专题05 从力的做功到向量的数量积重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第二册）

专题05 从力的做功到向量的数量积重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 向量的数量积 题型二 数量积的坐标表示 题型三 向量模的坐标表示 题型四 坐标计算向量的模 题型五 向量垂直的坐标表示 题型六 利用数量积求参数 题型七 利用向量垂直求参数 题型八 向量夹角的坐标表示 题型九 已知向量垂直求参数 知识点一 向量的数量积定义 向量的数量积是指两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。对于任意两个向量→a和→b，它们的数量积记作→a·→b，定义如下： →a·→b = |→a| × |→b| × cosθ 其中，|→a|和|→b|分别表示向量→a和→b的模，θ表示向量→a和→b之间的夹角（0° ≤ θ ≤ 180°）。当θ=90°时，cosθ=0，此时→a·→b=0，称→a与→b正交。 三、向量的数量积性质 交换律：→a·→b = →b·→a，即两个向量的数量积满足交换律。 分配律：对于任意向量→a、→b和→c，有(→a+→b)·→c = →a·→c + →b·→c，即数量积满足分配律。 数乘结合律：对于任意实数λ和向量→a、→b，有(λ×→a)·→b = λ×(→a·→b) = →a·(λ×→b)，即数量积与数乘运算满足结合律。 非负性：对于任意向量→a，有→a·→a = |→a|² ≥ 0，即一个向量与自身的数量积是非负的。 正交性：当且仅当两个非零向量正交时，它们的数量积为零。 四、向量的数量积运算规则 坐标表示法：在平面直角坐标系中，若向量→a=(x₁,y₁)，向量→b=(x₂,y₂)，则它们的数量积可表示为： →a·→b = x₁×x₂ + y₁×y₂ 2. 模与夹角的计算：已知两个向量的坐标表示，可以通过计算得到它们的模和夹角余弦值，进而求得它们的数量积。例如，对于向量→a=(x₁,y₁)和向量→b=(x₂,y₂)，有：|cosθ| = |(x₁×x₂ + y₁×y₂) / (√(x₁²+y₁²) × √(x₂²+y₂²))|从而求得θ的值（注意：此处θ为夹角，取值范围为[0,π]）。 【经典例题一 向量的数量积】 【例1】（安徽省部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（人教版））已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．3 B．7 C． D． 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知，与的夹角为，则 3．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【经典例题二 数量积的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·山东·期中）已知圆O：上有A，B两点，若满足，则（   ） A．2 B． C． D． 1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知向量，，则 ． 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【经典例题三 向量模的坐标表示】 【例3】（24-25高三上·河北保定·期中）已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）在平行四边形中，已知，则（    ） A．5 B．9 C．13 D．18 2．（23-24高一下·全国·课前预习）直线上的距离公式与中点坐标公式：设，则 ，数轴上两点之间的距离 ，A、B中点的坐标为 . 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是同一平面的三个向量，. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与夹角的余弦值. 【经典例题四 坐标计算向量的模】 【例4】（24-25高三上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 3．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知． (1)若，求； (2)设，若，求的夹角． 【经典例题五 向量垂直的坐标表示】 【例5】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·山西太原·期中）已知，，若，则实数（   ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知向量，．若，则 ． 3．（22-23高一下·江苏扬州·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【经典例题六 利用数量积求参数】 【例6】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 1．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（    ） A．2 B． C． D．0 2．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知向量，，且满足，则 . 3．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，点 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足()·=0，求t的值． 【经典例题七 利用向量垂直求参数】 【例7】（2024·吉林长春·一模）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．15 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川·开学考试）已知向量，若，则 . 3．（23-24高一下·山东日照·期中）已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)求向量与夹角的正弦值． 【经典例题八 向量夹角的坐标表示】 【例8】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知平面向量，则（    ） A． B．1 C． D． 1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）已知，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 3．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【经典例题九 已知向量垂直求参数】 【例9】（24-25高三上·山东·期中）设向量，，，且，则（   ） A．3 B．2 C． D． 1．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 2．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量 ，若 ，则 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知、、三点的坐标分别为、、，且为直角，求实数的值． 1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期中）已知向量，，若，则（   ） A．3 B． C．1 D． 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）设平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．20 D． 