专题09 直线与圆锥曲线的位置关系（三大重难点题型）-【课后优辅导】2024年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版2019）

专题09 直线与圆锥曲线的位置关系 考点1.直线与椭圆方程 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式 ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,，计算 第九步：利用,计算 考点2.直线与双曲线方程 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式 ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离， 考点3.直线与抛物线方程 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：过焦点的直线与抛物线相交 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：根与系数关系表达式 ， 第三步：一些小结论 点在抛物线的准线上，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则 结论3： 结论4：过焦点 结论5： 重难点题型突破1 直线与椭圆方程 例1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线与椭圆方程，由相切得到，从而得解. 【详解】依题意，联立，得， 化解得， 因为直线与椭圆相切， 所以， 化简整理得，所以. 故选：C. 例2．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据题意，得到直线的方程为，联立方程组，求得，结合题意和斜率公式，化简得到方程，即可求解. 【详解】由直线过椭圆的右焦点且斜率为，则直线的方程为（其中）， 设，联立方程组 ，整理得， 则， 所以，可得，解得. 故选：B. 1．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．当直线的斜率为时，直线的斜率为 B．当时，点到直线的距离为 C．的最小值为 D．当时，直线的方程可以为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】椭圆中的通径问题、求直线与椭圆的交点坐标、求点到直线的距离、已知两点求斜率 【分析】通过设点的坐标，结合椭圆方程求得，由，解出判断选项A；点到直线距离公式判断选项B；通径是焦点弦中的最短弦判断选项C；由已知条件求直线的斜率判断选项D. 【详解】由椭圆方程，得，，，则. 设，，则. 若直线，的斜率都存在，则，， 得，为定值. 因为，所以，故A正确. 当时，直线的方程为，则点到直线的距离为，故B错误. 因为线段为过椭圆焦点的弦，通径是焦点弦中的最短弦， 所以的最小值为，故C正确. 当时，直线的方程为. 与椭圆方程联立，解得或 则直线与椭圆的交点为，. 若点的坐标为，则， 若点的坐标为，则，故D错误. 故选：AC. 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知直线与椭圆 交于 P、Q两点，直线l与x轴、y轴分别交于点M、N，若点M、N恰好是线段PQ的两个三等分点，则 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】将直线与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出中点坐标及弦长PQ，由题意知MN的坐标及中点与PQ的中点相同求出的值，再由M，N三等分线段PQ，则，求出结果. 【详解】设， 联立直线与椭圆的方程整理得：， ， 解得， ， 所以中点， 由题意得，点M，N三等分线段PQ， 所以MN的中点也为H， 所以， 由题意，所以可得：； 所以弦长 ， 由题意得， 由题意， 所以，代入可得， 所以：， 故答案为：. 例3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为 (1)求直线的方程及椭圆的方程. (2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值. (3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由长轴长的长度可求的值，又利用点和直线的倾斜角可得，进而用可求，从而可得直线方程和椭圆的方程； （2）设，，则关于原点的对称点，即，由的斜率可得三点共线，进而得，设代入椭圆方程，由韦达定理可得，，从而计算可得结果； （3）由题意可知四边形为梯形，由点到直线的距离可得高，进而结合梯形的面积公式利用基本不等式可得结果. 【详解】（1）由长轴长为，可得，. 因为点上顶点，直线的倾斜角为， 所以中，，则， 又，则. 因为，， 所以直线的方程为. 椭圆的方程为. （2）设，，， 则关于原点的对称点，即， 由， 三点共线，又，. 设代入椭圆方程得 ，，，. ， ， . （3）四边形为梯形， 令，则 （当即时等号成立）. 【点睛】关键点点睛：设关于原点的对称点，即，进而由平行关系判断三点共线，设，由韦达定理可得，，从而计算可得结果； 在求的范围的时候，通过变形利用基本不等式可求最大值即可. 1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求点O到直线l的距离d. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式（其中为椭圆的半焦距）以及椭圆上的点满足椭圆方程，将已知条件代入求解，的值. （2）对于求点到直线的距离，先联立直线与椭圆方程，根据得到与的关系，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】（1）已知椭圆的离心率，又，所以， 即，可得，即. 因为椭圆过点，将点代入椭圆方程可得. 把代入中，得到，即，解得. 那么.所以椭圆的方程为. （2）如图所示，联立直线与椭圆的方程， 将代入中，得到， 展开可得，即. 且,化简得, . 设，，根据韦达定理，，. 因为，，且，所以. 计算. 将和代入中，得到， 即. 化简可得，进一步化简得. 点到直线的距离，由可得.    重难点题型突破2 直线与双曲线方程 例4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 例5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线为坐标原点，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求直线与双曲线的交点坐标、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】求出渐近线方程，与直线联立，求出点的坐标，求出的三边长，及点到直线的距离，利用等面积法即可求解内切圆的半径. 【详解】双曲线的渐近线方程为，    联立方程，解得 同理联立，解得， 不妨设， 则， 点到直线的距离， 设内切圆的半径为， 则有， 即， 解得. 故选：C 1．（2024·广东茂名·一模）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据韦达定理求参数 【分析】联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示的面积并计算即可得解. 