 1．（2023·河北衡水·模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东． 【详解】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，了解物体在阳光下影子的变化规律是解答此题的关键． 2．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 【答案】 【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可； （2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可． 【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度， ∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为； 故答案为：； （2）过点作于点，如图所示：    则， ∴， 根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此， ∵，   ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出． 3．（2023·山东日照·一模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据题意，即可解答； （2）通过证明得到，然后利用比例性质即可得到； （3）①根据射影定理得，，则，即，加上，于是可根据相似三角形的判定得到结论； （2）②先计算出，，，再利用（1）中结论得到，代入数据即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是． 故答案为：，； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 而， ∴； ②∵， 而， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和正方形的性质．也考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 压轴满分题二、中心投影 4．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 【答案】C 【分析】本题主要考查了投影的性质，熟练掌握相关概念与性质是解题关键． 由题意易得，某同学离光源是由近到远的过程，根据中心投影的特点，得到身影的变化特点即可解答． 【详解】解：某同学在路灯下由近及远向，离路灯越来越远，其影子应该逐渐变长． 故选：C． 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 【答案】3.24 m2 【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答．，再利用面积比等于相似比的平方，求地面上阴影部分的面积即可. 【详解】 解：根据题意由图可知， ， 由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为 ×1.2×1.2=3.24m2． 【点睛】解答此题要根据相似多边形的性质：相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方． 6．（21-22八年级下·黑龙江大庆·期末）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且． (1)求：两个路灯之间的距离； (2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由． 【答案】(1)两路灯之间的距离为米 (2)两影长之和为定值，定值为米 【分析】（1）根据题意结合图形可知，图中，在点处时，和相似，然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式后即可求解； （2）设两影长之和为，利用相似比，可计算出在两个路灯之间行走时影长之和为定值． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴∽， 则 解得：， ， 故两路灯之间的距离为米； （2）解：两影长之和为定值，定值为米． 理由：如图，设米． ∵， ∴△CPK∽△EAK，△CPQ∽△HBQ， ∴，， 则，， ∵ ∴， ， 解得， 两影长之和为定值，定值为米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用及中心投影的知识，解题的关键是正确的根据题意作出图形． 压轴满分题三、正投影 7．（2022九年级下·全国·专题练习）圆形的纸片在平行投影下的正投影是(　　) A．圆形 B．椭圆形 C．线段 D．以上都可能 【答案】D 【分析】由于圆形的纸片与投影面的位置不同，圆形的纸片在平行投影下的正投影所得的图形会发生改变，由此即可解答． 【详解】由于圆形的纸片与投影面的位置不同，圆形的纸片在平行投影下的正投影可能是圆形、椭圆形、线段，故选D. 【点睛】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定． 8．（22-23九年级下·全国·单元测试）有两根大小、形状完全相同的铁丝，甲铁丝与投影面的夹角是45°，乙铁丝与投影面的夹角是30°，那么两根铁丝在投影面的正投影的长度的大小关系是：甲 乙(填“>”“<”或“＝”)． 【答案】 【分析】平行投射线倾斜于投影面的称为斜投影,平行投射线垂直于投影面的称为正投影.相同长度的铁丝，与投影面夹角越大，影子越短. 【详解】根据正投影的定义和特点，可知：相同长度的铁丝，与投影面夹角越大，影子越短. 所以，甲铁丝与投影面的夹角是45°，乙铁丝与投影面的夹角是30°，那么两根铁丝在投影面的正投影的长度的大小关系是：甲<乙. 故答案为< 【点睛】本题考查正投影，解题关键是理解正投影的特点. 9．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题. （1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积； （3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）. 