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 7．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则 8．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 9．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．与的夹角余弦值为 10．（23-24高二下·浙江·期末）已知向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 12．（21-22高二下·宁夏吴忠·期末）已知向量，，则= 13．（2024·广东佛山·一模）已知的三个顶点分别为，，，且，则 ． 14．（2022·海南·模拟预测）已知向量，，且，则与垂直时， . 15．（24-25高二上·上海·期中）若，，且，则 ． 16．（21-22高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 17．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 18．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 19．（23-24高一下·河北·期末）已知向量． (1)若，求实数的值; (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 20．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，且，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 从力的做功到向量的数量积重难点题型专训（9大题型+20道拓展培优） 题型一 向量的数量积 题型二 数量积的坐标表示 题型三 向量模的坐标表示 题型四 坐标计算向量的模 题型五 向量垂直的坐标表示 题型六 利用数量积求参数 题型七 利用向量垂直求参数 题型八 向量夹角的坐标表示 题型九 已知向量垂直求参数 知识点一 向量的数量积定义 向量的数量积是指两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。对于任意两个向量→a和→b，它们的数量积记作→a·→b，定义如下： →a·→b = |→a| × |→b| × cosθ 其中，|→a|和|→b|分别表示向量→a和→b的模，θ表示向量→a和→b之间的夹角（0° ≤ θ ≤ 180°）。当θ=90°时，cosθ=0，此时→a·→b=0，称→a与→b正交。 三、向量的数量积性质 交换律：→a·→b = →b·→a，即两个向量的数量积满足交换律。 分配律：对于任意向量→a、→b和→c，有(→a+→b)·→c = →a·→c + →b·→c，即数量积满足分配律。 数乘结合律：对于任意实数λ和向量→a、→b，有(λ×→a)·→b = λ×(→a·→b) = →a·(λ×→b)，即数量积与数乘运算满足结合律。 非负性：对于任意向量→a，有→a·→a = |→a|² ≥ 0，即一个向量与自身的数量积是非负的。 正交性：当且仅当两个非零向量正交时，它们的数量积为零。 四、向量的数量积运算规则 坐标表示法：在平面直角坐标系中，若向量→a=(x₁,y₁)，向量→b=(x₂,y₂)，则它们的数量积可表示为： →a·→b = x₁×x₂ + y₁×y₂ 2. 模与夹角的计算：已知两个向量的坐标表示，可以通过计算得到它们的模和夹角余弦值，进而求得它们的数量积。例如，对于向量→a=(x₁,y₁)和向量→b=(x₂,y₂)，有：|cosθ| = |(x₁×x₂ + y₁×y₂) / (√(x₁²+y₁²) × √(x₂²+y₂²))|从而求得θ的值（注意：此处θ为夹角，取值范围为[0,π]）。 【经典例题一 向量的数量积】 【例1】（安徽省部分学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（人教版））已知向量，的夹角为，，，则（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，. 故选：D. 1．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知向量，满足，，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】掌握平面向量的数量积. 【详解】, , , 又, ,即, , , . 故选：A. 2．（2024高二下·福建·学业考试）已知，与的夹角为，则 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义，即可求解. 【详解】因为，与的夹角为， 所以， 故答案为：. 3．（23-24高二上·河北唐山·开学考试）已知，，． (1)求向量与的夹角； (2)当向量与的模相等时，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用数量积的性质及运算律求出，再利用夹角公式计算作答； （2）利用向量的模相等，两边同时平方，由数量积的运算律求解的值. 【详解】（1）因，，， 则有，解得， 因此，而，于是得， 所以向量与的夹角. （2）由，则， 即，得，解得或. 【经典例题二 数量积的坐标表示】 【例2】（24-25高二上·山东·期中）已知圆O：上有A，B两点，若满足，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设、，由，两点在圆上，再结合，即可求解.或由即可求解. 【详解】设、，线段的中点坐标为， 则，且∴， 即. ∵，两点在圆上，∴，， 又∵，∴.∴. 故选：D. 由题意可知，， ，则. 故选：D. 1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，若，则（    ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】由数量积的坐标运算公式可得结果. 【详解】，解得：或. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算即可. 【详解】易知. 故答案为： 3．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 【经典例题三 向量模的坐标表示】 【例3】（24-25高三上·河北保定·期中）已知向量，且，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】先利用向量模的坐标运算求得，进而利用数量积的坐标形式求得. 【详解】，则， 由于，所以， 所以，所以. 故选：C 1．（24-25高三上·云南·阶段练习）在平行四边形中，已知，则（    ） A．5 B．9 C．13 D．18 【答案】B 【分析】根据向量加法、减法和数量积运算列方程来求得. 【详解】， 两式平方并相减得，所以. 故选：B 2．（23-24高一下·全国·课前预习）直线上的距离公式与中点坐标公式：设，则 ，数轴上两点之间的距离 ，A、B中点的坐标为 . 【答案】 【分析】略 【详解】略 3．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是同一平面的三个向量，. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且，求与夹角的余弦值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意设，根据模的计算公式列方程求出参数即可得解； （2）由题意得，代入求得，结合向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）因为，设， 则，， 所以或. （2）因为， 所以， 又因为，所以由，可知， 所以. 【经典例题四 坐标计算向量的模】 【例4】（24-25高三上·辽宁·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据模长，以及向量垂直，结合已知条件求得，再求夹角的余弦即可. 