第三章 投影与三视图重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

第三章 投影与三视图重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·山东烟台·期末）下列说法正确的是（    ） A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形 C．球的正投影一定是圆 D．圆锥的正投影一定是三角形 3．（2024·天津河北·模拟预测）如图是一个由四个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·山东菏泽·一模）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 7．（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（    ）    A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 8．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 10．（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 三、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米． 12．（2022九年级下·河南周口·专题练习）直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是 ． 13．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是 （选填“主视图”“左视图”或“俯视图”） 14．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 ． 15．（2024九年级下·云南·专题练习）若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 ． 16．（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 四、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 18．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 19．（23-24七年级上·江西鹰潭·期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．    20．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）作图：如图所示为由8个棱长相等的小正方体组成的几何体，请在右侧虚线方框内画出它的三视图．    21．（23-24九年级下·全国·课后作业）某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 22．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）根据要求完成下列题目： (1)图中有　　　　块小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）． 23．（23-24九年级上·江西宜春·期末）（1）解方程： （2）已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，求它的侧面展开图面积． 24．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）某物体的三视图如图： (1)此物体的几何名称是____________； (2)求此物体的全面积．（结果保留） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 投影与三视图重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心投影，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出，进而求出，确定点的坐标． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意得，米，米， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， 即：， 解得 ， 点的坐标是，． 故选：B． 2．（22-23九年级上·山东烟台·期末）下列说法正确的是（    ） A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形 C．球的正投影一定是圆 D．圆锥的正投影一定是三角形 【答案】C 【分析】根据正投影是垂直照射物体时所看到的平面图形,特别要注意这与物体的摆放有直接的关系,由此分析各选项即可得解. 【详解】A. 三角形的正投影不一定是三角形，错误 B. 长方体的正投影不一定是长方形，错误 C. 球的正投影一定是圆，正确 D. 圆锥的正投影不一定是三角形，错误 故选C. 【点睛】此题主要考查了正投影的概念:光线垂直照射物体所看到的平面图形叫做正投影;一个物体的正投影与物体的摆放有直接的关系. 3．（2024·天津河北·模拟预测）如图是一个由四个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道关于几何体三视图的题目，牢记相关的定义是解题的关键．立体图形的主视图是从前面向后面看到的视图，根据定义去判断即可得出正确答案． 【详解】 解：由题意可得：该图形的主视图为， 故选：C． 4．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】 解：根据图形可知，俯视图是 故选D． 5．（2022·山东菏泽·一模）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据左视图的定义，规范画出即可 【详解】 ∵， ∴左视图为， 故选A 【点睛】本题考查了几何体的三视图的画法，熟练掌握左视图的定义，特别注意看不到的要化成虚线，这一点很重要． 6．（2021·陕西西安·模拟预测）如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（    ） A．三个视图都是 B．主视图 C．左视图 D．俯视图 【答案】D 【分析】先根据图形画出三视图，然后再根据中心对称图形的性质进行判断即可； 【详解】解：根据原图画出三视图如图所示：    ∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形， ∴ 俯视图为中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图以及中心对称图形的辨别，正确掌握知识点是解题的关键． 7．（23-24八年级下·云南红河·阶段练习）如图，这是某几何体的三视图，则这个几何体是（    ）    A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图还原几何体．熟练掌握由三视图还原几何体是解题的关键． 由俯视图可知底面为四边形，由主视图和左视图均为三角形可知该几何体是四棱锥，然后作答即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥， 故选：C． 8．（22-23七年级上·福建泉州·阶段练习）图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】∵，， ∴俯视图的长为，宽为，则俯视图的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 9．（23-24九年级上·全国·单元测试）斐波那契螺旋线也称“黄金黑旋线”，是根据斐波那契数1，1，2，3，5，……画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5为边长的正方形中画一个圆心角为90°的扇形，将共圆弧连接起来得到的．若用图中接下来的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（　　）    A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 故选：B． 10．（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 三、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.） 11．