福建省莆田市仙游县第二教研片区2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

仙游县高中第二教研片区2024-2025学年上学期 期中联考高二年级数学学科试卷 (考试时间:120分钟 满分:150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（ ） A. 3x+2y－1＝0 B. 3x+2y+1＝0 C. 2x+3y+1＝0 D. x－2y－3＝0 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 3. 已知直线与平行，则实数a的值为 A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －1 4 等差数列中，则公差（ ） A. 4 B. 3 C. -4 D. -3 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（  ） A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 6. 已知数列，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 7. 已知正项等比数列，若=9，则（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 8. 已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 10. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆半径为5 D. 点在圆内 11. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，n的最小值为13 三.填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 点到直线：的距离是______ 13.数列的前项和记为，若，则______. 14. 求过点且与圆相切的直线方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题卷的相应位置. 15. （本题15分）已知，在中， （1）（本小题7分）求边的方程； （2）（本小题8分）求边上的中线所在直线的方程． 16.（本题15分）已知数列满足，且. （1）（本小题7分）求数列的通项公式； （2）（本小题8分）设，求数列的前n项和. 17. （本题15分）若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）（本小题8分）求圆C的方程． （2）（本小题7分）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 18.（本题15分）已知数列的前项和为，且满足． (1)（本小题7分）求数列的通项公式； (2)（本小题8分）已知，求数列的前项和． 19.（本题17分）已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)（本小题5分）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)（本小题5分）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)（本小题7分）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期高中第二教研片区联考 高二数学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．________________________________________ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年上学期高中第二教研片区联考 高二数学·答题卡 姓名： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．________________________________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（15 分） 16．（15 分） 贴条形码区 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选 择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5．正确填涂 缺考标记 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 数 学 第 1 页（共 6 页） 数 学 第 2 页（共 6 页） 数 学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（15 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第1页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 仙游县高中第二教研片区 2024-2025 学年上学期 期中联考高二年级数学学科试卷 (考试时间:120 分钟 满分:150 分) 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1， 3 2 − ）的直线 l的方程是（ ） A. 3x+2y－1＝0 B. 3x+2y+1＝0 C. 2x+3y+1＝0 D. x－2y－3＝0 2. 圆 ( ) 2 2: 3 9A x y− + = 与圆 2 2: 8 12 27 0B x y x y+ − − + = 的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 3. 已知直线 1 : ( 2) 2 0l ax a y+ + + = 与 2 : 1 0l x ay+ + = 平行，则实数 a的值为 A. －1或 2 B. 0或 2 C. 2 D. －1 4 等差数列  na 中 1 32, 8a a= = ，则公差 d =（ ） A. 4 B. 3 C. -4 D. -3 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健 步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相 还”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走 的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（ ） A．12 里 B．24 里 C．48 里 D．96 里 . 第2页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 6. 已知数列{𝑎𝑛}， 1 2a = ，且 ( )1 1 1 1 n n a n a + =  − ，则 2024a =（ ） A. 1− B. 2 C. −2 D. 1 2 7. 