专题06 平面向量的应用重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题06 平面向量的应用重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 余弦定理边角互化的应用 题型二 正弦定理求外接圆半径 题型三 正弦定理边角互化的应用 题型四 三角形面积公式及其应用 题型五 距离测是问题 题型六 高度测是问题 题型七 角度测量问题 题型八 正、余弦定理的其他应用 知识点一 正弦定理和余弦定理 1. 三角形中的定理 （1）内角和定理及诱导公式：； ； ； （2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （3）正弦定理：，为△的外接圆半径。 （4）余弦定理： ； ； 。； ③，，该公式叫“海伦公式”； ④，，为△的内切圆半径； ⑤，为△的外接圆半径。 （6）边角之间的不等式关系： 【经典例题一 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据二倍角公式可得，即可利用余弦定理化简得求解. 【详解】在中，由已知得，所以， 根据余弦定理，得 所以，即， 因此是直角三角形. 故选：B. 1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为 . 【答案】12 【分析】设边上的高为，由射影定理可得，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】 设边上的高为，则， 由题意， 故则的面积为. 故答案为：12. 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题干条件将函数解析式通过二倍角公式和辅助角公式化简，再代入求得的值； （2）由（1）中求得的和条件利用余弦定理建立关系式即可求得的值. 【详解】（1）由题意得，因为， 所以由，得. 又因为，所以， 所以，. （2）由（1）得，.所以由余弦定理可得，， 又因为，所以， 所以，即， 即，故. 把代入，可得， 所以. 【经典例题二 正弦定理求外接圆半径】 【例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】由正弦定理可得外接圆直径，进而求得半径. 【详解】解：由正弦定理可知：， 为外接圆的半径，所以. 故选：A 1．（22-23高二上·云南曲靖·开学考试）在中，已知，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求出外接圆半径，求出外接圆面积. 【详解】由正弦定理，得，即， 解得，， 所以. 故选：B． 2．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 【答案】 【分析】连接，由，，可得四点共圆，且为圆的直径，而为定值，所以当圆的直径最小时，弦最短，当时，最小，由已知条件求出，再利用正弦定理可求出. 【详解】连接，因为于，于， 所以， 所以四点共圆，且为圆的直径， 因为为定值，所以当圆的直径最小时，所对的弦最短， 此时， 在中，因为，所以， 所以，得, 在中，由正弦定理得，所以， 因为， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数，且． (1)求的最大值； (2)判断与的大小关系，并说明理由； (3)判断，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3)能，证明见解析，是定值 【分析】（1）首先表示出，然后结合诱导公式及辅助角公式进行化简，结合正弦函数的性质即可求解； （2）依题意可得，，利用作商法得到，即可得解； （3）结合（2）的结论及三角形的三边关系即可判断，然后结合余弦定理及正弦定理即可得解. 【详解】（1）因为，且， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取得最大值； （2），证明如下： 由题意可知，，，， 又由（1）可知，又因为， 所以， 则 ， 又，， 所以； （3），，能作为三边长，证明如下： 由（2）知，，同理， 又， 即任意两边之和大于第三边，，，能作为三边长， 设当作边时所对的角为， 则 ， 又因为，，所以， 由正弦定理可得，的外接圆的直径为， 即为定值. 【点睛】关键点点睛：本题关键是三角恒等变换公式的应用，第二问的关键是利用作商法比较大小. 【经典例题三 正弦定理边角互化的应用】 【例3】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）的三边，，所对的角分别为，，.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设及三角形内角性质求各角的大小，结合正弦边角关系求结果. 【详解】由，且，则， 又，且，则， 所以. 故选：D 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】由题设知，， 由正弦定理得， 即, 又，所以，所以，得，所以， 又， 即，又锐角，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A 2．（24-25高三上·河南安阳·期中）在中，角的对边分别为，若0，则的最长边是 .（用题中字母表示） 【答案】 【分析】由正弦定理、余弦定理以及大边对大角即可得解. 【详解】根据正弦定理，得. 由余弦定理，得，所以角是钝角. 所以的最长边是. 故答案为：. 3．（24-25高三上·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，且 (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据弦切互化以及和差角公式可得，即可结合正弦定理求解， （2）根据正弦定理边角互化可得，即可利用三角恒等变换求解. 【详解】（1）因为, 故， 所以. 因为，所以， 又，所以. （2）由正弦定理可知， 因为，所以， 所以. 所以 又，所以， 所以，故. 【经典例题四 三角形面积公式及其应用】 【例4】（24-25高一上·全国·期中）在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】先由题中条件，结合三角形面积公式，求出和；再由求出角，进而可求出结果. 【详解】因为，又， 所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以； 由得，即，所以，即， 所以，因此，故，即 因为，所以. 