专题02 一元二次函数、方程和不等式（4大基础题3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题02 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式的性质 1．（22-23高一上·山东潍坊·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东青岛·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知，则下述一定正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·山东青岛·期末）对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 5．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 6．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b，c满足，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知a，b，c满足，且，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）（22-23高一上·山东威海·期末）已知，则下列选项中能使成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（22-23高一上·山东滨州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 15．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 16．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知的解集为，求的解集（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 18．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 19．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则 ． 20．（22-23高一上·山东临沂·期末）不等式的解集为，则 . 21．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数 . 22．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知集合，． (1)写出的所有子集； (2)若关于的不等式的解集为，，，求的值． 利用基本不等式求常见最值问题 23．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 24．（22-23高一上·山东威海·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．17 C．20 D．25 25．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 26．（22-23高一·山东临沂·期末）函数的最大值是（    ） A．6 B．16 C．18 D．24 27．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 28．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期末）若正实数，满足，则（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．的最小值是4 D．的最小值是 29．（多选题）（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 30．（多选题）（22-23高一上·山东枣庄·期末）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为2 31．（23-24高一上·山东聊城·期末）若，且，则的最小值为 ． 32．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若，，且，则的最小值为 ． 33．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知正数a，b满足，则最小值为 ． 34．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 35．（多选题）（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．无最小值 C．的最大值为 D．无最大值 36．（多选题）（22-23高一上·山东济宁·期末）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时的最小值为 D．当时，的最大值是 实际应用问题 37．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 38．（22-23高一上·山东滨州·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 39．（22-23高一上·山东菏泽·期末）为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)若车流速度千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值，并指出车流量最大时的车流密度辆/千米． 40．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知二次函数，不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式（其中）． 41．（22-23高一上·山东潍坊·期末）今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且通过市场调研得知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完． (1)求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额成本）； (2)今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是多少？ 42．（22-23高一上·山东菏泽·期末）在抗击疫情中，某市根据需要迅速启动“方舱医院”建设，在方舱医院中要建1000个长方体形状､高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每一个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板隔离，每米造价60元.两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间正面木质纤维板长度为米，一侧面高密度合成板的长度为米. (1)用，表示每个房间造价； (2)当每个房间面积最大时，求的值. 含参数二次不等式的综合应用 43．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 44．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 45．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 46．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数． (1)若的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 47．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． 48．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，若，求及的取值范围； (2)当时，解不等式. 49．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，解关于的不等式. 50．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知函数（且）. (1)若函数在区间内为单调函数，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 51．（22-23高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集． 基本不等式的综合应用 52．（22-23高一上·山东青岛·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 53．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 54．