已知正项等比数列 na ，若 2 8a a =9，则 4 6 5a a a+ =（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 8. 已知点 (2,2)P ，点M是圆 2 2: ( 1) 1O x y+ − = 上的动点，则 | |PM 的最大值是（ ） A. 5 1− B. 3 5− C. 2 5− D. 5 1+ 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的 得 0 分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 设数列{𝑎𝑛}的前 n项和为 nS ，已知 2 1n nS a= − ，则下列结论正确的是（ ） A. 2 2S = B. 数列{𝑎𝑛}为等比数列 C. 2nna = D. 若 2 1 2 2 1 log log n n n b a a+ + = ，则数列{𝑏𝑛}的前 10 项和为 10 11 10. 已知圆M 的标准方程为 2 2( 4) ( 3) 25x y− + + = ，则下列说法正确的是（ ） A. 圆M 的圆心为 ( )4, 3− B. 点 ( )1,0 在圆内 C. 圆M 半径为 5 D. 点 ( )3,1− 在圆内 11. 设等差数列 na 的前 n项的和为 nS ，公差为 d，已知 3 12a = ， 12 0S  ， 7 0a  ， 的 第3页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 则（ ） A. 5 60S = B. 4 3d−   − C. 6 0a  D. 当 0nS  时，n的最小值为 13 三.填空题（本题共 3 小题，每题 5分，共 15 分） 12. 点 ( )1, 2P − 到直线 2l ：4 3 8 0x y+ − = 的距离是______ 13.数列 na 的前 n项和记为 nS ，若 2 3nS n n= − ，则 na = ______. 14. 求过点 3(4, )P − 且与圆 ( ) ( ) 2 2 1 3 9x y− + − = 相切的直线方程为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 请把答案填在答题卷的相应位置. 15. （本题 15 分）已知 ( ) ( ) ( )3,2 , 5, 4 , 0, 2A B C− − − ，在 ABCV 中， （1）（本小题 7 分）求BC边的方程； （2）（本小题 8 分）求BC边上的中线所在直线的方程． 16.（本题 15 分）已知数列 na 满足 1 3n na a+ = + ，且 3 7a = . （1）（本小题 7 分）求数列 na 的通项公式； （2）（本小题 8 分）设 1 1 n n n b a a + =  ，求数列 nb 的前 n项和 nS . 第4页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 17. （本题 15 分）若圆 C经过点 ( )1,1A − 和 ( )1,3B ，且圆心在 x轴上，则： （1）（本小题 8 分）求圆 C的方程． （2）（本小题 7 分）直线 y x= 与圆 C交于 E、F两点，求线段EF 的长度． 第5页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 18.（本题 15 分）已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且满足 * 5 2 1 , , 9nn S a n a n + =  =N ． (1)（本小题 7 分）求数列 na 的通项公式； (2)（本小题 8 分）已知 ( )14 2 n n n nb a a += +  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 19.（本题 17 分）已知数列{𝑎𝑛}，对于任意的𝑛 ∈ 𝑁 *，都有𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+2 > 2𝑎𝑛+1，则 称数列{𝑎𝑛}为“凹数列”． (1)（本小题 5 分）判断数列𝑎𝑛 = 2 𝑛是否为“凹数列”，请说明理由； (2)（本小题 5 分）已知等差数列{𝑏𝑛}，首项为 4，公差为𝑑，且{ 𝑏𝑛 𝑛 }为“凹数列”，求 𝑑的取值范围； 第6页/共6页 学科网（北京）股份有限公司 (3)（本小题 7 分）证明：数列{𝑐𝑛}为“凹数列”的充要条件是“对于任意的𝑘,𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 *， 当𝑘 < 𝑚 < 𝑛时，有 𝑐𝑚−𝑐𝑘 𝑚−𝑘 < 𝑐𝑛−𝑐𝑚 𝑛−𝑚 ”． 仙游县高中第二教研片区2024-2025学年上学期 期中联考高二年级数学学科试卷 (考试时间:120分钟 满分:150分) 命题人：盖尾中学 郭志龙 审题人：度尾中学 林俊喜 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请把答案填在答题卷的相应位置. 1. 经过点（1，－1）且一个方向向量为（1，）的直线l的方程是（ ） A. 3x+2y－1＝0 B. 3x+2y+1＝0 C. 2x+3y+1＝0 D. x－2y－3＝0 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率k的值，代入点斜式方程，求出直线方程即可. 【详解】直线l的一个方向向量为（1，），且经过（1，－1），故直线l的斜率k＝，故直线方程为：y+1＝（x－1），即3x+2y－1＝0，故选：A. 2. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 相离 【答案】C 【分析】求出圆心距，与两半径的和差比较可得． 【详解】圆心，圆心为，半径为， 圆标准方程为，圆心为，半径为． ，显然，所以两圆相交．故选：C． 3. 已知直线与平行，则实数a的值为 A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －1 【答案】D 【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值. 【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D 【点睛】对于直线 若直 4 等差数列中，则公差（ ） A. 4 B. 3 C. -4 D. -3 【答案】B 【分析】利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】在等差数列中， 所以有．故选：B． 5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为（  ） A．12里 B．24里 C．48里 D．96里 【答案】C 【解析】由题意可得，此人天中每天走的路程是公比为的等比数列，设这个数列为，前项和为， 则，解得， 所以，即该人第三天走的路程为48里. 故选：C. 6. 已知数列，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【分析】根据递推公式，可得数列是周期为的数列，从而可解. 【详解】根据题意，， 则， 所以数列是周期为的数列， 则.故选：A 7. 已知正项等比数列，若=9，则（ ） A. 6 B. 12 C. 15 D. 18 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得，由于，所以， 故选：B. 8. 已知点，点M是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】易知点为圆外一点，利用点到圆心的距离加半径，即为的最大值. 【详解】将代入，得， 所以点为圆外一点，易知圆心坐标，半径， 所以， 则的最大值为：， 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 9. 设数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. D. 若，则数列的前10项和为 【答案】BD 【分析】根据题意，可得，所以数列为以为首项，以为公比的等比数列，依次可判断A、B、C，再由裂项相消法判断D. 【详解】当时，由，得，解得， 当时，， 即， 即数列为以为首项，以为公比的等比数列， 则，，，所以A、C错误，B正确； 又， 数列的前10项和为： ，D正确. 故选：BD 10. 已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 圆的圆心为 B. 点在圆内 C. 圆半径为5 D. 点在圆内 【答案】ABC 【分析】根据给定圆方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答. 【详解】圆圆心为，半径为5，AC正确； 由，得点在圆内，B正确； 由，得点在圆外，D错误. 故选：ABC 11. 设等差数列的前n项的和为，公差为d，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 当时，n的最小值为13 【答案】ACD 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，即， 又，解得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由选项C知，是递减数列，，而， 因此当时，n的最小值为13，D正确. 故选：ACD 三.填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12. 点到直线：的距离是______ 【答案】 【分析】直接代入点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线：的距离是. 故答案为：. 13.数列的前项和记为，若，则______. 【答案】 14. 求过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】x＝4或3x+4y＝0 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题卷的相应位置. 15. 已知，在中， （1）求边的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得. （2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解. 【小问1详解】 边过两点 由两点式，得， ……3分 即，……6分 故边的方程是．……7分 【小问2详解】 设的中点为， 则，， ……9分 所以，……10分 又边的中线过点， 所以，即，……14分 所以边上的中线所在直线的方程为．……15分 16.已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，数列为以为公差，以为首项的等差数列，即可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 根据题意，数列满足， 即， 所以根据题意，数列为以为公差的等差数列， 又，则，……3分 所以；……7分 【小问2详解】 根据题意，，……10分 所以数列的前n项和为：. ……15分 17. 若圆C经过点和，且圆心在x轴上，则： （1）求圆C的方程． （2）直线与圆C交于E、F两点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆心既在线段的垂直平分线上，又在x轴上，可联立直线方程求圆心，进而得半径与圆的方程； （2）利用几何法，先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理求半弦长即可得. 【小问1详解】 因为和，线段的中点为，且，……3分 则的垂直平分线方程为，由圆的性质可知，圆心在该直线上， 又已知圆心在轴上，令，得，……5分 故圆心为，半径，……7分 7则圆圆C的方程为.……8分 【小问2详解】 由圆心到直线的距离……10分 ，.……14分 故线段的长度为.……15分 18.已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【解析】（1）因为，即，则， 两式相减并整理得，则， 两式相减整理得， 所以数列为等差数列．……3分 当时，，所以． 设等差数列的公差为， 因为，解得，……5分 所以．……7分 （2）由（1）可得，则，……9分 则可得所以． ……15分 19.已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． (1)判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； (2)已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； (3)证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 【解题思路】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义； （2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案； （3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”. 【解答过程】（1）因为，则， 又，故，即，数列是“凹数列”．…5分 （2）因为等差数列的公差为， 所以，……7分 因为数列是凹数列， 所以对任意恒成立， 即 所以，即， 因为， 解得．……9分 所以的取值范围为．……10分 （3）先证明必要性： 因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，当时，有 ， 所以， 又， 所以．必要性成立，……14分 再证明充分性： 对于任意的，当时，有， 取，则有， 即，所以为“凹数列”.……17分 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$