故选：D 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在中，，且的面积为，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为的面积为，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高三上·湖南·期中）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则 . 【答案】 【分析】根据三角板的内角以及边长利用三角恒等变换和等面积法即可得. 【详解】由题可知. 由可得： ， 则， 解得. 故答案为： 3．（24-25高三上·山东烟台·期中）在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，进而可求； （2）由已知可得，计算可得，利用基本不等式可求面积的最大值. 【详解】（1）由，可得， 所以， 所以， 所以，又因为，所以， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 两边平方可得，又因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 所以面积的最大值为. 【经典例题五 距离测是问题】 【例5】（24-25高二上·重庆·期中）已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出在监测范围内行驶的总距离，即可求出总时长. 【详解】依题意，如图，易知在监测范围内行驶的总距离为， 故在监测范围内行驶的总时长为. 故选：C 1．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）台风中心从地以每小时40km的速度向西北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市在地正西40km处，则城市处于危险区内的时间长为（   ） A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h 【答案】A 【分析】作出辅助线，求出各边长，确定城市处于危险区内的路径长度，进而得到时间长. 【详解】如图所示，过点作⊥于点， 由，km，则km， 分别使得，由勾股定理得km， 故城市处于危险区内的路径长度为km，则城市处于危险区内的时间长为h. 故选：A 2．（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.    【答案】 【分析】由题设得，利用正弦定理求A，B两点间的距离. 【详解】由题设， 在中， 所以m. 故答案为： 3．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）坐落于某市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔高度为150米，某大楼高度为90米，从大楼顶部C看天宁宝塔的张角，求天宁宝塔与大楼底部之间的距离． 【答案】两建筑物底部间距离是180米 【分析】作于，问题转化为求边上的高．设，只要建立起关于的方程，则问题可解． 【详解】如图作于． ，，，，． 设，， ，． 在和中， ， ， 化简整理得， 解得，（舍去）． 答：两建筑物底部间距离是180米． 【经典例题六 高度测是问题】 【例6】（24-25高三上·山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及直角三角形边界关系求得正确答案. 【详解】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理， 得， 在中，. 所以估算黄鹤楼的高度CD为. 故选：C 1．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（    ） A．268米 B．265米 C．266米 D．267米 【答案】C 【分析】根据题意，分别过B，C作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E．由题中的系列角，借助于直角三角形，利用正弦定理，依次求得，和，即可求出建筑物的高. 【详解】 如图，分别过,作，，垂足分别为F，D，过D作，垂足为E． 根据题意易得，． 在中，由正弦定理得， 在中，,则， 在中，,则， 所以米． 故选：C. 2．（24-25高三上·山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    【答案】 【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求出，最后利用余弦定理进行求解即可. 【详解】设塔的高， 在中，，同理可得，， 在中，，则， ， 即，解得. 所以塔的高度为米. 故答案为：. 3．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【答案】米． 【分析】如图，作于，作于，在直角和直角中求得即得． 【详解】如图，作于，作于， 由于，，则， ，因此，， 易知，而，， 又，所以， 所以， 所以（米）．      【经典例题七 角度测量问题】 【例7】（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 【答案】A 【分析】根据方向角的概念判断即可 【详解】如下图所示：    因为点在点的南偏东，点在点的北偏西， 故选：A 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 2．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 【答案】 【分析】先用正弦定理解三角形得，再利用求取最小值来求仰角正切值的最大值即可. 【详解】 由塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上， 可知，，在中，， 由，结合正弦定理得， 在可得：， 过点作交于，由于平面，平面， 可得：，即， 当取最小值时：， 由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值， 所以有最大值. 故答案为：. 3．（22-23高一下·福建莆田·阶段练习）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 【答案】乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【分析】先由余弦定理得，再由正弦定理求解，即可求得乙船的方位. 