【详解】因为，所以，所以， 整理得①， 又，所以②， 联立①②求解得， 所以. 故选：B. 1．（24-25高三上·北京海淀·期中）已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案. 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误. 故选：B 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 【答案】 【分析】首先求出，，即可求出向量的单位向量. 【详解】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 3．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知． (1)若，求； (2)设，若，求的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求解； （2）两边平方后，根据向量的数量积运算性质即可求的，然后结合公式即可得解. 【详解】（1）由题意得，即， 又因为，所以，即； （2）由题意得，即； 又， 所以， 所以，即， 所以，又 所以 【经典例题五 向量垂直的坐标表示】 【例5】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量，，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，计算的值，再根据平面向量夹角公式求值即可. 【详解】由题意知，因为，所以， 则，解得，所以，又，则向量与的夹角为， 故选：B. 1．（24-25高三上·山西太原·期中）已知，，若，则实数（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】， 因为， 所以， 解得：， 故选：A 2．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】利用非零向量垂直时数量积为0，计算即可. 【详解】．因为，所以，解得． 故答案为：. 3．（22-23高一下·江苏扬州·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 【经典例题六 利用数量积求参数】 【例6】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，可求出结果. 【详解】由，，得， 解得， 故选：C 1．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用向量数量积的坐标表示以及模长公式列方程即可求得. 【详解】依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 2．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）已知向量，，且满足，则 . 【答案】 【分析】将平方转化，再由即可求得. 【详解】因为，所以， 所以，则， 又因为，，所以，所以. 故答案为：. 3．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）在平面直角坐标系中，点 (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足()·=0，求t的值． 【答案】(1)5； (2) 【分析】（1）由已知，根据给的坐标可直接表示以AB、AC为邻边的对角线的向量坐标，然后利用坐标直接计算向量的模； （2）由已知，分别表示出，，带入给的关系式中，利用向量的数量积运算解方程即可. 【详解】（1）由题可知，                    求两条对角线长即为求与， 由，得，          由，得； （2）由题，又∵()·，       因为，， 所以，由()·=0得，. 【经典例题七 利用向量垂直求参数】 【例7】（2024·吉林长春·一模）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．15 【答案】B 【分析】根据向量垂直的判断条件列方程，求解即得. 【详解】由，可得，解得. 故选：B. 1．（24-25高二上·云南昭通·期中）已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可解得. 【详解】由可得，解得， 故选：C. 2．（24-25高三上·四川·开学考试）已知向量，若，则 . 【答案】 【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】由可得，解得，. 故答案为：. 3．（23-24高一下·山东日照·期中）已知向量，． (1)若，求实数的值； (2)求向量与夹角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由向量的坐标计算向量的模长和数量积，再由向量垂直的充要条件化简，代入解方程即得； （2）利用向量的夹角公式求得，再由同角的三角函数关系计算. 【详解】（1）因，，则有 由可得， ，解得，； （2）因，又， 故. 【经典例题八 向量夹角的坐标表示】 【例8】（24-25高三上·河北承德·开学考试）已知平面向量，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】由题意，，即，解得. 故选：A. 1．（22-23高一下·陕西宝鸡·期中）已知，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式直接求解. 【详解】由，， 可得：， 所以， 所以向量与的夹角为. 故选：B 2．（23-24高一下·北京东城·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据向量夹角为钝角，得到不等式，得到答案. 【详解】向量与的夹角为钝角， 所以，且， 解得， 故答案为：． 3．（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求出，向量坐标的加法运算求出再求模长即可； （2）求出、的坐标，再由向量夹角的坐标运算可得答案. 【详解】（1）， ， ； 因为， 所以； （2）由（1），， 因为， 所以， 所以 所以与的夹角的余弦值为. 【经典例题九 已知向量垂直求参数】 【例9】（24-25高三上·山东·期中）设向量，，，且，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算进行展开计算，求解出参数的值即可. 【详解】因为，，，所以； 因为，所以，解得. 故选：A. 1．（21-22高一下·安徽六安·期末）已知向量，，且，则实数（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】A 【分析】计算，根据向量垂直列出等式求解可得结果. 【详解】向量，，则， ，，解得. 故选：A 2．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量 ，若 ，则 . 【答案】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知、、三点的坐标分别为、、，且为直角，求实数的值． 【答案】或 【分析】首先表示出，，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为、、， 所以，， 因为为直角，所以，解得或. 1．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知平面向量满足，且，，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算及夹角公式得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B 2．