（2024·广东·模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，已知小红的身高是米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面的高度是 米． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用．根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，， ， ， 小红的身高为米，他在路灯下的影子长为2米；小红距路灯杆底部为4米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 12．（2022九年级下·河南周口·专题练习）直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是 ． 【答案】0＜y≤2.5 【分析】根据题意作图，过D作DF⊥OC于F，交BE于H，利用tan∠BDH＝BH∶DH= CF∶DF，进行求解，即可求出OC的长. 【详解】过D作DF⊥OC于F，交BE于H，OF＝1.5，BH＝0.5， 三角形DBH中，tan∠BDH＝BH∶DH＝0.5∶5， 因此三角形CDF中，CF＝DF·tan∠BDH＝1， 因此，OC＝OF＋CF＝1＋1.5＝2.5.因此盲区的范围在0＜y≤2.5. 【点睛】此题主要考查中心投影的应用，解题的关键是熟知中心投影的特点及三角函数的应用. 13．（22-23九年级下·全国·单元测试）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是 （选填“主视图”“左视图”或“俯视图”） 【答案】左视图 【分析】先画出三视图，然后分别求出面积直接比大小即可． 【详解】如图，该几何体主视图是由5个小正方形组成， 左视图是由3个小正方形组成， 俯视图是由5个小正方形组成， 故三种视图面积最小的是左视图． 故答案为：左视图． 【点睛】此题考查三视图，解题关键是直接画出三视图进行求解即可． 14．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）一个长方体的左视图、俯视图及相关数据如图所示，则其主视图的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题考查主视图的面积的求法．左视图可得到长方体的宽和高，俯视图可得到长方体的长和宽，主视图表现长方体的长和高，让长高即为主视图的面积． 【详解】解：由左视图可得长方体的高为3， 由俯视图可得长方体的长为5， 主视图表现长方体的长和高， 主视图的面积为， 故答案为：15． 15．（2024九年级下·云南·专题练习）若圆锥的母线长为，侧面是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥底面圆半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的弧长公式，关键是清楚圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面圆的周长．根据圆锥的侧面展开图是扇形，而此扇形的弧长等于底面圆的周长，由此即可求得底面圆的半径． 【详解】解：∵圆锥的母线为， 设底面圆半径为r ∴ ∴． 故答案为：． 16．（22-23八年级上·重庆·期中）如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是 ． 【答案】3 【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答． 【详解】解：如图，连接，作于点， ∴即为蚂蚁爬行的最短距离， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ∴蚂蚁爬行的最短距离为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键． 四、解答题（本题共8小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； (2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】(1) (2)旗杆高度为； (3)雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 18．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，投影线的方向如图中箭头所示．画出图中几何体的正投影． 【答案】见解析 【分析】本题考查作正投影，关键是在画图时要弄清投影面及投影方向，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线． 【详解】投影线从前向后的正投影是带有两条线的矩形，如图． 19．（23-24七年级上·江西鹰潭·期末）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．    【答案】图见解析 【分析】本题考查作图-三视图．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．主视图有3列，每行小正方形数目分别为3，2，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为1，3，2；依此作图即可求解． 【详解】解：如图所示：    20．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）作图：如图所示为由8个棱长相等的小正方体组成的几何体，请在右侧虚线方框内画出它的三视图．    【答案】见解析 【分析】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． 【详解】解：根据题意，几何体的三视图画出如图： 21．（23-24九年级下·全国·课后作业）某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 【答案】(1)厘米 (2)立方厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，， ∴． ∴． ∴由勾股定理，得， ∴． 由图形可知． （2）解：直三棱柱的体积． 22．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）根据要求完成下列题目： (1)图中有　　　　块小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出它的主视图、左视图和俯视图（画出的图都用铅笔涂上阴影）． 【答案】(1)8 (2)见解析 【分析】此题考查了画三视图，以及利用左视图和俯视图判断小正方体的个数，主要培养同学们的空间想象能力． （1）最下面一层有5个正方体，第2层有2个正方体、最上面一层有1个正方体，据此可得； （2）根据主视图、左视图和俯视图的定义作图即可得． 【详解】（1）由图可知，该几何体最下面一层有5个小正方体，第2层有2个小正方体，最上面一层有1个小正方体， 故共有个小正方体； （2）如图所示， 23．（23-24九年级上·江西宜春·期末）（1）解方程： （2）已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图扇形的圆心角为，求它的侧面展开图面积． 【答案】（1），；（2）圆锥的侧面展开图面积为 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，扇形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则和公式，准确计算； （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据先求出圆锥的母线，然后根据扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）， 因式分解的：， ∴或， 解得：，； （2）设圆锥母线长为，则： ， 解得：， 圆锥的侧面展开图面积为． 24．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）某物体的三视图如图： (1)此物体的几何名称是____________； (2)求此物体的全面积．（结果保留） 【答案】(1)圆柱 (2) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体及几何体的全面积问题，解题的关键是了解圆柱的侧面积的计算方法． （1）根据该几何体的主视图与左视图是矩形，俯视图是圆可以确定该几何体是圆柱； （2）根据告诉的几何体的尺寸确定该几何体的侧面积即可． 【详解】（1）解：根据三视图的知识，主视图以及左视图都为矩形，俯视图是一个圆，故可判断出该几何体为圆柱； 故答案为：圆柱； （2）解：根据圆柱的全面积公式可得，． 学科网（北京）股份有限公司 $$