专题10 平面图形的初步认识易错必刷题型专训（96题32个考点）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题10 平面图形的初步认识易错必刷题型专训（96题32个考点） 【易错必刷一 直线、射线、线段的相关概念】（共3小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．作的直线 B．线段、射线、直线中直线最长 C．射线有具体长度 D．线段有两个端点 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据数轴、直线、射线、线段的意义，可得答案． 【详解】解：A、直线的长度无法度量，故不符合题意； B、射线与直线的长度无法度量，故不符合题意； C、射线没有具体长度，故不符合题意； D、线段有两个端点，故符合题意； 故选：D． 2．如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）根据线段概念即可求得答案； （2）根据射线概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 【详解】解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 3．判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确； （2）直线和直线是同一条直线，正确； （3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确． 综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系． 【易错必刷二 点与线的位置关系】（共3小题） 1．如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B． C．射线与射线是同一条射线 D． 【答案】D 【分析】本题考查了点与线段的关系，线段与线段的关系，射线的判定．根据点与线段的关系，线段之间的关系，射线的判定判断即可． 【详解】解：A、点C在线段的延长线上，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、射线与射线不是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D 2．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点经过直线，说明点在直线上和点不经过直线，说明点在直线外是解题的关键．依据点与直线的位置关系进行判断，即可得到正确结论． 【详解】 由图可得，①点B在直线上，正确； ②直线不经过点C，错误； ③直线两两相交，正确； ④点B是直线的交点，正确； 故答案为：①③④． 3．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作直线； (2)分别连接； (3)用适当的语句表示点C与直线的位置关系：______； (4)判断线段与的数量关系是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点C在直线外 (4) 【分析】本题主要考查了画直线和线段，两点之间，线段最短，点与直线的位置关系： （1）根据直线的画法画图即可； （2）根据线段的画法画图即可； （3）根据点C与直线的位置即可得到答案； （4）根据两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由题意得，点C在直线外， 故答案为：点C在直线外； （4）解：由两点之间，线段最短可知， 故答案为：． 【易错必刷三 直线相交的交点个数问题】（共3小题） 1．观察图形，下列说法正确的有（   ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段的表示法，直线的交点问题，根据直线、射线、线段的表示法可判断（1）（2）（3）；根据直线交点可判断（4）． 【详解】解：（1）直线和直线是同一条直线，正确； （2）线段和线段是同一条线段，故不正确； （3）射线和射线是同一条射线，正确； （4）三条直线两两相交时，不一定有三个交点，故不正确，如下图． 故选B． 2．如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 【答案】66 【分析】本题考查直线的交点问题，观察图形，可以得到同一平面内条直线，最多有个交点，即可得出结果． 【详解】解：观察图形，可得：同一平面内条直线，最多有个交点， ∴12条线直线相交最多有个交点； 故答案为：66． 3．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 【详解】（1）解：三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）解：n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 【易错必刷四 线段中点的有关计算】（共3小题） 1．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段间的数量关系，先根据题意得出，，再根据，求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 故选B． 2．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系即可判断①②；求出，进而可得，据此可判断③；求出，则可求出，据此可判断④． 【详解】解：∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 3．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，熟练掌握线段的中点平分线段，是解题的关键： （1）中点求出的长，再利用线段的和差关系求解即可； （2）根据中点结合线段的和差关系，得到，即可得出结果； （3）根据，即可得出结果； （4）由（2）即可得出结论． 【详解】（1）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴， ∴； （2）∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知：， ∵， ∴； （4）由（2）知：． 【易错必刷五 线段n等分点的有关计算】（共3小题） 1．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 【答案】A 【分析】此题考查的是线段的和与差，掌握分类讨论的数学思想是解决此题的关键．根据点D为靠近点A或点B的三等分点分类讨论，分别画出对应的图形，根据线段的关系即可求出结论． 【详解】解：①若点D为靠近点A的三等分点，如图1所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； ②若点D为靠近点B的三等分点，如图2所示， ∵，点C是线段的中点，点D是线段的一个三等分点， ∴， ∴； 综上： 故选A． 2．如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 【答案】4或8/8或4； 【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案； 【详解】解：∵C为线段的中点，， ∴， ∵D是线段的三等分点， ①三等分点靠近B点时， ， ②三等分点靠近A点时， ， 故答案为：4或8． 3．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 【答案】(1)2；2；4 (2)见解析，12 【分析】本题主要考查了线段两点间的距离，线段的和差倍分关系；解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． （1）先根据条件求出，和，最后根据求出答案即可； （2）根据小颖的想法，点N还可以在点D的右侧，画出图形，然后根据条件求出，和，最后根据求出答案即可． 【详解】（1）解：小欣的解答过程如下： ，， ， 为的中点，， ． ， 故答案为：2：2；4. （2）解：画图如下：     ，， ， 为的中点，， ． ． 【易错必刷六 与线段有关的动点问题】（共3小题） 1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是直线与线段的相关内容，正确理解题意、利用转化的思想去思考线段的总条数是解决问题的关键，可以减少不必要的分类．点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点．