【详解】根据题意，, 由余弦定理得 ， 由正弦定理得， 所以乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【经典例题八 正、余弦定理的其他应用】 【例8】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【答案】B 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【详解】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合物理学知识求解即可. 【详解】如图，由余弦定理，得 ， 于是， 解得或， 所以，台风从O到B用时小时，台风从O到C用时小时. 故，A点受到台风影响的时间是早上8:00后的5小时至10小时之间，即13:00-18:00. 故选：B. 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 【答案】 【分析】设海警船的航行方向是北偏东，根据条件，利用正弦定理得到，即可求解. 【详解】设海警船的航行方向是北偏东， 由题知，，， 在中，由正弦定理得到，得到， 又，所以，得到， 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 【答案】小时 【分析】令经过小时后甲、乙分别在两处，利用余弦定理可得到的表达式，再借助二次函数最小值求解即可. 【详解】如图，令经过小时后甲、乙分别在两处，甲、乙两船距离为s， 则在中，，，， 由余弦定理得， 即. 当时，最小，此时. 即经过小时，甲、乙两船相距最近. 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】A 【分析】利用正弦定理角化边，再根据余弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理可知， 不妨设，则， 显然，则，所以. 故选：A 2．（2022高二下·河北·学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求出，结合，故，所以. 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，故，所以. 故选：C 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（   ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理和余弦定理推得 ① 和 ② 式，根据题中条件化简整理求得，利用即可求得. 【详解】由和正弦定理得：①， 在中，由余弦定理， ②， 因都是等腰直角三角形，故 ③， 将① ，③ 两式代入②式，可得 （*）， 又，所以， 代入（*），解得，即． 故选：A. 【点睛】思路点睛：对于含三角形边角的方程，一般考虑利用定理边角互化，结合题设条件，找到彼此的切入点和联系，有时还需基本不等式或三角恒等变换等内容才能解决. 4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（   ）米．    A．20 B．22 C．40 D．42 【答案】B 【分析】设，得到，，，并得到，根据得到，结合余弦定理得到方程，求出，得到筑物的高度. 【详解】设，因为，，， 所以，，， 因为，点为中点， 所以，点为中点， 故， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由于，故， 即，解得， 故建筑物的高度（米）. 故选：B 5．（24-25高三上·山东烟台·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】主要利用正切函数的性质，即可解答本题. 【详解】当时，； 反之，当时， . 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（24-25高三上·山西太原·期中）已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 【答案】BC 【分析】根据大边对大角可知角为钝角，可得A错误；由余弦定理以及三角形面积公式计算可得BC正确，结合余弦定理判断D错误. 【详解】对于A，由题意可知边最大，所以角为的最大内角， 易知，因此角为钝角，可得A错误； 对于B，易知，又，可得，即B正确； 对于C，由，可得的面积为，即C正确； 对于D，设AB的中线为，易知，可得，即D错误. 故选：BC 7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解． 【详解】对于A，，则，由正弦定理可得， ，故A正确； 对于B，由正弦定理， ，此时无解，故B错误； 对于C，，又且， ，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确； 对于D：，， ，， ，或，若，，则， 所以为等腰三角形或直角三角形，故D正确． 故选：ACD． 8．（24-25高三上·湖南·期中）如图，在中，，，点，分别边，上，点，均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（    ）    A．内切圆的半径为 B． C．先增后减 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用等面积法可求出内切圆的半径；对于B、C、D，由得到，进而可求出的长，所以可求出矩形的面积为，进而判断B、C、D. 【详解】对于A，取的中点，连接，    则，且，所以的面积为， 假设内切圆的半径为，则， 所以，解得，故A正确； 对于B、C、D，过作，垂足为，设与交于点， 由等面积法可得，则. 由，得， 则， 所以， 则，则在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，故B错误，C，D均正确. 故选：ACD. 9．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则有两解 B．若，，则无解 C．若为锐角三角形，且，则 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；根据三角形是锐角三角形，求角的范围，即可判断C；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，则有两解，A正确． 对于B，因为，所以有且仅有一解，B错误． 对于C，由得，C正确． 对于D，因为，所以，又因为， 所以，则 ， 由，得， 所以当，即时，取得最大值，D正确． 故选：ACD. 10．