2.4.2 抛物线的性质（十四大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

2.4.2 抛物线的性质 题型1：抛物线的简单性质 1．抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图形    开口 向左 向上 焦点 准线 简单几何性质 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 题型2：抛物线的对称性的应用 2．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 3．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 4．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 题型3：直线与抛物线的位置关系 7．设直线，抛物线：，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程． （1）若，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点． （2）若，直线与抛物线有 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 8．若直线与抛物线无交点，则k的取值范围为 . 9．已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是 ． 10．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 11．坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 题型4：直线与抛物线的交点坐标 12．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为 . 13．过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 14．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，为的重心，则的最小值为 . 15．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 题型5：抛物线的切线方程 16．过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 17．过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ． 18．已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为 19．在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为 . 题型6：弦长问题 20．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 21．已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 22．已知抛物线，焦点为，不过点的直线交抛物线于两点，为的中点，到抛物线的准线的距离为，则的最小值为 . 23．已知O为坐标原点，过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，，若，则 ． 24．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则 题型7：抛物线中三角形或四边形面积问题 25．过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 26．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则三角形的面积为 . 27．已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 ． 题型8：由弦长求参数 28．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 29．已知为抛物线的焦点，过点的直线与交于A，B两点，过点作，与的准线交于点，且，，则 ． 30．已知点为抛物线的焦点，直线经过点且交抛物线于两点，交轴于点，若，则 . 31．已知抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于两点，若，且，则 ． 题型9：中点弦问题 32．抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于不同的两点、，若，则线段的中点与原点连线的斜率为 . 33．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 34．已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 35．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 题型10：焦点弦（含通径） 36．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 37．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 38．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 39．已知抛物线，从抛物线内一点出发平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，直线与轴交点横坐标为 ；的面积为 . 题型11：最值、取值范围问题 40．直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为 . 41．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 42．曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ． 题型12：定点、定值问题 43．过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线于，，则直线的斜率为 ． 44．