【答案】（1）2 ；（2）△ABC的面积=39；（3）T（BC，CD）= 【分析】(1)如图1，过C作CH⊥AB，根据正投影的定义求出BH的长即可； (2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH的长即可解决问题； (3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，求出CD、DK即可得答案. 【详解】(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H， ∵T(AC，AB)=3， ∴AH=3， ∵AB=5， ∴BH=AB-AH=2， ∴T(BC，AB)=BH=2， 故答案为2； (2)如图2，过点C作CH⊥AB于H， 则∠AHC=∠CHB=90°， ∴∠B+∠HCB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠B+∠A=90° ∴∠A=∠HCB， ∴△ACH∽△CBH， ∴CH：BH=AH：CH， ∴CH2=AH·BH， ∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9， ∴AH=4，BH=9， ∴AB=AH+BH=13，CH=6， ∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39； (3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K， ∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2， ∴AC=2， ∵∠A=60°， ∴∠ADC=∠BDK=30°， ∴CD=AC·tan60°=2，AD=2AC=4，AH=AC=1， ∴DH=4-1=3， ∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB， ∴BH=6， ∴DB=BH-DH=3， 在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°， ∴DK=BD·cos30°=， ∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=+=.    【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键. 压轴满分题四、视点、视角和盲区 10．（23-24九年级下·山东青岛·课后作业）图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 【答案】B 【分析】根据正五边形的内角为108°，观察图形，利用三角形内角和为180°，和对顶角相等，可求出∠MPN的度数． 【详解】解：由题意我们可以得出，正五棱柱的俯视图中， 正五边形的内角为=108°， 那么∠MPN=180°﹣（180°﹣108°）×2=36°． 故选B． 11．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 【答案】 【分析】据已知首先得出DH=HP=x米，NO=（20+40-x）米，PO=（60+x）米，再利用平行线分线段成比例定理和三角形面积求出即可． 【详解】连接MD并延长，连接NC并延长，使其两延长线相交于点P， 作PO⊥MN于O，作CG⊥MP于G， 根据题意可得出： ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=20米，EF=40， ∴NC=， =40米， 设EO=x米， ∴DH=x米， ∵ME=DE=60米， ∴∠MDE=45∘， ∴DH=HP=x米，NO=(20+40−x)米，PO=(60+x)米， ∵FC∥PO， ∴， ∴x， 解得：x=60−20， ∴PO=(120−20)米，NO=(40−20)米， CD⋅HP=DP⋅CG， ×40×(120−20−60)= × [20+40−(40−20)]⋅CG， CG=20米， ∴行走的最短距离长为：NC+CG=(40+20)米． 故答案为40+20 【点睛】此题主要考查了盲区有关知识以及相似三角形的判定与性质，根据已得出，求出NO与PO的长是解题关键． 12．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 【答案】(1)见解析 (2)等比性质； (3)① ② 【分析】本题考查函数的实际问题，读懂题意找准数量关系是解题的关键． （1）利用盲区的定义作图即可； （2）根据待定系数法求出反比例函数解析式； （3）①先根据题意确定抛物线上点的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式即可； ②由盲区的定义可知当M在直线的右侧时，进入盲区，利用方程组解题即可． 【详解】（1）如图所示: （2）材料三中的依据是指等比性质； 设，由双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，可得： ， ∴； （3）①解：如图，刚好进入感应区时， 此时 此时， 因 , , 可得，所在直线解析式为： 令, 得, 即 . 当经过点,的正上方时, 视差，此时， 即，抛物线与轴交点的坐标为， 当减小到上述的时, ,之后开始变大，开始变小， 即，抛物线顶点的纵坐标为. 设抛物线解析式为 将等代入得, ， 解得， ， 因为,,对称轴在轴右侧, 所以, . 故， 此时， 所以，抛物线解析式为， ②由, 可得直线的解析式为， 得， 解得，(舍) 此时， ． 压轴满分题五、画简单几何体的三视图 13．（2021·河南南阳·一模）下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先画出每项的左视图，再选出不同的项即可 ． 【详解】解：由题意可知，A、C、D三项的左视图都是矩形（正方形也是矩形 ），而B项的左视图是三角形，所以左视图形状与其它三个不同的是B， 故选B． 【点睛】本题考查几何体三视图的应用，熟练掌握几何体的左视图是解题关键． 14．（22-23九年级下·全国·单元测试）图中物体的主视图和俯视图如图所示，请在所给的方格纸中画出该物体的左视图 ． 【答案】见解析. 【分析】左视图是长为2，高为4的长方形的右上角有一个长为1，高为2的长方形． 【详解】如图， 【点睛】考查画三视图中的左视图．用到的知识点为：左视图是从物体左面看得到的平面图形． 15．（2024·湖南郴州·二模）画出下面立体图形的三视图． 【答案】见解析 【分析】本题考查实物体的三视图．观察实物图，按照三视图的要求画图即可． 【详解】画出的三视图如下: 压轴满分题六、画简单组合体的三视图 16．（2023·湖北恩施·一模）如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，小正方体的个数确定主视图． 