而图中共有线段5条，所以出现报警次数最多5次． 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报， ∵图中共有线段、、、、， ∴发出警报的点P最多有5个． 故选：C． 2．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】根据AC比BC的多5，可得，从而得到，进而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正确；根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M为BP的中点，可得到，进而得到，再由N为QM的中点，可得到AB=4NQ，故②正确；然后分两种情况：当点P没有到达点B之前，当点P没有到达点B之前，可得当时，或20，故③错误，即可求解． 【详解】解：∵AC比BC的多5， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴AC=15， ∴BC=2AC，故①正确； 根据题意得：AP=3t，BQ=1.5t， ∴BP=45-3t， ∵M为BP的中点， ∴， ∴， ∵N为QM的中点， ∴， ∴AB=4NQ，故②正确； 当时，当点P在线段AB上， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P在点B右侧，位于点Q左侧，， ∵， ∴， 解得：； 当时，点P位于点Q右侧，不成立， 综上所述，当时，或20，故③错误， ∴正确的结论是①②． 故答案为：①② 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，动点问题，利用数形结合思想和分类讨论讨论思想解答是解题的关键． 3．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点 【分析】此题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据线段中点的定义进行分类讨论，并列出方程是解决问题的关键． （1）根据线段，C为的中点即可得AC的长； （2）依题意得：，然后分三种情况讨论如下：①当点C为的中点时，②当点P为的中点时，③当点Q为的中点时，再根据每一种情况画出图形，利用线段中点的定义列出方程求出x即可． 【详解】（1）线段，C为的中点， ． （2）存在． 依题意得：， 由（1）可知：， 分三种情况讨论如下： ①当点C为的中点时：则，如图1所示： ，， ， 解得：（不合题意，舍去）； ②当点P为的中点时，则，如图1所示： ， ， ， ， 解得：； ③当Q为的中点时，则，如图2所示： ，， ， 解得：． 综上所述：当或时，三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点． 【易错必刷七 两点之间距离最短】（共3小题） 1．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 2．如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ． 【答案】 小 两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了线段的性质，正确掌握线段的性质是解题关键．利用两点的所有连线中，线段最短，可以得出结论． 【详解】解：∵两点之间线段最短， ∴四边形沿虚线裁去一个角得到五边形，则这个五边形的周长小于原四边形的周长， 故答案为：小；两点之间线段最短． 3．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【答案】(1)见解析，理由为：两点之间，线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求，理由为两点之间，线段最短； （2）如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，连接交直线l于点C，点C即为所求； 理由为：两点之间，线段最短； （2）解：如图所示，设生态保护区右下角的顶点为P，连接，连接交直线l于点C，点C即为所求． 【易错必刷八 角的相关概念】（共3小题） 1．下列语句正确的是（   ） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角可以看成是由一条射线旋转而成的 D．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 【答案】D 【分析】本题考查角的概念，根据角的概念即可求出答案． 【详解】A选项，平角有一个顶点和两条边，所以一条直线不可以看成一个平角，故A选项错误； B选项，周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，故B选项错误； C选项，角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形，故C选项错误； D选项，角是由两条有公共端点的射线组成的图形，故D选项正确． 故选：D． 2．如图，能用一个字母表示的角有 个，以A为顶点的角有 个，图中所有的角有 个（平角除外）． 【答案】 2 3 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有共2个； 故答案为：． （2）以A为顶点的角有共3个； 故答案为：． （3）图中的角为：共7个． 故答案为：． 3．如图，平面上有四个点，，，：    (1)按下列语句画出图形：画直线，射线，连接； (2)写出个以点为顶点的角． 【答案】(1)画图见解析； (2)，，，（任写三个即可）． 【分析】（）根据直线，射线，线段画法即可； （）根据角的表示方法即可求解； 本题考查了作图，解题的关键是正确理解直线，射线，线段，角的定义． 【详解】（1）如图，根据直线，射线，线段画法即可，    ∴直线，射线，线段即为所求； （2）如图，    ∴以点为顶点的角为：，，，． 【易错必刷九 与方向角有关的计算题】（共3小题） 1．如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方向角，解题的关键是正确理解方向角的定义．利用方向角的定义求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 2．如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 【答案】/150度 【分析】本题考查了与方向角有关的运算，先根据题意得出，得出，根据代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：如图： ∵在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上， ∴，， ， ，， ， 故答案为：． 3．一只蚂蚁从点出发，沿北偏东的方向爬行了线段的长度时碰到障碍物，原路返回爬行了线段的长度到达处，然后向北偏西的方向爬行到达处． (1)画出蚂蚁的爬行路线图，并标出相关字母．（角度可以用量角器画出） (2)请用、表示线段___________． (3)___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了方向角及量角器的使用，解答本题关键是掌握方向角的定义及表示方法． （1）根据题意要求画出蚂蚁行走路线即可； （2）根据，，即可表示出； （3）用量角器量出的度数即可． 【详解】（1）所画图形如下： ． （2），， ， 故答案为：； （3）量得， 故答案为：40． 【易错必刷十 角的单位与角度制】（共3小题） 1．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查度、分、秒的换算：，．先将先化成，再将化成，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴将用度分秒表示为． 故选：A． 2．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 【答案】 56.3 12.54 12 18 36 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． （1）将转化为即可得到答案； （2）将转化为，转化为即可得到答案； （3）将转化为，将转化为即可得到答案． 【详解】解：（1）． （2）． （3）． 故答案为： 12 18 36 3．计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． （1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【详解】（1） ； （2） ． 