专题01 等可能情形下的概率计算重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 等可能情形下的概率计算重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 列举随机实验的所有可能结果 题型二 概率的意义理解 题型三 判断几个事件概率的大小关系 题型四 根据概率公式计算概率 题型五 根据概率作判断 题型六 已知概率求数量 题型七 几何概率 题型八 列举法求概率 题型九 列表法或树状图法求概率 题型十 游戏的公平性 知识点一 概率 （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． （2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 要点诠释： 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事 件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 要点二、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率(probability) .要点诠释： (1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即 ，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 知识点二 用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法： 　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 【经典例题一 列举随机实验的所有可能结果】 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 1．（21-22七年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【经典例题二 概率的意义理解】 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．0 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果买1张彩票中奖的概率是，那么买1张彩票一定不会中奖吗？买1000张彩票一定能中奖吗？ 【经典例题三 判断几个事件概率的大小关系】 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 2．（2024九年级·全国·竞赛）某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同．将球搅匀后，从中任意摸出一球． （1）会有哪些等可能的结果； （2）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？ 【经典例题四 根据概率公式计算概率】 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在“我的梦，中国梦”这六个字中任意选出一个字，选出的字为“梦”的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数与轴只有一个交点． (1)求的值． (2)从，中任选一个数记做，求使二次函数的图象开口方向向上的概率． 【经典例题五 根据概率作判断】 【例5】（22-23七年级下·四川达州·期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 1．（2023·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023·福建厦门·一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【经典例题六 已知概率求数量】 【例6】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）在一个盒子中有形状大小完全相同的10个红球，8个绿球，和一些黑球，每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于，那至少有（   ）个黑球． A．6 B．7 C．8 D．无法确定 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为 3．（24-25九年级上·江西宜春·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【经典例题七 几何概率】 【例7】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【经典例题八 列举法求概率】 【例8】（2024·山西·模拟预测）如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是 ． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）现有五种纯净物，分别为：，根据化学知识，依据金属活动性的不同，部分金属单质不能与反应．（金属活动性顺序表：钾 钙 钠 镁 铝 锌 铁 锡 铅 （氢） 铜 汞 银 铂 金） (1)任意选出两种纯净物，其中有的概率为多少？ (2)任意选出三种纯净物，能发生反应的概率为__________． 【经典例题九 列表法或树状图法求概率】 【例9】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）现有三张分别标有数字，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是    3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）“十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去三个场馆中的两个场馆进行锻炼．三个场馆分别用字母、、表示．现把分别印有、、的三张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率． 【经典例题十 游戏的公平性】 【例10】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 1．（2024·福建南平·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，x个黄球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字大于6 B．通过抛一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行抽样调查 D．一组数据1，3，4，5，7的方差是4 6．（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 7．（2022·湖北襄阳·二模）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除了颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率是，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）九年（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．