28.2.2　应用举例 课时作业 2024—2025学年人教版数学九年级下册

28.2.2　应用举例　第1课时　与视角有关的解直角三角形应用题 @基础分点训练 知识点1　利用解直角三角形解决简单问题 1.（教材P74例3变式）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP＝　－R　. 第1题图 2.如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是　800　m. 第2题图 知识点2　解与视角有关的实际问题 3.如图，为测量操场上篮筐的高AB，小明站在点Q处，眼睛P与地面的距离PQ为1.7米，与AB的距离PC为2.5米，若仰角∠APC为θ，则篮筐的高AB可表示为 （　A　） 第3题图 A.（1.7＋2.5tan θ）米 B.米 C.（1.7＋2.5sin θ）米 D.米 4.（2024·武威校级三模）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为60 m，则这栋楼的高度为　80　m. 第4题图 @中档提分训练 5.【真实问题情境】某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置.已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOD＝31°，则栏杆端点A上升的垂直距离为 （　A　） A.4sin 31°米 B.4cos 31°米 C.4tan 31°米 D.米 6.【核心素养·应用意识】（2023·孝感）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为　 （30－5）　米.（结果保留根号） 7.（2024·甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.（参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈） 解：如图，连接DF交AH于点G. 根据题意，得CD＝EF＝GH＝1.6 m，DF＝CE＝182 m，DF⊥AH. 设DG＝x m， ∴FG＝DF－DG＝（182－x）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝45°， ∴AG＝DG·tan 45°＝x（m）， 在Rt△AFG中，∠AFG＝53°， ∴AG＝FG·tan 53°≈（182－x）m， ∴x＝（182－x）， 解得x＝104， ∴AG＝104 m， ∴AH＝AG＋GH＝104＋1.6＝105.6（m）. 答：风电塔筒AH的高度约为105.6 m. @拓展素养训练 8.【新考法·项目式学习】【甘肃人文信息】（2024·天水月考）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名.麦积山石窟始建于384－417年，存有221座洞窟、10 632身泥塑石雕、1 300余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为“东方雕塑艺术陈列馆”.某学习小组把测量本城市麦积山（图2）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表： 课 题 测量麦积山最高点离地面的高度 示 意 图 说 明 如图2，麦积山的最高点B到地面的高度为BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上. 测 量 数 据 α的度数 β的度数 CE的 长度 仪器CD（EF） 的高度 38° 42° 24米 1.5米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度.（结果保留一位小数.参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90） 解：如图，延长DF，交AB于点G， ∵CD⊥AC，EF⊥AC，AB⊥AC，DG⊥AB， ∴四边形CEFD和四边形CAGD都是矩形， ∴DF＝CE＝24米，AG＝CD＝1.5米，DG＝AC. 设BG＝x米. ∵∠α＝38°，∠β＝42°， ∴DG＝≈，FG＝≈. ∵DF＝DG－FG＝24米， ∴－＝24， 解得x＝140.4. ∴BG＝140.4米. ∴AB＝BG＋AG＝141.9（米）. 答：麦积山最高点离地面的高度约为141.9米. 28.2.2　应用举例　第2课时　与方位角、坡角有关的解直角三角形应用题 @基础分点训练 知识点1　解与方位角有关的实际问题 1.如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为 （　A　） A.100 m B.100 m C.100 m D. m 2.（教材P77练习T1变式）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60 km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47 km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D. 根据题意，可知∠BAC＝90°－60°＝30°， ∠DBC＝90°－30°＝60°. ∵∠DBC是△ABC的一个外角， ∴∠DBC＝∠ACB＋∠BAC， ∴∠ACB＝∠DBC－∠BAC＝60°－30°＝30°. ∴∠ACB＝∠BAC. ∴BC＝AB＝60 km. 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠DBC＝60°， sin∠DBC＝， ∴CD＝BC·sin∠DBC＝60×sin 60° ＝60×＝30（km）＞47 km. 答：这艘船继续向东航行安全. 知识点2　解与坡角有关的实际问题 3.如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5 m，则这两棵树的水平距离约为　4.7　m.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364） 4.水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4 m，坡面AD的坡度i为1∶1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3 m，求坝底AB的长.（精确到0.1 m.参考数据：≈1.732） 解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DH⊥AB于点H，则四边形CDHF是矩形， ∴HF＝CD＝4 m，DH＝CF＝3 m. 在Rt△ADH中，坡面AD的坡度i＝DH∶AH＝1∶1， ∴AH＝DH＝3 m. 在Rt△BCF中，∠B＝β＝60°，CF＝3 m. ∵tan B＝，∴BF＝＝＝（m）， ∴AB＝AH＋HF＋FB≈3＋4＋1.732≈8.7（m）. 答：坝底AB的长约为8.7 m. @中档提分训练 5.【真实问题情境】（2024·张掖校级模拟）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6 cm（如箭头所示），则木桩上升了 （　A　） A.6tan 18° cm B. cm C.6sin 18° cm D.6cos 18° cm 6.【新考法·项目式学习】根据以下素材，探索完成任务. 探究车牌识别系统的识别角度 素 材 1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库.图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高BC＝4.5 m，BC⊥AC，出入口斜坡AB长20.5 m. 素 材 2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，DB＝1.5 m，D，B，C三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为EB，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈） 素 材 3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速5 km/h. 问题解决 任 务 1 确定斜坡坡比：如图1，求的值. 任 务 2 判断车辆是否顺利通过：如图3，当∠EDB＝53°时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明. 解：任务1：∵BC＝4.5 m，BC⊥AC，AB＝20.5 m， ∴AC＝＝＝20（m）， ∴＝＝. 任务2：闸门没有打开，理由如下： 如图，过点E作EF⊥BC于F. ∵∠EDB＝53°，tan 53°≈＝， ∴设EF＝4x m，则DF＝3x m. ∵EF⊥BC，BC⊥AC， ∴EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴＝＝， ∴BF＝EF＝0.9x（m）， ∴DB＝DF－BF＝2.1x（m）. 已知DB＝1.5 m， ∴2.1x＝1.5，解得x＝， ∴BE＝＝＝4.1x＝4.1×≈2.93（m）， ∴车辆以最高限速行驶到达B点的时间为：≈2.1（秒）. ∵2.1＜3， ∴闸门没有打开. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 28.2.2　应用举例　第1课时　与视角有关的解直角三角形应用题 @基础分点训练 知识点1　利用解直角三角形解决简单问题 1.（教材P74例3变式）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q.若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP＝ . 第1题图 2.如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工.取∠ABC＝150°，BC＝1 600 m，∠BCD＝105°，则C，D两点的距离是 m. 第2题图 知识点2　解与视角有关的实际问题 3.如图，为测量操场上篮筐的高AB，小明站在点Q处，眼睛P与地面的距离PQ为1.7米，与AB的距离PC为2.5米，若仰角∠APC为θ，则篮筐的高AB可表示为 （　 　） 第3题图 A.（1.7＋2.5tan θ）米 B.米 C.（1.7＋2.5sin θ）米 D.米 4.（2024·武威校级三模）如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角α为30°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，无人机与楼的水平距离为60 m，则这栋楼的高度为 m. 第4题图 @中档提分训练 5.【真实问题情境】某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置.已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOD＝31°，则栏杆端点A上升的垂直距离为 （　 　） A.4sin 31°米 B.4cos 31°米 C.4tan 31°米 D.米 6.【核心素养·应用意识】（2023·孝感）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米.（结果保留根号） 7.（2024·甘肃）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6 m，点C与点E相距182 m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度.（参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈） @拓展素养训练 8.【新考法·项目式学习】【甘肃人文信息】（2024·天水月考）麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名.麦积山石窟始建于384－417年，存有221座洞窟、10 632身泥塑石雕、1 300余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为“东方雕塑艺术陈列馆”.某学习小组把测量本城市麦积山（图2）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如表： 课 题 测量麦积山最高点离地面的高度 示 意 图 说 明 如图2，麦积山的最高点B到地面的高度为BA，在测点C用仪器测得点B的仰角为α，前进一段距离到达测点E，再用该仪器测得点B的仰角为β，且点A，B，C，D，E，F均在同一竖直平面内，点A，C，E在同一条直线上. 测 量 数 据 α的度数 β的度数 CE的 长度 仪器CD（EF） 的高度 38° 42° 24米 1.5米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度.（结果保留一位小数.参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90） 28.2.2　应用举例　第2课时　与方位角、坡角有关的解直角三角形应用题 @基础分点训练 知识点1　解与方位角有关的实际问题 1.如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200 m，则图书馆A到公路的距离AB为 （　 　） A.100 m B.100 m C.100 m D. m 2.（教材P77练习T1变式）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60 km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47 km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 知识点2　解与坡角有关的实际问题 3.如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角α＝20°，两树间的坡面距离AB＝5 m，则这两棵树的水平距离约为 m.（结果精确到0.1 m.参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364） 4.水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4 m，坡面AD的坡度i为1∶1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3 m，求坝底AB的长.（精确到0.1 m.参考数据：≈1.732） @中档提分训练 5.【真实问题情境】（2024·张掖校级模拟）如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6 cm（如箭头所示），则木桩上升了 （　 　） A.6tan 18° cm B. cm C.6sin 18° cm D.6cos 18° cm 6.【新考法·项目式学习】根据以下素材，探索完成任务. 探究车牌识别系统的识别角度 素 材 1 某小区为解决“停车难”这个问题，改造一个地下停车库.图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图.地下停车库高BC＝4.5 m，BC⊥AC，出入口斜坡AB长20.5 m. 素 材 2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头D点位于B点正上方，DB＝1.5 m，D，B，C三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为EB，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭.（参考数据：sin 53°≈，cos 53°≈，tan 53°≈） 素 材 3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速5 km/h. 问题解决 任 务 1 确定斜坡坡比：如图1，求的值. 任 务 2 判断车辆是否顺利通过：如图3，当∠EDB＝53°时，请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否已经打开，请通过计算说明. 学科网（北京）股份有限公司 $$