专题01 投影与判断三视图重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 投影与判断三视图重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 平行投影 题型二 中心投影 题型三 正投影 题型四 视点、视角和盲区 题型五 判断简单几何体的三视图 题型六 判断简单组合体的三视图 题型七 判断非实心几何体的三视图 题型八 已知一种或两种视图，判断其他视图 知识点一 投影 1.投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2.平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影. 3.中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影。 4.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 知识点二 三视图 1．视图的相关概念 （1）视图 从不同方向观察物体得到的平面图形，叫做这个物体的一个视图； （2）主视图 正投影情况下，由前向后观察物体得到的视图，叫做主视图； （3）俯视图 正投影情况下，由上向下观察物体得到的视图，叫做俯视图； （4）左视图 正投影情况下，由左向右观察物体得到的视图，叫做左视图； 2．三视图的特征 名称 特征 正方体 球体 三棱柱 圆柱 圆锥 主视图 反映物体的长和高 正方形 圆 矩形 矩形 三角形 俯视图 反映物体的长和宽 正方形 圆 三角形 圆 带圆心的圆 左视图 反映物体的宽和高 正方形 圆 矩形 矩形 三角形 3．三视图的画法 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： （1）确定主视图的位置，画出主视图； （2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； （2）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”． （4）几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线． 【经典例题一 平行投影】 【例1】（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 1．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定 2．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）身高的小明发现自己影子有，同一时刻地上影长为的旗杆高度为 ． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为．某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为 (1)请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤； (2)在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度． 【经典例题二 中心投影】 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（    ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 1．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置 （填“A”或“B”）的影子长一些． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度． 【经典例题三 正投影】 【例3】（2023·贵州遵义·模拟预测）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形，那这个圆锥的表面积是 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【经典例题四 视点、视角和盲区】 【例4】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 1．（22-23九年级上·宁夏中卫·期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 3．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【经典例题五 判断简单几何体的三视图】 【例5】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示的几何体是由7个小正方体组合而成的立体图形，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·湖北恩施·一模）如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江西吉安·单元测试）几盒粉笔摞在讲台上发现从正面、左面、上面看到的形状相同，粉笔一共有 盒． 3．（22-23七年级上·广东河源·期中）两个几何体甲，乙的主视图分别为哪一个？ 【经典例题六 判断简单组合体的三视图】 【例6】（2022·河南商丘·二模）巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 3．（21-22九年级下·全国·单元测试）填空：如图，是一组立方块，请说出，各是其什么视图． 【经典例题七 判断非实心几何体的三视图】 【例7】（2024·河南驻马店·二模）如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 1．（2024九年级下·四川成都·专题练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 2．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 【经典例题八 已知一种或两种视图，判断其他视图】 【例8】（2024·山西大同·模拟预测）如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．（22-23六年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 3．（2024·江西九江·一模）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图． 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 3．（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 4．（22-23九年级上·山东烟台·期末）下列关于投影的说法正确的是（　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 5．（23-24九年级·全国·单元测试）当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 6．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．    7．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ． 9．