则两位女生同时当选正、副班长的概率为 ． 11．（22-23七年级下·广东茂名·期末）用个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏． (1)使摸到红球的概率为1； (2)使摸到黑球的概率为，摸到红球的概率也为； (3)若有绿球2个，使摸到红球概率为，问黑球的个数是多少． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______； (2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 13．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的袋子中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外没有区别． (1)从袋中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中摸出一个球．请用列表或画树状图的方法求两次都摸到红色球的概率； (2)在袋中再添加和原来一样的几个白球，然后从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么应添加 个白球（直接填结果）． 14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，可以自由转动的圆形转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中标有数字“0”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交线时，不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为偶数的概率． 15．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等可能情形下的概率计算重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 列举随机实验的所有可能结果 题型二 概率的意义理解 题型三 判断几个事件概率的大小关系 题型四 根据概率公式计算概率 题型五 根据概率作判断 题型六 已知概率求数量 题型七 几何概率 题型八 列举法求概率 题型九 列表法或树状图法求概率 题型十 游戏的公平性 知识点一 概率 （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． （2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 要点诠释： 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事 件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 要点二、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数 附近，那么这个常数 就叫做事件A的概率(probability) .要点诠释： (1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即 ，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 知识点二 用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法： 　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点诠释：(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 【经典例题一 列举随机实验的所有可能结果】 【例1】（2024九年级·全国·竞赛）在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 1．（21-22七年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点睛】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 2．（2022·贵州六盘水·中考真题）将一副去掉大小王的扑克牌平均分发给甲、乙、丙、丁四人，已知甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌，那么丁的红桃牌有 种不同的情况． 【答案】5 【分析】先求出红桃牌的总张数为13张，再减去甲、乙红桃牌的张数可得剩下的红桃牌的张数，由此即可得． 【详解】解：一副牌去掉大小王后剩下张牌， 则红桃牌的总张数为（张）， 甲有5张红桃牌，乙有4张红桃牌， 剩下的红桃牌的张数为（张）， 所以丁的红桃牌的张数的所有可能情况为：0张、1张、2张、3张、4张，共有5种不同的情况， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了列举所有可能的结果，理解一副牌中红桃牌的总张数是解题关键． 3．（21-22九年级上·全国·课后作业）求解下列问题： （1）在1～10这10个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于10，共有多少种取法？ （2）在1～100这100个自然数中，每次取两个数，使得所取两数之和大于100，共有多少种取法？ （3）你还能提出什么问题？ （4）各边长度都是整数、最大边长为11的三角形有多少个？本题与上述哪个问题有联系？它们的区别是什么？ 【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）36，见解析 【分析】（1）仔细分析题意，可先取出一个数，根据取出的这个数来确定另一个数的可能取值，取第一个数为10，则第二个数可以为1，2,……，9,同理第一个数取9，可以发现若第一个数为10，则可能的取法有9种，若第一个数取9，则可能的取法有7种，若第一个数取8，可能的取法有5种，……，将所有类别的取法相加，即可求得结果； （2）利用类似于（1）的方法进行分析即可解答； （3）提一个类似于（1）（2）的问题即可； （4）结合（1）、（2）的方法，注意要考虑两边相等的情况 【详解】（1）根据题意每次取的两个数之和大于10，可能取法为： 10+1、10+2、10+3、…10+9，共9种 9+2、 9+3、 9+4、 …9+8，共7种 8+3、8+4、8+5、8+6、8+7，共5种 7+4、7+5、7+6，共3种 6+5，共1种 所以可能的取法共有9+7+5+3+1=（种） （2）同理可得可能的取法的种数为=2500（种） （3）（答案不唯一）在1到21这21个自然数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于21，有多少种不同的取法？ （4）根据题意得：①每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于11，有10+8+6+4+2=30种不同的取法； ②若另两个数相同，则6+6，7+7，…，11+11，共6种不同的取法；所以各边长都是整数，最大边长为11的三角形有：30+6=36（个）． 它与上述两个问题都类似，区别这个问题要考虑两个数相同时的情况． 【点睛】此题考查分类加法计数原理的运用.分类加法计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1+m2+……+mn种不同的方法.注意分类后，寻找规律，避免大量运算，其次注意分类讨论要不重不漏． 