【易错必刷十一 角的度数大小比较】（共3小题） 1．，，关于两个角的大小，下列正确的是（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】本题主要考查角的大小比较，解决本题的关键是熟练掌握度分秒的换算． 先换算单位，再进行比较． 【分析】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 2．已知，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握1度=60分，即，1分=60秒，即．首先把：化为，然后再比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为∶ ． 3．比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查角度加法运算及角度换算，熟记，，将化为计算即可得到答案，熟记角度换算及加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：，． 所以． 因为， 所以． 【易错必刷十二 三角板中角度计算问题】（共3小题） 1．如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较，比较角的大小的方法有：(1)估测法；(2)度量法；(3)叠合法；(4)推理法． 根据已知图形可知，，减去公共部分后大小关系不变，即可比较与的大小 【详解】∵， ∴，， ∴． 故选C． 2．将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 【答案】/31度 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及角的和差计算；关键是设出未知数找出等量关系列方程． 设，则，根据角的和差关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵比大 ∴设，则 根据题意得：， 解得：， ∴ 故答案为：． 3．如图，是内部的一条射线，把一个三角板角的顶点放在点处，转动三角板，当三角板的边平分时，三角板的另一边恰好平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角板为背景求角度，涉及角平分线定义，读懂题意，由角平分线定义得到、，数形结合，得到，从而得到答案，数形结合，准确表示出各个角度之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， 平分， ， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷十三 几何图形中角度计算问题】（共3小题） 1．如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的和差，弄清楚角之间的关系成为解题的关键. 先求得,然后即可解答. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 故选B. 2．如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °． 【答案】10 【分析】设，，则，，根据，列式计算即可． 本题考查了角的和，角的倍分计算，解方程，熟练掌握角的和，倍分计算，解方程是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点  叠放在一起． (1)若，_______；若，则______ (2)猜想与的大小有何关系： ； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系： ； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系．请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）先求出，进而求出；先求出，进而可得； （2）先求出，再求出，据此可得结论； （3）仿照（2）求解即可； （4）根据可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：，理由如下： ∵， ∴． 【易错必刷十四 角平分线有关的计算】（共3小题） 1．如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解是解题的关键 ．、分别是、的平分线，结合，可得，再由平角的定义即可求得的度数． 【详解】解：、分别是、的平分线，，, , , ． 故选：B． 2．如图，已知，平分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 3．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 【易错必刷十五 求余角或补角】（共3小题） 1．已知，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角的计算，解答的关键是熟记余角定义． 由余角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵，与互余， ∴， 故选∶A． 2．已知，则的补角等于 ． 【答案】80 【详解】本题主要考查补角，解题的关键是掌握如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 【分析】解：∵， ∴的补角． 故答案为：80． 3．如图，直线与相交于点O，射线分别是的平分线． (1)请写出的所有余角； (2)请写出的所有补角． 【答案】(1)与 (2)与 【分析】本题考查了角平分线、补角、垂线的定义以及角的计算． （1）根据互余的定义确定的余角； （2）根据互补的定义确定的补角． 【详解】（1）解：∵是平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴的余角为与； （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴，， ∴的补角为与． 【易错必刷十六 与余角、补角有关的计算】（共3小题） 1．如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义、补角的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义、补角的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解． 【详解】解：∵，，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的补角为或． 故选B． 2．已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则 ， ； （2）如图②，若，则 ，与互补的角有 ． 【答案】 40 50 30 ，， 【分析】（1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用对顶角即可求得的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；根据补角的定义即可求得答案． 本题考查对顶角相等，补角，角平分线的定义，补角及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵与是对顶角， ∴； 故答案为：40，50； （2）∵平分， ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ，，，， ， 与互补的角为：，，． 故答案为：，，， 3．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或 (2)， 【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 【易错必刷十七 相交线的相关概念】（共3小题） 1．如图，直线和相交于点O，，，则的度数为（   ）    A．90° B．91° C．92° D．93° 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，角的计算．解题的关键是掌握垂直的定义，角的计算方法，先求出，再求出，最后得出答案． 【详解】解：解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题利用垂直的定义，邻补角和角平分线的性质的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点． 由垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论． 