（23-24高一上·山东菏泽·期末）若、、、均为正实数，则的最小值为 . 55．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 56．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最大值. 57．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 含参数恒成立与有解问题 58．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59．（多选题）（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 60．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 61．（22-23高一上·山东济南·期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 62．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知二次函数（为常数），若不等式的解集为且. (1)求； (2)对于任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 63．（22-23高一上·山东菏泽·期末）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式的性质 1．（22-23高一上·山东潍坊·期末）若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，当，则，故选项错误； 对于，因为，当时，可得：，故选项错误； 对于，作差：，因为，所以，但的符号无法判断，所以选项错误； 对于，因为，由不等式的性质可得：，故选项正确， 故选：. 2．（22-23高一上·山东青岛·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，故选项错误； 因为，所以，则有，故选项正确； 因为，所以，又因为，所以，则，故选项错误； 因为，所以，两边同时除以2可得：，故选项错误， 故选：. 3．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知，则下述一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以，，故AB错误； ，所以， 所以，所以， 即，故C正确； 对于D，若时， 则，故D错误. 故选：C. 4．（22-23高一上·山东青岛·期末）对于任意实数，以下四个命题中的真命题是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，若，当时，，A选项错误； 对于B，取，则，B选项错误； 对于C，取，则，C选项错误； 对于D，若，显然，故可得，又，所以，D选项正确， 故选：D. 5．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若且，则 D． 【答案】ACD 【解析】时有，则， 当且仅当，即时等号成立，A选项正确； ， 等号成立的条件是，即，显然不能成立， 故的等号取不到，B选项错误； 若且，则， 当且仅当，即或时等号成立，C选项正确； ， 当且仅当，即时等号成立，D选项正确； 故选：ACD 6．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，由不等式的基本性质可得，，即，D对. 故选：ABD. 7．（多选题）（23-24高一上·山东日照·期末）若实数，，满足且，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，所以，因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，，，所以，， 所以， 所以，所以C正确， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：BC 8．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期末）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，当时，，错误； 对于B，因为，所以，又，所以，正确； 对于C，由，可得，根据不等式的性质，可得，正确； 对于D，取，满足，而，错误. 故选：BC 9．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b，c满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由实数a，b，c满足，且， 得，b的正负无法确定； 故，A正确； 由于，则，但b的正负不确定，故不能确定，B错误； 由于，，故，C正确； 由于，故，D正确， 故选：ACD 10．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知a，b，c满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，所以，即，，即， 所以，故AB正确C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 11．（多选题）（23-24高一上·山东青岛·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由已知得， A选项，不知道的符号，不能比较与的大小，A选项错误； B选项，由，有，B选项正确； C选项，由，有，C选项错误； D选项，由，则，D选项正确. 故选：BD 12．（多选题）（23-24高一上·山东济宁·期末）若，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由，得，则，即，故A正确； 因为，所以，故B正确； 当时，，则，故C错误； 由，得，则，即，则，故D正确. 故选：ABD. 13．（多选题）（22-23高一上·山东威海·期末）已知，则下列选项中能使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：，，，，故A正确； 对于B：，，，，故B错误； 对于C：，，故C正确； 对于D：，，，，故D错误； 故选：AC. 14．（多选题）（22-23高一上·山东滨州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由得，，，因此，B正确； 对于C，，于是得，而，因此，C正确； 对于D，取，满足，有，即，D错误. 故选：BC 15．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 得，解得：， 所以， 因为，，所以，， 所有的范围是. 故选：C 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 16．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知的解集为，求的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为的解集为， 所以，且为方程的根， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 所以的解集为， 故答案为：B 17．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】由得， 因为不等式的解集是， 所以，解得. 故选：B. 18．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【解析】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 19．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知一元二次方程的两根分别为和，则 ． 【答案】/ 【解析】由韦达定理知：，，. 故答案为：. 20．（22-23高一上·山东临沂·期末）不等式的解集为，则 . 【答案】 【解析】由题意知不等式的解集为， 则是的两实数解，且 ， 故， 故， 故答案为： 21．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数 . 【答案】0 【解析】根据解集易知： ， 为偶函数，可得： 则有： 易知的两根为，则根据韦达定理可得： 解得： 故答案为： 22．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知集合，． (1)写出的所有子集； (2)若关于的不等式的解集为，，，求的值． 【解析】（1）因为，所以， 所以，所以． 所以的所有子集为：，，，． （2）因为，，所以． 由题意得1和3是方程的两根，，， 所以． 利用基本不等式求常见最值问题 23．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 24．