【经典例题二 概率的意义理解】 【例2】（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）“明天下雨的可能性为”这句话指的是（   ） A．明天一定下雨 B．的地区下雨，的地区不下雨 C．明天不一定下雨 D．明天的时间下雨，的时间不下雨 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，理解随机事件发生的可能性是可能发生，也可能不发生．根据相关概念判断，即可解题． 【详解】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨， 故选：C． 1．（2024九年级上·浙江·专题练习）某同学抛掷一枚硬币，连续抛掷10次，都是反面朝上，则抛掷第11次出现正面朝上的概率是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查概率的意义，根据抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是，即可得到第次出现正面朝上的概率．解题的关键是正确把握概率的定义：对于一个随机事件，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件发生的概率． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正面向上的概率都是， ∴抛掷第次出现正面朝上的概率是． 故选：C． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·开学考试）小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是 （填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 根据小明分别扔硬币4次，正面朝上的不一定有2次，即可解答． 【详解】解：小明分别扔硬币4次，正面朝上的一定有2次，这种说法是错， 故答案为：错． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如果买1张彩票中奖的概率是，那么买1张彩票一定不会中奖吗？买1000张彩票一定能中奖吗？ 【答案】见解析 【分析】买1000张彩票结果是随机的，再结合买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，解答即可． 【详解】解：买1000张彩票相当于做1000次试验，而每次试验的结果是随机的，只能说买1000张彩票中奖的可能性比买1张彩票中奖的可能性大，买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖， 买1张彩票有可能中奖，买1000张彩票不一定中奖． 【点睛】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键． 【经典例题三 判断几个事件概率的大小关系】 【例3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）随机事件的概率是（   ） A．1 B．0 C．大于0且小于1 D．大于1 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的可能性，随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1． 【详解】解：随机事件是在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，故随机事件的概率是大于0且小于1， 故选：C． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）一个布袋里装有2个红球，4个黑球，3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则下列事件中，发生可能性最大的是（    ） A．摸出的是绿球 B．摸出的是黑球 C．摸出的是红球 D．摸出的是白球 【答案】B 【分析】本题考查等可能事件发生的概率，如果一件事有n种可能，而这些事件的可能性相同，其中事件A出现了m种情况，则事件A发生的概率为：． 【详解】解：解：任意摸出一个球，为红球的概率是：， 任意摸出一个球，为黑球的概率是：， 任意摸出一个球，为白球的概率是：， 故可能性最大的为：摸出的是黑球， 故答案为：B． 2．（2024九年级·全国·竞赛）某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 3．（22-23八年级下·江苏泰州·期中）一只不透明的袋子中装有1个红球、2个绿球和3个白球，每个球除颜色外都相同．将球搅匀后，从中任意摸出一球． （1）会有哪些等可能的结果； （2）你认为摸到哪种颜色的球可能性最大？摸到哪种颜色的球可能性最小？ 【答案】（1）红、绿1、绿2、白1、白2、白3；（2）白球、红球 【分析】（1）摸到每种球都有可能； （2）哪种球的数量多可能性就大，否则就小． 【详解】解：（1）从袋子中任意摸出一个球，可能是红球，也可能是绿球或白球； （2）∵白球最多，红球最少， ∴摸到白球的可能性最大，摸到红球的可能性最小． 【点睛】此题主要考查了可能性的大小，解题关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法． 【经典例题四 根据概率公式计算概率】 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）小明观察某个路口的红绿灯，发现该红绿灯的时间设置为：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒．当他下次到达该路口时，遇到绿灯的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的意义以及概率求法，正确理解概率的意义是解题关键．用绿灯时间除以红绿灯时间之和，即可得到答案． 【详解】解：红灯20秒，黄灯5秒，绿灯15秒， 遇到绿灯的概率是， 故选：C． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）在“我的梦，中国梦”这六个字中任意选出一个字，选出的字为“梦”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算．根据概率的计算公式直接计算即可求解． 【详解】解：在“我的梦，中国梦”这六个字中，“梦”字出现了2次， 则在“我的梦，中国梦”这六个字中任意选出一个字，选出的字为“梦”的概率为， 故选：． 2．（24-25九年级上·天津滨海新·阶段练习）不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球，这些球除颜色外无其它差别，小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了随机事件的概率公式，由随机事件概率公式计算即可得出答案，解题关键在于熟练掌握概率公式． 【详解】解：∵不透明袋子中装有个黄球、个黑球和个红球， ∴小明从袋子中随机取出个小球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数与轴只有一个交点． (1)求的值． (2)从，中任选一个数记做，求使二次函数的图象开口方向向上的概率． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的结合，二次函数根的判别式，简单概率的计算，即可． （1）根据题意，二次函数与轴只有一个交点，则，解出，即可； （2）根据（1）所求的值，根据二次函数图象开口方向向上，则，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴只有一个交点 ∴有两个相等的实数根 ∴ 解得：或． （2）解：由（1）得或， ∴当时，；； 当时，；； ∴，对应值为，，，； ∵二次函数的图象开口方向向上， ∴， ∴二次函数的图象开口方向向上的概率为：． 【经典例题五 根据概率作判断】 【例5】（22-23七年级下·四川达州·期末）用6个球设计一个摸球的游戏，小明想出了下面四个方案，你认为不能成功的是（　　） A．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是 B．摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是 C．摸到黄球、红球、白球的概率是 D．摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是 【答案】B 【分析】 由概率公式求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】 解：A、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，概率和为1，可以成功； B、摸到黄球的概率是，摸到红球、白球的概率都是，概率和为，肯定不能成功； C、摸到黄球、红球、白球的概率是，概率和为1，可以成功； D、摸到黄球的概率是，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率和为1，可以成功． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查对于概率的理解，一件事情发生所有情况的概率和为1，掌握相关基础知识是解题的关键． 1．（2023·浙江绍兴·三模）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可． 【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键． 2．（2023·福建厦门·一模）一个不透明盒子中装有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从该盒子中随机摸出1个球，请写出概率为的事件： ． 【答案】摸出红球 【分析】根据概率公式确定答案即可． 【详解】一共有3个球，其中红球有1个，所以摸出红球的概率是． 故答案为：摸出红球． 【点睛】本题主要考查了概率，掌握概率的计算公式是解题的关键． 3．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1) (2)停止掷，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 【经典例题六 已知概率求数量】 【例6】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一个不透明的布袋中装有个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查概率计算公式，根据题意计算出球的总数量是解题的关键． 先用求出球的总数量为，然后再减去白球的个数即可求出黑球的个数． 【详解】解：球的总数为：（个）， 黑球的个数为：（个）， 故选：C． 1．（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）在一个盒子中有形状大小完全相同的10个红球，8个绿球，和一些黑球，每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于，那至少有（   ）个黑球． A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的可能性，先求出摸出绿球的可能性恰好为时球的总个数为24个，那么当每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于时，球的总个数要大于24个，据此求出黑球的个数要大于6个，再由黑球数为整数即可得到答案． 【详解】解：因为， 所以当球的总个数大于24时每次从中拿出一个球，结果拿出绿球的可能性小于， 所以黑球的数量要大于个， 所以至少有7个黑球， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在一个不透明的袋子中装有6个白球，m个黑球，这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到白球的概率为，则m的值为 【答案】12 【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．摸到白球的概率为，利用概率公式建立关于m的方程，解之可得． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 故答案为：12． 3．（24-25九年级上·江西宜春·开学考试）一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【答案】(1)不可能事件，0； (2)5个白球． 【分析】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键． （1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率． （2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球， 所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件， 所以它发生的概率是0． （2）设取走了x个白球． 由题意，得， 解得． 故取走了5个白球． 【经典例题七 几何概率】 【例7】（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，四个转盘分别被分成不同的等份，若让转盘自由转动一次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．利用指针落在阴影区域内的概率阴影部分面积总面积，分别求出概率比较即可． 【详解】解：A、指针落在阴影区域内的概率为； B、指针落在阴影区域内的概率是； C、指针落在阴影区域内的概率为； D、指针落在阴影区域内的概率为， ， 指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是D选项． 故选：D． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期中）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白色方砖上的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率的求法．根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设每块方砖的边长为1，这个图形的总面积为9，白色方砖的面积为5，因此白色方砖占整体的， 所以小球最终停留在白色方砖上的概率是， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图所示的转盘被分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，指针会指向其中的某个扇形，并相应得到一个数（指针指向分界线时，则重转）． (1)事件“转动一次转盘，得到的数恰好是0”发生的概率是________． (2)写出此情境下一个不可能发生的事件． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了概率公式，不可能事件，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据不可能事件发生的概率为0进行解答即可． 【详解】（1）∵转盘被分成三个相同的扇形，转动转盘，可得到三种等可能结果， ∴转动一次转盘，得到的数恰好是0发生的概率是， 故答案为：； （2）转动一次转盘，得到的数恰好是2，是不可能事件． 【经典例题八 列举法求概率】 【例8】（2024·山西·模拟预测）如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列举法求概率；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故选：B． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答． 【详解】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况， 故至多有一次反面朝上的概率为． 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆渝中·阶段练习）如图，电路图上有1个小灯泡和3个开关，当电源开启后，随机选择并闭合其中2个开关，小灯泡发光的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有可能的结果是解题的关键． 利用列举法求概率即可． 【详解】解：由题意知，共有闭合，，，3种等可能的结果，其中闭合，时小灯泡发光， ∴小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）现有五种纯净物，分别为：，根据化学知识，依据金属活动性的不同，部分金属单质不能与反应．（金属活动性顺序表：钾 钙 钠 镁 铝 锌 铁 锡 铅 （氢） 铜 汞 银 铂 金） (1)任意选出两种纯净物，其中有的概率为多少？ (2)任意选出三种纯净物，能发生反应的概率为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了运用列举法求概率，正确进行列举是解题的关键． （1）先分别列举出两种纯净物的所有可能情况数以及含铁的情况数，然后运用概况公式求解即可； （2）先分别列举出三种纯净物的所有可能情况数以及能发生化学反应的情况数，然后运用概况公式求解即可． 【详解】（1）解：列举如下：共8种等可能结果，其中含铁的有4种，则其中有的概率为为． （2）解：列举如下：共10种等可能结果，其中含铁的有5种，则其中有的概率为为． 【经典例题九 列表法或树状图法求概率】 【例9】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙不是从同一节车厢上车的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有9种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把3节车厢分别记为、、， 画树状图如图： 共有9种等可能的结果，甲和乙不是从同一节车厢上车的结果有6种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为， 故选：A． 1．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）现有三张分别标有数字，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的影字都是非负数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 首先根据题意列出表格，然后求得所有等可能的结果与这两张卡片上的数字都为非负数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】列表如下： -3 0 2 -3 (0,-3) (2,-3) 0 (-3,0) (2,0) 2 (-3,2) (0,2) 所有等可能的情况有6种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有、共2种， 则两个都是非负数的概率为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）国庆假期，小丽和家人到博物馆参观，博物馆内部路线如图所示，由于时间有限，在A展厅参观后，只能再选择一个展厅参观，假定在馆内每个路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径（比如A馆岔路口可以向左下到达B展厅，也可以向右下到达C展厅），其中A，B，C处都有岔路口，D，E，F是三个出口．那么小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是    【答案】/0.5 【分析】此题考查了树状图或列表法求概率． 准确画出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可． 【详解】解：列树状图：    共有4种等可能的情况，小丽一家人从A展厅出发到达E出口有2种情况， ∴小丽一家人从A展厅出发到达E出口的概率是， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期中）“十一”期间，我校（1）班学生通过抽取卡片的方式决定去三个场馆中的两个场馆进行锻炼．三个场馆分别用字母、、表示．现把分别印有、、的三张卡片（除字母外，其余都相同）背面朝上，洗匀放好．从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是和的概率． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法．列表得出所有等可能的结果数以及抽到的两张卡片编号恰好是和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：树状图如下： 一共有6种等可能结果，其中抽到的两张卡片恰好是和的有2种． ∴（抽到的两张卡片恰好是和）． 【经典例题十 游戏的公平性】 【例10】（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【答案】A 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 1．（24-25七年级上·全国·假期作业）娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 【答案】B 【分析】本题主要考查了游戏是否公平，先确定质数和合数，再说明可能性的大小，进而判断A，再确定偶数和奇数，并说明可能性的大小，判断B，然后确定大于3（4），小于3（4）的个数，说明可能性，判断C，D 即可．一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数． 【详解】A.质数有2，3，5一共3个；合数有4，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平； B.偶数有2，4，6一共3个，奇数有1，3，5一共3个，3=3，获胜的机会相同，游戏公平； C．小于3的数有1，2一共2个；大于3的数有4，5，6一共3个，2＜3，欣欣获胜的机会多，游戏不公平； D．