【详解】解：∵， ， 平分， ， 故答案为：． 3．如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义及证明、垂直的定义等知识点，掌握各个角之间的和差关系是解题关键． （1）由可得、，结合即可求证； （2）由题意得，可推出 ，；进而得，从而得，分类讨论在上方和下方两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∴平分 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 如图： 则； 如图： 则； 综上所述：的度数为或 【易错必刷十八 对顶角】（共3小题） 1．如图，直线，相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的和差，对顶角的定义，解题的关键是掌握对顶角的定义．根据对顶角的定义可得，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 2．如图，直线与相交于点与互余，，则 ． 【答案】55 【分析】本题主要考查对顶角，互余的定义（两角相加等于），理解题意，掌握对顶角的性质，互余的定义是解题的关键． 首先根据对顶角相等得到，然后根据互余的概念求解即可． 【详解】∵， ∴； ∵与互余， ∴． 故答案为：55． 3．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了几何图中角度的计算，角平分线的有关计算，由平角的定义可得出，由对顶角相等可得出，根据角的和差关系即可得出，由角平分线的定义可得出，再根据角的和差关系即可得出． 【详解】解：∵是直角， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【易错必刷十九 邻补角】（共3小题） 1．如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义； 根据角平分线的定义求出，然后根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：，平分， ， ． 故选：B． 2．如图，直线，相交于点O．若，平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，熟练掌握邻补角互补，角平分线的定义是解题的关键；根据邻补角互补可得，由角平分线的定义可求出，即可求出． 【详解】解：因为直线相交于点O， 所以与互为邻补角， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 3．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义得到，然后根据对顶角相等得到； （2）根据题意列式计算即可． 此题主要考查了角平分线的定义，对顶角、邻补角，正确得出度数是解题关键． 【详解】（1）解： 平分，， ， 又与是对顶角， ， （2）解：和是邻补角， ， 又， ， ， ． 【易错必刷二十 同位角、内错角、同旁内角】（共3小题） 1．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义和特点，逐一进行判断即可． 【详解】和是同位角，①说法正确； 和不是对顶角，②说法错误； 和是内错角，③说法正确； 和不是同旁内角，④说法错误． 故说法错误的有②，④，共2个． 故选B． 2．根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 【答案】 内错 【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义． （1）根据同位角的定义求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据内错角的定义求解即可． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角； （2）直线，被直线所截，则和是内错角； （3）和是直线，被直线所截构成的内错角； 故答案为：，，，内错． 3．如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【答案】(1)同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； (2)和，和； (3)和，和． 【分析】此题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义： （1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【详解】（1）解：同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 【易错必刷二十一 平行公理】（共3小题） 1．如图，，直线a平移后得到直线b，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质，平行公理，过的顶点作直线，由平移的性质可推出，则由平行线的性质得到，据此可得答案． 【详解】解；如图所示，过的顶点作直线， 由平移的性质可得， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 2．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 【答案】1 【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误； ③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确； ④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误； 综上所述，正确的为③，共个， 故答案为：． 3．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图，涉及了平行线的 （1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： ，故平行于同一条直线的两条直线平行； 线段的长度是点A到直线的距离； ，故垂线段最短 故答案为：平行；平行于同一条直线的两条直线平行；；；垂线段最短 【易错必刷二十二 平行公理的推论】（共3小题） 1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行， 故选A． 2．如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】该题主要考查了“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，正确理解题意即可解答； 根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”，即可解答； 【详解】解：∵直线，都过点A，且， 又∵经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴A，B，C三点在同一直线上． 故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 3．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【答案】(1)，点到直线的距离，垂线段最短，作图见解析 (2)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，作图见解析 【分析】（1）先画垂线段，由点到直线的距离，垂线段最短，即可求解； （2）先画平行线，由过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，即可求解． 【详解】（1）过点P作P到的垂线段，垂足为如图： ， 理由是：点到直线的距离，垂线段最短； （2）过点P作直线，， 理由是∶过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查了作垂线，平行线，点到直线的距离，平行公里的推论，正确掌握基本作图方法是解题关键． 【易错必刷二十三 平行线的判定定理】（共3小题） 1．如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可． 【详解】①，能判定，不能判定，不符合题意； ②，能判定，符合题意； ③，能判定，不能判定，不符合题意； ④，能判定，符合题意，故②④正确． 故选：D． 2．如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）． 