3.2函数的基本性质练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.2函数的基本性质 练习 一、单选题 1．“”是“函数是上的增函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．函数是增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A．（ B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 6．若函数为偶函数，则a等于（    ） A．1 B． C．0 D． 7．已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，且在上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．的单调递增区间为， C．当时， D．的解集为 10．已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 11．设函数的定义域为，，，若，，则可以（   ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 12．已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在单调递减，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知是奇函数，当时，，则当时， . 14．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 ． 15．已知是偶函数，是奇函数.若，则 . 四、解答题 16．设. (1)求证：； (2)证明：为奇函数； (3)试判断在上的单调性，并说明理由. 17．已知函数 (1)判断函数是否具有奇偶性？并说明理由； (2)用函数单调性的定义证明：在上是增函数； (3)求函数在区间上的值域． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D C A D A BCD ABD 题号 11 12 答案 ABD BD 1．B 【分析】根据一次函数单调性求得，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若函数是上的增函数，则，解得， 显然是的真子集， 所以“”是“函数是上的增函数”的必要不充分条件. 故选：B. 2．C 【分析】首先判断在上单调递减，依题意可得，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 当时，，则在上单调递减， 则需满足，解得，即实数的范围是. 故选：C. 3．C 【分析】根据分段函数单调性得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，，解得． 故选：C． 4．D 【分析】先根据对勾函数的单调性求的取值范围，再利用二次函数对称轴和单调区间的关系确定的取值范围. 【详解】设，. 若，则在上递增，不满足条件； 若，则，所以不在上递减，不满足条件； 若，由知在上递减，不满足条件； 若，则由，及对有可知，在上递减. 由可知，在上递增，满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 5．C 【分析】根据函数单调性的定义可判断在上单调递增，结合函数的奇偶性可得在上也为增函数，即可分类求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则，因为，则． 因为对，，且有，所以在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以函数在上也为增函数． 当时，由可得，则； 当时，由可得，则． 综上所述，不等式的解集为． 故选：C． 6．A 【分析】函数为偶函数，所以即可求参. 【详解】∵函数为偶函数，图象关于轴对称， 所以， ∴. 故选：A. 7．D 【分析】根据偶函数可得，再结合单调性分析判断即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，则， 且在区间上单调递减，可得， 结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 8．A 【分析】根据奇偶性的性质，可得函数在对称区间上的单调性，结合奇偶性的定义，可得答案. 【详解】∵在上单调递减，又∵是偶函数， ∴在上单调递增，则， 是偶函数，即，. 故选：A． 9．BCD 【分析】由奇函数在处有定义，可得，可判断A；由的函数的解析式，结合奇函数的定义可得时的函数解析式，可判断C；判断时的的单调性，可得时的的单调性，不等式等价为且，且，结合，解不等式可判断D；由的图象与的图象特点，结合单调性可判断B. 【详解】对于A，函数是定义在R上的奇函数，可得，故A错误； 对于C，当时， ，设，则，， 又，所以时，，故C正确； 对于D，由时， ，可得， 又和在递增，可得在递增， 由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且， 所以等价为 或 ， 解得或，故D正确； 对于B，因为在和上递增，且， 由的图象可看做的图象位于x轴上方的图象不变， 将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到， 所以的递增区间为，，故B正确. 故选：BCD. 10．ABD 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】利用函数奇偶性的定义判断ABC；利用举例子方法判断D 【详解】. A.若，，则是奇函数，所以A正确； B.若，，则是偶函数，所以B正确； C.若，，既是奇函数又是偶函数，此时，，，，这与，矛盾，所以C错误； D.设，此时满足，但既不是奇函数又不是偶函数，所以D正确. 故选：ABD. 12．BD 【分析】由奇偶函数的单调性的关系确定两函数的单调性，再结合，逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且两函数在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 所以，， 所以，，， 所以BD正确，C错误； 若，则，故A错误. 故选：BD. 13． 【分析】根据，结合时的解析式可求得结果. 【详解】当时，，， 为奇函数，当时，. 故答案为：. 14． 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得解得． 则的取值范围为. 故答案为：. 15． 【分析】先根据奇偶性结合消元法得出解析式，进而求出函数值. 【详解】由是偶函数，是奇函数，可得. 将上式与联立， 得.∴. 故答案为：. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)增函数，理由见解析 【分析】（1）根据函数解析式直接证明即可； （2）根据题意结合奇函数定义分析证明； （3）根据题意结合单调性的定义分析证明. 【详解】（1）因为， 所以． （2）由题意可知：的定义域，关于原点对称， 且， 所以为奇函数． （3）在上为增函数，证明如下： ，，且， 则 因为，则，，， 可得，即， 故在上为增函数． 17．(1)函数不具有奇偶性 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过函数定义域不关于原点对称可得函数不具有奇偶性. （2）利用定义法即可证明函数在上是增函数. （3）根据函数单调性可求函数的最值，即可得到值域. 【详解】（1）函数定义域为， 由于函数定义域不关于原点对称，故函数不具有奇偶性. （2）. ，且，则 ， ∵，∴， ∴，即， ∴在上是增函数. （3）由（2）得，函数在上是增函数， ∴， ∴函数在区间上的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$