小于4的数有1，2，3一共3个；大于4的数有5，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平． 娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜游戏规则是公平的． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：红球有个，白球有个， ，， ， 这个办法不公平． 故答案为：不公平． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期末）为了回馈顾客，某商场在“五一”期间对一次购物超过200元的顾客进行抽奖返券活动．活动方案有二： 方案一：顾客分别转动甲、乙两个转盘各一次（甲盘的白色区域占，乙盘的白色区域占，其余均为黑色区域），若转盘停止时指针的指向为下表中的组合，则可按下表获得赠券． 两转盘颜色（甲，乙） （黑，黑） （黑，白） （白，黑） （白，白） 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 方案二：尊重顾客意愿，可以不经过抽奖，直接领取10元赠券． 问题： (1)方案一中，顾客获得10元和50元赠券的概率分别是多少？ (2)如果你是顾客，你会选择两种方案中的哪一种？试通过计算给出合理理由． 【答案】(1)顾客获得10元和50元赠券的概率分别是，； (2)方案一，见解析 【分析】本题考查游戏的公平性；根据乘法法则得到相应的概率是解决本题的关键． （1）第一次转得是黑色的概率为，第二次转得是白色的概率为，相乘即为获得10元的概率，同法可得获得50元的概率； （2）算出方案一中可能的概率，可获得资金为相应的钱数与概率的积的和，和10比较即可． 【详解】（1）解：设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 出现（黑，白）的概率， 获得10元奖券的概率为， 出现（白，白）的概率为， 获得50元奖券的概率为； （2）解：应选方案一 设获得0元，10元，20元和50元奖券的概率分别为，，，， 中奖券金额与其概率的对应关系为： 中奖券金额 0元 10元 20元 50元 概率 中奖额的预期为 元， ． 应该选择方案一． 1．（2024·福建南平·模拟预测）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．不确定事件发生的概率为0.5 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B 【分析】本题考查了概率的意义．不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1． 【详解】解：选项A、B、D的说法都是正确的，都不符合题意； C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故原说法错误，符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·甘肃兰州·阶段练习）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案即可． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 3．（23-24七年级下·广东茂名·单元测试）在一个不透明的袋子中装有4个红球和3个黑球，x个黄球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出一个球，摸出黑球的概率是，则x的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据概率求数量，根据概率的公式即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可知：， 则， 故选：D． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B不相邻而坐的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了概率的计算，根据题意画出图形，得出所有可能的情况数，然后找出符合题意的情况数，最后根据概率公式求出结果即可． 【详解】解：如图， 根据图可知：以B，C，D随机而坐的结果数共有6种，其中A与B不相邻而坐的结果有2种， ∴A与B不相邻而坐的概率为：． 故选：A． 5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）下列说法正确的是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字大于6 B．通过抛一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行抽样调查 D．一组数据1，3，4，5，7的方差是4 【答案】D 【分析】本题考查了不可能事件，游戏的公平性，普查和抽样调查的意义，方差，根据相关概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A．骰子六个面上的数都不大于6，故A选项不符合题意； B．通过抛掷一枚均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，故B选项不符合题意； C．神舟飞船在发射前需要对零部件进行普查，故C选项不符合题意； D．一组数据1，3，4，5，7的平均数为，则其方差为，故D选项符合题意； 故选：D． 6．（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 7．（2022·湖北襄阳·二模）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b．那么方程有解的概率是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了已知一元二次方程根的情况求参数的取值范围，事件发生的概率，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据题意得出恒成立，即可解答． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∵向上一面的点数a、b都是正数， ∴恒成立， ∴有解的概率是1． 故答案为：1． 8．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在一个不透明的盒子里有个红球和个白球，这些球除了颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用概率计算公式求数量，根据概率计算公式可得，解方程即可求解，掌握概率计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明阴影部分的面积三角形的面积，求出三角形的面积，可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点． ，，， ， 由旋转变换的性质可知，， ， ， ，， 现随机地向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影部分概率为． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）九年（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．