专题08 二次函数与一元二次方程的两种考法-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都九年级数学下册题型全攻略（北师大版）

专题08 二次函数与一元二次方程的两种考法 【考法一、恒过定点问题】 例．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为． (1)当时， 求A，B两点的坐标； (2)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标； 若不是，请说明理由． 变式1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式． (2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积． (3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 变式2．已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； (3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 【考法二、定值问题】 例．抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 变式1．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 变式2．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【课后练习】 1．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．已知抛物线经过点，与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点，以A，E，C，D为顶点作平行四边形，若C，D（点C在点D的左侧）两点都在抛物线上，求C，D两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于M，N两点，过点M，N的直线与抛物线都只有唯一公共点．求证：点R在定直线上运动． 4．抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，若的顶点为， ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，请直接写出P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 5．如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，过A作交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线是否经过一个定点，若经过定点，求出该定点的坐标． 6．如图1，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． (1)求出点，，的坐标； (2)以为直径作，交轴正半轴于点，直线平分，交轴于点，与关于直线对称．求证：点，，三点共线． (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是线段上的动点（除，外），过点作轴的垂线交抛物线于点，直线，分别与抛物线对称轴交于，两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI (1)求二次函数的表达式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； (3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 二次函数与一元二次方程的两种考法 【考法一、恒过定点问题】 例．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为． (1)当时， 求A，B两点的坐标； (2)试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标； 若不是，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为， 点B的坐标为； (2)经过，． 【分析】（1）根据题意得，得出，求解即可； （2）设，，则，根据题意得，整理得到，从而得出m，n是的两个根，由一元二次方程根与系数的关系得出，，待定系数法求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1） 解：根据题意得， 整理得到 ， 解得，， 当时，，当时，， ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为， 点B的坐标为； （2）解：直线一定过定点 理由如下： ∵A，B是抛物线图象上的点， ∴设，，则， 根据题意，得， 整理得到 ∴m，n是的两个根， ∴，， 设直线的解析式为， 根据题意得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 故直线一定过定点． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数、一元二次方程根与系数的关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 变式1．如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是第一象限抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式． (2)如图2，若点P是抛物线顶点，连接、、，求面积． (3)如图3，点Q是第四象限抛物线上的另一动点，交y轴于H点，交y轴于G点．在点P、Q运动的过程中始终满足，试探究直线是否经过某一个定点，若是，则求出该定点的坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)1 (3)经过定点，见解析 【分析】（1）由待定系数法求解即可． （2）先求出A，B，P点的坐标，再用待定系数法求出的解析式，然后求出与y轴的交点，最后根据三角形面积公式求出结果即可； （3）设直线的解析式为，，，设直线的解析式为，直线的解析式为，可分别得出，，，，由即，进一步即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：． （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 即点P的坐标为， 令， 解得：，， ∴，， 设的解析式为：， ∴， 解得： ∴的解析式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线过定点，理由如下∶ 设直线的解析式为，，， 当时， 整理得：， ∴，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 整理得： ，， ∴， 当时， 整理得∶ ， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 整理得，， ∴直线经过点． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，二次函数的图像和性质，二次函数的解析式以及一次函数的解析式．解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数和二次函数的交点． 变式2．已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式； (3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点． 【答案】(1)直线, (2) (3)见解析 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，可得，根据的面积可得点的坐标，据此即可求解； （2）设点，由平行四边形的性质可得，据此即可求解； （3）设，可求出直线的解析式；根据直线过定点K可得；结合题意可求出点，即可进一步求出直线的解析式，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线 ∵， ∴ 令，则 ∴ ∵的面积为6． ∴， 解得： ∴， 将代入得：， 解得：， ∴ （2）解：∵， ∴ 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴，即： ∵顶点Q在原抛物线上， ∴， 解得： ∴ ∴平移后抛物线的表达式为： （3）解：设，设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线过定点 ∴ 得： ∵直线 过N点， ∴，， ∴ 令， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴直线必过定点 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键． 【考法二、定值问题】 例．抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是， 【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解； （2）①由的面积，即可求解；②求出点，则点，得到，由点M、N的坐标得， 即可得出结论． 【详解】（1）​解：对于，当时，， 令，则或3，即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①时，一次函数的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：，解得：，则， 设点，则点， 则的面积， 即的面积最大值为； ②是定值，理由： 联立一次函数和抛物线的表达式得：，则， 则， 则，即，点， 得到， 由点M、N的坐标得，， 则，则，为定值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 变式1．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交于点F，过点P作的垂线，垂足为E，求周长的最大值； (3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，为定值4． 【分析】（1）把点，点代入，得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出值及定值即可． 【详解】（1）解： 抛物线与x轴交于点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解： 抛物线的函数表达式为， 当，， ， ，又， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 设直线解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线解析式为， 设，由于动点P在直线下方的抛物线上， ， 轴， ， 在直线上， ， ， 周长为 ， 当时，周长最大值为． （3）解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即， 设直线的解析式为，点，点，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ， ， ，， ， 同理可得，， ， 为定值， ， 解得， 当时，， 存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键． 变式2．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图象的性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用二次函数的对称性及对称轴求出、的坐标，再求出的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）利用角平分线及构造全等三角形，求出点坐标，即可求出直线解析式，联立二次函数即可求解； （3）设，求出直线和直线的解析式，当时，求出和，表示出，利用恒为定值即可求解． 【详解】（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立与，得，解得：，， 当时，，则； （3）解：设，由，， 设直线解析式为：，则，解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则，解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 【课后练习】 1．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，是抛物线第一象限图象上的动点，过点作，垂足为，过点作轴交抛物线于点，求的最大值； (3)已知是对称轴上的一个定点，过点的直线（直线除外）与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，取得最大值，最大值为 (3)是为定值， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴，交于点．设，则．得到．进而得出．由抛物线的对称性可知，得出．表示出，由二次函数的性质即可得出答案； （3）设直线的函数表达式为．，，联立，得．从而得出，．设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为．推出点坐标也可表示为，再分别求出，．即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴可设抛物线的函数表达式为． 代入点，得． 解得． ∴抛物线的函数表达式为，即； （2）解：对于，令，则，解得或3． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 如图，过点作轴，交于点． ∴． ∴． ∴． ∴． 设， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为． ∴． ∴． ∴． 由抛物线的对称性可知， ∴． ∴ ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． （3）解：是定值，．理由如下： ∵直线过点， ∴可设直线的函数表达式为． 设，， 联立， 整理，得． ∴，． ∵直线，均过点， ∴设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为． 又∵点在直线上， ∴点坐标也可表示为． 将代入，可解得． 对于，令，则， ∴． 同理可得，． ∵， ∴，． ∴． 而 ， 又∵，， ∴． ∴． ∴，为定值． 【点睛】本题考查了求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数综合线段问题、坐标与图形、一元二次方程根与系数关系、锐角三角函数等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴， 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 3．已知抛物线经过点，与x轴交于，B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，已知点，以A，E，C，D为顶点作平行四边形，若C，D（点C在点D的左侧）两点都在抛物线上，求C，D两点的坐标； (3)如图2，将抛物线沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线，过定点的直线交抛物线于M，N两点，过点M，N的直线与抛物线都只有唯一公共点．求证：点R在定直线上运动． 【答案】(1) (2)点或点 (3)见解析 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）将点和点代入抛物线，解方程组即可得到结论； （2）若为平行四边形的边，设，，若为平行四边形的对角线，设，由平移得，解方程组即可得到结论； （3）求得的顶点坐标为，根据平移的性质得到，设抛物线上任意两点,，,所在直线解析式为，根据一元二次方程根与系数的关系的性质得到，，得，，；设两点横坐标为、，取，，得到解析式为；求得，即；取，，得到解析析为；取，，得到解析析为；解方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：将点和点代入抛物线，得， 解得， 故解析式为； （2）解：若为平行四边形的边，设，， 将点代入抛物线得， 解得， ，； 若为平行四边形的对角线，设， 由平移得， 将点代入抛物线得， 解得，或， ，（不符合题意，舍去）或，； 综上所述，，或，； （3）解：的顶点坐标为， 将抛物线沿轴平移，使其顶点在轴上，得到抛物线， ， 设抛物线上任意两点，，，所在直线解析式为， 与抛物线联立得：， ，，得，，； 设、两点横坐标为、， 取，， 则解析析为； 过， ，即； 取，，则解析析为； 取，，则解析析为； 解，得， 点在定直线上运动． 4．抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，若的顶点为， ①求抛物线的解析式； ②点P为抛物线上一点，若点B、点C到直线距离相等，请直接写出P点横坐标； (2)如图2，将抛物线平移得到抛物线，的顶点为原点．直线（s，t为常数，）交抛物线于点P、点Q．已知点，交抛物线于点M，交抛物线于点N，连接．求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】(1)①；②6 (2)证明见解析，定点的坐标． 【分析】（1）①用待定系数法求解即可； ②先求出抛物线与坐标轴的交点，，，再用待定系数法求出直线的解析式为，根据点B、点C到直线距离相等，得出，用待定系数法求出直线的解析式为，然后联立，，求解即可得出点P坐标． （2）根据抛物线的平移求得抛物线的解析式为，联立，，则，所以，，设直线的解析式为，则，所以，所以；设直线的解析式为，则，所以，所以；所以，则，所以；设直线的解析式为，则，所以，，所以，则，当时， ，所以直线过定点． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得 ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； ②∵， ∴令，则， 解得：，， ∴，， 令，则 ∴； 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B、点C到直线距离相等， ∴ 设直线的解析式为， 把代入，得 ，解得： ∴直线的解析式为 联立，，解得：，， ∴． ∴P点横坐标为6． （2）证明：∵将抛物线：平移得到抛物线，的顶点为原点． ∴抛物线的解析式为， 联立，，则， ∵点P、Q是直线与抛物线的交点， ∴，， ∵ ∴设直线的解析式为， 联立，，则， ∵M、P是直线与抛物线的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为 联立，，则， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为， 联立，得， ∴，， ∴ ∴， 当时， ， ∴直线过定点． 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数与二次函数解析式，抛物线平移，抛物线与一次函数交点问题，根与系数关系，综合性较强，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 5．如图，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C，点P为第一象限抛物线上一个动点． (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，过A作交抛物线于点Q，当点P在运动过程中，直线是否经过一个定点，若经过定点，求出该定点的坐标． 【答案】(1) (2)点P不存在 (3)存在，直线恒过点 【分析】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，正切的应用以及直线恒过定点的求法： （1）直接运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点A作于点D，交于点F，设交x轴于点E，求出，，设则，，证明得出即得方程组，解得，得点E的坐标为，进一步可判断点P不存在； （3）设，；过点Q作轴于点E，过点P作轴于点F，可得出，，，根据得出，运用待定系数法求出直线的解析式为，整理得，从而可得直线恒过点 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于和两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点A作于点D，交于点F，设交x轴于点E， 当时， ∴， 又，， ∴， ∴， 又 ∴ ∴， ∴； 又且， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 又， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， 解得，， ∴点E的坐标为， 又， ∴此时点B与点E重合，即此时点P的坐标为，这与点P在第一象限矛盾，故点P不存在； （3）解：如图，设，， 过点Q作轴于点E，过点P作轴于点F， ∵， ∴，，， ∵， ∴ 又 ∴ ∴ 又，， ∴，即， 整理得，， 设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 ∵ ∴， ∴ ； 即当时，即时，与的取值无关， ∴， 即：直线恒过点． 6．如图1，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)如图2，将抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F，对称轴与x轴交于点G，过点的直线与抛物线交于J，I两点，直线FJ，FI分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，8 【分析】（1）利用待定系数法依次解答即可； （2） 过点D作轴，交直线于点E，结合抛物线，直线解析式，设，则，则，表示出，利用二次函数的最值解答即可． （3）先根据y轴对称，纵坐标不变，横坐标变成相反数，确定对称后的解析式，根据题意，不妨设,，连接解析式构成方程组，转化根与系数关系定理应用，确定解析式后求得交点坐标，计算线段长度，再计算积即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于两点，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵， ∴， 过点D作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则，则， ∴， ∴当，的面积最大，且最大值为． 故当，的面积取得最大值，且最大值为． （3）解：∵，抛物线沿y轴翻折得到抛物线，抛物线的顶点为F， ∴， 故， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴， 设,， 根据题意，得， 整理，得， ∴m，n是的两个根， ∴， 同理可证，直线的解析式为， 把代入解析式， 解得， 故直线的解析式为， 令，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证，， ∴ ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求三角形的面积的最值，方程组转化成一元二次方程，根与系数关系定理的应用，面积分割法，熟练掌握抛物线的最值，根与系数关系定理是解题的关键． 7．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点． (1)求出点，，的坐标； (2)以为直径作，交轴正半轴于点，直线平分，交轴于点，与关于直线对称．求证：点，，三点共线． (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是线段上的动点（除，外），过点作轴的垂线交抛物线于点，直线，分别与抛物线对称轴交于，两点．试问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值，．理由见解析 【分析】（1）令，得，，令，得，从而即可得解； （2）利用待定系数法得直线的解析式为，再证点在上即可； （3）设，先求得直线的解析式为，直线的解析式为，进而得，，从而即可得解． 【详解】（1）解：令，得， ∴， 解得， 令，得， ． （2）解：由（）可知，， ∵， ， 在中，， ， ， ， 直线平分， ， 与关于直线对称，直线平分， 点与点重合，， ∴， 过点作轴于， ， ∴，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得 ， 解得 ∴直线的解析式为 当时，， 点在直线上 点，，三点共线， （3）解：是定值，．理由如下：如图， 设， 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， 直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为． 令得， 是定值． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，二次函数的图像及性质，求一次函数，轴对称的性质，熟练掌握解直角三角形，二次函数的图像及性质是解题的关键． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI (1)求二次函数的表达式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； (3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴， ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∴的面积是定值，且的面积为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$