【详解】∵ ∴几何体的主视图为： 故寻B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握主视图的定义，清楚主视图与小正方体的个数的关系是画图的关键． 17．（2021·浙江温州·二模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 【答案】 【分析】连接BE，BF，过点作于J．首先证明∠EBF=90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性质求出BF，利用勾股定理可得EF．设=16k cm，=11k cm，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出k即可． 【详解】解：连接BE，BF，过点作于J． 由题意，CE=CF=CB， ∴∠EBF=90°， ∵AB=24cm，AE=30cm， ∴EB=（cm）， ∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°， ∴∠AEB=∠F， ∵∠ABE=∠EBF=90°， ∴△ABE∽△EBF， ∴ ， ∴， ∴FB=， ∴EF=（cm）， ∵， ∴设=16k cm，=11k cm， ∵四边形是矩形， ∴=16k（cm）， ∴16k-11k=5k（cm）， ∵（cm）， ∴cm， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（cm）， 在Rt△中，则有， 解得，（不合题意的根已舍去） ∴（cm）． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三视图的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 18．（22-23七年级上·四川·阶段练习）下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 【答案】画图见详解． 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体的正面、左面和上面看，所得到的图形，可先根据俯视图画出图形的立体结构，从而得到答图． 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查三视图的概念，根据俯视图得出每一组小正方体的个数是解题的关键． 压轴满分题七、已知三视图求体积 19．（22-23九年级下·浙江·自主招生）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三棱锥的三视图的判断与应用，几何体的体积的求法．判断几何体的形状，利用三视图的数据，然后求解几何体的体积即可． 【详解】解：由题意可知，几何体是底面是等腰三角形，底边长为2，高为1，三棱锥的高为，侧棱与底面等腰三角形的顶点垂直，三棱锥的体积为：． 故选：A． 20．（2024·四川成都·三模）已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的形状，根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积． 【详解】解：根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形， 这个直四棱柱的体积为：， 故答案为：． 21．（22-23九年级下·全国·单元测试）一个零件的主视图、左视图、俯视图如下图所示（尺寸单位：厘米），求一下这个零件的体积和表面积（写清计算过程） 【答案】体积为1800立方厘米, 表面积为900平方厘米 【分析】易得该几何体为长10，宽12，高15的长方体，长方体的体积=长×宽×高；表面积=2（长×宽+长×高+宽×高），把相关数值代入计算即可． 【详解】解：∵有2个视图为长方形， ∴该几何体为柱体， ∵第3个视图为长方形， ∴几何体为长方体， ∴长方体的体积为10×15×12=1800立方厘米； 表面积为2×（10×15+10×12+15×12）=900平方厘米． 【点睛】考查由视图判断几何体；用到的知识点为：有2个视图为长方形的几何体是柱体；得到该几何体长，宽，高是解决本题的突破点． 压轴满分题八、求几何体视图的面积 22．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据左视图与主视图宽相等，主视图与俯视图长相等，确定主视图的长、宽即可． 【详解】∵， ∴主视图的长为4，宽为2， ∴主视图的面积为4×2=8， 故选B． 【点睛】本题考查了三视图及其之间的数量关系，熟练掌握三视图的特点是解题的关键． 23．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）如图是由若干个棱长为1的小正方体堆砌而成的几何体，那么这个几何体露在外面的面积是 ． 【答案】23 【分析】根据简单组合体的三视图的面积，得出该几何体的露在外面的面积． 【详解】解：（5+3）×2+5+2＝23， 故答案为：23． 【点睛】此题主要考查几何体的三视图，正确理解三视图的概念是解题关键． 24．（22-23九年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，画出它的左视图并求其面积． 【答案】14.4． 【分析】利用几何体的形状得出左视图，再利用面积法求出左视图的宽然后得出左视图的面积． 【详解】如图所示： 如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， 故斜边上的高为 ∵左视图为长方形，其长为6，宽为 ∴左视图的面积 【点睛】考查了作三视图，解题关键是正确掌握三视图的观察角度并正确画出三视图． 压轴满分题九、求圆锥侧面展开图的圆心角 25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数． 【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为， ∴侧面展开图弧长， ∵侧面积为，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴这个扇形的圆心角的度数是， 故选：D． 26．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期末）若圆锥的母线长为5cm,高为3cm,在它的侧面展开图中扇形的圆心角的度数是 . 