则两位女生同时当选正、副班长的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列举出所有情况，让两位女生同时当选正、副班长的情况数除以总情况数即为所求的概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：列表得： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中两位女生同时当选正、副班长的情况有种， ∴两位女生同时当选正、副班长的概率为， 故答案为：． 11．（22-23七年级下·广东茂名·期末）用个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏． (1)使摸到红球的概率为1； (2)使摸到黑球的概率为，摸到红球的概率也为； (3)若有绿球2个，使摸到红球概率为，问黑球的个数是多少． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)1个 【分析】（1）根据摸到红球的概率为1，即为，是一个必然事件，设计规则即可； （2）摸到红球、黑球的概率都是，因此可得红球、黑球的数量是均等的，设计规则即可； （3）有绿球2个，那么摸到绿球概率为，摸到红球概率为，摸到黑球的概率为，因此可得10球中有绿球2个，红球7个，即可知道黑球的个数． 【详解】（1）解：摸到红球的概率为1，即为，因此这个球都是红球，从个除颜色外完全相同的红球中随机摸出1球，得到红球的可能性为1； （2）解：袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5个黑球，从中随机摸出1球，得到红球或黑球的可能性为； （3）解：因为有绿球2个， 那么摸到绿球概率为， 因为摸到红球概率为，即红球7个， 那么摸到黑球的概率为， 黑球的个数为， 所以黑球的个数是1个． 【点睛】本题考查随机事件发生的概率，理解概率的意义是设计规则的前提． 12．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图是一个转盘，转盘被等分成三等份，分别标注数字“1”“2”“3”，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是_______； (2)嘉嘉和淇淇一起玩转盘游戏，规则如下：两人各转一次转盘，若两次转出的数字均为奇数，则嘉嘉获胜；若两次转出的数字为一个奇数一个偶数（不分先后），则淇淇获胜．请通过画树形图或列表的方法说明该游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对二人公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性： （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次转出的数字均为奇数的结果数和两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果数，进一步求出二人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3个区域，每个区域被转到的概率相同，且奇数有2个区域， ∴转动转盘一次，转盘停止后，指针指向奇数的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两次转出的数字均为奇数的结果数有4种，两次转出的数字为一个奇数一个偶数的结果数有4种， ∴二人获胜的概率都为， ∴该游戏对二人公平． 13．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的袋子中有2个红球和1个白球，这些球除颜色外没有区别． (1)从袋中任意摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中摸出一个球．请用列表或画树状图的方法求两次都摸到红色球的概率； (2)在袋中再添加和原来一样的几个白球，然后从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，那么应添加 个白球（直接填结果）． 【答案】(1)两次摸到都是红色球的概率为； (2)4 【分析】本题考查利用列表法或画树状图法求概率．正确的列出所有的可能情况是解答本题的关键． （1）根据题意即可列表表示出所有可能的情况，再从中找到符合题意的情况数，最后根据概率公式即可计算； （2）设放入x个白球，再根据概率的意义得到方程，解方程后可以得解． 【详解】（1）解：列表如下： 红1 红2 白 红1 红1，红2 红1，白 红2 红2，红1 红2，白 白 白，红1 白，红2 根据表格可知有6中可能，其中都是红色的情况有2种， 故两次摸到都是红色球的概率为； （2）解：设放入x个白球， 由题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 所以，应添加4个白球． 故答案为：4． 14．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，可以自由转动的圆形转盘被它的两条直径分成了四个扇形区域，其中标有数字“0”的扇形的圆心角为．转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向的扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次（当指针指向两个扇形的交线时，不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）． (1)转动转盘一次，则转出的数字是的概率为______； (2)转动转盘两次，用画树状图法或列表法求两次转出的数字之和为偶数的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何概率，树状图法或列表法求解概率： （1）用所在区域的圆心角度数和除以360度即可得到答案； （2）先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次转出的数字之和为偶数的结果数，最后根据概率计算公式求解即可. 【详解】（1）解：， ∴转动转盘一次，则转出的数字是的概率为； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有9中等可能性的结果数，其中两次转出的数字之和为偶数的结果数有5种， ∴两次转出的数字之和为偶数的概率为. 15．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）在一只不透明布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字，甲已两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜，这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请用画树状图或列表的方法，说明理由． 【答案】这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查树状图法或列表法求解概率，游戏的公平性，掌握树状图法和列表法是解题的关键．先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两球上的数字之和为奇数的结果数，最后利用概率计算公式求解即可． 【详解】这个游戏规则对甲乙双方不公平， 理由如下，画出树状图如下，    由树状图可知，一共有种等可能性， 其中两数字和为奇数的有种，两数字之后和为偶数的有种， 甲胜的概率为，乙胜的概率为， ，即甲胜的概率大于乙胜的概率， 游戏规则对甲乙双方不公平． 学科网（北京）股份有限公司 $$