（23-24高一下·安徽·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（    ）    A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若是的中点，则的面积是面积的5倍 【答案】ACD 【分析】对于A选项：由，即可判断A；对于B选项：在中，利用正弦定理求得，进而可判断B；对于C选项：在中，设，利用余弦定理即可求得，进而可判断C；对于D选项：利用三角形的面积公式，可得，进而可判断D． 【详解】对于A，根据题意，题图2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形， 故，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，在中，，所以， 而， 所以， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故选项B正确； 对于C，不妨设， 在中，由余弦定理得， 即， 解得， 所以，故选项C错误； 对于D，若是的中点， ， 所以，故选项D错误． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：关键是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行分析，由此即可顺利得解. 11．（江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 【答案】6（答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 【分析】先根据正弦定理表示出，再根据三角形有两组解的条件确定的取值范围，从而得出满足条件的的整数值. 【详解】由正弦定理，已知，，可得. 因为，，要使有两组解，则有两个值. 因为，当时，，此时. 要使有两个值，则且，即. 所以满足条件的一个整数值（答案不唯一，只要满足的整数均可）. 故答案为：6 （答案不唯一，6,7,8,9任意一个均可） 12．（24-25高三上·吉林·阶段练习）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦定理和正弦定理化简得，再求出的范围即可. 【详解】由，可得，由余弦定理可得， 所以，即， 由正弦定理可得， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 又是锐角三角形，所以，且， 所以，即， 又，，解得， 所以. 故答案为：. 13．（2024高三·全国·专题练习）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为 (≈1.732)            . 【答案】373 【分析】过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′，进而AA′－CC′＝AD＋100，易知AD＝DB=A′B′，在△BCH中，求得CH=，进而C′B′＝，在△A′B′C′中，用正弦定理即可求得A′B′的长，进而可知AA′－CC′的长. 【详解】如图，过C作CH⊥BB′，过B作BD⊥AA′， 故AA′－CC′＝AA′－(BB′－BH)＝AA′－BB′＋100＝AD＋100， 由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD＝DB． 所以AA′－CC′＝DB＋100＝A′B′＋100. 因为∠BCH＝15°，所以CH＝C′B′＝. 在△A′B′C′中，由正弦定理得， ＝＝＝， 而sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝， 所以A′B′＝＝100(＋1)≈273， 所以AA′－CC′＝A′B′＋100≈373. 故答案为：373. 14．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 【答案】33米 【分析】在中，利用正弦定理求出，再借助给定的仰角计算作答. 【详解】在中，，则， 由正弦定理，得， 由在点仰角为，得米. 故答案为：33米 15．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为 米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 【答案】26 【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可. 【详解】中，，,.所以. 在中，运用正弦定理，可得，代入值求得， 由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米. 故答案为：26. 16．（山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（B））在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行得出，再由余弦定理得解； （2）由三角形面积公式及余弦定理求出即可得解. 【详解】（1）由，得， 整理得， 所以由余弦定理，得， 因为，所以； （2）由题意得， 所以. 因为，， 由余弦定理得， 所以. 所以的周长为. 17．（24-25高二上·广东·期中）已知的内角的对边分别为且. (1)求的大小; (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理计算即可； （2）由三角形的面积公式计算即可； 【详解】（1）由及正弦定理可得，因为，所以， 所以， 因为，所以. （2）由题意可得的面积为. 18．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用三角形的面积公式可求得，利用余弦定理可得出的值，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以 即． 因为，所以， 所以，因为，所以． （2）由（1）可知，则． 因为的面积为，所以，解得 由余弦定理得， 则． 故的周长为． 19．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 【答案】35米 【分析】设由图中角的关系得到，，再由余弦定理求解即可； 【详解】设米， 在中，，则米. 在中，，则米. 因为， 所以由余弦定理得， 整理得，得. 所以蜚英塔的高度为35米. 20．