第二十六章反比例函数（A卷·提升卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（人教版，江西专用）

第二十六章 反比例函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如果反比例函数图象经过点（4，-2），则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．若点 都在反比例函数的图象 上，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 6．如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为一次函数 图象上的动点，以OB为边作正方形OBCD，当AB最小时，点D恰好落在反比例函数 的图象上，则 （　　） A．-9 B．-12 C．-16 D．-25 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是　 　. 8．反比例函数与一次函数交于点，则k的值为　 　. 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点且与函数的图象交于点.若一次函数随的增大而增大，则的取值范围是　 　. 10．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2 ，则k的值为　 　． 11．如图，已知，点A在反比例函数图象上，点B在x轴正半轴上，，，直线与反比例函数的图象只有一个公共点，则　 　. 12．如图，等腰 的两个顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象上， .过点C作边 的垂线交反比例函数 （ ）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 （ ）图象上一点，则 　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知反比例函数（为常数）． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若时，随的增大而减小，求的取值范围． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，与反比例的图象交于点A.点B为AC的中点.求一次函数和反比例的解析式. 15．如图，已知直线y=kx与双曲线y= （x＞0）相交于点A（2，m），将直线y=kx向下平移2个单位长度后与y轴交于点B，与双曲线交于点C，连结AB，AC． （1）求直线BC的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 16．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，. （1）求出这个函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求出，的值； （2）若为正轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求y与的函数表达式； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 19．如图直线y1＝﹣x+4，y2＝ x+b都与双曲线y＝ 交于点A(1，3)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点. （1）求k的值； （2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是　 　. 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且△CAO的面积为20．点D（﹣5，m）在双曲线上． （1）求点C的坐标以及k的值； （2）连结CD，直线l向上平移交直线CD于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形ACPQ为菱形，求点P的坐标； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．背景：点A在反比例函数y=（k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3. 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题. （1）求k的值. （2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象. ①求这个“Z函数”的表达式. ②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）. ③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标. 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交与、B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点P在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P点坐标及面积的最小值． 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出图案中阴影部分的面积； （3）若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数（A卷·提升卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如果反比例函数图象经过点（4，-2），则这个反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设反比例函数解析式为：， 反比例函数图象经过点（4，-2） ， ， 反比例函数的解析式为. 故答案为：C. 2．若点 都在反比例函数的图象 上，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：将 代入 中， ∴ ∴ ， 故答案为：B． 3．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、由函数的图象可知，由函数的图象可知，相矛盾，∴A不符合题意； B、由函数的图象可知，由函数的图象可知，∴B不符合题意； C、由函数的图象可知，由函数的图象可知，∴C符合题意； D、由函数的图象可知，，一次函数与轴交与负半轴，相矛盾，故错误，∴D不符合题意； 故答案为：C． 4．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图所示，连接AO， 因为AB//y轴， 所以 所以 所以 因为反比例函数图象在第二象限， 所以k<0， 所以k=-6， 故选：D. 5．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（　　） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】设OA=3a，则OB=4a，设直线AB的解析式是y=kx+b，则根据题意得：，解得：，则直线AB的解析式是y=﹣x+4a， 直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．