（22-23九年级下·全国·单元测试）我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 ，这种投影称为正投影． 10．（22-23九年级下·全国·单元测试）大型礼堂中的座位都呈阶梯状安放，这样安放的道理是 ． 11．（2024·宁夏银川·模拟预测）某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 12．（2024·江苏南通·一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点，与相交于点，连接，，，． (1)求的度数； (2)连接，求的长． 13．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 14．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子． (2)如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 15．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 投影与判断三视图重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 平行投影 题型二 中心投影 题型三 正投影 题型四 视点、视角和盲区 题型五 判断简单几何体的三视图 题型六 判断简单组合体的三视图 题型七 判断非实心几何体的三视图 题型八 已知一种或两种视图，判断其他视图 知识点一 投影 1.投影:用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 2.平行投影:有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影. 3.中心投影:由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影。 4.正投影:投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 知识点二 三视图 1．视图的相关概念 （1）视图 从不同方向观察物体得到的平面图形，叫做这个物体的一个视图； （2）主视图 正投影情况下，由前向后观察物体得到的视图，叫做主视图； （3）俯视图 正投影情况下，由上向下观察物体得到的视图，叫做俯视图； （4）左视图 正投影情况下，由左向右观察物体得到的视图，叫做左视图； 2．三视图的特征 名称 特征 正方体 球体 三棱柱 圆柱 圆锥 主视图 反映物体的长和高 正方形 圆 矩形 矩形 三角形 俯视图 反映物体的长和宽 正方形 圆 三角形 圆 带圆心的圆 左视图 反映物体的宽和高 正方形 圆 矩形 矩形 三角形 3．三视图的画法 画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下： （1）确定主视图的位置，画出主视图； （2）在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； （2）在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”． （4）几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线． 【经典例题一 平行投影】 【例1】（24-25九年级上·山西长治·期中）《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中记载了利用影长测量物体高度的方法，若操场上的旗杆在太阳下的影长为8米，同时身高1.6米的小亮的影长为0.8米，则旗杆的高度为（    ） A．4米 B．8米 C．12米 D．16米 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设旗杆的高度为x米，由题意易得，然后求解即可． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，由题意得： ， 解得：； 故选D． 1．（23-24九年级下·重庆渝中·自主招生）如图，日晷是我国古代的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成．当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就像钟表的指针一样慢慢地转动，晷针的影子指向晷面的某一位置，便可知道是白天的某一时间．晷针在晷面上形成的投影是（   ） A．平行投影 B．既是平行投影又是中心投影 C．中心投影 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心投影和平行投影的定义，把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影；熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义即可解答． 【详解】解：因为太阳光可认为是平行光线，则日晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 2．（23-24九年级上·江西抚州·阶段练习）身高的小明发现自己影子有，同一时刻地上影长为的旗杆高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行投影，根据同一时刻平行光线下，物长和影长成正比，列出比例式即可求解，掌握平行投影的性质是解题的关键． 【详解】解：设旗杆高度为， 由题意得，， 解得， ∴旗杆高度为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，九年级(1)班的小明与小艳两位同学去操场测量旗杆的高度，已知直立在地面上的竹竿的长为．某一时刻，测得竹竿在阳光下的投影的长为 (1)请你在图中画出此时旗杆在阳光下的投影，并写出画图步骤； (2)在测量竹竿的影长时，同时测得旗杆在阳光下的影长为，请你计算旗杆的高度． 【答案】(1)图以及步骤见详解 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，证明是解题的关键． （1）连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影； （2）证明，利用相似三角形的性质求出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； 连接，过点D作，交直线于点F，线段即为旗杆在阳光下的投影 （2）∵， ． ， ． ，即， ∴ 旗杆的高度为． 【经典例题二 中心投影】 【例2】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，球吊在空中，当发光的手电筒由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上的球影子会（    ） A．先变大后变小 B．逐渐变小 C．逐渐变大 D．先变小后变大 【答案】C 【分析】本题综合考查了中心投影的特点和规律．在灯光下，离点光源越近，影子越大；离点光源越远，影子越小，所以当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球的影子会逐渐变大． 【详解】解：当发光的手电筒由远及近时，落在竖直墙面上的球影子会逐渐变大． 故选：C． 1．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，晚上小明在路灯下沿路从处径直走到处，这一过程中他在地上的影子（ ） A．