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【详解】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量的应用重难点题型专训（8大题型+20道拓展培优） 题型一 余弦定理边角互化的应用 题型二 正弦定理求外接圆半径 题型三 正弦定理边角互化的应用 题型四 三角形面积公式及其应用 题型五 距离测是问题 题型六 高度测是问题 题型七 角度测量问题 题型八 正、余弦定理的其他应用 知识点一 正弦定理和余弦定理 1. 三角形中的定理 （1）内角和定理及诱导公式：； ； ； （2）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； （3）正弦定理：，为△的外接圆半径。 （4）余弦定理： ； ； 。； ③，，该公式叫“海伦公式”； ④，，为△的内切圆半径； ⑤，为△的外接圆半径。 （6）边角之间的不等式关系： 【经典例题一 余弦定理边角互化的应用】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）在中，若内角的对边分别为，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 1．（24-25高二上·河北保定·开学考试）在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为 . 3．（2024·河南·模拟预测）已知函数，在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的值. 【经典例题二 正弦定理求外接圆半径】 【例2】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．8 D． 1．（22-23高二上·云南曲靖·开学考试）在中，已知，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·全国·竞赛）如图，在中，，，，点是边上一个动点，作，，连接，则的最小值为 . 3．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知函数，且． (1)求的最大值； (2)判断与的大小关系，并说明理由； (3)判断，，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值；若不能，请说明理由． 【经典例题三 正弦定理边角互化的应用】 【例3】（24-25高三上·内蒙古呼和浩特·期中）的三边，，所对的角分别为，，.若，，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·浙江·期中）已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河南安阳·期中）在中，角的对边分别为，若0，则的最长边是 .（用题中字母表示） 3．（24-25高三上·河南·期中）在中，内角所对的边分别为，已知，且 (1)求； (2)若的外接圆半径为，周长为，且，求. 【经典例题四 三角形面积公式及其应用】 【例4】（24-25高一上·全国·期中）在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（    ） A．1 B． C． D．2 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）在中，，且的面积为，则边的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高三上·湖南·期中）将一副三角板按如图所示的位置拼接：含角的三角板的长直角边与含角的三角板的斜边恰好重合.与相交于点.若，则 . 3．（24-25高三上·山东烟台·期中）在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【经典例题五 距离测是问题】 【例5】（24-25高二上·重庆·期中）已知海面上有一监测站，其监测范围为以为圆心，半径为的圆形区域，在A正东方向处有一货船，该船正以的速度向北偏西方向行驶，则货船行驶在监测站监测范围内的总时长为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）台风中心从地以每小时40km的速度向西北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，若城市在地正西40km处，则城市处于危险区内的时间长为（   ） A．0.5h B．1h C．1.5h D．2h 2．（24-25高三上·天津武清·期中）如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得，，，则A，B两点间的距离为 m.    3．（22-23高一下·江苏淮安·阶段练习）坐落于某市红梅公园边的天宁宝塔堪称中华之最，也堪称佛塔世界之最．如图，已知天宁宝塔高度为150米，某大楼高度为90米，从大楼顶部C看天宁宝塔的张角，求天宁宝塔与大楼底部之间的距离． 【经典例题六 高度测是问题】 【例6】（24-25高三上·山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25高三上·河北邢台·期中）如图，已知为某建筑物的高，，分别为该建筑物附近的参照物甲、乙的高，，，分别为该建筑物、甲、乙的底部且均在同一水平面上，A，B，C分别为该建筑物、甲、乙的顶点，经测量得米，米，，，在C点测得B点的仰角为33.69°，在B点测得A点的仰角为51.34°，则该建筑物的高约为（参考数据，，）（    ） A．268米 B．265米 C．266米 D．267米 2．（24-25高三上·山东青岛·期中）为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度 米.    3．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）如图所示，在路边安装路灯，路宽23米，灯杆AB长2.5米，且与灯柱OB成角．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆垂直．当灯柱高约为多少米时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交?，精确到0.01m）.    【经典例题七 角度测量问题】 【例7】（24-25高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点在点的南偏东，则点在点的（   ） A．北偏西 B．北偏东 C．北偏西 D．南偏西 1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 2．