精品解析：四川省成都市2024-2025学年高三上学期数学模拟考试（一）

四川省成都市高2022级模拟考试（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足,,且,则（　　） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 10. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 11. 双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 到两条渐近线的距离之和为2 B. 当直线运动时，始终有 C. 在中， D. 内切圆半径取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在处的切线与直线垂直，则___________ 13. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 14. 已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 17. 如图，正四棱柱中，为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数. （1）当时，判断的单调性； （2）若函数恰有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：的所有零点之和大于3. 19. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； （3）请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市高2022级模拟考试（一） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可. 【详解】由，得， 所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 3. 已知抛物线的焦点为F，抛物线上一点满足，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式可得，即可求得，从而求解. 【详解】由题意，得，即， 所以抛物线方程为. 故选：D. 4. 已知向量满足,,且,则（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律，数量积求模，垂直关系的向量即可求解. 【详解】因为，则， 又因为， 由得， 则，则， 故选：A. 5. 已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用圆锥侧面积、表面积、体积公式计算即可. 【详解】设底面半径为，高为，母线为，如图所示， 则圆锥的体积，所以，即， 又，即， 所以，则，解得， 所以圆锥的表面积为. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，根据得到，由得到. 【详解】，， ，， ，， . 故选：D. 7. 已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意与在上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为（其中）， 又函数的图象关于直线对称，且， 所以，解得， 所以， 当时，则， 令，解得，且， 令，解得，且， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，，， 因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点， 所以，即的取值范围是. 故选：C 8. 定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，，当时，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象关于点对称可得到，进而求得，，反复利用，适当赋值，再结合条件当时，都有即可求解. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，令，则，又，所以， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 由函数的定义域与对称中心可得， 由， 令，则， 令，则， 令，则， 令，则， 因为当时，都有， 而， 则，， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用，结合赋值法，采用两边夹逼的方法，求出结果. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求；全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 某社会机构统计了某市四所大学年毕业生人数及自主创业人数如下表： A大学 B大学 C大学 D大学 毕业生人数（千人） 自主创业人数（千人） 根据表中的数据得到自主创业人数关于毕业生人数的经验回归方程为，则（ ） A. 与正相关 B. C. 当时，残差为 D. 样本的相关系数为负数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的斜率可判断A选项；将样本中心点的坐标代入回归直线方程，求出的值，可判断B选项；利用残差的概念可判断C选项；利用样本的相关系数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为回归直线的斜率为，所以，与正相关，A对； 对于B选项，由表格中的数据可得，， 所以，样本中心点为， 将样本中心点的坐标代入回归直线方程得，解得，B对； 对于C选项，当时，， 所以，当时，残差为，C对； 对于D选项，因为与正相关，所以，样本的相关系数为正数，D错. 故选：ABC. 10. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，通过求导分析单调性可得选项A错误；根据两函数互为反函数，结合函数图象特征可得选项B正确；设图象上任意一点坐标，利用点到原点的距离公式结合基本不等式可得选项C错误；通过求导分析单调性可得选项D正确. 【详解】对于A：设，则， 由得，由得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，选项A错误. 对于B：由得，即， 所以函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 结合图象可得函数与的图象都过原点，直线为函数与唯一的公切线，选项B正确. 对于C：设点为函数图象上任意一点，则，当且仅当时等号成立，选项C错误. 对于D：令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，选项D正确. 故选：BD. 11. 双曲线的左右焦点分别为，左右顶点分别为，若是右支上一点（与点不重合），如图，过点的直线与双曲线的左支交于点，与其两条渐近线分别交于两点，则下列结论中正确的是（ ） A. 到两条渐近线的距离之和为2 B. 当直线运动时，始终有 C. 在中， D. 内切圆半径取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】选项A，设出点然后计算出渐近线，分别计算距离求解即可；选项B，设直线，然后分别联立双曲线和渐近线方程计算交点，计算即可；选项C，利用点坐标表示出，，然后利用三角形内角的角度关系得到，由选项可知，只需得到分母的值就可以得到正确答案；选项D，利用等面积法求三角形内切圆半径的方法，然后化简求解即可． 