【详解】联立，消去，得， 令，，则，， ，，解得， 由直线过定点，故， ， 解得或（舍去），，直线的方程为. 故答案为：. 2．（2021·广西柳州·一模）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】双曲线方程分别于直线、直线联立求出，利用可得答案. 【详解】由，得，或，所以， 由，得，或，所以， 因为，所以， 整理得，得，所以. 故选：C. 例6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． (1)求C的方程； (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； (3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围． 【答案】(1) (2)直线PQ过定点（4，0），理由见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）因为离心率，将点代入双曲线方程得，又，解得a，b，即可得出答案． （2）设，直线PQ的方程为，联立双曲线的方程，结合韦达定理可得，，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，则，解得，即可得出答案． （3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为R1，R2，由正弦定理可得，又，可得，设直线PQ的方程为，与双曲线C的方程，可得，，由韦达定理得m的范围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案． 【详解】（1）因为离心率， 所以 双曲线的方程为， 将点代入双曲线方程得， 所以， 所以双曲线C的方程为． （2）直线PQ过定点，理由如下： 设， 直线PQ的方程为， 联立， 整理得， 则， 直线， 所以， 又N，B，Q三点共线， 所以，即， 即， 即． 因为， 所以， 代入上式得， 所以．所以PQ过定点. （3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为 由正弦定理可得， 又， 所以，即． 设直线PQ的方程为x＝my+4， 与C的方程联立， 整理得， 则， 又，即， 解得， 又因为， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线位置关系，关键是利用代换整理得直线过定点解决第2问. 1．（2024·海南·模拟预测）已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点. (1)求的方程； (2)求点关于的对称点的轨迹方程； (3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】（1）求出点的坐标，将其坐标代入抛物线的方程得的值，即可求解； （2）根据几何性质分析即可求解； （3）设，，，，直线的方程为，联立曲线与直线方程，结合韦达定理，表示出的坐标，利用即可求证. 【详解】（1）由题意，可设点，. 由，得，解得， 所以，将其坐标代入抛物线的方程得，解得， 所以的方程为. （2）因为点，关于对称，过点，所以. 当绕点旋转时，线段也绕点旋转， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 故点的轨迹方程为. （3）设，，，，直线的方程为. 由题可知直线不过点，则. 联立得消去，整理得， 恒成立，则，， 直线的方程为，即. 令，得，则， 同理可得， 所以 ， 因此. 【点睛】方法点睛：能直接列出等量关系式时可以用直接法求轨迹方程，解题步骤为： （1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等)； （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程； （3）注意“多点”和“少点”，一般情况下，斜率和三角形顶点等约束条件. 重难点题型突破3 直线与抛物线方程 例7．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解. 例8．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设出的坐标并求得，由此对选项进行分析，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意，线段平行于轴，不妨设在第一象限，设， 则，焦点， A选项，当时，解得，所以， 则，是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，解得，所以， 由于，所以关于直线对称，而， 所以此时是等腰三角形. 对于CD选项，先考虑四边形是平行四边形， 则，则， 此时，， 所以四边形是矩形，不是菱形，所以C选项错误，D选项正确. 故选：C 1．（2023·广东佛山·模拟预测）设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于，两点(点在P，两点之间)，则 ；设直线交轴于点，直线交准线于点，则 . 【答案】 /0.5 【难度】0.4 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线方程，联立直线与抛物线，根据韦达定理可得斜率之和，再分别求得点坐标可得线段之比. 【详解】到准线的距离为，， 抛物线方程为，准线， 则，， 由题意可设直线，，， 由，得， ，解得或， 且，， ； 设，则， 则直线， 直线， 则，， 则， 故答案为：，. 【点睛】方法点睛： (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 2．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】垂直关系的向量表示、根据韦达定理求参数 【分析】联立抛物线与直线方程可得，，进而可得，由可得，进而可得的值. 【详解】如图所示， 设，，联立整理得， 则，解得且， ，， 所以， 因为，所以，即，解得． 故选：C. 例9．（2024·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求 【答案】(1)； (2) 【难度】0.4 【知识点】抛物线的焦半径公式、根据抛物线上的点求标准方程、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）由题意，设出点Q的坐标，根据题目所给信息列出等式求出p的值，进而可得抛物线的方程； （2）设出直线的方程和A，B两点的坐标，将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点D，G的坐标，即可求出的表达式，再进行求解即可． 【详解】（1）不妨设， 因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 则抛物线C的方程为； （2）由题意知直线的斜率必存在，， 不妨设直线AB的方程为，， 联立，消去y并整理得，， 由韦达定理得， 易知直线OA的方程为， 因为轴，所以，即， 所以， 因为DF⊥AE，所以， 则直线AE的方程为， 因为，所以， 此时， 因为， 所以， 由题意知，则， 所以． 故的取值范围为． 【点评】易错点点睛：本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．