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 故答案为或或或．（答案不唯一） 3．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；；同平行于一条直线的两条直线互相平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键． 先由，得到再由，得到，最后得到． 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）． ， ． （同平行于一条直线的两条直线互相平行）． 【易错必刷二十四 平行线的性质】（共3小题） 1．如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的性质．直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案． 【详解】解：∵将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，， ∴， 故选：C． 2．如图所示，如果，则：．上述结论中一定正确的是 ． 【答案】① 【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：， ， 故①正确；而②③错误． 故答案为：① 3．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． （1）由平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，据此求解即可证明； （2）设，则，根据平分线的性质结合角平分线的定义得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 【易错必刷二十五 垂直于同一直线的两直线平行】（共3小题） 1．下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等． B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离． C．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． D．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和平行公理，点到直线的距离，根据平行线的性质和平行公理，点到直线的距离求解即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，不符合题意； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意； C、平面内有三条直线a，b，c，若，，则，原说法正确，符合题意； D、平面内有三条直线a，b，c，若，，则，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的性质，平面内两直线的位置关系；根据平行线的性质与判定，以及平面内两直线的位置关系逐项分析判断，即可求解． 【详解】①在“一点”前缺少“直线外”的限制；故①错误 ②三条直线也可以交于一点；故②错误 ③若在同一平面内，，，则；若不在同一平面内，和有多种位置关系；故③错误 ④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．正确． 故答案为：①②③． 3．如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【答案】(1)图见解析 (2)30； (3)错误 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，角的和差关系，平行线的判定： （1）根据垂线的定义，画图即可； （2）根据角的和差关系求出的度数，根据平行线的判定方法，得到与的位置关系即可； （3）根据点到直线的距离，进行判断即可． 【详解】（1）解：画图如下：    （2）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）∵， ∴线段之长等于点D到直线的距离， 故原说法是错误的； 故答案为：错误． 【易错必刷二十六 根据平行线的性质探究角的关系】（共3小题） 1．如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，即可得到，进而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 2．如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是过C作，得到，由平行线的性质来解决问题． 过C作，得到，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 【详解】解：过C作， ∵， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 【易错必刷二十七 根据平行线的性质求角的度数】（共3小题） 1．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，补角的定义，由，则，再利用平角的定义即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： 2．一副三角尺按如图叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，改变三角尺的位置（其中点位置始终不变），如果小于平角，当 时，． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，理解平行线的判定和性质是解答关键． 分两种情况，利用平行线的性质：两直线平行内错角相等来求解． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如答图①， 当时，； ②如答图②，当时， ， ． 综上，当或时，． 故答案为：或 3．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）先由两直线平行，同旁内角互补得到，再证明，即可证明； （2）由角平分线的定义得到，则由两直线平行，内错角相等即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，射线平分， ∴， ∵， ∴． 【易错必刷二十八 平行线的性质在生活中的应用】（共3小题） 1．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由平角定义得到，于是得到． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等得出，再由两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵水中的两条光线平行，， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， 故答案为：． 3．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【答案】两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质完成证明过程，即可求解． 【详解】解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 所以（平角的定义）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；；；；两直线平行，同位角相等；． 【易错必刷二十九 平行线间的距离】（共3小题） 1．如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．据，可得，进而得出a与c的距离为． 【详解】解：∵a与b的距离是，b与c的距离是，， ∴， ∴， 即a与c的距离为． 故选：B. 2．如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 3．如图，已知，，于点，于，． （1）求证：； （2）求点到的距离． 【答案】（1）见解析（2）6 【分析】（1）根据已知求证即可； （2）根据平行公理得出，从而得出即为点到的距离，再根据线段的和即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴即为点到的距离， ∵，， ∴， ， 故点到的距离为6． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，点到直线的距离，平行线间的距离，熟知平行线的判定定理以及平行线间距离处处相等时解题的关键． 【易错必刷三十 多边形的相关概念】（共3小题） 1．