（24-25高二上·湖北·期中）已知向量，，若，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示列式计算即得. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：A 3．（24-25高二上·湖南长沙·期中）设平面向量，若，则等于（   ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标表示及模长公式即可求解. 【详解】由， 可得：，即， 所以， 故选：D 4．（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量夹角余弦的计算公式即可求得的值. 【详解】， 故选：A. 5．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【答案】B 【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题， 因为，所以. 故选：B. 6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，为内的一点，，则下列说法正确的是（    ） A．若为的重心，则 B．若为的外心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的内心，则 【答案】BCD 【分析】建立平面直角坐标系，对于A、C、D：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于B：利用展开计算即可． 【详解】在中，，，为内的一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 对于选项A：若为的重心，则，，则， 所以， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项A不正确； 对于选项B：若为的外心，其必在直线上， 所以，故选项B正确； 对于选项C：若为的垂心，其必在上，设， 则，解得， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，故选项C正确； 对于选项D：若为的内心，设内切圆半径为， 则，得，则， 此时， 若，由平面向量基本定理可得：， 解得，所以，即选项D正确． 故选：BCD． 7．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与的夹角为 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据向量的坐标运算求解判断各选项． 【详解】选项A，，，即，所以，A正确； 选项B，，，，B错； 选项C，，，，C错； 选项D，，，，D正确． 故选：AD． 8．（23-24高一下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．的最小值为 D．向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据向量平行的坐标公式即可判断A；根据向量垂直的坐标公式即可判断B；根据向量的模的坐标公式结合二次函数的性质即可判断C；由向量与向量的夹角为钝角，可得且不共线，进而可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，，则，当时，，故C正确； 对于D，因为向量与向量的夹角为钝角，所以且不共线，由，由得，所以的取值范围为，故D错误. 故选：ABC. 9．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．与的夹角余弦值为 【答案】BC 【分析】根据向量坐标表示平行，垂直，夹角，以及单位向量，即可判断选项. 【详解】A.，故A错误； B.，，所以，故B正确； C.，所以与向量同方向的单位向量为，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 10．（23-24高二下·浙江·期末）已知向量，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据两向量平行的坐标运算判断A；根据两向量垂直的坐标运算判断B；根据向量模长的坐标表示判断C；根据两向量的积的坐标运算判断D. 【详解】因为，， A选项，若，则有，A正确； B选项，若，则有，解得，B正确； C选项，若，则，即，解得，C错误； D选项，，若，则，即，解得，D正确. 故选：ABD 11．（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积定义和运算律即可得到答案. 【详解】， 则. 故答案为：. 12．（21-22高二下·宁夏吴忠·期末）已知向量，，则= 【答案】5 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 13．（2024·广东佛山·一模）已知的三个顶点分别为，，，且，则 ． 【答案】5 【分析】根据得向量垂直，再转化为数量积等于零，列方程求解即可. 【详解】由，，得，， 因为，所以，则，得，解得. 故答案为：. 14．（2022·海南·模拟预测）已知向量，，且，则与垂直时， . 【答案】4 【分析】由列方程求得的值，然后根据与垂直列出关于的方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 则，解得，所以， 所以， 因为与垂直， 所以 ，解得. 故答案为：4. 15．（24-25高二上·上海·期中）若，，且，则 ． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设. 故答案为： 16．（21-22高一下·天津·阶段练习）已知向量，，，且. (1)求实数m的值； (2)求； (3)求向量与的夹角. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示计算可得结果； （2）根据向量模长的坐标表示计算可得结果； （3）由向量夹角的坐标表示计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 又，可得， 解得 （2）由（1）可知， 可得， 因此； （3）易知， 又，可得. 所以向量与的夹角. 17．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知向量，，且． (1)求； (2)求与的夹角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据转化为，进而可得，故，即可得； （2）由数量积的坐标运算公式求向量的夹角. 【详解】（1）因为向量，，所以， 由得，解得，所以． 又，所以． （2）设向量与向量的夹角为，因为，， 所以． 又，所以，即向量与向量的夹角是． 18．（23-24高一下·江西南昌·期中）已知向量． (1)求向量的坐标； (2)求+向量的模． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的坐标运算求得正确答案. （2）先求得，然后求得的模. 【详解】（1）依题意，向量， ， . （2）由于， 所以. 19．（23-24高一下·河北·期末）已知向量． (1)若，求实数的值; (2)若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2){且} 【分析】（1）由已知，代入坐标表示，可得所求； （2）由已知可得，且与不共线，代入坐标表示，可得所求． 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以， 所以，解得． （2）由已知可得，且与不共线， 因为， 由，可得，解得． 若与共线，则可得，解得， 所以由与不共线可得， 所以k的取值范围为且． 20．（23-24高一·上海·课堂例题）已知向量，，且，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得或. 学科网（北京）股份有限公司 $$