【答案】 【分析】先求出底面圆的半径为4cm，再根据扇形面积公式求出圆心角的度数. 【详解】∵圆锥的母线长为5cm,高为3cm, ∴底面圆的半径为4cm， ∴， ∴扇形的圆心角度数n=， 故填：. 【点睛】此题考查扇形的弧长公式，熟记公式中各字母的含义是解题的关键. 27．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)彩带长度的最小值为． 【分析】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【详解】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）由（1）得：， ； （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 压轴满分题十、圆锥的实际问题 28．（22-23九年级上·北京东城·期末）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形的弧长是：， 圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr， 圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：=2πr， 即：R=4r， R与r之间的关系是R=4r． 故选：D． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 29．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 30．（22-23九年级上·江西·期中）如图，有一块圆形铁皮，是的直径，，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）． （1）当的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留）； （2）当的半径为时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． 【答案】（1）；（2）不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．理由见解析． 【分析】（1）先由圆的性质求得阴影部分扇形的半径，由直径所对的圆周角是90°可知圆心角的度数，可求得阴影部分的面积； （2）先分别用R表示出阴影部分扇形的弧长，即所要围成的圆锥的底面周长为，以EF为直径作圆，是剩余材料中所作的最大的圆，求出其周长为（2﹣）Rπ，比较大小可知不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥． 【详解】连接并延长交扇形、圆于点、 ∵是的直径，．90° ∵ ∴， ∵ ∴ （1）当的半径为2时： ∴； （2）当的半径为时： 阴影部分扇形的弧长为： ，以为直径作圆，是剩余材料中所作的最大的圆，其圆周长为： ∵ ∴不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥． 【点睛】主要考查了扇形的面积计算以及圆锥的侧面展开图和底面圆之间的联系．本题的难点在于第2问，解决问题的关键是找到剩余材料中所能做的最大圆的圆周长，并与圆锥的底面周长比较大小来判断． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 投影与三视图重难点真题特训之压轴满分题型（30题10个考点）专练 【精选最新考试题型专训】 压轴满分题一、平行投影 1．（2023·河北衡水·模拟预测）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．    （1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °． （2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ． 3．（2023·山东日照·一模）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上． (1)指出图中线段的投影是______，线段的投影是______． (2)问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为15，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 压轴满分题二、中心投影 4．（23-24九年级上·陕西榆林·期末）如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（    ）    A．先变短后变长 B．由长逐渐变短 C．由短逐渐变长 D．始终不变 5．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，方桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影(正方形)示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ． 6．（21-22八年级下·黑龙江大庆·期末）小明在晚上由路灯走向路灯，当他走到处时，发现身后影子顶部正好触到路灯底部，当他向前再步行到达时，发现他的影子的顶点正好接触到路灯的底部．已知小明的身高是，两个路灯的高度都是，且． (1)求：两个路灯之间的距离； (2)小明在两个路灯之间行走时，在两个路灯下的影长之和是否为定值？如果是定值，直接写出此定值，如果不是定值，求说明理由． 压轴满分题三、正投影 7．（2022九年级下·全国·专题练习）圆形的纸片在平行投影下的正投影是(　　) A．圆形 B．椭圆形 C．线段 D．以上都可能 8．（22-23九年级下·全国·单元测试）有两根大小、形状完全相同的铁丝，甲铁丝与投影面的夹角是45°，乙铁丝与投影面的夹角是30°，那么两根铁丝在投影面的正投影的长度的大小关系是：甲 乙(填“>”“<”或“＝”)． 9．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题. （1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= ； （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积； （3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）. 压轴满分题四、视点、视角和盲区 10．