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 【答案】D 【分析】本题考查多边形的有关知识，熟练掌握多边形的定义是解题关键．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，由此即可判断． 【详解】解：A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，正确，故该选项不符合题意； C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，正确，故该选项不符合题意； D．各边都相等，各角都相等的多边形是正多边形，故该选错误，项符合题意． 故选：D． 2．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑皮有x块，则白皮为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边， ∴白皮的边数为黑皮的2倍， ∴ 解得：， 答：白皮20块，黑皮12块． 故答案为：12 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键． 3．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【答案】32个直角三角形，7个正方形，4个长方形 【分析】应按照一定规律来找：先找单个的，再找两两组合的，四个组合的． 【详解】解：根据图示图中共有：32个直角三角形，7个正方形，4个长方形． 【点睛】本题考查了几何图形，需注意正方形指的是四条边相等，四个角是直角的四边形，长方形指长与宽不相等的长方形． 【易错必刷三十一 多边形对角线的条数问题】（共3小题） 1．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形对角线条数问题，对角线分三角形个数问题，代数式求值，从k边形的一个顶点出发可引条对角线，可将此多边形分成个三角形，据此求出m、n的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则这个多边形的对角线共有 条． 【答案】20 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，根据多边形边数与过一个顶点的对角线的条数可知该多边形为8边形，再根据对角线的条数等于计算即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，由题意，得 ， 解得， 所以这个多边形的对角线共有（条）． 故答案为：20． 3．（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 【答案】（1）5；（2）；（3）35 【分析】本题主要考查多边形对角线条数问题，代数式求值，解题的关键是理解题意，根据题意总结规律，得出答案． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据题意得出答案即可； （3）把代入解（2）中的代数求出结果即可． 【详解】解：（1）根据题意得五边形共有条对角线； （2）n边形共有条对角线； （3）把代入得：（条）， 即这个十边形的对角线条数为35条． 【易错必刷三十二 多边形分成的三角形个数问题】（共3小题） 1．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成11个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形对角线分成三角形个数问题．经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求解即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点的所有对角线，把边形分成了11个三角形， ∴， ∴， 故这个多边形的边数是13． 故选：C． 2．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形． 按如图的方法，2024边形可以分成 个三角形，n边形可以分成 个三角形． 【答案】 2022 【分析】本题考查了对边形对角线分成三角形的个数的问题，由图形得出从n边形的一个顶点引出的对角线可以将这个n边形分成个三角形，即可得解． 【详解】解：从题图中可以得出， 从四边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成2个三角形， 从五边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成3个三角形， 从六边形的一个顶点引出的对角线可以将四边形分成4个三角形， ……， 从n边形的一个顶点引出的对角线可以将这个n边形分成个三角形， 当时，． 故答案为：2022，． 3．探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】(1)1；2 (2)2；3 (3)； (4)103 【分析】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割等规律探究． （1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论； （3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论； （4）将100代入（3）的结论中即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，经过1个顶点可以作1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：如图所示，经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 故答案为：2，3． （3）解：∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形； 经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形； 经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形； 经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形； …… ∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形； 故答案为：，． （4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线， ∴根据（3）中结论可得，， ∴， 故答案为：103． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平面图形的初步认识易错必刷题型专训（96题32个考点） 【易错必刷一 直线、射线、线段的相关概念】（共3小题） 1．下列说法正确的是（　　） A．作的直线 B．线段、射线、直线中直线最长 C．射线有具体长度 D．线段有两个端点 2．如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 3．判断下列说法是否正确： （1）线段和射线都是直线的一部分 （2）直线和直线是同一条直线； （3）射线和射线是同一条射线； （4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线． 【易错必刷二 点与线的位置关系】（共3小题） 1．如图，点A，B，C在直线l上，下列说法正确的是（    ） A．点C在线段上 B． C．射线与射线是同一条射线 D． 2．直线的位置关系如图所示，则下列语句： ①点B在直线上；②直线经过点C；③直线两两相交；④点B是直线的交点，以上语句正确的有 （只填写序号） 3．如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论） (1)作直线； (2)分别连接； (3)用适当的语句表示点C与直线的位置关系：______； (4)判断线段与的数量关系是______． 【易错必刷三 直线相交的交点个数问题】（共3小题） 1．观察图形，下列说法正确的有（   ） （1）直线和直线是同一条直线； （2）线段和线段是两条不同的线段； （3）射线和射线是同一条射线； （4）三条直线两两相交时，一定有三个交点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示，在同一平面内两条直线相交，有一个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点……，那么12条线直线相交最多有 个交点． 