第五章 分式与分式方程 综合素质评价卷 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

第五章 分式与分式方程 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．[2024重庆江北中学期中]下列各式：,,,,中，分式的个数是（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．下列分式中，最简分式是（ ） A． B． C． D． 3．若，则下列各式的值与的值一定相等的是（ ） A． B． C． D． 4．[2024天津]计算的结果等于（ ） A．3 B． C． D． 5．如果分式方程的解为，那么的值为（ ） A． B．6 C． D． 6．对于分式方程，有以下几种说法：①最简公分母为；②转化为整式方程为；③原方程的解为；④原方程无解.其中正确的说法有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．若，则等于（ ） A．9 B．1 C．7 D．11 8．某市防汛办为解决台风季排涝问题，准备在一定时间内铺设一条长的排水管道，实际施工时，每天比原计划铺设，结果20天完成.求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道，则可得方程， ”根据答案，题中被墨汁污染的部分分别为（ ） A．多，延期 B．少，延期 C．多，提前 D．少，提前 9．若关于的方程没有增根，则的值满足（ ） A． B． C． D． 10．对于任意不为零的实数,，若定义新运算，则下列结论中正确的有（ ） ；；③若，则；④若 为正整数，则代数式 的最小值为0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．[2024长沙]要使分式有意义，则需满足的条件是__________. 12．2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，该届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅深度融合的“嘉年华”赛事.已知总赛程约为，在同一场比赛中，选手的平均速度是选手的1.2倍，最终选手冲刺终点的时间比选手提前20分钟，若设选手的平均速度是，则可列方程为_______________. 13．小刚同学不小心弄污了练习本的一道题，这道题是：“化简.”其中“”处被弄污了，但他知道这道题的化简结果是，则“”处的式子为________________. 14．如果关于的方程只有一个根，那么的值是________. 15．[2024重庆]若关于的不等式组 至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为__. 三、解答题（本大题共7小题，共70分） 16．（8分） （1） ［2024泸州］化简：； （2） 解方程：. 17．（8分）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值. 18．（8分）请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题. 计算：. 小明的解法： 解：原式 小红的解法： 解：原式 .④ （1） 小明在步骤______开始出错，小红在步骤______开始出错；（写出序号即可） （2） 请你给出正确的解答过程. 19．（10分）无人机除军事用途外，因在尺寸、速度和机动性等方面的独特优势，使得无人机在航空拍照、高速公路管理、森林防火巡查和应急救援、救护等民用领域应用极为广阔.西北工业大学的科研成果“信鸽”仿生飞行器的续航时间为3小时5分30秒，刷新了扑翼式无人机单次充电飞行时间的吉尼斯世界纪录.科研小组的同学发现，“信鸽”仿生飞行器的时速是“云鸮”仿生飞行器时速的1.5倍，“信鸽”仿生飞行器飞向高的空中比“云鸮”仿生飞行器少用，求“信鸽”仿生飞行器的时速. 20．（10分）若，，. （1） 当时，计算,的值； （2） 猜想与的大小关系，并证明你的猜想. 21．（12分）《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据.在意大利数学家斐波那契编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法.例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程. 例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同.求第一次分硬币的人数.设第一次分硬币的人数为，则可列方程为. 解：构造如图所示的图形，，，矩形 的面积为90，矩形 的面积为120，则，.显然.根据图形可知. （将分式方程转化成了整式方程），解得. 第一次分硬币的人数为18. 请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程的解. 22．（14分）综合与实践: 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略. 【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干. 重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标. 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水. 浓度关系式：.其中,分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；为单次漂洗所加清水量（单位：）. 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于. 【动手操作】请按要求完成下列任务： （1） 如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ （2） 如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ （3） 比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法. 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．C 2．B 3．C 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．D 【点拨】方程去分母，得. 解关于的方程得. 关于的方程没有增根， . 10．C 【点拨】 ,故①正确； ,故②正确； ,,解得. 经检验,都是原方程的根，故③错误； , 当时，代数式有最小值,为0,故④正确. 正确的有,共3个. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11． 12． 13． 【点拨】根据题意，得， . 14． 【点拨】方程去分母，得. 移项，得. 又 关于的方程只有一个根，且, 当时，；当时，. 综上，. 15．16 【点拨】 解不等式①,得，解不等式②,得. 该不等式组的解集为. 该不等式组至少有2个整数解， ，解得. 解分式方程，得. 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数. 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是. 三、解答题（本大题共7小题，共70分） 16．（1） 【解】 . （2） 方程两边同乘，得， 解得. 经检验，是原方程的根. 17．【解】 . 且， 当时，原式.（所选数不唯一） 18．（1） ②； ② （2） 【解】原式. 19．【解】设“云鸮”仿生飞行器的时速为，则“信鸽”仿生飞行器的时速为， 由题意，得，解得. 经检验，是原方程的根，且符合题意， . “信鸽”仿生飞行器的时速为. 20．（1） 【解】当时，,. （2） 猜想：.证明如下： . 又, . ,即. 21．【解】构造如图所示的图形，，，， 矩形的面积为1，矩形的面积为2， 则，. 显然. 根据图形可知. ，解得. 22．（1） 【解】把，代入,得，解得.经检验,是原方程的根，且符合题意. 如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水. （2） 把清水均分，每次使用清水. 第一次漂洗后浓度为; 第二次漂洗后浓度为， 而， 进行两次漂洗，能达到洗衣目标. （3） 由的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水， 从洗衣用水策略方面来讲，分次进行漂洗的方法值得推广学习.（答案不唯一，合理即可） 第6页 学科网（北京）股份有限公司 $$