容易出错的地方在于计算，并且计算基本都是相关字母参数的运算，因此要求十分细心才可以. 1．（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 (2)证明见解析 (3)是，． 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据抛物线方程求焦点或准线、判断直线与抛物线的位置关系、抛物线中的定值问题 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C． 【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方， 则，所以直线的方程为：，即， 由得， 所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确. 故选：D 2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（    ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】根据题意可得，联立方程解得，根据面积关系可得，即可得离心率. 【详解】由题意可知：，则， 不妨取一条渐近线为，则， 联立方程，解得， 由对称性可知：点为线段的中点， 则， 即，解得，则， 所以C的离心率为. 故选：B. 3．（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的焦点、焦距 【分析】由椭圆得出焦点坐标，根据椭圆与直线相切联立方程组，得出，根据离心率公式计算即可． 【详解】由椭圆得，焦点， 因为椭圆与有相同的焦点，所以椭圆的焦点，则， 又因为与直线相切，则椭圆与直线只有1个交点， 联立方程组得，， 则，化简得，，解得或（不合题意舍）， 则，又，所以， 故选：A． 4．（2024·青海西宁·二模）已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由已知得，求得直线的方程，进而求得，由，求得离心率的范围，将直线的斜率与直线的斜率之比值的范围转化为与离心率的关系，计算即可. 【详解】由已知得，直线的方程为， 设椭圆的焦距为，由题意设点，则，即， 所以，又， 所以，即， 设直线的斜率与直线的斜率之比值为， 则，又，所以． 故选:D． 5．（2024·浙江·二模）（多选题）设双曲线与直线交于与两点，则可能有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求直线与双曲线的交点坐标、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据韦达定理求参数 【分析】联立方程组，应用根与系数的关系换元化简即可得出选项. 【详解】联立方程组，可得， 因为双曲线与直线有两个交点，所以， 所以，B错误； 当时，，A正确； 当时，，C正确； 当或时，，D正确. 故选：ACD. 6．（2024·陕西西安·一模）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】抛物线的焦半径公式、判断直线与抛物线的位置关系、求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先求抛物线的方程，然后用抛物线方程与直线的方程联立方程组求出交点，可判断A；用直线l的方程与抛物线的方程联立方程组，进而结合韦达定理利用向量的数量积运算可判断B选项；结合中点坐标利用焦半径公式可判断C；由得，进而求的值，从而用来可判断D选项. 【详解】因为点在抛物线上，所以，解得， 即抛物线方程为，焦点. 对于A：直线的方程为，即， 因为，解得，所以直线与抛物线C相切点，故A正确； 对于B：设过点B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意； 所以直线l的斜率存在，设其方程为，， 由，得，则，即或， 于是， 又， 所以，故B错误； 对于C：由焦半径公式可得， 因为P是线段的中点， 所以，整理得，即，故C正确； 对于D：若，则，得 所以，即，解得， 此时，则直线l与抛物线相切，故D错误.    故选：AC. 【点睛】易错点睛：在判断D选项时，求出误以为存在满足题意的直线，事实上这时候直线与抛物线相切，故不存在满足题意的直线. 7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）双曲线，过点作直线，与双曲线只有一个交点M，则的斜率为 . 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线和双曲线的位置关系可知当直线与双曲线渐近线平行及相切时，直线和双曲线只有一个交点，从而可得答案. 【详解】双曲线渐近线斜率为， 当直线l与双曲线渐近线平行时，直线l和双曲线只有一个交点； 当直线与双曲线渐近线不平行时，令直线， 联立双曲线可得，则， 此时直线与双曲线只有一个交点，则，可得； 综上，的斜率为或. 故答案为：或. 8．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求双曲线的轨迹方程、已知方程求双曲线的渐近线、讨论双曲线与直线的位置关系、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设 ，，，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再由计算可得. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为线段的垂直平分线交直线于点， 则， ， ∴点的轨迹为以、为焦点的双曲线， 设双曲线方程为，则，，所以，     所以点的轨迹方程为        （2）（ i ） 设 ，，， 若，则，即直线的方程为，显然满足直线与曲线有且仅有一个交点； 若，显然，由题可知，则，， 因为双曲线的渐近线方程为，不妨令，， 所以，， ，即， 即， ∴直线的方程为，即， 又∵点在上，，则， 即直线的方程为， 将方程联立，得， ，由，可知方程有且仅有一个解， ∴与有且仅有一个交点；    （ii）由 （i ）联立 ，可得， 同理可得， ， 所以是定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 9．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据直线过点，写出点斜式，当直线与渐近线平行时，与双曲线有且只有一个交点，当直线与渐近线不平行时，联立直线与双曲线，根据判别式可得斜率的值； （2）根据双曲线的定义及三角形余弦定理与面积公式可得解. 【详解】（1）当时，， 则直线的方程为， 又双曲线的渐近线为， 所以当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点； 当时， 联立方程组， 得， ， 解得； 综上所述，当直线与双曲线只有一个公共点时或； （2）由双曲线， 则，，， 又点在双曲线上，即，即， 在中， 由余弦定理， 即， 解得， 所以的面积. 、1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 直线与圆锥曲线的位置关系 考点1.直线与椭圆方程 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式 ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离 第八步:利用,，计算 第九步：利用,计算 考点2.