3．我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【易错必刷四 线段中点的有关计算】（共3小题） 1．如图，延长线段至点C，使，延长线段至点D，使，E是线段的中点，F是线段的中点．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点，给出下面4个结论：① ③若，则； ④若，则 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 3．如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【易错必刷五 线段n等分点的有关计算】（共3小题） 1．已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（    ） A．3 B．9 C．3或6 D．6或9 2．如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 3．阅读感悟： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，C，D是线段上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度． 以下是小欣的解答过程： 解：补全图形如图所示． 因为，M为的中点，， 所以________，， 所以________________． 小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．” 完成以下问题： (1)请将小欣的解答过程补充完整． (2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度． 【易错必刷六 与线段有关的动点问题】（共3小题） 1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有（    ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，C为线段AB上一点，，AC比BC的多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以3个单位/秒和1.5个单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①；②；③当时，．其中正确的结论是 ． 3．如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s． (1) ． (2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由． 【易错必刷七 两点之间距离最短】（共3小题） 1．如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将四边形沿虚线剪掉一个角，得到五边形，则该五边形的周长比原四边形的周长 填“大”或“小”)．理由是 ． 3．几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题．让我们从书本一道习题入手进行探索． (1)如图①，A、B是公路l两侧的两个村庄．现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由． (2)如图②，在B村庄附件有一个生态保护区，现要在公路l上修建一个垃圾站C，使它到A、B两村庄的路程之和最小，从B村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置． 【易错必刷八 角的相关概念】（共3小题） 1．下列语句正确的是（   ） A．一条直线可以看成一个平角 B．周角是一条射线 C．角可以看成是由一条射线旋转而成的 D．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 2．如图，能用一个字母表示的角有 个，以A为顶点的角有 个，图中所有的角有 个（平角除外）． 3．如图，平面上有四个点，，，：    (1)按下列语句画出图形：画直线，射线，连接； (2)写出个以点为顶点的角． 【易错必刷九 与方向角有关的计算题】（共3小题） 1．如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A在点O的北偏东方向上，点B在点O的南偏西方向上，则的度数为 ． 3．一只蚂蚁从点出发，沿北偏东的方向爬行了线段的长度时碰到障碍物，原路返回爬行了线段的长度到达处，然后向北偏西的方向爬行到达处． (1)画出蚂蚁的爬行路线图，并标出相关字母．（角度可以用量角器画出） (2)请用、表示线段___________． (3)___________． 【易错必刷十 角的单位与角度制】（共3小题） 1．用度、分、秒表示为（    ） A． B． C． D． 2．关于度、分、秒的换算： （1） ； （2） ； （3） ＇ ． 3．计算： (1)（结果用度、分、秒表示）． (2)（结果用度表示）． 【易错必刷十一 角的度数大小比较】（共3小题） 1．，，关于两个角的大小，下列正确的是（  ） A． B． C． D．无法确定 2．已知，，则 ．（填“”“”或“”） 3．比较与的大小． 【易错必刷十二 三角板中角度计算问题】（共3小题） 1．如图，将一副三角板按照如图所示的位置放置，其中两个直角三角板的一个顶点重合，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 2．将一副三角板按如图方式摆放在一起，且比大，则 ． 3．如图，是内部的一条射线，把一个三角板角的顶点放在点处，转动三角板，当三角板的边平分时，三角板的另一边恰好平分，求的度数． 【易错必刷十三 几何图形中角度计算问题】（共3小题） 1．如图，已知，若，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 2．如图，在的内部有3条射线，，．若，，，则 °． 3．如图（a），将两块直角三角尺的直角顶点  叠放在一起． (1)若，_______；若，则______ (2)猜想与的大小有何关系： ； (3)如图（b），若是两个同样的三角尺锐角的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系： ； (4)已知（都是锐角），如图（c），若把它们的顶点  重合在一起，则与的大小有何关系．请说明理由． 【易错必刷十四 角平分线有关的计算】（共3小题） 1．如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，平分，且，则 ． 3．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【易错必刷十五 求余角或补角】（共3小题） 1．已知，与互余，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的补角等于 ． 3．如图，直线与相交于点O，射线分别是的平分线． (1)请写出的所有余角； (2)请写出的所有补角． 【易错必刷十六 与余角、补角有关的计算】（共3小题） 1．如图，点O在直线上，，，平分，则的补角是（   ） A． B．或 C．或或 D．以上都不对 2．已知直线相交于点平分． （1）如图①，若，则 ， ； （2）如图②，若，则 ，与互补的角有 ． 3．如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【易错必刷十七 相交线的相关概念】（共3小题） 1．如图，直线和相交于点O，，，则的度数为（   ）    A．90° B．91° C．92° D．93° 2．如图所示，直线，交于点，，平分，则 ． 3．如图，直线相交于点O，平分，． (1)证明：平分； (2)如果，过点O作射线，请在备用图中画出射线，并求的度数． 【易错必刷十八 对顶角】（共3小题） 1．如图，直线，相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与相交于点与互余，，则 ． 3．如图，已知直线和相交于O点，是直角，平分，，求和的度数． 【易错必刷十九 邻补角】（共3小题） 1．如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O．若，平分，则 ． 3．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【易错必刷二十 同位角、内错角、同旁内角】（共3小题） 1．如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．