一直都在变短 B．先变短后变长 C．一直都在变长 D．先变长后变短 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．根据中心投影的特征可得小亮在地上的影子先变短后变长． 【详解】解：在小亮从处径直走到路灯下时，他在地上的影子逐渐变短；当他走到路灯下，再走到处时，他在地上的影子逐渐变长， ∴小亮在地上的影子先变短后边长， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，公路上有一个10米高的路灯，晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比，在位置 （填“A”或“B”）的影子长一些． 【答案】B 【分析】本题考查投影．根据同一物体，离光源越远，影子越长，进行判断即可． 【详解】解：因为同一物体，离光源越远，影子越长， 由图可知：位置B离路灯比位置A离路灯远， 所以在位置B的影子长些； 故答案为∶B． 3．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，小军、小华、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是． (1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）； (2)画出小华此时在路灯下的影子（用线段表示）； (3)若小军的身高为，他的影长为，他距路灯底部，求路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了中心投影，相似三角形的性质与判定： （1）连接点A和小军的头部并延长，连接点D和小丽的头部并延长，两条射线交于点P，点P即为所求； （2）连接点P与小华的头部与地面交于E，则点E与小华脚部的连线线段即为所求； （3）过点P作交延长线于H，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）如图所示，线段即为所求； （3）解：如图所示，过点P作交延长线于H， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴路灯的高度为． 【经典例题三 正投影】 【例3】（2023·贵州遵义·模拟预测）把一个正六棱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影，当投射线由正前方射到后方时，它们在该投影面上的投影积聚成一直线，结合正六棱柱的特点即可得到答案． 【详解】解：根据投影的性质可得，该物体为正六棱柱，则正投影与主视图一致． 故选：B． 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【分析】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案． 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的正投影， 故选：C 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形，那这个圆锥的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正投影，求圆锥的表面积，根据题意，得到圆锥的底面半径为1，母线长为2，根据表面积公式进行计算即可． 【详解】∵一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形， ∴圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1． ∴这个圆锥的表面积是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 【经典例题四 视点、视角和盲区】 【例4】（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 【答案】C 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 1．（22-23九年级上·宁夏中卫·期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 2．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 【答案】17 【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出． 【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16， 在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2， 因此，FE=OF÷2=1 S△OFE=2×1÷2=1， 因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米． 故答案为17. 【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 3．（22-23九年级上·陕西汉中·期末）如图，为一盏路灯的灯杆，已知该路灯的灯泡P位于灯杆上，地面上竖立着一个矩形单杠，已知单杠右侧杆在路灯灯泡P的照射下的影子末端位于点E处，已知O、B、C、E在一条直线上，且，，． (1)请在图中找出路灯灯泡P的位置，并画出单杠左侧杆在灯泡P的照射下的影子； (2)经测量米，米，单杠的高度米，请你计算路灯灯泡距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 【分析】（1）连接并延长交于点P，连接并延长交于F，点P和即为所求； （2）先求出米，证明，得到，即，则米． 【详解】（1）解：如图所示，点P和即为所求； （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，，即， ∴， ∴，即， ∴米， ∴路灯灯泡距地面的高度为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用举例，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【经典例题五 判断简单几何体的三视图】 【例5】1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示的几何体是由7个小正方体组合而成的立体图形，则它的俯视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键，根据俯视图的定义：从物体的上方看，得到的图形为俯视图，并对各项逐一排除即可得到答案． 【详解】解：根据俯视图的定义可得：D选项为俯视图， 故选：D． 1．（2024·湖北恩施·一模）如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会从立体几何中观察三视图，进行解答，即可． 【详解】解：由立体几何可知，它的左视图为：． 故选：A． 2．（23-24七年级上·江西吉安·单元测试）几盒粉笔摞在讲台上发现从正面、左面、上面看到的形状相同，粉笔一共有 盒． 【答案】4 【分析】本题考查了组合图形的三视图，熟练掌握组合图形的三视图是解题的关键．根据三视图的定义，分别从主视图，俯视图和左视图的图形特征出发，即可逐步确定粉笔的盒数． 【详解】从正面看到的图形可知，这摞粉笔有两层，从上面看到的图形可知，第一层粉笔有3盒，根据从左边看到的图形可知，第二层有1盒，所以，共有4盒． 