专题04 玩转指数函数、对数函数、幂函数（4大基础题4大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期末真题分类汇编（山东专用）

专题04 玩转指数函数、对数函数、幂函数 指数、对数运算 1．（23-24高一上·山东临沂·期末）（1）计算： （2）已知，求的值. 【解析】（1）原式 . （2）， ， 所以， 所以原式. 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 【解析】（1）原式. （2）原式. 3．（22-23高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C．15 D．12 【答案】A 【解析】 故选：A 4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 5．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误， 故选：AC． 6．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【解析】由得到，则，即， 整理得，解得或， 当时，，，则； 当时，，，则． 故选：CD． 7．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知，则 . 【答案】/1.5 【解析】因为，则， 所以. 故答案为： 8．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b满足，则 . 【答案】2 【解析】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 9．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则 . 【答案】/ 【解析】因为，则， 所以， . 故答案为：. 10．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，则 . 【答案】3 【解析】因为，，所以， 故. 故答案为：3 11．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知，则 （结果用含的式子表示） 【答案】 【解析】因为，所以 因为. 故答案为： 幂函数的图像与性质 12．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【解析】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 13．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若幂函数在上单调递增，则实数 . 【答案】 【解析】是幂函数，所以， 解得或， 当时，在上单调递减，不符合题意. 当时，在上单调递增，符合题意. 所以的值为. 故答案为： 14．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】 【解析】设幂函数， 则，得. ， . 故答案为：. 15．（22-23高一上·山东烟台·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为 ． 【答案】-1 【解析】因为函数是幂函数， 所以，解得或； 当时，，图象不经过原点，满足题意； 当时，，图象经过原点，不满足题意； 所以. 故答案为：. 16．（22-23高一上·山东日照·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，则 . 【答案】 【解析】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增， 所以，解得或(舍)， 所以. 故答案为：. 17．（23-24高一上·山东威海·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得幂函数在上单调递增， 所以，解得或（舍）. 故选：D. 18．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设幂函数，由于的图象过点， 故， 即， 故选：A 19．（22-23高一上·山东·期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设幂函数为，由函数过点， 所以，即，所以，解得， 所以，则函数的定义域为，且， 故为偶函数，且函数在上单调递减，则函数在上单调递增， 故符合题意的为D； 故选：D 20．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】B 【解析】设幂函数f（x）＝xα， 因为幂函数y＝f（x）的图象过点 ， 所以， 解得， 所以， 所以y＝f（x）的定义域为（0，+∞），且在其定义域上是减函数，故A错误；B正确， 因为函数定义域为（0，+∞），不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故选项C，D错误， 故选：B． 21．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为增函数 C．的值域为 D．对，方程有两个根 【答案】ACD 【解析】因为，易知定义域为，定义域关于原点对称， 又，即为奇函数，所以选项A正确， 对于选项B，因为定义域为，当时，， 当时，，而，所以选项B错误， 因为在定义域上单调递增，在区间上单调递增， 所以的增区间为， 又易知，当时，的值域为，当时，的值域为， 所以对，方程有两个根，即选项C和D均正确， 故选：ACD. 22．（多选题）（23-24高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】设幂函数，由于图象经过点， 所以，即， 所以， 故在定义域,上单调递增，B正确； 为非奇非偶函数，A不符合题意； 当，解得，故C正确； 当时， ， 故，即成立，D正确． 故选：BD 23．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（    ）. A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．图象关于点成中心对称 C．幂函数在上为减函数，则的值为 D．若，则的最大值是 【答案】BCD 【解析】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则，解得， 故函数的定义域为，A错； 对于B选项，对任意的，， 故函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，若幂函数在上为减函数， 则，解得，C对； 对于D选项，若，， 当且仅当时，等号成立，D对. 故选：BCD. 24．（多选题）（22-23高一上·山东烟台·期末）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 【答案】ABD 【解析】由幂函数定义可知，系数，解得或， 又因为，所以；故A正确； 时，，其定义域为，且满足，所以函数是偶函数，即B正确； 由可知，函数在为单调递减，所以，所以C错误； 函数的值域为，即D正确； 故选：ABD. 25．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 26．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 【解析】（1）解:由题意知，解得，或． 又因为的图像关于y轴对称，所以为偶函数，从而． 所以，. （2）由（1）知，， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 当时，，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，的单调递增区间为． 指数函数的图像与性质 27．（23-24高一上·山东青岛·期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义在上的函数，函数为偶函数且在上单调递增， 若，则有，即，解得. 所以的取值范围为. 故选：D 28．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 【解析】（1）令得，所以函数的图象恒过定点， 所以，解得， 所以； （2）由，得， 所以或， 当时，由单调性知，，不符合题意； 当时，， 所以． 29．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)解关于的不等式. 【解析】（1）当时，由方程，得到， 所以或，解得或， 故方程的解为或. （2）由，可得， ①当时，恒成立，原不等式等价于，解得， 此时不等式解集为； 当时，由，得到或， ②当时，，由，得到或，此时不等式解集为； ③当时，方程仅有一根，即，此时不等式解集为； ④当时， ，由，得到或，此时不等式解集为， 综上所述，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，方不等式解集为， 当时，不等式解集为. 30．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，.记为的最小值. (1)求； (2)设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知，对称轴为， ①当时，在上单调递增，所以的最小值为； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ③当时，在上单调递减， 所以的最小值为. 综上可知，. （2）法一：由第（1）问知，， 即， 所以关于的方程在上有且只有一解， 等价于与的图象在上有且只有一个交点， 因为，所以的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 又因为在上单调递增， 所以， 即，解得. 法二:由第（1）问知，， 即在上有且只有一解， 令， 因为，所以的图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 又因为在上单调递增， 所以在上单调递减， 则， 即， 解得. 对数函数的图像与性质 31．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 【解析】（1）因为是奇函数， ①当时，， ②当时，，， 所以， 所以. （2）由题意知，， 得， 令，则，即， 解得或， 即或， 解得或. 32．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【解析】（1）设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. （2）由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 33．（23-24高一上·山东济宁·期末）函数（，且）恒过的定点是 ． 【答案】 【解析】令，解得，此时， 所以函数（，且）恒过的定点是. 故答案为：. 34．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意可知， 又在上单调递增，则时，， 则， 根据对数函数的性质可知. 故答案为： 35．（22-23高一上·山东临沂·期末）一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为 . 【答案】8 【解析】对于函数，令，则该函数图象过定点， 将代入，得， 故， 当且仅当且，即时取等号， 故答案为：8 36．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，对任意的，，则，解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 37．（多选题）（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【解析】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误； 由于，故B正确； 当时，所以在上单调递增，故C正确； 当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误． 故选：BC． 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由题意易知或， 且开口向上，且对称轴为， 结合复合函数的单调性知在上单调递增， 所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性； 而函数在上单调递增可知， 显然成立，满足必要性. 故选：B 39．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 40．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 41．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 【解析】（1）为奇函数， ， ，即， ，整理得， （时，不合题意而舍去）． （2）由(1)，故， 设， 时，，，， ，即， 函数在上是减函数； （3）由(2)知，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知在单调递增， 又在R上单调递增， 在单调递增， 在区间上只有一个零点， ， 即， 解得. 指对幂比较大小 42．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 43．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 44．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则，即， 而， 又因为， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：B. 45．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可知，所以， 易知， 先证糖水不等式：若，则， 证明如下：作差得，得证. 所以有，即， 所以. 故选：A 46．（23-24高一上·山东济南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意. 故选：B. 47．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，， 所以. 故选：D 48．（23-24高一上·山东济宁·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 49．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 且，可得， 所以. 故选：B. 50．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】指数函数在R上为减函数，则，即， 对数函数在上为增函数，则， 对数函数在上为增函数，则．因此. 故选：B． 51．（多选题）（23-24高一上·山东聊城·期末）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，因为，则， 所以，，B对； 对于C选项，因为，则，可得， 所以，， 因为对数函数为上的减函数，故，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 指数、对数、幂函数的综合应用 52．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】令 因为，即，可知函数的定义域为， 且， 所以为上的奇函数， 因为， 且在内单调递增， 则在内单调递增，可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，则在内单调递减， 由奇函数可知在内单调递减，所以在上单调递减， 综上所述：为定义在上奇函数，且在上单调递减， 由，则， 可得， 则，解得：， 所以不等式的解集是. 故答案为：． 53．（多选题）（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 【答案】ACD 【解析】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故， 由，令，则， 则，A正确； 对于B，由，得，即， 故，即8为函数的一个周期， 由，可知函数的图象关于直线对称， 又当时，，故可作出函数的图象如图： 由图象可知在上单调递减，B错误； 对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足， 故，C正确； 对于D，当时，显然不满足，故的根即的根， 也即函数的图象的交点的横坐标， 作出的图象如图： 由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称， 因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确， 故选：ACD 54．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数若函数有三个零点，且，则（    ） A． B． C．函数的增区间为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】如图所示： 对于A：方程有三个解与有3个交点，从图中可以看出A正确； 对于B：令得，即点的坐标为，令得，即点的坐标为， 由图可知的范围应该介于，之间，可以取点，不能取点，所以，故B正确； 对于C：的增区间为，所以的增区间为，故C错误； 对于D：关于对称，所以， 令得或，由图可知 等号当时即时成立，故D正确. 故选：ABD 55．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知指数函数，，（，且，），且，.则下列结论正确的有（    ） A．， B．若，则一定有 C．若，则 D．若，，则的最大值为 【答案】AC 【解析】对于A选项，因为指数函数，，（，且，）， 则，可得，由可得，则， 所以，，，A对； 对于B选项，由，可得，可得出，即， 当时，则，此时，， 当时，则，则，则.B错； 对于C选项，由，可得， 设，则，所以，，，， 所以，，C对； 对于D选项，， 因为，令，令，其中， 则函数在上为减函数，在上为增函数， 当时，；当时，， 所以，的最大值为，D错. 故选：AC. 56．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【解析】（1）函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 57．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)当时，时，求的取值范围； (2)对任意，且，有，求的取值范围； (3)，的最小值为，求的最大值. 【解析】（1）由，可得， 解得或， 所以或； （2）由，时恒成立则，令. 则当时，由可得：，即得：（时取等号）， 当时，，可得：即得：.（时取等号） 故，因在上递减，在上递增， 而时；时，，即， 故. （3）由（）. 可得：， ①当时，在单调递增，所以此时无最值； ②当时，由，. 所以在上单调递增，上单调递减,此时，. ③当时.，，. 所以在上单调递减，在上单调递增，此时，， 综上，，因时，， 故最大值为1. 58．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知 (1)写出函数的单调区间； (2)当函数有两个零点时，求的取值范围； (3)求的解析式. 【解析】（1）函数的单调递增区间为，； （2）当函数有两个零点时，即有两根. 由在区间，递增， 所以，（）有一解，即； ，（）有一解，即； 综上，所以当函数有两个零点时； （3）时，，又， 所以，即. 59．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，． (1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明； (2)若，解关于的不等式； (3)证明：恰有两个零点m，，且． 【解析】（1）由题知，， 因为， 所以在上和上单调递增，理由如下： ①，，且， 由． 因，则，，又， 故，即在上单调递增， ②，，，同理可得：，即在上单调递增， 所以在上和上单调递增，即函数的单调增区间为，，无减区间. （2） 由（1）知：在上和上单调递增，又因为． 如图，要使，只需使或，故不等式的解集为：． （3）由（1）知：在上和上单调递增， 又因为，且， 取满足，则， 所以在上有唯一零点， 又因为，且，取满足， 则， 所以在上有唯一零点，则， 又因为， 因在上单调递增，且，，则必有，即， 故． 函数新定义 60．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 【解析】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得， 所以函数的定义域是． （2）在上单调递增． 理由如下：法一： 因为， 又在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 法二： 因为， 对任意，，且，可知，则 ， 又， 可知，所以， 即．故在上单调递增， （3）由（2）可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以．故实数b的取值范围为． 61．（23-24高一上·山东聊城·期末）若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 【解析】（1）因为为、的“函数”， 所以①，所以． 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②得，，． （2）假设存在实数、使得函数为函数、的“函数”． 则． ①因为是偶函数﹐所以． 即， 则， 整理得． 因为对恒成立，所以． ②． 因为，当且仅当取等号， 所以， 由于的值域为，所以，则， 又，所以． 综上，存在，满足要求． 62．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）记函数，首先证明其凹凸性： ,则 所以在为凹函数. 由琴生不等式，得， 即 所以，当时，W的最小值为. （2）设,因为故 要证只需证 由琴生不等式，只需证在为凹函数. 设， 下证，即证， 即证, 化简得. 即证 式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证. （3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，    可得在时恒成立． 因为，所以，，所以． 由，及，可得，所以． 故． 63．（多选题）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 64．（22-23高一上·山东聊城·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质． (1)当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由； (2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围． 【解析】（1）因为在上单调递增， 所以在上的函数值的取值范围是，即， 显然，所以， 故函数具有性质． （2）， 因为在上单调递减，在上单调递增， 而，故， 而，故，故或. 当时，单调递减， ∴，得，整理得， ∵与矛盾，∴当时，不合题意． 当时，在单调递增， ∴，知在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根， 令，， 由，，，知， 综上可得的取值范围是． 恒成立与有解问题 65．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【解析】（1），令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． （2）当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 66．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. （3）由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 67．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围． 【解析】（1），则， ，，，即， ． 故不等式的解集为； （2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实根， ，， ，令，则， 即方程在上只有两解，令，， 则． 当时，直线和函数的图象只有两个公共点， 即函数只有两个零点， 实数的范围是； （3），函数在上单调递增， 即函数在定义域内单调递增， 函数在区间上的最小值为，最大值为， ， 对恒成立． 令，， 对，恒成立， 在上单调递增， ， 解得，又， ． 实数的取值范围是． 68．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性，并用定义证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数为奇函数，所以， 即， 则，即，则，得； 所以， 函数在上为增函数， 证明如下： 设，则 ，所以，且，， ，即， 函数在上为增函数； （2）不等式恒成立， ， 函数为奇函数， ， 函数在上单调递增，则， 即恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，需满足，即，解得； 综上，实数的取值范围为． 69．（22-23高一上·山东威海·期末）已知函数与的图象关于直线对称． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； (3)已知正实数满足，，求的值． 【解析】（1）与的图象关于直线对称，， ； 的定义域为，且为偶函数，， ，，解得：. （2），， 由得：； 由得：； ，即在上有解； 当时，，解得：，满足题意； 当且时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. （3），，，即，； 设，令，则， ，，，又， 在上单调递增， 由得：，，即， . 70．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数（且）为定义在R上的奇函数. (1)判断并证明的单调性； (2)若函数，对干任意，总存在，使得成立，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意函数（且）为定义在R上的奇函数, 得：，解得. ∴， 验证：，则， 即，即为奇函数； 任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，故， 所以函数在R上单调递增. （2）由（1）知，在R上单调递增， ∴时，，即， 即的值域为，设为A. ， 令，则，设，其值域为B， 由题意知. 的图象的对称轴为， 当时，在上单调递增，， ∴，与矛盾，所以舍掉； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， ∴， ∴ ，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，且， ∴， ，则， 当时，在上单调递减，， ，与矛盾，所以舍掉. 综上所述，m的取值范围为. 71．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意x，都有， 即．即， 即，化简得． 上式对定义域内任意x恒成立，所以必有，解得a＝1． （2）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方， 必须使在上恒成立． 令，则，上式整理得，． 由基本不等式可知．（当且仅当时，等号成立） 即，所以， 所以a的取值范围是． 72．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式并判断函数的单调性（无需证明）； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是定义在R上的奇函数，且当时，， 设x＜0，则－x＞0，则． 故，函数在定义域R上单调递增． （2）因为函数在定义域R上的单调递增． 原不等式恒成立等价于 对任意的恒成立． 即 对任意的恒成立． 构造函数，则也是R上的增函数 . 故原不等式恒成立等价于对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． ①当时，为开口向下的二次函数， 不恒成立； ②当时，不恒成立； ③当a＞0时，由对任意的恒成立， 可得，解得1＜a＜9． 综上，实数a的取值范围是． 73．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数． (1)设，求函数的值域； (2)函数的图像与函数的图像关于对称，把函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，对任意的，恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】（1），， 由，， 的值域为. （2），函数的图像与函数的图像关于对称，则， 函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，则， 当，有，则，令， 任意的，恒成立，即任意的，恒成立， 设，则有，解得，实数m的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 玩转指数函数、对数函数、幂函数 指数、对数运算 1．（23-24高一上·山东临沂·期末）（1）计算： （2）已知，求的值. 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）求下列各式的值： (1)； (2). 3．（22-23高一上·山东菏泽·期末）（    ） A． B． C．15 D．12 4．（23-24高一上·山东潍坊·期末）（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 6．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知，则 . 8．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b满足，则 . 9．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则 . 10．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，则 . 11．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知，则 （结果用含的式子表示） 幂函数的图像与性质 12．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 13．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若幂函数在上单调递增，则实数 . 14．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知幂函数的图象过点，则 ． 15．（22-23高一上·山东烟台·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为 ． 16．（22-23高一上·山东日照·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，则 . 17．（23-24高一上·山东威海·期末）已知幂函数在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 19．（22-23高一上·山东·期末）已知某幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象过，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．在其定义域内为减函数 C．是偶函数 D．是奇函数 21．（多选题）（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为增函数 C．的值域为 D．对，方程有两个根 22．（多选题）（23-24高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 23．（多选题）（22-23高一上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（    ）. A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．图象关于点成中心对称 C．幂函数在上为减函数，则的值为 D．若，则的最大值是 24．（多选题）（22-23高一上·山东烟台·期末）幂函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是偶函数 C． D．函数的值域为 25．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 26．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知幂函数的图像关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数，求的单调递增区间. 指数函数的图像与性质 27．（23-24高一上·山东青岛·期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 29．（23-24高一上·山东枣庄·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)解关于的不等式. 30．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，.记为的最小值. (1)求； (2)设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围. 对数函数的图像与性质 31．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 32．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 33．（23-24高一上·山东济宁·期末）函数（，且）恒过的定点是 ． 34．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 . 35．（22-23高一上·山东临沂·期末）一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为 . 36．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 37．（多选题）（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有且仅有一个零点0 B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 39．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 41．（22-23高一上·山东淄博·期末）已知函数为奇函数. (1)求数k的值； (2)设，证明：函数在上是减函数； (3)设函数，判断在上的单调性，无需证明；若在上只有一个零点，求实数m的取值范围. 指对幂比较大小 42．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 45．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 46．（23-24高一上·山东济南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 47．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 48．（23-24高一上·山东济宁·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 50．（22-23高一上·山东菏泽·期末）若，，，则有（    ） A． B． C． D． 51．（多选题）（23-24高一上·山东聊城·期末）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 指数、对数、幂函数的综合应用 52．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 53．（多选题）（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 54．（多选题）（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数若函数有三个零点，且，则（    ） A． B． C．函数的增区间为 D．的最小值为 55．（多选题）（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知指数函数，，（，且，），且，.则下列结论正确的有（    ） A．， B．若，则一定有 C．若，则 D．若，，则的最大值为 56．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 57．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)当时，时，求的取值范围； (2)对任意，且，有，求的取值范围； (3)，的最小值为，求的最大值. 58．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知 (1)写出函数的单调区间； (2)当函数有两个零点时，求的取值范围； (3)求的解析式. 59．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，． (1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明； (2)若，解关于的不等式； (3)证明：恰有两个零点m，，且． 函数新定义 60．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 61．（23-24高一上·山东聊城·期末）若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 62．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 63．（多选题）（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 64．（22-23高一上·山东聊城·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质． (1)当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由； (2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围． 恒成立与有解问题 65．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 66．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 67．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围． 68．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性，并用定义证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 69．（22-23高一上·山东威海·期末）已知函数与的图象关于直线对称． (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； (3)已知正实数满足，，求的值． 70．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数（且）为定义在R上的奇函数. (1)判断并证明的单调性； (2)若函数，对干任意，总存在，使得成立，求m的取值范围. 71．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围． 72．（22-23高一上·山东枣庄·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式并判断函数的单调性（无需证明）； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 73．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数． (1)设，求函数的值域； (2)函数的图像与函数的图像关于对称，把函数的图像向上平移一个单位长度得到函数的图像，对任意的，恒成立，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$