2024年重庆九年级中考数学专题十一 三角形（重庆专用）

专题十一 三角形 考点一 三角形相关性质及简单证明 1．（2024重庆育才中学一模）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ） A. AB=3，BC=4，AC=6 B. AB=4，∠B=45°，∠A=60° C. AB=4，BC=3，∠A=30° D. ∠C=90°，AB=8，AC=4 2．（2024重庆育才中学一诊）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 3．（2024重庆渝北六校联盟月考）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，点F是线段上的一点．连接，，，若，，则的长为______． 4．（2023重庆中考A卷）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 5．（2023重庆中考B卷）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 6．（2024重庆中考B卷）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________． 7．（2023重庆西附三模）一个等腰三角形的顶角为，则它的一腰上的高与另一腰的夹角为______． 8．（2024重庆三十七中一诊）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 9．（2024重庆南岸监测）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______． 10．（2023重庆巴蜀中学三模）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的周长为______． 11．（2024重庆一中三模）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=_______°． 12．（2024重庆巴蜀中学一模）已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为______． 13．（2024重庆中考模拟）如图，在中，，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为______． 14．（2023重庆育才中学三模）如图的周长为18，且，于D，的周长为12，那么的长为__________． 15． （2024重庆中考A卷）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 16．（2024重庆沙八一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 17．（2024重庆巴蜀中学二模）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，若将沿直线翻折，使得的顶点恰好落在边上的点处，则 ． 考点二 综合应用 18．（2024重庆育才中学一诊）如图，在中，，，，点，在斜边上，将边沿翻折，使点C落在上的点处，再将边沿翻折，使点A落在延长线上的点G处，则的面积为________． 19．（2023重庆一外三模）如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为______． 20．（2024重庆育才中学三诊）如图，在中，，点是上一点，连接，于点，于点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 21．（2024重庆一中三模）如图，将线段绕点顺时针旋转一定的角度到，点为线段上一点，连接并延长到点，连接、，过点作交的延长线于点，如果，，，那么的面积是_____． 22．（2024重庆育才中学二模）如图，在等边中，，点在外部，且，连接交于点，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 23．（2024重庆八中月考）如图，中，是的角平分线，，垂足为，过作交于点，过作交于点，连接，已知，，则_____． 24．（2024重庆巴蜀中学定时作业）在中，，，点D是AB边上一点，，连接CD，将沿CD翻折得到，其中与AB边交于点E，，连接，则的长为______． 25．（2024重庆量子巴川三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为__． 试卷第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题十一 三角形 考点一 三角形相关性质及简单证明 1．（2024重庆育才中学一模）根据下列条件，不能画出唯一确定的△ABC的是（ ） A. AB=3，BC=4，AC=6 B. AB=4，∠B=45°，∠A=60° C. AB=4，BC=3，∠A=30° D. ∠C=90°，AB=8，AC=4 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的几种判定定理，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可． 【解析】A.，，，符合全等三角形的判定定理SSS，能画出唯一的，故本选项不符合题意； B.，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的，故本选项不符合题意； C.，，，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能画出唯一的，故本选项符合题意； D.，，，符合全等直角三角形的判定定理HL，能画出唯一的，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（2024重庆育才中学一诊）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解析】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 3．（2024重庆渝北六校联盟月考）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，点F是线段上的一点．连接，，，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理以及直角三角形的性质，熟练掌握中位线定理是解题的关键．根据题意得，，即可得到答案． 【解析】解：点D，E分别是边，的中点，， ， ，， ， ． 故答案为：． 4．（2023重庆中考A卷）如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，得到，即可得解． 【解析】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（2023重庆中考B卷）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解析】解：∵在中，，是边的中线， ∴，， 在中，，， ∴， 故答案为：4． 6．（2024重庆中考B卷）如图，在中，，，平分交于点．若，则的长度为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，进而可证明，即可推出． 【解析】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：2． 7．（2023重庆西附三模）一个等腰三角形的顶角为，则它的一腰上的高与另一腰的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于，则即为所求，由题意知，，，，则，，根据，计算求解即可． 【解析】解：如图，作于，则即为所求， 由题意知，，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（2024重庆三十七中一诊）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【解析】解：∵在中，，是边的中线， ∴，， 在中，，， ∴， 故答案为：4． 9．（2024重庆南岸监测）如图，点A，B，C，D在同一直线上，，点C，F分别是，的中点，若，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质，根据题意得到是的中位线，得到，推出，证明，得到，由，求出，即可得出结果． 【解析】解：点C，F分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ，点F分别是的中点， ， ， 故答案为：4． 10．（2023重庆巴蜀中学三模）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则的周长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据中垂线的性质可知，再由，，可得的周长为． 【解析】解：的垂直平分线交于点， ， ，， ， ， 的周长为， 故答案为：． 11．（2024重庆一中三模）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=_______°． 【答案】15 【解析】 【解析】∵AB=AC，∠A=50°， ∴∠ACB=∠ABC=（180°﹣50°）=65°. ∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°， ∴∠ABE=∠A=50°. ∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°． 12．（2024重庆巴蜀中学一模）已知等腰三角形的两边，满足，则等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是绝对值非负性的应用、利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义，解题关键是熟练掌握利用三角形三边关系判断能否组成三角形． 先由算术平方根和绝对值的非负性得到、，分情况讨论，利用三角形三边关系和等腰三角形定义判断出三边长度后即可求解． 【解析】解：根据算术平方根和绝对值的非负性可得，， ①腰为， ，不符合三角形任意两边之和大于第三边， 该情况舍去； ②腰为， 此时满足三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 该情况成立， 等腰三角形周长为． 故答案为：． 13．（2024重庆中考模拟）如图，在中，，垂直平分交于点，交于点，若，且的周长为，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由线段垂直平分线性质，得到，推出，求出的长，得到的长，即可求出的长． 【解析】垂直平分 的周长为 故答案为：． 14．（2023重庆育才中学三模）如图的周长为18，且，于D，的周长为12，那么的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件根据等腰三角形三线合一的性质可得到BD＝DC，再根据三角形的周长定义求解． 【解析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝DC． ∵AB+AC+BC＝18， 即AB+BD+CD+AC＝18， ∴AC+DC＝9 ∴AC+DC+AD＝12， ∴AD＝3． 故答案为：3． 15． （2024重庆中考A卷）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点．若，，则______． 【答案】 【分析】先根据平行线分线段成比例证，进而得，，再证明，得，从而即可得解． 【解析】解：∵，过点作，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：， 16．（2024重庆沙八一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为 ． 【答案】##140度 【解析】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案． 【解析】解：设交于点G， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．（2024重庆巴蜀中学二模）如图，在中，，，，点是边上一点，连接，若将沿直线翻折，使得的顶点恰好落在边上的点处，则 ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，推出是解题的关键．先求出的长，再证明出，得到，由可得到的长． 【解析】解：∵将沿直线翻折，使得的顶点恰好落在边上的点处， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 考点二 综合应用 18．（2024重庆育才中学一诊）如图，在中，，，，点，在斜边上，将边沿翻折，使点C落在上的点处，再将边沿翻折，使点A落在延长线上的点G处，则的面积为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形、等面积法，勾股定理．根据翻折的性质可知，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可求解． 【解析】解：在中，，，， ∴， 根据两次翻折可知：，，， ， ， ， ， ， ， ． ． 在中，， ， ∴则 故答案为：． 19．（2023重庆一外三模）如图，在中，，，点在上，连接，作等腰直角，，连接，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，将绕点逆时针旋转得，可得直角，根据勾股定理可求出的长，根据全等三角形的判定和性质可证，可求出的值，过点作，根据勾股定理可求出的值，在直角中根据勾股定理即可求解． 【解析】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， 如图所示，将绕点逆时针旋转得，则与重合，连接， ∴，，，, ∴， 在直角中，， ∵， ∴， ∴，则，， ∴， 如图所示，过点作于点，且， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在直角中，， 故答案为： ． 20．（2024重庆育才中学三诊）如图，在中，，点是上一点，连接，于点，于点，连接，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的综合运用，涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．先判定，再判定点为中点，得，再利用三角形内角和求解即可． 【解析】解：如图，设与交于点， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点为中点， ∵， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 21．（2024重庆一中三模）如图，将线段绕点顺时针旋转一定的角度到，点为线段上一点，连接并延长到点，连接、，过点作交的延长线于点，如果，，，那么的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定， 过点A作，首先证明出，得到，，然后证明出，得到，然后求出，然后利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【解析】如图所示，过点A作 ∵将线段绕点顺时针旋转一定的角度到， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的面积是． 故答案为：． 22．（2024重庆育才中学二模）如图，在等边中，，点在外部，且，连接交于点，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接交于点，连接，则是的重心，根据已知可得，则，，，进而解，得出则，得出是等边三角形，即可求解． 【解析】解：如图所示，取的中点，连接交于点，连接， ∴是的重心，， ∴ 又∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵，则， 在中，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又 ∴是等边三角形 ∴ 故选：D． 23．（2024重庆八中月考）如图，中，是的角平分线，，垂足为，过作交于点，过作交于点，连接，已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由是的角平分线，得，根据平行线的性质可求，从而有，通过同角或等角的余角相等得出，即可证明，由相似三角形的性质得，再通过勾股定理即可求出的长． 【解析】∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 24．（2024重庆巴蜀中学定时作业）在中，，，点D是AB边上一点，，连接CD，将沿CD翻折得到，其中与AB边交于点E，，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解，结合折叠性质可得：，证明，可得，可得，设，解得：，可得，，过作于，求解，，再结合勾股定理可得答案． 【解析】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 结合折叠性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∵，， ∴，， ∴， 解得：，（经检验不合题意舍去） ∴，， 过作于， ∴由可得： ，， ∴， ∴． 故答案为：． 25．（2024重庆量子巴川三模）如图，四边形中，平分，于点E，，则的长为__． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作交的延长线于点F，证明，则，证明，则，得到，即可得到的长． 【解析】解：过点C作交的延长线于点F， ∵平分，于点E，于F， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为： 试卷第 1 页，共 21 页 学科网（北京）股份有限公司 $$