（23-24九年级下·山东青岛·课后作业）图（1）表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图（2）是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图（2）中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中∠MPN的度数为（　　） A．30° B．36° C．45° D．72° 11．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图，大楼（可以看作不透明的长方体）的四周都是空旷的水平地面．地面上有甲、乙两人，他们现在分别位于点和点处，、均在的中垂线上，且、到大楼的距离分别为米和米，又已知长米，长米，由于大楼遮挡着，所以乙不能看到甲．若乙沿着大楼的外面地带行走，直到看到甲（甲保持不动），则他行走的最短距离长为 米． 12．（2024·广东深圳·三模）背景：双目视觉测距是一种通过测量出左、右两个相机视野中，同一物体的成像差异，来计算距离的方法．它在“AI”领域有着广泛的应用． 材料一：基本介绍 如图1，是双目视觉测距的平面图．两个相机的投影中心，的连线叫做基线，距离为t，基线与左、右投影面均平行，到投影面的距离为相机焦距f，两投影面的长均为l（t，f，1是同型号双目相机中，内置的不变参数），两投影中心，分别在左、右投影面的中心垂直线上．根据光的直线传播原理，可以确定目标点P在左、右相机的成像点，分别用点，表示．，分别是左、右成像点到各投影面左端的距离． 材料二：重要定义 ①视差——点P在左、右相机的视差定义为． ②盲区——相机固定位置后，在基线上方的某平面区域中，当目标点P位于该区域时，若在左、右投影面上均不能形成成像点，则该区域称为盲区（如图2，阴影区域是盲区之一）． ③感应区——承上，若在左、右投影面均可形成成像点，则该区域称为感应区． 材料三：公式推导片段 以下是小明学习笔记的一部分： 如图3，显然，，，可得， 所以， （依据）… 任务： (1)请在图2中（A，B，C，D是两投影面端点），画出感应区边界，并用阴影标示出感应区． (2)填空：材料三中的依据是指 ；已知某双目相机的基线长为200mm，焦距f为4mm，则位于感应区的目标点P到基线的距离z（mm）与视差d（mm）之间的函数关系式为 ． (3)如图4，小明用（2）中那款双目相机（投影面CD长为10mm）正对天空连续拍摄时，一物体M正好从相机观测平面的上方从左往右飞过，已知M的飞行轨迹是抛物线的一部分，且知，当M刚好进入感应区时，，当M刚好经过点的正上方时，视差，在整个成像过程中，d呈现出大一小一大的变化规律，当d恰好减小到上述的时，开始变大． ①小明以水平基线为x轴，右投影面的中心垂直线为y轴，建立了如图4所示的平面直角坐标系，则该抛物线的表达式为 （友情提示：注意横、纵轴上的单位：）； ②求物体M刚好落入“盲区”时，距离基线的高度． 压轴满分题五、画简单几何体的三视图 13．（2021·河南南阳·一模）下列四个几何体中，左视图形状与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 14．（22-23九年级下·全国·单元测试）图中物体的主视图和俯视图如图所示，请在所给的方格纸中画出该物体的左视图 ． 15．（2024·湖南郴州·二模）画出下面立体图形的三视图． 压轴满分题六、画简单组合体的三视图 16．（2023·湖北恩施·一模）如图，是由几个相同的小正方体组成立体图形的俯视图，数字表示其位置上的小正方体的个数，则该立方体的主视图是（    ） A． B． C． D． 17．（2021·浙江温州·二模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 18．（22-23七年级上·四川·阶段练习）下图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，请画出这个几何体的主视图和左视图． 压轴满分题七、已知三视图求体积 19．（22-23九年级下·浙江·自主招生）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（    ）    A． B． C． D． 20．（2024·四川成都·三模）已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ． 21．（22-23九年级下·全国·单元测试）一个零件的主视图、左视图、俯视图如下图所示（尺寸单位：厘米），求一下这个零件的体积和表面积（写清计算过程） 压轴满分题八、求几何体视图的面积 22．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）如图一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 23．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）如图是由若干个棱长为1的小正方体堆砌而成的几何体，那么这个几何体露在外面的面积是 ． 24．（22-23九年级下·安徽蚌埠·期中）如图是一个直三棱柱的立体图和主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，画出它的左视图并求其面积． 压轴满分题九、求圆锥侧面展开图的圆心角 25．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23九年级上·内蒙古兴安盟·期末）若圆锥的母线长为5cm,高为3cm,在它的侧面展开图中扇形的圆心角的度数是 . 27．（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 压轴满分题十、圆锥的实际问题 28．（22-23九年级上·北京东城·期末）如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为，圆的半径为，则与满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 30．（22-23九年级上·江西·期中）如图，有一块圆形铁皮，是的直径，，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）． （1）当的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留）； （2）当的半径为时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$