直线与双曲线方程 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】： 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：计算判别式 可直接利用结论：（范围、最值问题） 第三步：根与系数关系表达式 ， 第四步：利用 ，计算 第五步：利用，计算 第六步：利用，，计算弦中点 第七步：利用,计算弦长和的面积 进而计算原点到直线的距离， 考点3.直线与抛物线方程 【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：过焦点的直线与抛物线相交 第一步：代入消元，联立 化简： 第二步：根与系数关系表达式 ， 第三步：一些小结论 点在抛物线的准线上，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 结论1：的斜率为结论2：若的中点为，则 结论3： 结论4：过焦点 结论5： 重难点题型突破1 直线与椭圆方程 例1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．（2024·全国·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆，过椭圆的右焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知点为椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，直线与椭圆交于另一点，则（    ） A．当直线的斜率为时，直线的斜率为 B．当时，点到直线的距离为 C．的最小值为 D．当时，直线的方程可以为 2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知直线与椭圆 交于 P、Q两点，直线l与x轴、y轴分别交于点M、N，若点M、N恰好是线段PQ的两个三等分点，则 例3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为 (1)求直线的方程及椭圆的方程. (2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求证：的值为定值. (3)在（2）的条件下求四边形的的面积的取值范围. 1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，若，求点O到直线l的距离d. 重难点题型突破2 直线与双曲线方程 例4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线为坐标原点，若直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则内切圆的半径等于（    ） A． B． C． D． 1．（2024·广东茂名·一模）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为 . 2．（2021·广西柳州·一模）已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点，若，则双曲线的离心率等于（    ） A． B． C． D． 例6．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，已知双曲线的离心率为2，点在C上，A，B为双曲线的左、右顶点，为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C的右支于点Q． (1)求C的方程； (2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由； (3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求的取值范围． 1．（2024·海南·模拟预测）已知直线与抛物线交于，两点（为坐标原点），且，动直线过点. (1)求的方程； (2)求点关于的对称点的轨迹方程； (3)若与交于，两点（均异于点），直线，分别与直线交于点，，证明：. 重难点题型突破3 直线与抛物线方程 例7．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 例8．（2024·湖南益阳·一模）已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是等腰三角形 C．存在四边形是菱形 D．存在四边形是矩形 1．（2023·广东佛山·模拟预测）设抛物线的焦点为，准线与轴交于点，到的距离为，过的直线与抛物线依次交于，两点(点在P，两点之间)，则 ；设直线交轴于点，直线交准线于点，则 . 2．（2024·陕西商洛·一模）已知直线与抛物线交两点，为坐标原点，若，则（   ） A． B． C． D． 例9．（2024·四川攀枝花·三模）已知抛物线上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为． (1)求抛物线C的方程； (2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO（O是坐标原点）于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线与交于点G．求 1．（2024·浙江台州·一模）已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的垂线l，直线l与C交于A，B两点，若的面积为，则C的离心率为（    ）． A．3 B． C．2 D． 3．（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·青海西宁·二模）已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，右焦点为，过且与轴垂直的直线与直线交于点，若直线的斜率小于为坐标原点，则直线的斜率与直线的斜率之比值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·浙江·二模）（多选题）设双曲线与直线交于与两点，则可能有（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西西安·一模）（多选题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，过点的直线l交抛物线C于P，Q两点（点P在点B，Q的之间），则（    ） A．直线与抛物线C相切 B． C．若P是线段的中点，则 D．存在直线l，使得 7．（2024·浙江绍兴·模拟预测）双曲线，过点作直线，与双曲线只有一个交点M，则的斜率为 . 8．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点. （i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点； （ii） 求证：是定值. 9．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知双曲线，，斜率为的直线过点. (1)若，且直线与双曲线只有一个公共点，求的值； (2)双曲线上有一点，的夹角为，求三角形的面积. 、1 学科网（北京）股份有限公司 $$