故答案为：4． 3．（22-23七年级上·广东河源·期中）两个几何体甲，乙的主视图分别为哪一个？ 【答案】见解析 【分析】根据主视图是从正面看到的图象判定则可． 【详解】解：甲的主视图是一个矩形，且矩形的中间有一条纵向的虚线，即图③； 乙的主视图是一个矩形，且矩形的靠右侧有一条纵向的实线，即图⑤． 【点睛】本题考查了立体图形的三视图，解题的关键是掌握看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线． 【经典例题六 判断简单组合体的三视图】 【例6】（2022·河南商丘·二模）巴黎2024年奥运会的领奖台如图所示，是由三个长方形组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图的画法；左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可．注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示． 【详解】解：从左边看，可得如下图形， 故选：B． 1．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示的几何体是由一个球体和一个正方体组成的，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据左视图的意义和画法即可解题． 【详解】解：球的左视图一个大圆，正方体的左视图是一个正方形， 该几何体的左视图是一个大圆与一个正方形， 故选：A． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是 （填序号）； （2）这个几何体的左视图是 （填序号）； （3）这个几何体的俯视图是 （填序号）． 【答案】 ③ ⑤ ② 【解析】略 3．（21-22九年级下·全国·单元测试）填空：如图，是一组立方块，请说出，各是其什么视图． 【答案】主视图，俯视图 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从正面看左排三层，右排一层，是主视图； 从上面看，左一个，又一个，是俯视图， 故答案为：主视图，俯视图． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图． 【经典例题七 判断非实心几何体的三视图】 【例7】（2024·河南驻马店·二模）如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 1．（2024九年级下·四川成都·专题练习）如图是一根空心方管，它的俯视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图中的俯视图，正确理解俯视图的概念是解答本题的关键．俯视图是从物体的上面看所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．根据俯视图的概念，即可得到答案． 【详解】俯视图如图所示： 故选：B． 2．（21-22九年级上·山东菏泽·期末）如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 【答案】俯视图 【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故答案为：俯视图． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提． 3．（2022九年级上·全国·专题练习）画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 【答案】磊磊，理由见解析 【分析】注意在画三视图时实线和虚线的画法，得见的线条画成实线，看不见的线条画成虚线，据此可判断谁正确． 【详解】磊磊的画法正确，理由如下： 在画三种视图时，看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线，所以磊磊的画法正确． 【点睛】本题考查三视图实线虚线的区别，解题关键在于了解掌握在画三视图时看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线． 【经典例题八 已知一种或两种视图，判断其他视图】 【例8】（2024·山西大同·模拟预测）如图是某几何体的俯视图，图中所表示数字为该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据左视图是从左边看到的图形求解即可． 【详解】解：从左边看看到的图形分为上中下三层，共两列，从左边数起，第一列，中下两层各有一个小正方形，第二列上中下各有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：B． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图如图所示，则搭建该几何体的方式有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是理解三视图的定义．根据小正方体一共5个，以及主视图和左视图，画出俯视图即可． 【详解】解：由主视图可知，左侧一列最高一层，右侧一列最高三层，由左视图可知，前一排最高三层，后一排最高一层，可知右侧第一排一定为三层，可得该几何体俯视图如图所示， 故选：C． 2．（22-23六年级上·山东烟台·期中）几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 ． 【答案】4 【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方形的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积； 【详解】解：由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方形，第二列两个小正方形，可以画出左视图如图， 所以这个几何体的左视图的面积为4． 故答案为4 【点睛】本题考查了物体的三视图，解题的关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出左视图． 3．（2024·江西九江·一模）一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在方格纸中分别画出该几何体的主视图和左视图． 【答案】图见解析 【分析】本题考查画三视图，根据主看列找最大，左看行找最大，画出主视图和左视图即可． 【详解】解：如图： 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行投影的意义， 掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提． 根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案． 【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的同一方向上，可知选项B中的图形符合题意， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了中心投影及相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，，然后利用相似比可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 3．（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 4．（22-23九年级上·山东烟台·期末）下列关于投影的说法正确的是（　　） A．平行投影中的光线是聚成一点的 B．线段的正投影还是线段 C．圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆 D．若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高也相同 【答案】C 【分析】根据平行投影和视图的关系进行判断即可． 【详解】解：A、平行投影中的光线是平行的，故此选项不符合题意； B、线段的正投影可能是线段，有可能是点，故此选项不符合题意； C、圆形物体在阳光下的投影可能是椭圆，故此选项符合题意； D、若两人在路灯下的影子一样长，则两人身高不一定相同，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影，解题的关键是掌握平行投影的性质和投影的意义． 5．（23-24九年级·全国·单元测试）当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 【答案】B 【分析】若不能看到建筑物PD，则PD位于此线段的盲区内，可据此进行判断． 【详解】由图知：当乘车在BC段行驶时，建筑物PD位于自己的盲区内，因此看不到建筑物PD的路段是BC段. 故选B． 【点睛】理解视点、视角和盲区的定义是解答此类题目的关键． 6．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆和一根高7米的电线杆，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子的 长为10米，落在围墙上的影子的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子的长 为 5米，则落在围墙上的影子的长为 米．    【答案】3 【分析】本题主要考查了平行投影、矩形的判定与性质等知识点，根据平行投影的对应边成比例列出方程成为解题的关键． 如图：过点E作于M，过点G作于N．利用矩形的性质和平行投影的知识可以得到比例式，即，然后求出即可． 【详解】解：如图：过点E作于M，过点G作于N． 由题意得：四边形是矩形， 则，，，． ∵， ∴， 由平行投影可知：，即， 解得：． 故答案为：3． 7．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 8．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ． 【答案】 【分析】证明得到，则矩形的面积：矩形的面积为，根据纸片的面积即可求出的面积．此题考查了相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积：矩形的面积为， ∵矩形的面积为， ∴矩形的面积为． 故答案为：． 9．（22-23九年级下·全国·单元测试）我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 ，这种投影称为正投影． 【答案】垂直 【分析】根据正投影定义解答即可． 【详解】在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影， 故答案为垂直． 【点睛】本题考查了正投影的定义，掌握平行投影的分类及不同投影的定义是解题的关键． 10．（22-23九年级下·全国·单元测试）大型礼堂中的座位都呈阶梯状安放，这样安放的道理是 ． 【答案】减小盲区 【分析】大型礼堂中为了后排观众能有更好的观看效果，而将前后排座位安排成阶梯状，是为了增大视角，减少盲区，可据此进行判断． 【详解】解：大型礼堂中的座位都呈阶梯状安放，可以增加后排观众的视角，减少盲区，以便得到更好的观看效果. 故答案为减小盲区． 【点睛】此题考查视角、盲区的相关知识，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容． 11．（2024·宁夏银川·模拟预测）某一时刻高度为的甲树在太阳光照射下的示意图如图，线段表示甲树在太阳光下的影子，且． (1)请在图中画出统一时刻乙数的影子； (2)此时距离两棵树不远处身高为的小华的影长是多少？ 【答案】(1)画图见解析； (2)小华的影长是米． 【分析】（）根据相似三角形画出图形； （）根据相似三角形的性质求出小华的影长； 本题考查了平行投影，相似三角形的应用，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）如图，连接，过作，交于点， ∴即为所求； （2）设小华的影长是米， 由题意得：， 解得：， 答：小华的影长是米． 12．（2024·江苏南通·一模）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段是日晷的底座，点为日晷与底座的接触点（即与相切于点．点在上，为某一时刻晷针的影长，的延长线与相交于点，与相交于点，连接，，，． (1)求的度数； (2)连接，求的长． 【答案】(1) (2)的长为 【分析】本题考查平行投影，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意， （1）证明，再利用切线的性质证明，再利用三角形内角和定理求解； （2）求出，，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：如图，连接． 与相切于点， ， ， ， ． ，为半径， 与相切于点． 而与相切于点， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ，与相切， ． ， ， 在 中， 13．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠上，在地面上留下影子，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上． (1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹） (2)请你求出路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：连接并延长交延长线于F，即可确定点F的位置； （2）先证明，根据相似三角形的性质可得，再证明得到，最后代入数据求得的长即可． 【详解】（1）解：点F的位置如图所示． （2）解：由题意得：， ，， ， ， ． ，， ， ，即， ，即路灯的高度为． 14．（22-23九年级上·四川成都·期中）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子． (2)如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）连接并延长交于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求； （）由中心投影的性质可得，再将数据代入即可求解； 本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键 【详解】（1）解：如图，点为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下形成的影子； （2）解：由中心投影的性质得，， 即， 解得， 答：灯泡的高为． 15．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$