（23-24高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的，景点相距，测得观光塔的塔底在景点的北偏东45°，在景点的北偏西60°方向上，在景点处测得塔顶的仰角为45°，现有游客甲从景点沿直线去往景点，则沿途中观察塔顶的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和游客身高忽略不计） 3．（22-23高一下·福建莆田·阶段练习）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 【经典例题八 正、余弦定理的其他应用】 【例8】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 1．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）气象台在早上8:00观测到一台风，台风中心在气象台正西方向处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为；距离台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，该气象台受到台风影响的时段为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知海岛在海岛的北偏东的方向上，且两岛的直线距离为. 一艘海盗船以的速度沿着北偏东方向从海岛出发，同时海警船以的速度从海岛进行追赶，经过小时后两船相遇，则海警船的航行方向是北偏东 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲船在B岛的正南A处，，甲船以4的速度向正北航行驶向B岛，同时乙船从B岛出发以6的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是多少？ 1．（24-25高二上·广东深圳·期中）在中，已知三个内角为满足，则三角形的形状（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 2．（2022高二下·河北·学业考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）如图，在所在平面内，分别以为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，的面积，，则（   ）    A． B． C．4 D． 4．（24-25高三上·湖北武汉·期中）某中学数学兴趣小组为测量学校附近某建筑物的高度，在学校操场选择了同一条直线上的，，三点进行测量．如图，（单位：米），点为中点，兴趣小组组长小王在，，三点正上方2米处的，，观察建筑物最高点的仰角分别为，，，其中，，，点为点在地面上的正投影，点为上与，，位于同一高度的点，则建筑物的高度为（   ）米．    A．20 B．22 C．40 D．42 5．（24-25高三上·山东烟台·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三上·山西太原·期中）已知中，角所对的边分别是且，，，则下列结论正确的是（   ） A．是锐角三角形 B． C．的面积为 D．AB的中线长为 7．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 8．（24-25高三上·湖南·期中）如图，在中，，，点，分别边，上，点，均在边上，设，矩形的面积为，且关于的函数为，则（    ）    A．内切圆的半径为 B． C．先增后减 D．的最大值为 9．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则有两解 B．若，，则无解 C．若为锐角三角形，且，则 D．若，则的最大值为 10．（23-24高一下·安徽·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（    ）    A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若是的中点，则的面积是面积的5倍 11．（江苏省扬州市2024-2025学年高三上学期11月期中检测数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则使得有两组解的的值为 .（写出满足条件的一个整数值即可） 12．（24-25高三上·吉林·阶段练习）锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是 . 13．（2024高三·全国·专题练习）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为 (≈1.732)            . 14．（23-24高一下·四川达州·期中）龙爪塔位于通川区朝阳寺内， 龙爪塔据传因崖壁有石纹，下临深潭，影似龙爪而得名.龙爪塔相传由鲁班修建，据文物部门考证，该塔建于唐朝年间，乾隆十二（1747）年增刻本《达州志·舆地图》已绘有龙爪山图，先后经嘉庆十八（1813）年和光绪十四（1888）年两次补修.1987年11月按原貌对塔进行了维修，1989年对游人开放.为了测量塔的高度AB，选取与塔底B在同一水平面的两个基点C与D，现测得米，在C点测得塔顶的仰角，则塔的高度为 （参考数据） 15．（24-25高二上·河北邢台·开学考试）邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为 米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 16．（山东省菏泽市2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题（B））在中，内角，，所对的边分别为，，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 17．（24-25高二上·广东·期中）已知的内角的对边分别为且. (1)求的大小; (2)求的面积. 18．（23-24高一下·青海·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，，已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 19．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，，求蜚英塔的高度. 20．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 学科网（北京）股份有限公司 $$