已知抛物线，直线交C于两点，且满足，（其中为坐标原点，异于点），则直线恒过定点 ，面积的最小值为 ． 45．已知的顶点都在抛物线上，若重心的纵坐标为，则 . 46．已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为（    ） A．8 B．16 C． D． 题型13：抛物线的实际应用 47．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 48．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯． ①在杯口放一个半径为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 ； ②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为 （单位：）． 49．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为 ， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 . 题型14：解答题 50．已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 51．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 52．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值． 53．已知点P与点的距离比它到直线的距离小2． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是． 54．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 55．在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 一、填空题 1．已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于、两点，线段的中点为，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则的最小值是 . 2．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是    ①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为. 二、单选题 3．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 4．设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（   ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题 5．已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上，设直线与抛物线交于D､E两点（P､D､E均不重合）. (1)若经过点，求点坐标； (2)若，证明：直线过定点； (3)若且，四边形面积为，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4.2 抛物线的性质 题型1：抛物线的简单性质 1．抛物线的标准方程及简单几何性质 标准方程 图形    开口 向左 向上 焦点 准线 简单几何性质 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 【答案】 向右 向下 x y 【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【解析】略： 题型2：抛物线的对称性的应用 2．已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解. 【解析】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直， 故，即. 故答案为：. 3．已知抛物线与圆交于A，B两点，则 ． 【答案】4 【分析】先联立抛物线与圆求出A，B横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解. 【解析】由抛物线与圆的性质易得A，B横坐标相等且大于0， 联立，得，解得或（舍去）， 则，将代入可得，则. 故答案为：. 4．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【解析】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 5．是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【解析】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 6．已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【解析】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 题型3：直线与抛物线的位置关系 7．设直线，抛物线：，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程． （1）若，当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当 时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当 时，直线与抛物线相离，没有公共点． （2）若，直线与抛物线有 公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 【答案】 一个 【分析】略 【解析】略 故答案为：；；；一个 8．若直线与抛物线无交点，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程消得关于的二次方程，由求解k的范围即可. 【解析】由得， 代入中得， 因为直线与抛物线无交点， 故， 解得. 故答案为：. 9．已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个交点，则直线斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线的斜率一定存在且不为，联立直线和抛物线可得方程，根据直线与抛物线有两个交点，可知，解之可得. 