（22-23高一上·山东威海·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．17 C．20 D．25 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 25．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【解析】因为，且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：B 26．（22-23高一·山东临沂·期末）函数的最大值是（    ） A．6 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【解析】因为，所以，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值是6， 故选：A． 27．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知，且，则有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 28．（多选题）（23-24高一上·山东临沂·期末）若正实数，满足，则（    ） A．有最小值9 B．有最大值 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】BC 【解析】对A：由，得，所以， 当且仅当，即时取等号，故A错误； 对B：由，解得，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对C：由，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对D：由，得，则， 因为，所以当时，有最小值，故D错误； 故选：BC. 29．（多选题）（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】对于A： ，当且仅当时取得等号，故A错误； 对于B：， 当且仅当 ，即时取得等号，故B正确； 对于C：， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时取得等号，故D正确. 故选：BCD. 30．（多选题）（22-23高一上·山东枣庄·期末）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为2 C．的最大值为1 D．的最小值为2 【答案】CD 【解析】对于选项， ， 当且仅当且时，即，时取等号，则错误； 对于选项， ,当且仅当 时等号成立，则，即的最大值为2，则错误； 对于选项，，即，当且仅当时，等号成立，则正确； 对于选项， ，当且仅 当时，等号成立，则正确, 故选: . 31．（23-24高一上·山东聊城·期末）若，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】因为若，且，则， 又因为，所以， 令，则，即，解得或（舍去）， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8. 故答案为：8. 32．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】9 【解析】由于，，且， 则， 当且仅当，时取等号． 故的最小值为9． 故答案为：9． 33．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知正数a，b满足，则最小值为 ． 【答案】16 【解析】由题可知，， 当且仅当时，等号成立； 故答案为：16 34．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为 . 【答案】5 【解析】， 由于，,所以， 当且仅当 时，取等号，故最小值为5， 故答案为：5 35．（多选题）（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．无最小值 C．的最大值为 D．无最大值 【答案】BC 【解析】对于AB，当时，（当且仅当时取等号）； 当时，（当且仅当时取等号）， 的值域为，无最小值，A错误，B正确； 对于CD，， 当时，取得最大值，最大值为，C正确，D错误. 故选：BC. 36．（多选题）（22-23高一上·山东济宁·期末）下列结论中，所有正确的结论是（ ） A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时的最小值为 D．当时，的最大值是 【答案】ABCD 【解析】A. 当时，，当时等号成立，但，故等号不成立，所以，故A正确； B. 当时，，当，得（1舍去）时等等号成立，故B正确； C. 当时，，，当时，即（舍去）等号成立，故C正确； D. 当时，， ， 当，即（舍去）时，等号成立，故D正确. 故选：ABCD 实际应用问题 37．（23-24高一上·山东济南·期末）如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 在中，， 又，所以， 在中，，故， 得到， 所以， 所以，即， 故选：D. 38．（22-23高一上·山东滨州·期末）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【解析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为， 由杠杆的平衡原理：，， 解得，， 则， 下面用作差法比较与12的大小， ， 又，， ， 顾客实际购买的黄金大于12克． 故选：A． 39．（22-23高一上·山东菏泽·期末）为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时． (1)若车流速度千米/小时，求车流密度的取值范围； (2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值，并指出车流量最大时的车流密度辆/千米． 【解析】（1）由题意知，当（辆/千米）时，（千米/小时），代入得， 所以 当时，，易知符合题意； 当时，，解得，所以． 综上，车流密度的取值范围是． （2）由（1）知 所以当时，为增函数，所以，当且仅当等号成立； 当时， ， 即，当且仅当，即等号成立． 综上：的最大值为2600（辆/小时），此时（辆/千米）． 即隧道内车流量的最大值为2600辆/小时，此时车流密度为80辆/千米． 40．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知二次函数，不等式的解集为． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式（其中）． 【解析】（1）由题意知，在中，的解集为 的根为． ，解得： （2）由题意得， 将代入得 即． 当时，不等式化为：，解集为：， 当时，，不等式化为， 即的解集为 当时，，不等式化为，即， 若，即，则不等式化为：，其解集为 若，即，则不等式的解集为或， 若，即，则不等式的解集为或， 综上所述： 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或． 41．（22-23高一上·山东潍坊·期末）今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划采用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且通过市场调研得知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完． (1)求出今年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额成本）； (2)今年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是多少？ 【解析】（1）由已知， 又， ， ，. （2）当时，， 当时，有最大值，最大值（万元）． 当时，，， 当且仅当，即时，等号成立，此时有最大值，最大值（万元）， 综上所述，当产量为千部时，企业所获利润最大，最大利润为万元． 42．（22-23高一上·山东菏泽·期末）在抗击疫情中，某市根据需要迅速启动“方舱医院”建设，在方舱医院中要建1000个长方体形状､高度恒定的相同房间，每个房间造价不超过960元.为了充分利用资源，每一个房间的后墙利用原有的五合板，不需要购买，正面用木质纤维板隔离，每米造价60元.两侧面用高密度合成板，每米造价30元，顶部每平方米造价30元.设每个房间正面木质纤维板长度为米，一侧面高密度合成板的长度为米. (1)用，表示每个房间造价； (2)当每个房间面积最大时，求的值. 【解析】（1）根据题意，只需要计算正面、两个侧面和一个顶面的造价，则有： （） （2）根据题意，每个房间造价不超过960元，则有： 即有： 设每个房间的面积为S，则有： 则有：，当且仅当时，取得“=” 解得： 故 当每个房间面积最大时， 含参数二次不等式的综合应用 43．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若，则关于的不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】因为，，所以，所以. 原不等式可化为所以，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 44．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知关于x的不等式的解集为M. (1)若，求k的取值范围； (2)若存在两个不相等负实数a，b，使得或，求实数k的取值范围. 【解析】（1）当时，或. 当时，恒成立； 当时，，解得，不恒成立，舍去. 当时， 解得或. 综上可知，k的取值范围为或. （2）由可得或. 因为不等式解集的两个端点就是对应方程的实数根， 所以关于x的方程有两个不相等的负根， 设为，，则， 解得， 综上可知，k的取值范围为. 45．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 【解析】（1）若不等式的解集为， 则方程的两根为1和2， 所以，解得. （2）不等式对应方程的两根为和1， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 46．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数． (1)若的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式． 【解析】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 即实数的取值范围为. （2）由得：； 当时，的解为或； 当时，的解为或； 综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 47．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知一元二次函数，． (1)若，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式的解集． 【解析】（1）由已知得， 解得或. 实数a的取值范围； （2）， 令，得， 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为， 当，即时，的解集为， 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 48．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数. (1)当时，若，求及的取值范围； (2)当时，解不等式. 【解析】（1）当时，. 由得 由两式相加得. 由两式相乘得，所以. （2）①当时，，由解得； ②当时，，对应方程两根为. （i）当即时，不等式化为，无解. （ii）当即时，由解得. （iii）当即时，由解得. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 49．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)若，解关于的不等式. 【解析】（1）由，可得对恒成立， 则，解得， 故的取值范围. （2）由题意可得：， 令，可得或， 对于不等式，则有： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 50．（22-23高一上·山东济宁·期末）已知函数（且）. (1)若函数在区间内为单调函数，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【解析】（1）由题设，二次函数的对称轴为且a ≠ 0， ∴要使在内为单调函数，则或，解得或. （2）由题设，， ∴， 由，则，当且仅当时等号成立， ∴，故解集为. 51．（22-23高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求，的值； (2)若，求不等式的解集． 【解析】（1）因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根，且， 可得，解得，． （2）当时，不等式即，即， ①当时，，解得； ②当时，不等式可化为，解得或； ③当时，不等式化为， 若，则； 若，则； 若，则， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 基本不等式的综合应用 52．（22-23高一上·山东青岛·期末）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由， 又，所以，且，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为6. 故选：A. 53．（22-23高一上·山东青岛·期末）已知都是正实数，若，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由可知 （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） （当且仅当时等号成立） 以上三个不等式两边同时相乘，可得 （当且仅当时等号成立） 故选：D 54．（23-24高一上·山东菏泽·期末）若、、、均为正实数，则的最小值为 . 【答案】 【解析】原式 ， 当且仅当时， 即当时，等号成立， 故的最小值为， 故答案为：. 55．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数. (1)解关于x的不等式； (2)若关于x的不等式的解集为. （i）求的值； （ii）求的最小值. 【解析】（1）不等式，整理得， 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或； 当时，原不等式可化为，此时不等式的解为； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （2）（i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且， 由韦达定理可知，所以. （ii）由（i）知，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9. 56．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最大值. 【解析】（1）（法一）. 当即时取等号，所以. （法二） 当即时取等号，所以. （2）因为，所以， 所以 ， 当即时取等号， 所以. （3）由得， 所以. 当即时取等号. 所以，. 57．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知，都是正数. (1)若，证明：； (2)当时，证明：. 【解析】（1）证明：由于，都是正数， ， 当且仅当时等号成立.所以. （2）证明： . 因为，，所以，，所以成立. 含参数恒成立与有解问题 58．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为不等式恒成立， 则， 因为，，由可得， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 故， 所以，即，解得， 则实数的取值范围是． 故选：B． 59．（多选题）（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知，且，若不等式恒成立，则的值可以为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AB 【解析】要使不等式恒成立，只需要即可. 由，得， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为，即， 故的最大值为. 故选：AB. 60．（23-24高一上·山东滨州·期末）一元二次不等式对于一切实数都成立，实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为是一元二次不等式，所以， 又对一切实数成立， 所以，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 61．（22-23高一上·山东济南·期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于，所以, 当且仅当取等号，故，解得， 故答案为： 62．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知二次函数（为常数），若不等式的解集为且. (1)求； (2)对于任意的，不等式恒成立，求k的取值范围. 【解析】（1）由的解集为且， 知为方程的两实数根，故， 解得， 所以. （2）由（1）知， 则由，恒成立，得恒成立， 由题意得 解得，所以k的取值范围为. 63．（22-23高一上·山东菏泽·期末）二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由，可设, ∵， ∴, 由题意得，，解得； 故. （2）由题意得，, 即对恒成立， 令，又在上递减，故, 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$