根据图形填空： （1）若直线，被直线所截，则和 是同位角； （2）若直线，被直线所截，则和 是内错角； （3）和是直线，被直线 所截构成的 角； 3．如图，相交于点A，交于点B，交于点C． (1)指出被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； (2)指出被所截形成的内错角； (3)指出被所截形成的同旁内角． 【易错必刷二十一 平行公理】（共3小题） 1．如图，，直线a平移后得到直线b，则（    ） A． B． C． D． 2．有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有 个． 3．【操作】在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点A作的垂线，垂足为点D，该垂线经过的一个格点记为点E． (2)过点E作的平行线，该平行线经过的一个格点记为F；过点B作的平行线，该平行线经过的一个格点记为G． 【发现】与的位置关系为___________． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：____________． 【发现】线段的长度是点A到直线_____的距离；线段的大小关系为_______（用“<”连接）． 【概括】根据你的发现，概括一条事实或结论：_______________． 【易错必刷二十二 平行公理的推论】（共3小题） 1．在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（    ） A．平行于同一条直线的两直线平行 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 2．如图，已知直线，则A，B，C三点在同一直线上，理由是 ． 3．作图题 (1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是 (2)过点P作直线，，则三点共线，理由是 【易错必刷二十三 平行线的判定定理】（共3小题） 1．如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（   ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 2．如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为 （写出一种情况即可）． 3．完成下面的证明． 已知：如图，． 求证：． 证明：， ______________（_______）． ， ______________． （_______）． 【易错必刷二十四 平行线的性质】（共3小题） 1．如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，如果，则：．上述结论中一定正确的是 ． 3．如图，，平分，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【易错必刷二十五 垂直于同一直线的两直线平行】（共3小题） 1．下列说法中正确的是（    ） A．同位角相等． B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离． C．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． D．平面内有三条直线a，b，c，若，，则． 2．下列四种说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②三条直线两两相交，总有三个交点；③若，，则；④在同一平面内，若直线，直线与相交，则与相交．其中，错误的是 ．(填序号) 3．如图，三角形中，．请依次解决下列问题：    (1)作交于点D，作于点E（用三角尺或量角器完成）； (2) 度；与的位置关系是 ； (3)“线段之长等于点C到直线的距离”这一论断是（    ）的．（括号里填写“正确”或“错误”） 【易错必刷二十六 根据平行线的性质探究角的关系】（共3小题） 1．如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是 ． 3．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【易错必刷二十七 根据平行线的性质求角的度数】（共3小题） 1．如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．一副三角尺按如图叠放在一起，其中点重合，若固定三角形，改变三角尺的位置（其中点位置始终不变），如果小于平角，当 时，． 3．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，射线平分，求的度数． 【易错必刷二十八 平行线的性质在生活中的应用】（共3小题） 1．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底处，是的延长线，若，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 2．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 3．如图是一种躺椅及其侧面简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当时，人躺着最舒服，求此时和的度数．请补充求解过程，并在括号内添上相应的理由． 解：因为扶手与底座都平行于地面，即， 因为（已知）． 所以（     ）． 因为______（平角的定义）， 又因为（已知）， 所以______（等式的基本性质）． 因为（已知）， 所以______（     ）． 所以______（平角的定义）． 【易错必刷二十九 平行线间的距离】（共3小题） 1．如图，直线，．若a与b的距离是，b与c距离是，则a与c的距离是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 3．如图，已知，，于点，于，． （1）求证：； （2）求点到的距离． 【易错必刷三十 多边形的相关概念】（共3小题） 1．下列说法中错误的是（  ） A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形 B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形 C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形 D．各边都相等的多边形是正多边形 2．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 3．仔细数一数图中有几个直角三角形，几个正方形，几个长方形． 【易错必刷三十一 多边形对角线的条数问题】（共3小题） 1．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则的值为 （     ） A．0 B．1 C．6 D． 2．从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则这个多边形的对角线共有 条． 3．（1）如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出条对角线．这样依次从五边形的5个顶点去画，可以画条对角线，但发现其中每一条对角线都重复画了一次，所以，五边形共有______条对角线； （2）同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的两个顶点，有条对角线．这样，从n个顶点出发，可以有条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以，n边形共有______条对角线； （3）如图②，当时，求这个十边形的对角线条数． 【易错必刷三十二 多边形分成的三角形个数问题】（共3小题） 1．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成11个三角形，则这个多边形的边数是（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．如图，每一个多边形都可以按如图的方法分割成若干个三角形． 按如图的方法，2024边形可以分成 个三角形，n边形可以分成 个三角形． 3．探究归纳题： (1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形； (2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示） (4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$