【解析】由题可知直线斜率存在且不为0，设直线方程为，且， 联立则，令， 解得或，即且， 故直线斜率的取值范围是． 故答案为：. 10．过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】由于在抛物线外部，当直线与抛物线相切时，有两条直线与抛物线只有一个公共点，又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点，因此，一共有三条直线. 【解析】    过点且斜率不存在的直线，与抛物线C无交点， 因此，直线斜率存在时，设直线，与联立，得：，当直线与抛物线只有一个公共点， 则，得：，则直线方程为或与抛物线C相切，即此时与抛物线C有且只有一个公共点； 又点在轴上，轴与抛物线只有一个公共点， 则共三条直线与抛物线C有且只有一个公共点， 故选：C. 11．坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解. 【解析】由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上， 因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点， 即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为， 联立，化简得，， 由，即， 因式分解为：，解得， 又因为，所以实数的取值范围是. 故答案为： 题型4：直线与抛物线的交点坐标 12．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，直线与准线相交于点，则线段的长度为 . 【答案】 【分析】将点A代入抛物线方程，求得，然后利用两点式写出直线的方程，然后求出与准线交点的坐标，再利用两点距离公式求得结果. 【解析】 如图，点在抛物线上，所以，解得， 易得的焦点为，所以直线的方程为， 即，联立方程有，解得 所以点坐标为，所以， 故答案为： 13．过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为60°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】过点向轴作垂线，求得坐标，即可求解. 【解析】过点向轴作垂线，垂足记为, 由题意可知，所以点坐标为， 代入抛物线方程得，所以 故答案为： 14．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，为的重心，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，点，，可得点的坐标为， 联立方程，得，，化简得，再求的最小值. 【解析】由题意有，设直线的方程为，点，， 可得点的坐标为， 联立方程， 消去后整理为，可得，， ，当且仅当时取等号. 可得的最小值为. 故答案为：. 15．设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线的斜率的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据向量的共线关系可得，即可由斜率公式得斜率表达式，结合基本不等式即可求解最值. 【解析】解：根据题意可设，，， 又，，， ，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 直线的斜率的最大值为． 故答案为：． 题型5：抛物线的切线方程 16．过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【解析】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 解法二：由得，∴. ∴. ∴切线方程为，即. 故答案为：. 17．过点且和抛物线C：有且仅有一个公共点的直线方程是 ． 【答案】或或 【分析】与抛物线只有一个公共点的直线有切线和平行对称轴两种，然后结合条件即得. 【解析】设直线方程为或（当斜率不存在时）， 当直线与抛物线相切时只有一个公共点，满足题意， 此时：由，得， 由得，此时切线方程为； 经检验，也是抛物线的切线方程； 当直线与抛物线对称轴轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，此时直线方程为； 故答案为：或或. 18．已知抛物线：的焦点为，过点作的一条切线，切点为，则的面积为 【答案】/ 【分析】求出切点坐标后可求的面积. 【解析】过点作的一条切线，该切线的斜率必定存在，可设为， 则切线方程为：， 由可得即， 所以，故，所以， 而，故的面积为.    故答案为： 19．在平面直角坐标系中，设抛物线在点处的切线为.若与该抛物线的准线的交点横坐标为，则的值为 . 【答案】. 【解析】将抛物线方程变形为，求导，利用导数的几何意义求出切线方程，再根据与准线的交点列方程求解即可. 【解析】解：由已知得， ， ， ，即， 当时，， 解得， 故答案为：. 【点睛】本题考查导数的几何意义及抛物线切线方程的求解，导数的应用是关键，是基础题. 题型6：弦长问题 20．已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，且A、B中点的横坐标为5，则 . 【答案】12 【分析】设，根据A、B中点的横坐标为5得到，由焦点弦长公式得到答案. 【解析】由题意得， 设， 因为A、B中点的横坐标为5，所以， 由焦点弦长公式得 故答案为：12 21．已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及弦长公式可求得结果. 【解析】设，， 根据抛物线定义，，，得， 由，且，得， 故答案为：． 22．已知抛物线，焦点为，不过点的直线交抛物线于两点，为的中点，到抛物线的准线的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】如图，设，则，根据抛物线的定义和余弦定理得，结合基本不等式计算即可求解. 【解析】过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 设，则由梯形的中位线可知，且， 在中，由余弦定理可知：， 所以， 又， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为： 23．已知O为坐标原点，过抛物线C：的焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，结合直线的两点式方程与抛物线方程联立，求出相应点的坐标，再结合抛物线的定义进行求解即可. 