【详解】由题可知双曲线的标准方程为， 故两个渐近线方程分别为与，设点 由题可知，， 所以点到两个渐近线的距离分别为，， 由于，故 故，若，则是方程的两个实数根，显然该方程无解，不符合题意，故故选项A错误； 设点， ， ， 显然直线的斜率存在，设直线， 联立方程，，得，所以， 直线分别与渐近线与联立得， 得， 所以有，即， 由题可知，，， 所以，故选项B正确； 不妨设,，， 由题可知，，， 所以有，， ， ， 由题可知，， 故 所以， 整理得，故选项C正确； 由三角形内切圆的半径求法可知其内切圆半径， 易知，， ，， 得， 因为， 得， 所以， 因为，所以，所以，，故选项D错误． 故选：BC． 【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况，强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设曲线在处的切线与直线垂直，则___________ 【答案】1 【解析】 【分析】由直线的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求得的值. 【详解】直线的斜率， ∵切线与直线垂直，∴切线的斜率， ，当时，，∴， 故答案为：1. 13. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______. X 0 1 2 3 P 0.1 m 0.2 n 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到. 【详解】由题意，得，解得， 所以， 所以. 故答案为：8. 14. 已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解. 【详解】连接，由余弦定理得， ， 即， 即， 又四边形的面积 ， 则 ， 即，即， 当且仅当时，等号成立， 所以平面四边形面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程. 15. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得，进而得到，进而求解； （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为， 在中，，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 即，所以， 又，即， 所以的周长为. 16. 已知动点与定点的距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的标准方程； （2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解； （2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解. 【小问1详解】 由题意，， 整理化简得，， 所以曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，直线的斜率都存在，设， 则直线的方程为， 分别延长，交曲线于点， 设， 联立，即， 则， 根据对称性，可得， 则 ， 即，解得， 所以直线FM的斜率为. 17. 如图，正四棱柱中，为的中点，，. （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取； 设平面的法向量为，则，取； 因为，即， 所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法证明即可； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为，则，取， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）当时，判断的单调性； （2）若函数恰有两个极值点. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：的所有零点之和大于3. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减， （2）①， ②由①知，且在单调递增，在单调递减， 由于， 当当 所以在和上各有一个零点， 结合可知共有3个零点， ， 若，则， 故的三个零点可以表示为， 故， 由于，故等号取不到，因此 因此的零点之和大于3，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，由导函数的正负求解； （2）求导，构造函数，对分类讨论，即可解①，根据的单调性可得在和上各有一个零点，即可根据可得函数的三个零点为，利用基本不等式即可求解②. 【小问1详解】 时，，定义域为，则， 令，解得，，解得， 故在单调递增，在单调递减， 【小问2详解】 ①， 则， 记，则， ， 令，解得，，解得， 故在单调递减，在单调递增，， 若，则在单调递增，此时无极值点，不符合， 当，则， 当因此在有一个实数根， 现证明： 设， 则当时，单调递减，当时，单调递增，故当，故当且仅当时取等号， 故，所以 ， 所以在上有一个实数根，故恰有两个极值点，符合题意， 故 ②略. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 19. 某市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了两个套餐服务，顾客可自由选择两个套餐之一，该游泳馆在App上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况. 星期 1 2 3 4 5 6 销售量（张） 218 224 230 232 236 90 经计算可得：. 参考公式：. （1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时出现系统异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择套餐的概率为，选择套餐的概率为，并且套餐包含两张优惠券，套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为张的概率为，求； （3）请根据下列定义，解决下列问题： （i）定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列收敛于. （ii）运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛. 【答案】（1） （2） （3）的最大值为,最小值为． 证明如下： 对于任意，总存在正整数， 其中表示不超过的最大整数， 当时，， 所以数列收敛于． 【解析】 【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到经验回归方程； （2）由题意可知时，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解； （3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证． 【小问1详解】 由题意，，， ， ， 所以关于的经验回归方程为． 【小问2详解】 由题意，可知，， 当时，，即， ． 所以当时，数列为各项都为1的常数列， 即， 所以，，又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 【小问3详解】 由第二问可知，， 当为偶数时， ，且随的增大而减小， 因此的最大值为； 当为奇数时， ，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为,最小值为． 证明略. 【点睛】关键点点睛：时，，即可根据， 证明时，数列为各项都为1的常数列，进而可求解，对分奇偶，结合单调性求解收敛. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $