2.4抛物线的性质（第2课时）（课件）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）

2.4抛物线的性质（第2课时） 第 2章 圆锥曲线 沪教版2020选修第一册 学习目标 1.掌握抛物线的简单几何性质. 2. 归纳、对比四种方程所表示的抛物线的 几何性质的异同. 3.掌握直线与抛物线位置关系的判断。 关于x轴对称 即点(x,-y)也在抛物线上, 故抛物线y2 =2px(p>0)关于x轴对称. 则(-y)2 = 2px , 若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px， 1.对称性 x l F (x,y) y O (x,-y) 如何研究抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质? 定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点. ∴ y2 =2px(p>0)中，令y=0，则x=0. 即抛物线y2 =2px(p>0)的顶点(0,0). 2.顶点 x l F y O 由抛物线 y2 =2px(p>0) 有 所以抛物线的范围为 3.范围 x l F y O 解　由题设可知，抛物线的焦点坐标为点F（１，０），直线l的方程为 y＝２（x－１） ① 设两个交点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x２，y２），则有x１＋x２＝３． 由抛物线定义可知，｜AF｜、｜BF｜分别等于点A、B到准线x＝－１的距离｜AA１｜、｜BB１｜，如图２- ４ -５．又因为｜AA１｜＝x１＋１，｜BB１｜＝x２＋１，所以｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AA１｜＋｜BB１｜＝x１＋x２＋２＝５． 1.斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长． 练一练 解：方法二：设A(,), B(,), 直线l的为抛物线方程，得 x2-6x+1=0 ∴ +=6, =1 =8. (x1, y1) (x2, y2) 1.斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长． 1.斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长． 解：方法三：由题意可知，，，焦点F的坐标为（1，0），准线方程为. 如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB. 由抛物线的定义，可知，， . 因为直线的斜率为1，且过焦点， 所以直线的方程为. ① 将①代入方程，得，化简，得. 所以，.所以，线段AB的长是8. 直线和抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离 将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于 x（或 y 的） 方程组： Ax2 + Bx + C = 0（或Ay2 + By + C = 0），其中A，B，C 为常数. 若A = 0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点； 若A ≠ 0，计算判别式 Δ＝B2 －4AC ： 若 Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）； 若 Δ = 0，则直线和抛物线相切（有一个交点）； 若 Δ＜0，则直线和抛物线相离（无交点）. 归纳总结 在学习圆和椭圆时，我们曾经讨论过切线问题．当直线与圆或 椭圆有且只有一个公共点时，直线与圆或椭圆相切．由例４知， 这一结论在抛物线的情况不一定成立．当一条直线平行于一条 抛物线的对称轴时，这条直线与这条抛物线有且只有一个公共点，但它们并不相切． 练一练 13 14 15 16 例5.如图２- ４- ７，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处．已知灯口直径是２４厘米，灯深１０厘米，求灯泡与反射镜顶点的距离． 解　以反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点 为原点，建立平面直角坐标系，如图２- ４ -８所示．由题设，得点A的坐标为（１０，１２）． 设抛物线的方程为 因为点A在抛物线上，所以 因此抛物线焦点F的坐标为（３．６，０）． 所以，灯泡与反射镜的顶点的距离为３．６厘米 (1)求点P的轨迹方程； 解　过点P作x轴的垂线且垂足为点N，则|PN|＝y， 故点P的轨迹方程为x2＝2y. 练一练 (2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝ ，求实数k的值. 解　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2. ∴k4＋3k2－4＝0， 又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1. 求轨迹问题的两种方法 (1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程. (2)定义法： 若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程. 归纳总结 4.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1