【解析】由， 因为，所以， 设，垂足为，因为， 所以， 把代入中，得，负值舍去， 所以点A坐标为， 因此直线的方程为：， 与抛物线方程，联立， 得，或， 把代入抛物线方程中，得， 所以， 故答案为： 24．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于A，B两点，的中垂线分别交l与x轴于D，E两点（D，E在的两侧）.若四边形为菱形，则 【答案】/ 【分析】由抛物线定义及菱形性质得为等边三角形，联立直线与抛物线由焦点弦长公式直接求解. 【解析】由题意，四边形为菱形，则，且 由抛物线定义知：，故为等边三角形， 由对称性不妨设直线， 与联立得， 设，则， 故. 故答案为： 题型7：抛物线中三角形或四边形面积问题 25．过点作抛物线的切线交轴于点，焦点为，则四边形的面积为 . 【答案】 【分析】利用导数求出点处切线的斜率，即可得到切线方程，从而求出点坐标，再求出焦点坐标，即可得到四边形的面积. 【解析】当时，，则，则， 所以切线方程为，即， 令，解得，所以，又抛物线的焦点， 所以. 故答案为： 26．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则三角形的面积为 . 【答案】/ 【分析】根据直线方程求出焦点，进而得到抛物线方程，与直线方程联立后得到两根之和，进而得到弦长，结合点到直线距离求出面积. 【解析】由题意可知直线过点，即为抛物线的焦点， 所以，抛物线的方程为， 设， 由消去并化简得， 解得，所以， 直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为. 故答案为： 27．已知圆,点在抛物线上运动，过点作圆的切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 ． 【答案】 【分析】根据相切将四边形面积转化为，从而利用点点距离可得且求得最小值，由此得解； 【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为3， 点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为，点． ，，，易得， 所以， 设，，则 故，（当时取等号）， ， ， 可知四边形面积的最小值为． 故答案为：    题型8：由弦长求参数 28．直线被曲线所截得的弦长为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】联立方程组，结合韦达定理和曲线的弦长公式，列出方程，即可求解. 【解析】联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式， 可得 ， 解得. 故答案为：. 29．已知为抛物线的焦点，过点的直线与交于A，B两点，过点作，与的准线交于点，且，，则 ． 【答案】4 【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，即可得到，再由弦长公式计算可得.． 【解析】由题意知抛物线的焦点为，准线方程为． 当过点的直线垂直于轴时，易知，，则，不符合题意． 当过点的直线斜率为0时，直线与只有一个交点，不符合题意． 设直线的方程为． 联立，化简得， 设，显然，则． 由，，可知． 所以． 如图，过点作轴的垂线，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 因为， 所以，所以，则． 又， 所以，整理得，解得，则． 又，即， 所以，则，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题以学生熟悉的抛物线为载体，求参数的值，将创新思维融于解题之中，具有化腐朽为神奇的效果．抓住是解本题的关键． 30．已知点为抛物线的焦点，直线经过点且交抛物线于两点，交轴于点，若，则 . 【答案】2 【分析】由题意知点B在AM之间，设直线l的倾斜角为，根据，可得，利用弦长公式列式，求得答案. 【解析】由题意知点B在AM之间，设直线l的倾斜角为，如图即 ， 由于 则，而 ， 即， 由可得 ， 解得 或（舍去）， 故 ， 故答案为：2 31．已知抛物线的焦点为F，点，过点F的直线与此抛物线交于两点，若，且，则 ． 【答案】6 【分析】设的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系，计算得，故，根据求得，进而求得，从而求得，利用列方程，解方程求得的值. 【解析】设的方程为， 则由得， ， ，又为锐角，． 不妨设，如图，作轴，垂足为H，过M作直线轴， ，垂足为，则 ， ， ，故． 故答案为：6 【点睛】直线和圆锥曲线相交所得弦长有关计算问题，要注意熟练应用弦长公式. 题型9：中点弦问题 32．抛物线的焦点为，过的直线与该抛物线交于不同的两点、，若，则线段的中点与原点连线的斜率为 . 【答案】 【分析】设直线方程为，联立直线与抛物线方程，得到，再由焦点弦公式求出，从而得到的中点坐标，即可得解. 【解析】依题意的斜率存在，设直线方程为， 代入得， 因为，所以， 所以，所以， 则，， 所以的中点坐标为， 所以线段的中点与原点连线的斜率为. 故答案为： 33．已知抛物线，过点作一条直线l与抛物线交于两点，恰使得点平分，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知，直线的斜率存在，由点差法及中点坐标公式即可求得斜率，再由点斜式求得直线方程. 【解析】设直线与抛物线的两个交点分别为，，将两点代入抛物线方程得 ，两式作差可得， 即，所以直线的斜率， 所以直线方程为，即. 故答案为： 34．已知抛物线的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是的外心，则的值为 ． 【答案】2 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理求以及点M的坐标，即可得结果. 【解析】由题意可知：抛物线的焦点，可知直线l与抛物线必相交， 设直线，，可得， 联立方程，消去x得， 则， 可得， ，且，即线段的中点， 则线段的中垂线方程为， 由题意可知：点M在x轴上， 令，可得，即，则， 所以. 故答案为：2. 【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在． 35．已知为坐标原点，点在抛物线上，且.