根据题意得：，解得： 则D的坐标是（，）， OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=． ∵以CD为边的正方形的面积为，∴2（﹣）2=，则a2=， ∴k=×=7．故选D． 6．如图，在平面直角坐标系中，A(8，0)，点B为一次函数 图象上的动点，以OB为边作正方形OBCD，当AB最小时，点D恰好落在反比例函数 的图象上，则 （　　） A．-9 B．-12 C．-16 D．-25 【答案】C 【解析】解：根据垂线段最短可得，当AB垂直直线 时AB最短， ∵∠AOB=45° ∴∠BAO=45° ∴△AOB是等腰直角三角形， ∵点A的坐标为（8，0） ∴OA=8 ∴ ∵四边形OBCD是正方形， ∴ ∴ 过点D作DE⊥x轴于点E， ∴ ∴△DEO为等腰直角三角形， ∴ ∵点D在第二象限， ∴D（-4，4） 又点D在反比例函数 的图象上 ∴ 故答案为：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 的取值范围是　 　. 【答案】k＞2 【解析】∵反比例函数y＝ 的图象在第二、四象限， ∴2-k＜0， ∴k＞2． 故答案为：k＞2． 8．反比例函数与一次函数交于点，则k的值为　 　. 【答案】6 【解析】解：将点，代入， 即， ， . 故答案为：6. 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点且与函数的图象交于点.若一次函数随的增大而增大，则的取值范围是　 　. 【答案】 【解析】解：当PQ平行于x轴时，点Q的坐标为，代入中，可得； 当PQ平行于y轴时，点Q的坐标为，可得； ∵一次函数y随x的增大而增大， ∴的取值范围是. 故答案为：. 10．如图，平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为6，4，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过A，B两点，若菱形ABCD的面积为2 ，则k的值为　 　． 【答案】12 【解析】解：过点A作x轴的垂线，交CB的延长线于点E， ∵BC∥x轴， ∴AE⊥BC， ∵A，B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象，且纵坐标分别为6，4， ∴A（ ，6），B（ ，4）， ∴AE＝2，BE＝ ﹣ ＝ ， ∵菱形ABCD的面积为2 ， ∴BC×AE＝2 ，即BC＝ ， ∴AB＝BC＝ ， 在Rt△AEB中，BE＝ ＝ ＝1， ∴ k＝1， ∴k＝12， 故答案为：12． 11．如图，已知，点A在反比例函数图象上，点B在x轴正半轴上，，，直线与反比例函数的图象只有一个公共点，则　 　. 【答案】12 【解析】解：由题意可知B（4，0），设A点坐标为（m，n）， ∴ 设直线AB的解析式为， ， 解得， ∴直线AB的解析式为， 设反比例函数的解析式为， ∴， ∴设反比例函数的解析式为， 联立 ∴， ∵直线AB与反比例函数的图象只有一个公共点， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：12. 12．如图，等腰 的两个顶点 、 在反比例函数 （ ）的图象上， .过点C作边 的垂线交反比例函数 （ ）的图象于点D，动点P从点D出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 （ ）图象上一点，则 　 　. 【答案】1 【解析】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数 （ ）图象上， ∵ ， ， ∴ 是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线， ∴CD是反比例函数 的对称轴，则直线CD的关系式是 ， ∵A点的坐标是 ，代入反比例函数 ，得 则反比例函数关系式为 又∵直线CD与反比例函数 （ ）的图象于点D， 则有 ，解之得： （D点在第三象限）， ∴D点的坐标是（-2，-2）， ∴ ， ∵点P从点D出发，沿射线 方向运动 个单位长度，到达反比例函数 图象上， ∴ ，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限）， 将P（1，1）代入反比例函数 ，得 ， 故答案为：1. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．已知反比例函数（为常数）． （1）若函数图象经过点，求的值； （2）若时，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2）m>8 【解析】（1）将点A（-1，6）代入， 可得：m-8=-1×6， 解得：m=2， 故答案为：2； （2）∵时，随的增大而减小， ∴m-8>0， 解得：m>8， 故答案为：m>8. 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，与反比例的图象交于点A.点B为AC的中点.求一次函数和反比例的解析式. 【答案】解：把点代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式， 当时，， ∴， 如图，作轴，垂足为D， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数 ∴， ∴反比例的解析式. 15．如图，已知直线y=kx与双曲线y= （x＞0）相交于点A（2，m），将直线y=kx向下平移2个单位长度后与y轴交于点B，与双曲线交于点C，连结AB，AC． （1）求直线BC的函数表达式； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）解：∵点A在y= 的图象上， ∴m=2， ∴A（2，2）， ∴k=1， 则直线BC的解析式为y=x﹣2 （2）解：过点A作AD∥y轴交BC于点D， 当x=2时，y=x﹣2=0， ∴D（2，0）， ∴AD=2， 由 得x=1± ， ∴点C（1+ ， ﹣1）， ∴S△ABC=S△ABD+S△ACD= ×2×2+ ×2×（1+ ﹣2）=1+ 16．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数.已知当时，. （1）求出这个函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 【答案】（1）解：设P与V之间的函数表达式为， 当时，， 所以， ∴， ∴P与V之间的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴， ∴为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于. 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求出，的值； （2）若为正轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 【答案】（1）解：由题意可知点 在一次函数 的图象上， ∴ ， ∴ ． ∵一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A， ∴ ， ∴ ； （2）解：对于 ，令 ，则 ， 解得： ， ∴ ． 令 ，则 ， ∴ ． ∵ 为 正轴上的一动点， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ， ∴ ， 解得： ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求y与的函数表达式； （2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【答案】（1）解：当时，设双曲线的解析式为， ∵过双曲线， ∴的坐标代入，可得，解得：， ∴函数表达式为： （2）解：设线段AB解析式为， ∵线段AB过点，，代入得，解得：， ∴AB解析式为：， 因为大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，当时，代入，可得：， 解得：，当，代入，可得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∵， ∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为 （3） 解：当时，可得：，解得：， （4） 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴恒温系统最多可以关闭10h，才能使蔬菜避免受到伤害． 19．如图直线y1＝﹣x+4，y2＝ x+b都与双曲线y＝ 交于点A(1，3)，这两条直线分别与x轴交于B，C两点. （1）求k的值； （2）直接写出当x＞0时，不等式 x+b＞ 的解集； （3）若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则此时点P的坐标是　 　. 【答案】（1）解：将点A的坐标代入 得： （2）解：从图象看， 时，不等式 的解集为： （3）(﹣ ，0)或( ，0) 【解析】解：（3）将点A的坐标代入 得， ，解得： ， ，令 ，则 ，即点 ， ，令 ，则 ，即点 ，则 ， 把 的面积分成 两部分，则点 把 分成 两部分 即 或 ，即 或 ， 设点 的横坐标为 ，则 或 解得： 或 故点P的坐标为： 或 ； 故答案为： 或 . 20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C，点C在第二象限且△CAO的面积为20．点D（﹣5，m）在双曲线上． （1）求点C的坐标以及k的值； （2）连结CD，直线l向上平移交直线CD于点P，点Q为平面内任意一点，如果四边形ACPQ为菱形，求点P的坐标； 【答案】（1）把y＝0代入y＝﹣x+4，得x＝8， ∴点A的坐标为（8，0）， ∵S△CAD＝，|yC|＝5， ∵点C在第二象限， ∴yC＝5， 把y＝5代入y＝﹣x+4，得x＝﹣2， ∴C（﹣2，5）， 把点C的坐标代入y＝中得k＝﹣10； （2）由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣， 把D（﹣5，m）代入y＝﹣得，m＝2， ∴D（﹣5，2）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线CD的解析式为y＝x+7， ∵四边形ACPQ是菱形， ∴CP＝AC， 设P（x，x+7）， 则， 解得x1＝，x2＝﹣（不合题意舍去）， ∴P()； 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．背景：点A在反比例函数y=（k>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形.如图1，点A在第一象限内，当AC=4时，小李测得CD=3. 探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题. （1）求k的值. （2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时“Z函数”的图象. ①求这个“Z函数”的表达式. ②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）. ③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标. 【答案】（1）解：，， ， 四边形是正方形， ， 轴，轴， ， 点是反比例函数的图象上的点， . （2）①点是反比例函数的图象上的点， ， ， ， ②如图， 性质：1、函数图象与x轴有2个交点；2、当x<0时，z随x的增大而增大. ③ i)当直线轴时，直线与Z函数图象只有一个交点，且交点横坐标为3； ii)当直线l不平行y轴时，设直线解析式为， 把点代入解析式得， ， 直线l与Z函数图象只有一个交点， 只有一个解， 化简得， 当时，该方程为一元二次方程， ， 解得，， 当时，原方程可化为，解得， 当时，原方程可化为，解得； 当时，该方程为一元一次方程，则，解得， 综上所述，该交点横坐标为2或3或4或6. 22．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交与、B两点． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）点P在反比例函数第三象限的图象上，使得的面积最小，求满足条件的P点坐标及面积的最小值． 【答案】（1）解：将代入得： ， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 联立一次函数和反比例函数解析式得： ， 整理得：， 解得：或， 当时，， ∴； （2）解：如图，将直线AB平移，当与双曲线第三象限的图象只有一个交点P时，此时△PAB的面积有最小值， 设平移的直线解析式为y=-x+b， 由题意可得： -x+b=， ∴x2-bx+3=0， ∴两图象只有一个交点， ∴△=b2-4×3=0， ∴b= ∴直线y=-x+b与y轴交在负半轴， ∴b=， ∴平移后的解析式为， ∴=， ∴x=， ∴y=， ∴点P(，)， 过点P作PH⊥AB于H，设直线y=-x+4与x轴交于点D，与y轴交于点C，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F， ∴点C(0，4)，点D (4，0) ，点E(，0)，点F (0， )， ∴CO=DO=4，EO=FO=， ∴CD=， EF=， △COD和△EOF是等腰直角三角形， ∴点O到EF的距离为，点O到CD的距离为， ∴PH=， ∵点A坐标为(1，3)，点B(3，1)， ∴AB==， ∴△PAB面积的最小值=. 六、解答题（本大题共12分） 23．综合与实践：某数学兴趣小组计划设计一款美丽的“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数图象上．以点为顶点，为边构造菱形；轴于点，且是的中点，连接；以点为圆心，为半径作弧． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出图案中阴影部分的面积； （3）若点的坐标为，连接，在反比例函数的图象上找一点，在坐标平面内找一点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形，求出点的坐标． 【答案】（1）解：把代入得，则反比例函数的表达式为； (2)解：连接菱形OPQR的对角线PR，交x轴于点H， 则PR⊥x轴， ， ∴OH=，PH=1，OP=2 ∵四边形OPQR是菱形， ②当PE⊥AP时，设直线PE的表达式为y=xn， 代入点， 得：，联立两个函数，得：（舍）， 当x=1时，， ， 综上所述，点坐标为或． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$