记点的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，且线段中点的横坐标为1，则直线的斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】设直线，则，结合已知用表示出的坐标，消去参数即可得曲线的方程，由点差法即可得解. 【解析】 显然斜率均存在， 设直线，则，联立，得，同理， 设，则，化简可得，曲线. 设，则，两式相减可得，， 则. 故答案为：. 题型10：焦点弦（含通径） 36．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 【答案】4 【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长. 【解析】由题设，抛物线焦点为，即， 令，则，故. 故答案为：4 37．已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两个不同的点A，B．如果，2，成等差数列，那么 . 【答案】/ 【分析】联立抛物线和直线方程，得到，再由等差中项的性质得到，结合抛物线的定义可得，结合可得到满足的方程，求解即得结果. 【解析】设，， 联立，整理得：， 由，得， 由韦达定理，得， 由，2，成等差数列，可得， 由抛物线的定义得， 所以，故，解得或（舍）. 故答案为：. 38．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点， 直线与交于两点， 则的最小值为 【答案】8 【分析】先设直线联立方程得出韦达定理，应用弦长公式得出，再结合垂直斜率关系得出，最后应用基本不等式得出弦长和的最小值即可. 【解析】由题意知，直线的斜率都存在且不为 0，， 设， 则直线的斜率为，联立方程得， 消去得，设， 则． 所以 同理，用替换可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为8． 故答案为：8. 39．已知抛物线，从抛物线内一点出发平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，直线与轴交点横坐标为 ；的面积为 . 【答案】 /0.5 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式结合抛物线的焦点弦的性质求解. 【解析】， 设切线与轴交于点，由抛物线的光学性质可知， 过焦点，即与轴交点横坐标为； ，直线的斜率为 直线的倾斜角为，且， 即， . 故答案为： 题型11：最值、取值范围问题 40．直线与抛物线：相交于两点，若在轴上存在点使得，则的最小值为 . 【答案】 【分析】联立直线与抛物线方程，引入参数，结合韦达定理以及可得关于应该满足的条件式，结合基本不等式即可求解. 【解析】联立方程得， 令，而由题意，所以. 设，由韦达定理得. 设，则， ， 即，显然，否则，但这是不可能的， 即， 因为，所以（否则时，有，但这与已知矛盾）， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 41．抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A、B两点，抛物线在A、B处的切线交于点，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，再结合导数的几何意义得到在A、B处的切线方程，联立后求出的坐标，从而得到，从而表达出，结合对勾函数单调性得到最值. 【解析】由题意得，当直线斜率为0时，不满足与抛物线交于两个点， 设直线方程为，联立得，， 设，， 则， 故，， 故， ，，故过的切线方程为， 同理可得过点的切线方程为， 联立与得 ， 故 ， 故， ，则， 故， 其中，由在上单调递增， 故当，即时，取得最小值， 最小值为. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 42．曲线上动点与构成，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，得，作轴于点，则，用坐标表示出，然后求得最小值，由最小值不小于8得结论． 【解析】由对称性，不妨考虑点在轴或其上方，即设，， ，则， 作轴于点，则， 所以梯形 ， 当，即时，时，， 由得，无解， 当即时，时，，满足题意， 综上，．    【点睛】思路点睛：设出点坐标为，通过作垂线，构造直角三角形和直角梯形，从而用点的坐标表示出三角形的面积，然后结合二次函数知识求得面积最小值， 题型12：定点、定值问题 43．过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线于，，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求出，设，根据求出，进而得到直线的斜率. 【解析】将代入中得，，解得， 故，设，即， 又直线的倾斜角互补， 则， ， . 故答案为： 44．已知抛物线，直线交C于两点，且满足，（其中为坐标原点，异于点），则直线恒过定点 ，面积的最小值为 ． 【答案】 64 【分析】第一空：根据题意设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理求解即可； 第二空：根据第一空的提示将三角形分割为两部分，结合三角形面积公式求解答案即可. 【解析】由题意得，直线斜率不为0，所以设直线方程为，， 由，得， 则，， 所以， 所以或， 当时，直线方程为不满足异于点，舍去， 当时，直线方程为恒过定点，符合题意， 记，所以， 又因为， 所以，当且仅当时面积取得最小值. 故答案为：；64 45．已知的顶点都在抛物线上，若重心的纵坐标为，则 . 【答案】/0.5 【分析】设三角形三个顶点的坐标，结合点在抛物线上，表示出三条直线的斜率，根据关系式及三角形的重心纵坐标即可交集问题. 【解析】设坐标分别为， 又点都在抛物线上， 则， 则， 同理， 所以. 故答案为：. 46．已知曲线与直线有3个公共点，点是曲线上关于轴对称的两动点（点在第一象限），点是轴上关于原点对称的两定点（点在轴正半轴上），若为定值，则该定值为（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】由已知结合直线与曲线的公共点个数先求出，然后结合抛物线的定义即可求解. 【解析】曲线表示抛物线与， 由得， 因为，所以， 可得抛物线与直线有两个交点， 曲线与直线有3公共点， 则直线与抛物线相切， 把代入得， 则，解得， 由对称性可知，设与轴的交点为， 则， 若为定值，则为定值， 则点分别为抛物线与的焦点， 此时为抛物线上一点到轴距离 与其焦点距离差的2倍，即. 故选：D． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 题型13：抛物线的实际应用 47．一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，根据题意求得限高. 【解析】建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意抛物线过点，则， 所以抛物线的方程为， 车的截面为矩形， 设，则， 所以米， 即限高为米. 故答案为： 48．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽，杯深，称为抛物线酒杯． ①在杯口放一个半径为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为 ； ②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为 （单位：）． 【答案】 【分析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可. 【解析】因为在杯口放一个半径为的玻璃球， 又因为杯口宽4cm， 所以如图1所示，有， 所以，所以， 所以， 又因为杯深8cm，即 故最小距离为 如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为， 所以将代入得，故抛物线方程为， 当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2， 设玻璃球轴截面所在圆的方程为， 依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即， 则有恒成立，解得，可得. 所以玻璃球的半径的取值范围为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解. 49．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸， 溢流孔ABC所在抛物线的方程为 ， 溢流孔与桥拱交点A的横坐标为 . 【答案】 【解析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求. 【解析】设桥拱所在抛物线方程，由图可知，曲线经过， 代入方程，解得：， 所以桥拱所在抛物线方程； 四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看， 设第一个抛物线， 由图抛物线经过点，则，解得， 所以， 点即桥拱所在抛物线与的交点坐标， 设 由，解得： 所以点A的横坐标为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可. 题型14：解答题 50．已知点是抛物线上的动点，过向轴作垂线段，垂足为，记垂线段PM的中点为． (1)求点的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹交于A，B两点，且的面积为（为坐标原点），求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的坐标为，则的坐标为，代入抛物线方程计算即可；（2）直曲联立，借助韦达定理和面积公式计算即可. 【解析】（1）设的坐标为，则的坐标为 又点在抛物线上，故即 （2）设直线的方程为， 联立方程组得：，有， 则， 解得： 所以直线的方程为，即： 51．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到的值，写出椭圆方程即可； （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到，利用弦长公式即可求解． 【解析】（1）由题意可知，则， 因为，所以，得到， 所以椭圆的方程为． （2）因为，直线过且斜率为，所以直线， 联立方程组，得， 设，则， 所以． 52．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程； （2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解. 【解析】（1）由题意设抛物线方程为，其准线方程为， ∵到焦点的距离等于A到其准线的距离， ∴ ∴ ∴抛物线C的方程为 （2）由消去y，得  , ∵直线与抛物线相交于不同两点A、B， 则有, 解得且， 又， 解得 ，或（舍去） ∴的值为． 53．已知点P与点的距离比它到直线的距离小2． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若轨迹C上有两点A、B在第一象限，且，，求证：直线AB的斜率是． 【答案】(1)； (2)证明见详解． 【分析】（1）依题意得点P与点的距离与它到直线的距离相等，则P的轨迹C是抛物线，从而求解方程； （2）设在准线上的投影分别为，并连接，，过点作交于点，从而直线AB的斜率是，结合勾股定理即可求解． 【解析】（1）因为点P与点的距离比它到直线的距离小2， 则点P与点的距离与它到直线的距离相等， 所以点P的轨迹C是以为焦点以直线为准线的抛物线， 故轨迹C的方程为； （2）设在准线上的投影分别为，并连接， 过点作交于点 因为， 又，则 又，所以； 故直线AB的斜率是.    54．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米. (1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； (2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值； (3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？ 【答案】(1) (2) (3)4.0米 【分析】（1）设该抛物线的方程为，代入点可得答案； （2）直线与抛物线联立求出、可得答案； （3）设车辆高为h，代入抛物线方程可得答案. 【解析】（1）如图所示. 依题意，设该抛物线的方程为， 因为点在抛物线上，所以，， 所以该抛物线的方程为； （2），焦点，，设，，则， 由解得，，， 所以， 则； （3）设车辆高为h，则，故， 代入抛物线方程，得，解得， 所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米. 55．在平面直角坐标系中，已知抛物线: 的焦点为，点 是抛物线上的一点.    (1)若 求点A的坐标； (2)已知是轴上的点，若线段的最小值为4，求实数的值； (3)如图，已知 点在抛物线上，满足 作 ，为垂足. 问：是否存在定点，使得为定值? 若存在，求出点坐标以及的值； 若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，, 【分析】（1）根据焦半径公式可得，即可代入抛物线方程中求解， （2）根据两点距离公式结合换元法可得，即可分类讨论求解最值， （3）根据向量垂直的坐标运算，代入韦达定理化简可得，即可求解直线 过定点，利用垂直可得. 【解析】（1）由抛物线的性质可知，，准线方程为. 所以，代入抛物线， （2）设 令，，对称轴为， 当，即，当时取最小值，， 当，即，当时取最小值，， （3）设， ，又 ， ， 令直线，联立 ，整理得 ， 且 则 代入（1）式得: 当时， 过定点与重合，不符; 当 时，过定点, 直线 过定点 又 ，故 在以 为直径的圆上， 而 中点为，即为定值. 【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 一、填空题 1．已知直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于、两点，线段的中点为，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，则的最小值是 . 【答案】 【分析】设直线，，，联立抛物线方程得到关于的一元二次方程，得到韦达定理式，求出坐标，利用弦长公式和两点距离公式得到和的表达式，再利用基本不等式即可得到答案. 【解析】显然当直线AB斜率为0时，不合题意；故设直线，，， 联立抛物线方程有，则， ，， 则，，， 则， 则，准线方程为，，则， ， ， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 此时. 故答案为：.    【点睛】关键点点睛：本题的关键是采取设线法联立抛物线方程得到韦达定理式，再利用中点公式得到点坐标，最后利用弦长公式和两点距离公式得到相关表达式，最后利用基本不等式即可得到答案. 2．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是    ①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为. 【答案】①②③④ 【分析】根据抛物线的定义可得判断①，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④. 【解析】设直线与直线分别交于由题可知， 所以，，故①正确； 如图以为原点建立平面直角坐标系，则，， 所以抛物线的方程为，    连接，由抛物线的定义可知，又， 所以，代入，可得， 所以，又，故四边形的面积为，故②正确； 连接，因为，所以， 所以， 故，故③正确； 根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分， 设在直线上的射影分别为， 当点在抛物线，点在抛物线上时，， 当与重合时，最小，最小值为， 当与重合，点在抛物线上时，因为， 直线， 与抛物线的方程为联立，可得， 设，则，， 所以； 当点在抛物线，点在抛物线上时，设， 与抛物线的方程为联立，可得， 设，则，， 当，即时取等号，故此时； 当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，； 综上，，故④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】构建平面直角坐标系，结合抛物线定义可求解长度和角度问题，判断①②， 根据抛物线的对称性，判断， 从而，从而判断③， 分别讨论的位置，然后判断的取值范围，判断④，是本题的难点. 二、单选题 3．已知的顶点均在抛物线上，且，过分别作抛物线的切线，则三条切线围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】设，分别求出直线的方程，两两联立求出交点的坐标，继而求得直线的方程，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，过点垂直于轴的直线交直线于点，求得，计算和的面积之比即得. 【解析】依题意，设，过点的切线， 联立得， 令，解得，故得， 同理可得， 记交于点交于点交于点，联立､的方程解得， 同理可得，则． 另外直线，化简得：; 直线,化简得：．    如图，过点垂直于轴的直线交直线于点，则 过点垂直于轴的直线交直线于点，解得， 因为， 所以，即切线围成的三角形的面积为． 故选：A. 4．设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（   ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意，将原点坐标代入可得；通过放缩可得不等式，进一步可判断第二个序号；取点即可判断第三、四个序号. 【解析】对于①，由题意点在曲线C的上面，当且仅当， 因为曲线C过原点且，所以，故①正确； 对于②，若点在C上， 则 ，故②正确； 对于③，在中，当时，化简得 令，可得，故③正确； 对于④，当点在C上时，由③可知点不满足，故④错误； 说法正确的个数是3. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 三、解答题 5．已知点是抛物线的焦点，动点在抛物线上，设直线与抛物线交于D､E两点（P､D､E均不重合）. (1)若经过点，求点坐标； (2)若，证明：直线过定点； (3)若且，四边形面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义与方程求点，进而求得直线的方程，联立方程求点； （2）由整理可得，结合韦达定理可得，代入抛物线方程即可得结果； （3）由题意可得四边形为平行四边形，结合向量和韦达定理分析可得，再根据面积可求得，即可得结果. 【解析】（1）由题意可得：抛物线的焦点， 设， 则，解得，即， 故直线的斜率，即直线的方程为， 联立方程，消去得，解得或， 即，由， 故点坐标. （2）设直线， 联立方程：，消去得， 则， ∵， 由，可得，解得， 即在抛物线上，则，解得， 故直线过定点. （3）设直线，可得 由题意可得：四边形为平行四边形，则， 故，可得， 由（2）可得，即， 点到直线的距离为， 故四边形的面积为， 解得，则， 故直线，即. 【点睛】方法定睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)． （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$